Bodrenko.com
Bodrenko.org

Учебные дисциплины на сайте Bodrenko.org
Портабельные Windows-приложения на сайте Bodrenko.com
"Геометрические методы математической физики" Компьютерные науки Математика и информатика Векторный и тензорный анализ Теория игр Аналитическая геометрия и линейная алгебра Римановы многообразия Элементы вариационного исцисления Дифференциальная геометрия и топология "Геометрия подмногообразий" Дополнительные главы дифференциальной геометрии "Диффиренциальные уравнения на многообразиях" "Дифференциальная геометрия и топология кривых" Bodrenko.com Bodrenko.org

Bodrenko.org

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУ ВПО «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

Кафедра  фундаментальной информатики и оптимального управления

Бодренко И.И., к. ф.-м.н., доцент

 

 

Учебно-методический комплекс по дисциплине

АЛГЕБРА                    

 

 

Специальность: 090105.65  – Комплексное обеспечение информационной безопасности автоматизированных систем

 

 

Утверждено

Рекомендовано

Ученым советом факультета

Протокол №_

«____»_____________ 200_г.

кафедрой  ______________________

Протокол №_

«____»____________ 200_г.

Декан факультета__________

Лосев А.Г.      

Зав. кафедрой____________________

Воронин А.А.

 

 

 

Утверждено

 

Ученым советом факультета

Протокол №_

«____»_____________ 200_г.

 

Декан факультета__________

Яцышен В.В.       

 

 

 

 

 

Волгоград 2009 г.

 

 

 

 

Автор-составитель:

Бодренко И.И.,  к. ф.- м.н.,  доцент 

 

 

Учебно-методический комплекс по дисциплине «Алгебра» 

составлен в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальности 090105.65  – Комплексное обеспечение информационной безопасности автоматизированных систем.

 

Дисциплина входит в федеральный компонент цикла  математических и естественнонаучных  дисциплин и является обязательной для изучения.

 

 

__________________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 


 

СОДЕРЖАНИЕ

 

Стр.

1.     Рабочая программа учебной дисциплины

4

2.     Методические рекомендации по изучению дисциплины для студентов

2.1.         Советы по планированию и организации времени, необходимого на изучение дисциплины.

2.2.         Описание последовательности действий студента по изучению дисциплины.

2.3.         Рекомендации по использованию материалов учебно-методического комплекса и по работе     с литературой.

2.4.         Советы по подготовке к экзамену и разъяснения по поводу работы с тестовой системой курса, по выполнению домашних заданий.

16             

 

 

 

17

 

17

 

 

18

 

 

19

3.     Учебно-методические материалы (УММ)

3.1.         Лекции

3.2.         Практические занятия: план проведения занятий; списки типовых задач по каждой теме, рекомендуемые сборники задач по каждой теме.

3.3.         Методические указания для преподавателей, ведущих практические занятия.

4.     Словарь терминов

5.     Формы текущего, промежуточного, рубежного и итогового контроля:

5.1.         Контрольные вопросы по каждой теме.

5.2.         Контрольные работы, тесты.

20

20

22

 

 

 

25

25

 

29

29

32

6.     Балльно-рейтинговая система оценки успеваемости студентов по дисциплине

77

 

 

 

 

 

 

 

Федеральное агенство по образованию Российской Федерации

ГОУ ВПО "ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ"

ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ   

КАФЕДРА ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ИНФОРМАТИКИ И

ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ




 
    УТВЕРЖДЕНО                                                          УТВЕРЖДАЮ
   Ученым советом                                                    Декан факультета
     факультета
Протокол N        от                                                  _____________ А.Г. Лосев
"______ " ___________  2008 г.                              "______ " ___________  2008 г.
 
 



Программа учебной дисциплины
"АЛГЕБРА"
по направлению подготовки бакалавров
"Комплексное обеспечение информационной безопасности автоматизированных систем".
Факультет физики и телекоммуникаций.


090105.65  – Комплексное обеспечение информационной безопасности автоматизированных систем

 
 
Составитель рабочей программы:
 
Доцент кафедры ФИОУ, к.ф.-м.н., доцент   Бодренко И.И. _____________
 






                                                            Волгоград 2008 г.

I. Аннотация.


Рабочая программа составлена на основании государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по курсу "Алгебра" и учебного плана по специальности "Комплексное обеспечение информационной безопасности автоматизированных систем" ВолГУ.

I.1. ЦЕЛЬ ПРЕПОДАВАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ.

Преподавание курса "Алгебра" формирует у студентов правильные представления об основных понятиях  алгебры, знакомит с основными алгебраическими структурами: полугруппами, группами,  кольцами, полями  и их простейшими свойствами;  знакомит с теорией делимости в кольце целых чисел; вводит в методы решения уравнений в кольце вычетов, сравнений; знакомит с операциями в кольце полиномов.


I.2. ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ.


