Для задания на множестве X некоторой топологии Ω нет необходимости указывать непосредственно все подмножества семейства Ω. Существует другой очень удобный способ построения топологии с помощью понятия базы.

   Совокупность β открытых множеств пространства (X,Ω) называется базой топологии Ω или базой пространства (X,Ω), если всякое непустое открытое множество топологического пространства (X,Ω) можно представить в виде объединения некоторой совокупности множеств, принадлежащих β. В частности, X равно объединению всех множеств базы.

   Теорема 1.9.

    Совокупность β открытых множеств топологии Ω является базой этой топологии тогда и только тогда, когда для всякого открытого множества U Ω и для всякой точки х U существует множество V β такое, что х V U.

   Доказательство. Пусть β - база топологии Ω. U - произвольное открытое множество из семейства Ω, х - произвольная точка множества U. Тогда, по определению базы, множество , где - некоторое семейство множеств, принадлежащих совокупности β. Так как х U, то найдется индекс α₀ J такой, что х V_α0 β, и V_α0 U. Обратно, если U - произвольное открытое множество из семейства Ω, то для любой точки х U найдется множество V_x β такое, что х V_x U. Непосредственно проверяется, что объединение всех таких V_x совпадает с U: . Таким образом, любое открытое множество из семейства Ω является объединением некоторой совокупности множеств, принадлежащих β. Значит, β является, по определению, базой топологии Ω.

   Теорема доказана.

   Система подмножеств S_α из X называется покрытием X, если объединение совпадает с X. Покрытие S называется открытым, если каждое S_α открыто в пространстве (X,Ω).

   В частности, база пространства (X,Ω) является открытым покрытием X. Однако не всякое покрытие X может служить базой некоторой топологии на X.

   См. пример.

   Возникает вопрос: если - некоторое покрытие X, то при каких условиях можно построить топологию на X так, чтобы данное семейство было базой этой топологии? Отвечает на этот вопрос следующая теорема.

   Теорема 1.10.

   Пусть . Покрытие β = является базой некоторой топологии на X тогда и только тогда, когда для каждого V_α из β, каждого V_β из β и для каждой точки x V_α V_β существует V_γ β такое, что x V_γ (V_α V_β).

   Доказательство. Пусть β = - база пространства (X,Ω). Так как β Ω, то в силу аксиомы в) топологического пространства пересечение любых двух множеств из совокупности β является открытым множеством, т.е. V_α V_β Ω. Отсюда, по теореме 1.9 для любой точки х V_α V_β найдется V_γ β такое, что x V_γ (V_α V_β).

   Обратно, пусть покрытие β удовлетворяет условию теоремы. Зададим семейство Ω, состоящее из пустого множества и всевозможных объединений множеств из β. Покажем, что построенное семейство Ω удовлетворяет аксиомам а) - в) топологического пространства. Аксиома а)очевидна: пустое множество входит в Ω по условию, а множество принадлежит Ω как объединение всех множеств из β. Проверим аксиому б). Пусть - семейство множеств, где U_α Ω для любого индекса α из J. Каждое множество U_α является объединением некоторой совокупности множеств из β: где V_α,γ β для каждого индекса α J и каждого индекса γ G. Тогда , т.е. множество является объединением некоторой совокупности множеств из β и, следовательно, принадлежит семейству Ω. Для проверки аксиомы в) достаточно показать, что пересечение любых двух множеств U, из Ω. принадлежит Ω. Представим множества U, в следующем виде: где V_γ β для каждого γ G, _δ β для каждого δ D. Рассмотрим пересечение . Сначала убедимся в том, что каждое множество вида V_{γ δ} принадлежит Ω. Действительно, для любой точки х V_{γ δ} по условию теоремы найдется множество W_x β такое, что х W_x V_{γ δ}. Следовательно, множество V_{γ δ} = . Полученное равенство показывает, что множество V_{γ δ} Ω как объединение некоторого семейства множеств из совокупности β. Поэтому множество U есть объединение некоторого семейства множеств, принадлежащих Ω, и значит, в силу аксиомы б), U Ω. Таким образом, семейство Ω удовлетворяет аксиомам а) - в) топологического пространства, т.е. является топологией на X, а покрытие β служит для Ω, по определению, базой.

   Теорема доказана.

   Заметим, что в доказательстве теоремы 1.10 указан способ построения топологии на X, если задано покрытие β, удовлетворяющее условию теоремы.

   Можно ли сконструировать топологию на X, если задано произвольное покрытие ? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

   Теорема 1.11.

    Пусть - произвольное покрытие множества X. Тогда семейство всевозможных конечных пересечений элементов из S образует базу некоторой топологии на X.

   Доказательство. Проверим, что покрытие где К - произвольное конечное подмножество из I, удовлетворяет критерию базы. Заметив, что пересечение любых двух элементов семейства β снова является элементом семейства β, применим теорему 1.10: для любых множеств U_α, V_β, принадлежащих β, положим V_γ = V_α V_β. Тогда V_γ β как пересечение конечного числа множеств из S. Следовательно, для любой точки х V_α V_β имеем: х V_γ = (V_α V_β). Таким образом, в силу теоремы 1.10, β является базой некоторой топологии на X.

    Теорема доказана.

   Семейство γ открытых подмножеств пространства (X,Ω) называется предбазой топологии Ω, если семейство β, состоящее из всевозможных конечных пересечений множеств из γ, образует базу топологии Ω.

   Теорема 1.11 утверждает, что каждое покрытие множества X является предбазой некоторой топологии на X.

   См. пример.

   Очевидно, всякая база пространства является и его предбазой. Как правило, у топологии есть много баз и предбаз. Предпочтение может быть отдано той или иной из них в зависимости от решаемой задачи.