§ 1.1. Топология на множестве
Пусть X-произвольное множество. Топологией на множестве Х называется совокупность Ω его
подмножеств, для которых выполнены три условия:
(а) пустое множество
и все множество Х принадлежат совокупности Ω;
(б) объединение любого семейства множеств, принадлежащих
совокупности Ω, также принадлежит совокупности Ω;
(в) пересечение любого конечного числа множеств, принадлежащих
совокупности Ω, также принадлежит совокупности Ω.
Множество X с выделенной топологией Ω называется топологическим пространством
и обозначается (X,Ω) или просто X, если ясно, о какой топологии идет речь.
Элементы множества X называются точками пространства (X,Ω).
Множества, входящие в выделенную совокупность Ω, называются открытыми множествами
топологического пространства X.
Условия (а) - (в) называются аксиомами топологического пространства.
Следующие два примера топологических пространств мы получим, рассмотрев крайние случаи
возможных совокупностей подмножеств X, удовлетворяющих аксиомам топологии.
- Если Ω совпадает с множеством всех подмножеств множества X, то топологическое пространство (X,Ω)
называется дискретным. Мы видим, что в дискретном пространстве все множества открыты.
- Если Ω содержит всего два множества:
и X, то топологическое пространство (X,Ω) называется антидискретным пространством или пространством с тривиальной топологией.
Важное топологическое пространство образуют вещественные числа со стандартной топологией, которая вводится в следующем примере.
- Пусть X - числовая прямая R1. Стандартную топологию на R1
можно задать следующим набором подмножеств: пустое множество
и все те множества, которые вместе с каждой своей точкой содержат
некоторый интервал около нее. Другими словами, непустое
подмножество U числовой прямой
R1 открыто тогда и только тогда,
когда для каждой точки х из U существуют такие числа а и b, что а < х < b и множество {у: а < у < b } является подмножеством множества U.
Интересный пример топологии на множестве Х известен под названием
топологии конечных дополнений или топологии Зарисского.
-
Пусть X - произвольное множество. Топология конечных дополнений
Ω состоит из пустого множества
и всех тex подмножеств из X,
дополнения которых конечны (здесь пустое множество
рассматривается как конечное множество).
Если X само конечно, то Ω - это в точности дискретная топология на X. Если X бесконечно,
то нужно проверить, что совокупность Ω удовлетворяет трем аксиомам топологии.
Первая из них выполняется тривиально. Проверим аксиому (б). Пусть
- произвольное семейство множеств из совокупности Ω.
Это значит, что их дополнения - множества
конечны для каждого индекса α из I. Чтобы доказать, что объединение
тоже принадлежит Ω, нужно проверить, что дополнение
конечно. Дополнение
совпадает с пересечением семейства конечных множеств
:
и, следовательно, конечно.
Для проверки третьей аксиомы рассмотрим произвольное конечное
семейство множеств
из Ω, где индекс α пробегает
конечное семейство индексов K. Докажем, что пересечение
тоже принадлежит Ω. Дополнение пересечения нескольких множеств совпадает с объединением их дополнений:
.
Тогда, если
, для каждого индекса α из K, то множество
конечно как объединение
конечного числа
конечных множеств
. Следовательно,
.
-
Пусть X - луч [0,+∞) числовой прямой
R1. Совокупность Ω состоит из
, X и всевозможных бесконечных интервалов вида (а,+∞), где а
0.
Для совокупности Ω аксиомы (а) - (в) выполнены. Полученное топологическое пространство (X, Ω) называется стрелкой.
- Если X состоит из двух точек {а, b}, то имеется всего четыре
различные топологии на X, а именно:
Ω1={,X},
Ω2={,X,{a}},
Ω3={,X,{b}},
Ω4={,X,{a},{b}}
. Множество X, наделенное
топологией
Ω2 (или
Ω3) называется связным двоеточием.
|