Студент должен знать следующие понятия: внутренние бинарные операции на множестве, основные алгебраические структуры: полугруппы, группы, кольца, поля и их простейшие свойства; делимость и деление с остатком в кольце целых чисел, сравнения, основная теорема арифметики; поле комплексных чисел; кольца вычетов; уравнения в кольце вычетов и сравнения; кольцо полиномов; наибольший общий делитель полиномов, каноническое разложение полинома,  полиномы с рациональными коэффициентами; свойства элементов группы, подгруппы группы; разложение группы в смежные классы и классы сопряженных элементов; произведение подгрупп; группа подстановок; нормальные делители группы; конечные абелевы группы; кольцо полиномов, наибольший общий делитель полиномов, полиномы с рациональными коэффициентами. основные свойства элементов кольца, подкольца и идеалы кольца; прямые суммы колец и идеалов; классификация расширений полей; простые поля; поле разложения многочлена; конечные поля; многочлены над конечными полями;

Студент должен понимать основные определения алгебры: понимать полугруппы, группы, кольца, поля, делимость и деление с остатком в кольце целых чисел; понятие делимости и деление с остатком в кольце целых чисел;

I.3. ВЗАИМОСВЯЗЬ УЧЕБНЫХ ДИСЦИПЛИН.

Понятия алгебры и алгебраические методы исследований пронизывают все фундаментальные общематематические курсы, являясь базисом, без привлечения которого немыслимо изложение любого математического курса. Алгебраические методы исследований непосредственно и опосредованно проникли во многие разделы математического естествознания: математическую экономику, математическую экологию, и приобрели универсальное значение.

Методика формирования результирующей оценки:
Выполнение каждой письменной контрольной работы оценивается от 0 до 12 баллов.
Выполнение студентом заданий на каждом практическом занятии оценивается от 0 до 4 баллов.
Рейтинговая оценка работы студента в семестре равна сумме баллов за 3 контрольные работы и практические занятия, и может достичь 72 баллов. Студент, набравший в результате текущего семестрового контроля менее 20 баллов, к экзамену  не допускается; ему выставляется итоговая пятибальная оценка "неудовлетворительно".
Экзамен  по дисциплине проводится в письменном виде. Экзаменационный билет содержит 5 пунктов, содержащих как теоретические вопросы, так и задачи. Ответ студента на каждый пункт билета оценивается от 0 до 8 баллов.
Итоговая рейтинговая оценка знаний студента равна сумме баллов, полученных в течение семестра за выполнение контрольных работ, и до 40 баллов, полученных за письменную экзаменационную работу в конце семестра (но не более 100 баллов).
Итоговая пятибальная оценка по дисциплине определяется в соответствии со следующей схемой: если количество баллов не меньше 91, то выставляется оценка "отлично", иначе, если количество баллов не меньше 71, то выставляется оценка "хорошо", иначе, если количество баллов не меньше 60, то выставляется оценка "удовлетворительно".

В первом семестре студенты сдают экзамен, во втором семестре студенты сдают экзамен.


II. CОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ.


1. Объем дисциплины и виды учебной работы.

N п/п

Вид учебной работы

Всего часов

1.

Аудиторные занятия (всего)

105

1.1

Лекции

70

1.2.

Практические занятия

35

2.

Самостоятельная работа (всего)

135

3.

Общая трудоемкость дисциплины

240

4.

Вид итогового контроля

Экзамен



2. Тематический план дисциплины.

Номер темы

Тематика лекций и практических занятий

Лекции(часов)

Практ. занятия (часов)

 

 

 

 

1.

ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ.

10

6

2.

КОЛЬЦА ВЫЧЕТОВ. УРАВНЕНИЯ В КОЛЬЦЕ ВЫЧЕТОВ И СРАВНЕНИЯ.

18

8

3.

ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ.

8

4

4.

КОЛЬЦО ПОЛИНОМОВ.

12

6

5.

ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ.

8

4

6.

ТЕОРИЯ ГРУПП.

14

7

 

Всего часов

70

35



3. Содержание лекций и практических занятий.

3.1. Содержание лекций.

Номер темы

Название темы, наименование вопросов, изучаемых на лекциях

Кол - во часов

Лаб. работы

Метод. указания

Форма контроля

1

2

3

4

5

6

1.

ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ.

10

6

V.3 - 5

К.р., экз.

1.1.

Определение делимости и простейшие свойства этого отношения. Деление с остатком.

2

1.1

 

 

1.2.

Наибольший общий делитель.  Алгоритм Евклида.

2

1.2

 

 

1.3.

Взаимно простые числа. Простые числа. Основная теорема арифметики.

6

1.3

 

 

2.

КОЛЬЦА ВЫЧЕТОВ. УРАВНЕНИЯ В КОЛЬЦЕ ВЫЧЕТОВ И СРАВНЕНИЯ.

