Геометрические векторы. Векторы.Основные понятия. Операции над векторами. Введение в теорию линейных пространств. Вещественное линейные пространство. Линейная зависимость. Геометрический смысл линейный зависимости. Векторная алгебра. Координаты вектора. Координаты точки.

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии

 Аналитическая геометрия Bodrenko.com
Bodrenko.org
3.2 Координаты точки.

        Аффинная система координат. Пусть в пространстве V3 (на плоскости V2 или на прямой V1) зафиксиоована некотороая точка О, называемая полюсом. Для любой точки А вектор rA = называется радиус - вектором точки А относительно полюса О. Задание точки ее радиус - вектором определяет, очевидно, биективное отображение. Тот факт, что точка А имеет радиус - вектор r, обозначают символом А(r).
        Если в пространстве V3 завиксираваны точка О и базис e1, e2, e3, то говорят, что в пространстве задана аффинная система координат (или общая декартова система координат) {O; e1, e2, e3}. Точка О называется началом координат; оси, проходящие через начало координат и определенные векторами e1, e2, e3, называются осями коордиеат и обозначаются Ох (ось абцисс), Оу (ось ординат), Oz (ось аппликат) соответственно. Плоскость, определяемая осями координат Ох и Оу (Ox и Oz, Oy и Oz), называется координатной плоскостью Oxy (Oxz, Oyz соответственно). В этой терминалогии аффинная система координат обозначается также символом Oxyz.
       Координатами точки А в аффинной системе координат {O; e1, e2, e3} называются координаты радиус - вектора rA этой точки в базисе e1, e2, e3. Тот факт, что точка А имеет координаты x, y, z, обозначают символом А( x, y, z). Итак,
rA = xe1 + ye2 + ze3 ⇔ A(x, y, z).           3.2.1

     Замечание 1. Из определения следует, что любая точка А пространства в заданной системе координат имеет координаты, причем точки A1(x1, y1, z1) и A2(x2, y2, z2) совпадают тогда и только тогда, когда x1 = x2, y1 = y2, z1 = z2.
    Замечание 2. Координаты точки A(x, y, z) определяются соотношениями (3.1.4) . При этом, как легко видеть, проекции A1, A2, A3 точки А имеют координаты A1(x, 0, 0), A2(0, y, 0), A3(0, 0, z) .
       Аналогично определяются аффинные системы координат {O; e1, e2} на плоскости V2 и {O; e1} на прямой V1, а также координаты точки А(x, y) и A(x) соответственно. При этом имеют место очевидные аналоги соотношения (3.2.1) и обоих замечаний. В дальнейшем все факты будем излагать только в терминах V3.
      Теорема 3.1Если A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2) − точки пространства, заданные своими координатами в системе координат {O; e1, e2, e3}, то вектор а = в базисе e1, e2, e3 имеет координаты а = {x2 = x1, y2 = y1, z2 = z1}.      Доказательство.     Действительно,
= − (рис. 1) и, следовательно, а = rB − rA. Так как rA = {(x1, y1, z1}, rВ = {(x2, y2, z2}, то в силу свойства линейности координат отсюда следует утверждение теоремы. Теорема доказана.


        Деление отрезка в данном отношении. Гворят, что точка М ≠ В делит отрезок [АВ] в отношении λ, если = λ(рис. 2).
       Обозначение: (АВМ) = λ. Из определения следует, что точка М расположена на прямой АВ, при этом (рис. 2):
  1. если М − внутренняя точка отрезка [AB], то λ > 0;
  2. если М = А, то λ = 0;
  3. если М расположена вне отрезка [AB], то λ < 0.
Заметим, что других вариантов расположения точки М не может быть и что в одном из возможных вариантов λ не равно -1.
      Теорема 3.2Пусть A(r1), B(r2), M(r3) − точки пространства и (АВМ) = λ. Тогда
            (3.2.2)
    Доказательство.    Условие (АВМ) = λ означает, что = λ или r3 − r1 = λ(r2 −r3). Отсюда следует (3.2.2). Теорема доказана.
    Следствие.Соотношение (3.2.2) в координатной форме имеет следующий вид: для A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), М(x3, y3, z3)
            (3.2.3)
        Прямоугольные координаты. Базис e1, … ,en, где n = 1, 2, 3, называется ортонормированным, если векторы базиса
  1. имеют единичную длину и, в случае n >1,
  2. попарно перпендикулярны.
      Аффинная система координат {O; e1, e2, e3}, соответствующая ортонормированному базису e1, e2, e3, называется прямоугольной декартовой системой координат.Содержание
Предыдущая
Следующая

© www.Bodrenko.org: Irina I. Bodrenko. All rights reserved. 2009
© www.Bodrenko.org: Бодренко Ирина Ивановна. Все права защищены. 2009