Геометрические векторы. Векторы.Основные понятия. Операции над векторами. Введение в теорию линейных пространств. Вещественное линейные пространство. Линейная зависимость. Геометрический смысл линейный зависимости. Векторная алгебра. Координаты вектора. Координаты точки.

Решение задач и выполнение научно-исследовательских разработок: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org    
математика, IT, информатика, программирование, статистика, биостатистика, экономика, психология
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии

 Bodrenko.com
Bodrenko.org
3.3 Прекции вектора и координаты.

       Проекции вектора на плоскости.Пусть на плоскости Р даны две непараллельные прямые l и L. Проекцией направленного отрезка на прямую l параллельной прямой L называется (рис. 1) направленный отрезок , где A₁, B₁ − проекции точек А и В на прямую l параллельно прямой L. Обозначение: pr^L_l.
    Теорема 3.3. Проекции равных направленных отрезков равны.     Доказательство. Пусть = , покажем, что pr^L_l = pr^L_l. Введем на плоскости систему координат {O; e₁, e₂}, где О − точка пересечения прямых l и L, е₁ − базис на прямой l, е₂ − базис на прямой L. Пусть точки A, B, C, D имеют координаты А(x_A, y_A), В(x_В, y_В), С(x_С, y_С), D(x_D, y_D). Так как а = = , то согласно теореме 3.1

x_B − x_A = x_D − x_C                   3.3.1

      Так как точки А₁, В₁, С₁, D₁ имеют координаты А₁(x_А, 0), В₁(x_В, 0), С₁(x_С, 0),
D₁(x_D, 0) (Замечание 2), то b = = {x_В − x_А, 0}, c = = {x_D − x_C, 0}. Согласно (3.3.1) отсюда следует, что b = с. Это означает, что и порождают один и тот же вектор и поэтому равны. Теорема доказана.
       Проекцией вектора а = на прямую l параллельно прямой L называется вектор, порожденный pr^L_lОбозначение: pr^L_lа. Корректность определения вытекает из теоремы 3.3.
    Теорема 3.4. Проекция вектора на прямую l параллельно прямой L обладает свойствами линнейности:

1. pr^L_l(a + b) = pr^L_la + pr^L_lb, ∀ a, b,
2. pr^L_l(αa) = αpr^L_la, ∀ a, ∀ α ∈ R.

    Доказательство. Пусть в базисе е₁, е₂, рассмотренном выше, векторы a, b имеют координаты а = {a₁, a₁}, b = {b₁, b₂}. Тогда pr^L_lа = {a₁, 0}, b = {b₁, 0} и в силу линейности координат pr^L_la + pr^L_lb = {a₁ + b₁, 0}. С другой стороны, a + b = {a₁ + b₁, a₂ + b₂} и pr^L_l(a + b) = {a₁ + b₁, 0}. Следовательно, pr^L_l(a + b) = pr^L_la + pr^L_lb. Аналогично доказывается второе условие линейности. Теорема доказана.
    Замечание 1. Формулы (3.1.3) для координат вектора а в базисе е₁, е₂ плоскости V₂ могут быть записаны в терминах проекций вектора на ось в виде

            (3.3.2)

где pr_xа и pr_yа − проекции вектора a на оси, определенные векторами е₁ и е₂ соответственно (т.е. оси координат Ox и Oy), параллельно другой оси (т.е. оси Oy и Ox соответственно).
       Проекции вектора в пространстве.Пусть в пространстве заданы плоскость π и непараллельная ей прямая l. Проекцией напрвленного отрезка на прямую l (на плоскость π) параллельно плоскости π(соответственно прямой l) называется (рис. 2) направленный отрезок (), где А₁ и В₁(А₂ и В₂) − проекции точек А и В на прямую l (плоскость π) параллельно плоскости π (прямой l). Обозначение: pr^π_l, pr^l_π.        Для обеих проекций справедливо утверждение теоремы 3.3: проекции равных направленных отрезков равны. Доказательство утверждения для проекций в пространстве отличается от доказательства теоремы 3.3 только тем,что система координат {O; e₁, e₂, e₃} состоит из точки О пересечения прямой l с плоскостью π, базиса e₁, e₂ плоскости π и базиса e₃ прямой l.
       Проекцией вектора а = на прямую l (плоскости π) параллельно плоскости π (прямой l ) называеися вектор, порожденный pr^π_l (pr^l_π ). обозначение: pr^π_lа, pr^l_πа. Обе проекции вектора обладают свойствами линейности. Доказательство этого факта повторяет доказательство теоремы 3.3 с той лишь разницей, что рассматривается система координат {O; e₁, e₂, e₃}, упомянутая выше.
    Замечание 2. Формулы (3.1.4) для координат вектора a ∈ V₃ в базисе e₁, e₂, e₃ могут быть записаны в терминах проекций вектора на ось в виде

            (3.3.3)

где pr_xа, pr_yа, pr_zа − проекции вектоа a на оси, определенные базисными векторами e₁, e₂, e₃ (т.е. оси координат Ox, Oy, Oz), параллельно координатным плоскостям Oyz, Oxz, Oxy соответственно.
    Теорема 3.5. На плоскости (в пространстве) величина проекции вектора на ось параллельно прямой (соответственно плоскости) обладает свойством линейности.
    Утверждение теоремы следует из того, что величины рассматриваемых проекций пропорцианальны координатам (согласно 3.3.2 и 3.3.3), которые обладают свойством линейности. Теорема доказана.
       Ортогональные проекции. Мы определили три различные проекции вектора. Во всех трех случаях, если l ⊥ L или l ⊥ π, проекции вектора называются ортогональными проекциями.

© www.Bodrenko.org: Irina I. Bodrenko. All rights reserved. 2009
© www.Bodrenko.org: Бодренко Ирина Ивановна. Все права защищены. 2009