18

8

V.3 -5

К.р., экз.

2.1.

Классы вычетов по модулю m. Действия над классами.

2

2.1

 

 

2.2.

Приведенная система вычетов и примитивные классы. 

4

2.2

 

 

2.3.

Уравнения в кольце вычетов. Теорема Эйлера.

4

2.3

 

 

2.4.

Сравнения первой и второй степени.

8

2.4

 

 

3.

ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ.

8

4

V. 3-5

Экз., к.р.

3.1.

Тригонометрическая форма комплексного числа.

2

3.1

 

 

3.2.

Извлечение корня из комплексного числа.

2

3.2

 

 

3.3.

Корни из единицы.

2

3.3

 

 

3.4.

Показательная и логарифмическая функции комплексной переменной.

2

3.4

 

 

4.

 КОЛЬЦО ПОЛИНОМОВ.

12

4

V. 3-5

Э.

4.1.

Теория делимости для полиномов от одной буквы.

2

4.1.

 

 

4.2.

Производная.

2

4.2

 

 

4.3.

Рациональные дроби.

2

4.3

 

 

4.4.

Интерполяция.

2

4.4

 

 

4.5.

Сравнения в кольце полиномов над полем.

2

4.5

 

 

4.6.

Полиномы с целыми коэффициентами.

2

4.6

 

 

5.

ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ.

8

5

V. 3-5

Э.

5.1.

Полугруппы.

2

5.1.

 

 

5.2.

Группы.

2

5.1

 

 

5.3.

Кольца.

2

5.2

 

 

5.4.

Поля.

2

5.2.

 

 

6.

ТЕОРИЯ ГРУПП.

14

6

 

 

6.1.

Свойства элементов группы.

2

 

 

 

6.2.

Подгруппы группы.

2

 

 

 

6.3.

Разложение группы в смежные классы, классы сопряженных элементов.

2

 

 

 

6.4.

Произведение подгрупп.

2

 

 

 

6.5.

Группа подстановок.

2

 

 

 

6.6.

Нормальные делители группы.

2

 

 

 

6.7.

Конечные абелевы группы. 

2

 

 

 


Примечание: программа первого семестра соответствует 1.-3. темам.




3.2. Содержание практических занятий.

Номер

 

Объем,

практи-

Наименование практической работы

час

ческой работы

 

 

1

2

3

1.

    ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ.

10

1.1.

 Определение делимости и простейшие свойства этого отношения. Деление с остатком.

2

 

Задачи:  [1].

 

1.2.

 Наибольший общий делитель.  Алгоритм Евклида.

2

 

Задачи: [1].

 

1.3.

 Взаимно простые числа. Простые числа. Основная теорема арифметики.

6

 

Задачи: [1].

 

2.

КОЛЬЦА ВЫЧЕТОВ. УРАВНЕНИЯ В КОЛЬЦЕ ВЫЧЕТОВ И СРАВНЕНИЯ.

18

2.1.

 Классы вычетов по модулю m. Действия над классами.

2

 

Задачи: [1]

 

2.2.

Приведенная система вычетов и примитивные классы. 

4

 

Задачи: [1].

 

2.3.

Уравнения в кольце вычетов. Теорема Эйлера.

4

 

Задачи: [1].

 

2.4.

Сравнения первой степени.

8

 

Задачи:  [1].

 

3.

ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ.

8

3.1.

Тригонометрическая форма комплексного числа.

2

 

Задачи: [1].

 

3.2.

Извлечение корня из комплексного числа.

2

 

Задачи: [1].

 

3.3.

Корни из единицы.

2

 

Задачи: [1].

 

3.4.

Показательная и логарифмическая функции комплексной переменной.

2

 

Задачи: [1].

 

4.

КОЛЬЦО ПОЛИНОМОВ.

12

4.1.

Теория делимости для полиномов от одной буквы.

2

 

Задачи: [1].

 

4.2.

Производная.

2

 

Задачи: [1].

 

4.3.

 Рациональные дроби.

2

 

Задачи: [1].

 

4.4.

Интерполяция.

2

 

Задачи: [1].

 

4.5.

Сравнения в кольце полиномов над полем.

2

 

Задачи: [1].

 

4.6.

Полиномы с целыми коэффициентами.

2

5.

 ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ.

8

5.1.

Полугруппы. Группы.

4

 

Задачи: [1].

 

5.2.

Кольца. Поля.

4

 

Задачи: [1].

 

6.

ТЕОРИЯ ГРУПП.

14

6.1.

 Свойства элементов группы. Подгруппы группы.

4

 

Задачи: [1].

 

6.2.

Разложение группы в смежные классы, классы сопряженных элементов. Произведение подгрупп.

4

6.3.

Группа подстановок.

2

 

Задачи: [1].

 

6.4.

Нормальные делители группы.  Конечные абелевы группы. 

4

 

Задачи: [1].

