Пусть М - произвольное множество. Метрикой на множестве M называется такая вещественная функция , определенная на множестве всевозможных пар элементов множества М:

               : M M R¹,   (x,y) (x,y),

что выполнены четыре условия:

(1) функция принимает только неотрицательные значения:   (x,y) 0 для любых х,y из М,
(2) (x,x) = 0 для любого элемента х из М, и если (х,у) = 0, то обязательно х = у,
(3) (x,y) = (y,x) для любых х,у из М
(4) (x,z) (х,у) + (y,z) для любых х, у, z из М.

   Множество М с фиксированной метрикой называется метрическим пространством и обозначается (М, ) или просто М, если ясно, о какой метрике идет речь. элементы множества М называются точками пространства (М,). Значение метрической функции на паре элементов х, у называется расстоянием между точками х, у. Условия (1) - (4) называются аксиомами метрики. Они выражают основные свойства расстояния:

(1) Неотрицательность: расстояние между двумя точками всегда неотрицательно.
(2) Аксиома тождества: расстояние между двумя точками равно нулю тогда и только, когда точки совпадают.
(3) Симметричность: расстояние от точки х до точки у равно расстоянию от точки у до точки х.
(4) Условие (4) называется неравенством треугольника, поскольку аналогично тому факту, что длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других его сторон.

   Рассмотрим несколько простейших примеров метрических пространств.

1. Возьмем в качестве множества М множество всех вещественных чисел. Определим метрику по формуле (x,y) = |x-y| для любы x,y M. Легко убедиться в том, что функция удовлетворяет свойствам (1)-( 4). Это стандартная метрика на прямой. Полученное таким образом метрическое пространство называется числовой прямой и обозначается R¹.
2. Пусть M - произвольное множество. Определим метрику на M по правилу: (x,y) = 0 при x = y, (x,y) = 1 при x y. Полученная метрика называется дискретной метрикой на М.
3. Пусть М - совокупность всех вещественных функций, определенных и непрерывных на отрезке [а, b] числовой прямой R¹. Введем в М метрику , полагая для любых функций f(t) и g(t) из М, что . Полученное таким образом метрическое пространство (М,) называется пространствам непрерывных функций и обозначается С [а,b].

   Неограниченное количество дальнейших примеров дает следующий прием. Пусть (М,) - метрическое пространство и А - любое подмножество М. Тогда А с той же функцией (х,у), которую мы теперь считаем определенной для х и у из А, тоже является метрическим пространством (А,); оно называется подпространством пространства М.

   Пусть М - метрическое пространство, а - его точка, r - положительное число. Множество точек пространства М, удаленных от точки а на расстояние, не большее г, называется замкнутым шаром пространства М с центром в точке а и радиусом r и обозначается символом D_r(a). Множество точек, удаленных от точки а на расстояние, меньшее r, называется открытым шаром и обозначается B_r(a). Множество точек, расположенных на расстоянии r от точки а, называется сферой и обозначается S_r(a)). Таким образом,

.

   Открытый шар радиуса ε > 0 с центром в данной точке часто называется ε-окрестностью этой точки.

   В метрическом пространстве (М, ) естественно вводятся понятия, обобщающие начальные понятия математического анализа. Отображение , множества натуральных чисел N в метрическое пространство М называется последовательностью точек этого пространства и обозначается {x_n}. Говорят, что последовательность {x_n} сходится к точке а (имеет предел а), если для всякого ε > 0 найдется натуральное число n₀=n₀(ε) такое, что (а,x_n) < ε для всех . То есть во всякой ε-окрестности точки а содержатся все точки последовательности {x_n}, начиная с некоторого номера n₀(ε).

    Опишем теперь некоторую выделенную топологическую структуру, которая существует во всяком метрическом пространстве М. Пусть Ω(М) -семейство всех множеств U, которые вместе с каждой своей точкой х содержат некоторую ее шаровую окрестность, то есть

.

   Пустое множество тоже считается принадлежащим семейству Ω(М).

   Теорема 1.2   Для совокупности Ω(М) выполнены аксиомы топологического пространства.

   Доказательство. Аксиома (а) очевидна. Все пространство М принадлежит совокупности Ω(М), так как с каждой своей точкой содержит все ее шаровые окрестности. Пустое множество тоже принадлежит совокупности Ω(М). Проверим аксиому (б). Пусть - произвольное семейство множеств из совокупности Ω(М). Чтобы доказать, что их объединение тоже принадлежит Ω(М), найдем для произвольной точки некоторую ее шаровую окрестность V, содержащуюся в . Так как точка для некоторого α'из I, то найдется шаровая окрестность V этой точки, принадлежащая множеству U_a'. Тем более, V содержится во множестве и, значит, является искомой. Для проверки аксиомы (в) рассмотрим произвольное конечное семейство множеств из Ω(М) и докажем, что пересечение , тоже принадлежит Ω(М). Фиксируем произвольную точку . Пусть множество U_i содержит ε_i-окрестность точки а. Обозначим . Тогда ε-окрестность точки а содержится в каждом множестве U_i и, следовательно, в их пересечении . Теорема доказана.

   Мы проверили, что совокупность Ω(M) задает топологию на множестве М, которая называется метрической топологией. О метрической топологии часто говорят как о топологии, которую порождает метрика.

   Пусть (X,Ω) - топологическое пространство. Если топология Q, порождается некоторой метрикой во множестве X, то топологическое пространство (X,Ω) называется метризуемым. Две метрики, порождающие одну и ту же топологию, называются эквивалентными.