|
§1.4. Окрестности.
Пусть (X,Ω) - топологическое пространство. Подмножество О(х)  X,
содержащее точку х  Х, называется окрестностью точки х, если найдется открытое
множество U(x) такое, что х U(x) О(х).
Из определения окрестности вытекает, что окрестность точки не обязана быть открытым множеством,
но всякое открытое множество является окрестностью любой своей точки. Каждая окрестность точки
содержит открытую окрестность этой точки.
В дискретном пространстве каждое подмножество является окрестностью любой своей точки.
В антидискретном пространстве единственной окрестностью произвольной точки х пространства X является
все пространство X. На числовой прямой R1 со стандартной топологией окрестностью точки является
любое множество, содержащее некоторый открытый интервал, которому принадлежит рассматриваемая точка.
Совокупность { (х)} всех окрестностей точки х называется системой окрестностей данной точки.
Эта совокупность обладает следующими свойствами:
1) объединение любого семейства окрестностей точки х есть окрестность точки х;
2) пересечение конечного числа окрестностей точки х есть окрестность точки х;
3) всякое множество, содержащее некоторую окрестность точки х,
является окрестностью точки х.
Открытые множества топологического пространства могут быть описаны в терминах окрестностей точек.
Критерий открытого множества формулируется в следующем утверждении.
Теорема 1.3.
Подмножество А  
топологического пространства (X,Ω) открыто тогда и только тогда, когда оно
содержит некоторую окрестность каждой своей точки.
Доказательство. Если множество А открыто, то каждая точка х из А входит в А вместе с некоторой
своей окрестностью; такой окрестностью является само множество А. Обратно, пусть для каждой точки
х А существует окрестность О(х), целиком лежащая в А. Тогда по определению окрестности найдется
такое открытое множество U(x), что
х U(x) О(х).
Рассмотрим объединение  всех таких
множеств и докажем, что  . Действительно, если
хА, то  , следовательно, в силу
произвольного выбора точки х получим включение  . С другой
стороны, множество U(x) А для каждой точки
х А и потому  .
Таким образом, . Теперь для завершения доказательства остается
заметить, что множество А будет открытым как объединение
семейства открытых множеств. Теорема доказана.
Точка х A называется изолированной точкой множества А,
если существует окрестность О(х) точки х,
не содержащая точек множества А, отличных от х: О(х)  А = {х}.
Множество А называется дискретным, если каждая его точка изолирована.
Введем следующее определение топологического пространства в терминах окрестностей точек.
Топологическое пространство - это множество X, для каждой точки х которого указана непустая
система подмножеств {(х)}, называемых окрестностями точки х,
удовлетворяющая следующим условиям:
1) х принадлежит каждой своей окрестности (x);
2) если множество U X содержит некоторое
(x), то U также является окрестностью точки х;
3) для любых окрестностей  ,  точки х их пересечение
также является окрестностью точки х;
4) для всякой окрестности (x) точки х найдется такая окрестность
 , которая является окрестностью каждой своей точки.
|