 


Примечание: программа первого семестра соответствует 1.-3. темам.



III. Программа экзамена.

III. Программа экзамена.

1.  Внутренние бинарные операции на множестве.  Коммутативные бинарные операции, примеры. Ассоциативные бинарные операции, примеры.

2.  Полугруппа, определение, примеры. Свойства полугруппы.

3.  Группа, определение, примеры. Аксиомы группы. Свойства группы.

4.  Кольцо, определение, примеры. Свойства кольца.

 5.  Поле, определение,  примеры.  Свойства поля.

6 . Кольцо полиномов, алгебраические операции в кольце полиномов.

7. Деление с остатком в кольце полиномов.

8.  Наибольший общий делитель полиномов.

9. Взаимно простые полиномы. Свойства.

10. Неприводимые полиномы. Свойства.

11. Каноническое разложение полинома.

12. Производная полинома. Свойства.

13. Разложение полинома по степеням линейного двучлена.

14. Разделение множителей различной кратности.

15. Рациональные дроби. Определение, действия над рациональными дробями.

16. Поле рациональных функций.

 17. Правильные рациональные дроби.

18. Разложение рациональной дроби на простейшие.

19. Разложение рациональной дроби на простейшие над полем вещественных чисел.

20. Разложение рациональной дроби на простейшие над полем комплексных чисел.

21. Интерполяция, постановка задачи. Интерполяционная формула Лагранжа.

22. Способ интерполяции Ньютона.

23. Приближенная интерполяция.

24. Кольцо вычетов по полиному. Значения рациональных дробей. Полиномы над конечными полями.

25. Полиномы с целыми коэффициентами. Рациональные корни полиномов с целыми коэффициентами.

26. Задача о приводимости полинома над полем рациональных чисел.

27. Конечные группы. Порядок конечной группы.

28. Умножение подмножеств группы. Примеры.

29. Подгруппы, определение, примеры. Свойства.

30. Смежные классы группы по подгруппе. Определение, примеры. Свойства.

31. Индекс подгруппы в группе.

32. Циклические группы. Порядок элемента циклической  группы.

33. Конечные абелевы группы. 

34. Циклические подгруппы конечной группы. 

 

 

IV. Учебно-методическое обеспечение.
Лекции и практические занятия в основном рассчитаны на применение учебных пособий [1-6], методических рекомендаций [1-3], и электронных методических рекомендаций [1].
Наш вариант изложения дисциплины имеет своей целью удобство ее приложений в других дисциплинах курса обучения. Другие варианты изложения и дополнительные результаты могут быть получены студентами из книг, приведенных в списке литературы.

 

 

В лекциях обсуждаются решения всех задач, включаемых в контрольные работы и экзаменационные билеты.
В течение семестра на практических занятиях проводится 3 контрольные работы. Расчетная продолжительность каждой контрольной работы не превышает 2 часа. Задания для контрольных работ (без разбиения на варианты) содержатся в электронных методических указаниях [1] и также доступны студентам без ограничений.

V. ЛИТЕРАТУРА.
V.1. ЛИТЕРАТУРА.

1. Фаддеев Д.К.,  Соминский И.С. . Сборник задач по высшей алгебре . - М.: Наука, 1977, 332 с.
2. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984, 254 с.
3. Курош  А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1975, 332 с.
4. Кострикин А.И.  Введение в алгебру.  - М.: Наука, Изд-во МГУ, 1980, 588 с.

V.2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

1. Фонд контрольных заданий по курсу "Алгебра". (Электронные методические указания. Составитель -- Бодренко И.И.)
3. Программа экзамена по курсу "Алгебра
. (Электронные методические указания. Составитель -- Бодренко И.И.)


Программа учебной дисциплины утверждена сроком на 4 года

на заседании кафедры  фундаментальной информатики и оптимального управления
                                      2008 г., протокол N 1. 

Заведующий кафедрой ______________________ А.А. Воронин

 

 

 

 

 

 


Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

ГОУ ВПО "ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ"

ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ 

КАФЕДРА ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ИНФОРМАТИКИ И

ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ




 
    УТВЕРЖДЕНО                                                          УТВЕРЖДАЮ
   Ученым советом                                                    Декан факультета
     факультета
Протокол №        от                                                 _____________ А.Г. Лосев
"______ " ___________  2008 г.                              "______ " ___________  2008 г.
 
 




Программа учебной дисциплины
"ГЕОМЕТРИЯ"
по направлению подготовки специалистов 
"Математическое обеспечение и администрирование информационных систем", "Математическое обеспечение и администрирование информационных систем"            (на базе СПО)
Факультет математики и информационных технологий.

 

 
 
Составитель рабочей программы:
 
Доцент кафедры ФИОУ, к.ф.- м. н., доцент   Бодренко И.И. _____________
 






Волгоград  2008 г.

I. Аннотация.


Рабочая программа составлена на основании государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по курсу "Геометрия" и учебного плана по специальности "Математическое обеспечение и администрирование информационных систем" ВолГУ.

I.1. ЦЕЛЬ ПРЕПОДАВАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ.

Преподавание курса "Геометрия" формирует у студентов правильные представления об основных понятиях аналитической и дифференциальной геометрии, топологии,  вводит в геометрические и топологические методы исследования основных геометрических элементов и фигур, знакомит с методами векторной и линейной алгебры при решении геометрических задач, с понятиями топологического пространства и важнейших топологических инвариантов: связность, компактность, размерность. 

Геометрия: векторная алгебра; системы координат на плоскости и в пространстве;

прямая линия на плоскости; кривые второго порядка на плоскости;

прямая линия и плоскость в пространстве; поверхности второго порядка;

поверхности вращения; цилиндрические, конические поверхности;

аффинные преобразования плоскости и пространства; группы преобразований плоскости и пространства.

I.2. ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ.

Студент должен знать следующие понятия: свободные векторы и операции над ними (сложение и умножение на число), линейная зависимость векторов и ее геометрический смысл, базисы и координаты, скалярное произведение векторов, переход от одного базиса к другому, определение ориентации, ориентированный объем параллелепипеда, векторное и смешанное произведения векторов, понятие прямой линии и плоскости, системы координат, переход от одной системы координат к другой, уравнение прямой линии на плоскости и плоскости в пространстве, взаимное расположение прямых на плоскости и плоскостей в пространстве, уравнение прямой в пространстве; линии второго порядка: канонические уравнения линий второго порядка,  директориальное и оптическое свойства эллипса, гиперболы и параболы; поверхности второго порядка и их плоские сечения:  эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды, цилиндры, конусы, конические сечения;  движения и аффинные преобразования: определение и свойства аффинных преобразований, определение и свойства изометрических преобразований,  классификация движений плоскости;  понятие n-мерного евклидова пространства;  дифференциальная геометрия кривых и поверхностей: вектор-функции одной и двух переменных, гладкие и регулярные кривые, касательная и нормальная плоскость к кривой,  длина кривой, кривизна и кручение кривой; понятие поверхности, гладкие и регулярные поверхности, касательная плоскость к поверхности, нормаль, первая квадратичная форма поверхности.  Элементы топологии и римановой геометрии: топологические пространства, открытые и замкнутые множества, операции над открытыми и замкнутыми множествами, окрестности, предельные точки, базы,  критерий открытого множества, внутренность множества, замыкание множества,  критерий замкнутого множества, граница, первая и вторая аксиомы счетности, сепарабельные пространства,  метрические пространства, непрерывные отображения метрических и топологических пространств, связность, критерий связности, свойства связных множеств, компоненты связности, аксиомы отделимости, хаусдорфовы,  регулярные,  нормальные пространства,  компактные пространства.

            Студент должен знать основные понятия и определения аналитической геометрии:  понятие вектора, линейной зависимости и линейной независимости векторов,  определение скалярного, векторного и смешанного произведений векторов, понятие  прямой линии и плоскости в пространстве, линии второго порядка, поверхности второго порядка; определение аффинных и изометрических преобразований, свойства аффинных преобразования плоскости и пространства; понятие n- мерного евклидова пространства; основные определения и понятия дифференциальной геометрии: понятие кривой, поверхности, кривизны и кручения кривой, касательной и нормальной плоскости к кривой, касательной плоскости и нормали к поверхности, первой квадратичной формы поверхности, основные определения и понятия топологии: топологические пространства, открытые и замкнутые множества, операции над открытыми и замкнутыми множествами, окрестности, предельные точки, базы,  критерий открытого множества, внутренность множества, замыкание множества,  граница,   критерий замкнутого множества,  первая и вторая аксиомы счетности, сепарабельные пространства,  метрические пространства, непрерывные отображения метрических и топологических пространств, связность, критерий связности, свойства связных множеств, компоненты связности, аксиомы отделимости, хаусдорфовы,  регулярные,  нормальные пространства,  компактные пространства,

 Уметь доказывать основные теоремы курса.

I.3. ВЗАИМОСВЯЗЬ УЧЕБНЫХ ДИСЦИПЛИН.

Понятия геометрии и топологии, аналитические методы исследования пронизывают все фундаментальные общематематические курсы, являясь базисом, без привлечения которого немыслимо изложение любого математического курса. Методы геометрии и топологии непосредственно и опосредованно проникли во многие разделы математического естествознания: математическую экономику, математическую экологию, и приобрели универсальное значение.

Методика формирования результирующей оценки:
Выполнение каждой письменной контрольной работы оценивается от 0 до 12 баллов.
Выполнение студентом заданий на каждом практическом занятии оценивается от 0 до 2 баллов.
Рейтинговая оценка работы студента в семестре равна сумме баллов за 3 контрольные работы и практические занятия, и может достичь 72 баллов. Студент, набравший в результате текущего семестрового контроля менее 20 баллов, к экзамену  не допускается; ему выставляется итоговая пятибалльная оценка "неудовлетворительно".
Экзамен  по дисциплине проводится в письменном виде. Экзаменационный билет содержит 5 пунктов, содержащих как теоретические вопросы, так и задачи. Ответ студента на каждый пункт билета оценивается от 0 до 8 баллов.
Итоговая рейтинговая оценка знаний студента равна сумме баллов, полученных в течение семестра за выполнение контрольных работ, и до 40 баллов, полученных за письменную экзаменационную работу в конце семестра (но не более 100 баллов).
Итоговая пятибалльная оценка по дисциплине определяется в соответствии со следующей схемой: если количество баллов не меньше 91, то выставляется оценка "отлично", иначе, если количество баллов не меньше 71, то выставляется оценка "хорошо", иначе, если количество баллов не меньше 60, то выставляется оценка "удовлетворительно".

В семестре студенты сдают экзамен.

II. СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ.

1. Объем дисциплины и виды учебной работы.

N п/п

Вид учебной работы

Всего часов

1.

Аудиторные занятия (всего)

68

1.1

Лекции

34

1.2.

Практические занятия

34

2.

Самостоятельная работа (всего)

72

3.

Общая трудоемкость дисциплины

140

4.

Вид итогового контроля

Экзамен



2. Тематический план дисциплины.

Номер темы

Тематика лекций и практических занятий

Лекции (часов)

Практические занятия (часов)

 

 

 

 

1.

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.

8

8

2.

ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ.

8

8

3.

ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ.

6

6

4.

ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.

2

2

5.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ.

4

4

6.

ЭЛЕМЕНТЫ ТОПОЛОГИИ И РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ.

6

6

 

Всего часов

34

34


3. Содержание лекций и практических занятий.

3.1. Содержание лекций.

Номер темы

Название темы, наименование вопросов, изучаемых на лекциях

Кол - во часов

Лаб. работы

Метод. указания

Форма контроля

1

2

3

4

5

6

1.

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.

8

8

V.3 - 5

К.р., экз.

1.1.

Понятие вектора, линейные операции над векторами. Векторное пространство. Примеры.

1

1.1.

 

 

1.2.

Линейная зависимость и независимость векторов, коллинеарность,  компланарность. Свойства линейной зависимости. Теорема о линейной зависимости.

1

1.1.

 

 

1.3.

Базисы. Теорема о числе векторов в базисах конечномерного пространства. Размерность. Примеры.

1

1.2.

 

 

1.4.

Координаты вектора, суммы векторов, произведения вектора на число. Однозначная определенность координат.

1

1.2.

 

 

1.5.

Скалярное произведение векторов, свойства. Евклидово векторное пространство. Неравенство Коши-Буняковского.

1

1.3.

 

 

1.6.

Понятие об ориентации пространства. Векторное произведение, свойства (геометрический смысл, признак коллинеарности векторов, антикоммутативность, линейность).

1

1.4

 

 

1.7.

Смешанное произведение. Ориентированный  объем параллелепипеда. Свойства.

1

 

 

 

1.8.

Скалярное произведение двух векторов и его выражение в прямоугольных координатах.

1

1.3.

 

 

1.9.

Выражение векторного произведения через координаты сомножителей в ортонормированном базисе.

1

1.4.,2.2.

Кр.

 

1.10.

Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей.

1

1.4.

 

 

2.

ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ.

8

8

V.3 -5

К.р., экз.

2.1.

Прямая на плоскости, различные виды ее уравнений, переход от одного вида уравнения к другому. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

1

3.2, 3.3

 

 

2.2.

Плоскость, различные виды ее уравнений: векторное параметрическое, координатные параметрические, общее уравнение, уравнение плоскости, проходящей через три неколлинеарные точки. Переход от одного вида уравнения к другому. Взаимное расположение двух плоскостей.

1

4.1, 4.2.

 

 

2.3.

Прямая в пространстве. Различные ее уравнения. Прямая как пересечение двух плоскостей, нахождение направляющего вектора и начальной точки. Взаимное расположение прямой и плоскости.

1

4.3, 4.5

 

 

2.4.

Взаимное расположение двух прямых.

1

4.6

 

 

2.5.

Уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку, ей не принадлежащую; через две параллельные прямые; через две пересекающиеся прямые.

1

4.1

 

 

2.6.

Прямая на евклидовой плоскости. Нормальный вектор. Расстояние от точки до прямой на плоскости.

1

3.4

 

 

2.7.

Плоскость в евклидовом пространстве. Нормальный вектор плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между двумя параллельными плоскостями.

1

4.4

 

 

2.8.

Расстояние от точки до прямой в пространстве.

1

4.7

 

 

3.

ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ

6

6

V. 3-5

Экз., к.р.

3.2.

Каноническое уравнение эллипса. Свойства.

1

5.1

 

 

3.3.

Каноническое уравнение гиперболы. Свойства.

1

5.1

 

 

3.4.

Каноническое уравнение параболы. Свойства.

1

5.1

 

 

3.9.

Поверхности вращения второго порядка. Цилиндрические поверхности второго порядка.

1

5.2.

 

 

3.10.

Сжатие пространства к плоскости. Канонические уравнения поверхностей второго порядка.

1

5.2.

 

 

3.11.

Эллипсоиды и их плоские сечения. Однополостный и двуполостный гиперболоиды и их плоские сечения. Эллиптический и гиперболический параболоиды и их плоские сечения.

1

5.2.

 

 

4.

ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.

2

2

V. 3-5

Э.

4.1.

Преобразование плоскости. Примеры. Линейные отображения плоскостей, свойства. Аффинные преобразования, свойства.

1

6.1, 6.2

 

 

4.2.

Изометрии (движения или ортогональные преобразования). Собственные и несобственные движения.

1

6.2

 

 

5.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ.

4

4

V. 3-5

Э.

5.1.

Гладкие и регулярные кривые: касательная к кривой, нормальная плоскость. Длина кривой. Кривизна и кручение кривой.

2

7.1.

 

 

5.2.

Гладкие и регулярные поверхности: касательная плоскость к поверхности, нормаль. Первая квадратичная форма поверхности. 

2

7.2.

 

 

6.

ЭЛЕМЕНТЫ ТОПОЛОГИИ И РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ.

6

6

 

 

6.1.

Топологические пространства.  Открытые и замкнутые множества.  Операции над открытыми и замкнутыми множествами. Окрестности, предельные точки. Базы.  Критерий открытого множества. Внутренность множества. Замыкание множества. Граница.

2

8.1.

 

 

 

Первая и вторая аксиомы счетности.  Сепарабельные пространства.  Метрические пространства. Непрерывные отображения метрических и топологических пространств. Свойства.

2

8.2.

 

 

 

Связность, критерий связности. Свойства связных множеств. Компоненты связности.

Аксиомы отделимости.  Хаусдорфовы, регулярные,  нормальные пространства. Компактные пространства.

2

8.3.

 

 


3.2. Содержание практических занятий.

Номер

 

Объем,

практи-

Наименование практической работы

час

ческой работы

 

 

1

2

3

1.

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.

6

1.1.

Понятие вектора, линейные операции над векторами.

1

 

Задачи: 1-22 [1], 748-779 [2]

 

1.2.

Линейная зависимость векторов, базис, координаты вектора.

1

 

Задачи: 23-44 [1], 780-794 [2]

 

1.3.

Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

2

 

Задачи: 131-154 [1], 795-838 [2]

 

1.4.

Ориентация пространства. Векторное и смешанное произведение.

2

 

Задачи: 175-212 [1], 839-878 [2].

 

2.

МЕТОД  КООРДИНАТ.

2

2.1.

Преобразование координат. Полярные координаты.

1

 

Задачи: 114-130 [1], 26-43, 127-145 [2].

 

2.2.

Деление отрезка в данном отношении. Площадь треугольника.

1

 

Задачи: 80-113 [1], 86-126 [2].

 

3.

ПРЯМАЯ  НА  ПЛОСКОСТИ.

4

3.1.

Общее уравнение прямой, уравнение прямой c угловым коэффициентом. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых.

1

 

Задачи: 363-380 [1], 210-248 [2].

 

3.2.

Угол между двумя прямыми. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

1

 

Задачи: 381-395, 416-449 [1], 253-284 [2].

 

3.3.

Неполные уравнения прямой. Уравнение прямой "в отрезках".

1

 

Задачи: 285-308 [2].

 

3.4.

Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.

1

 

Задачи: 450-477 [1], 309-352 [2].

 

4.

ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.

4

4.1.

Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор. Неполные уравнения плоскостей, уравнение плоскости "в отрезках".  Перпендикулярность прямых и плоскостей, угол между прямой и плоскостью.

1

 

Задачи: 491-523 [1],524-544, 567-602 [1],  913-939 [2],  940-955 [2].

 

4.2.

Нормальное уравнение плоскости, расстояние от точки до плоскости.

1

 

Задачи: 603-609 [1], 956-981 [2].

 

4.3.

Канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. Взаимное расположение двух прямых в пространстве, угол между прямыми. Прямая как линия пересечения двух плоскостей.

1

 

Задачи: 982-1006 [2],  1007-1028 [2].

 

4.4.

Расстояние от точки до прямой, между двумя прямыми в пространстве.

1

 

Задачи: 1029-1031, 1062-1064, 1083 [2].

 

5.

ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

6

5.1.

Геометрические свойства эллипса, гиперболы и параболы.

4

 

Задачи: 444-514, 515-582, 583-625 [2].

 

5.2.

Поверхности второго порядка.

2

 

Задачи: 1172-1203 [2].

 

6.

ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

2

6.1.

Свойства аффинных преобразований

1

 

Задачи: 814-859 [3].

 

6.2.

Свойства изометрических преобразований.

1

 

Задачи: 803-813 [3].

 

7.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ.

4

7.1.

Гладкие и регулярные кривые: касательная к кривой, нормальная плоскость. Длина кривой. Кривизна и кручение кривой.

2

 

Задачи: № 17.18, 17.19, 17.33 – 17.35, 17/38 – 17.40, 18.1 – 18.5  [10]

 

7.2.

Гладкие и регулярные поверхности: касательная плоскость к поверхности, нормаль. Первая квадратичная форма поверхности.  Риманово пространство.

2

 

Задачи: №  5.1 – 5.3, 19.17 –19.19 [10]

 

8.

 ЭЛЕМЕНТЫ ТОПОЛОГИИ И РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ.

6

8.1.

Топологические пространства.  Открытые и замкнутые множества.  Операции над открытыми и замкнутыми множествами. Окрестности, предельные точки. Базы.  Критерий открытого множества. Внутренность множества. Замыкание множества. Граница.

2

 

Задачи: № 14.1 – 14. 16 [10]

 

8.2.

Первая и вторая аксиомы счетности.  Сепарабельные пространства.  Метрические пространства. Непрерывные отображения метрических и топологических пространств. Свойства.

2

 

Задачи: № : №  14.10 – 14. 13, 14.15, 14.49 – 14.51 [10]

 

8.3.

Связность, критерий связности. Свойства связных множеств. Компоненты связности.

Аксиомы отделимости.  Хаусдорфовы, регулярные,  нормальные пространства. Компактные пространства.

2

 

Задачи: № 14.11, 14.14,  14. 23 [10]

 


III. Программа экзамена.

1.    ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.
1.1.  Понятие вектора, линейные операции над векторами. Векторное
пространство. Примеры.
1.2.  Линейная зависимость и независимость векторов, коллинеарность,
       компланарность. Свойства линейной зависимости. Теорема о линейной
       зависимости.
1.3.  Базисы. Теорема о числе векторов в базисах конечномерного
       пространства. Размерность. Примеры.
1.4.  Координаты вектора, суммы векторов, произведения вектора на число.
       Однозначная определенность координат.
1.5 Скалярное произведение векторов, свойства. Евклидово векторное
       пространство. Неравенство Коши-Буняковского.
1.6.  Понятие об ориентации пространства. Векторное произведение, свойства
       (геометрический смысл, признак  коллинеарности векторов),
       антикоммутативность,  линейность).
1.7. Смешанное произведение. Ориентированный объем  параллелепипеда.
       Свойства.
1.8.  Скалярное произведение двух векторов и его выражение в прямоугольных
       координатах.
1.9. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей в
       ортонормированном базисе.
1.10. Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей.
 
2.    ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ.
2.1.  Аффинное пространство. Аффинная система координат. Прямая в аффинном
       пространстве.
2.2.  Прямая на плоскости, различные виды ее уравнений, переход от одного
       к другому. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
2.3.  Плоскость, различные виды ее уравнений: векторное параметрическое,
       координатные параметрические, общее уравнение, уравнение плоскости,
       проходящей через три неколлинеарные точки. Переход от одного уравнения
       к другому.
2.4.  Взаимное расположение двух плоскостей.
2.5.  Прямая в пространстве. Различные ее уравнения. Прямая как линия пересечения
двух плоскостей, нахождение направляющего вектора и начальной точки.
2.6.  Взаимное расположение прямой и плоскости.
2.7.  Взаимное расположение двух прямых.
2.8.  Уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку, ей не принадлежащую; через две параллельные прямые; через две пересекающиеся прямые.
2.9.  Прямая на евклидовой плоскости. Нормальный вектор. Расстояние от точки
       до прямой на плоскости.
2.10. Плоскость в евклидовом пространстве .Нормальный вектор плоскости.
       Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между двумя параллельными
       плоскостями.
2.11. Расстояние от точки до прямой в пространстве.
2.12. Расстояние между двумя прямыми в пространстве. 
 
3.    ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ.
3.1.  Плоская линия и ее уравнение. Уравнения поверхностей и линий в
       пространстве.  Алгебраические линии и поверхности.
3.2.  Каноническое уравнение эллипса. Свойства.
3.3.  Каноническое уравнение гиперболы. Свойства.
3.4.  Каноническое уравнение параболы. Свойства.
3.5. Поверхности вращения второго порядка. Цилиндрические поверхности
      второго порядка.
3.6. Сжатие пространства к плоскости. Канонические уравнения поверхностей
       второго порядка.
3.7. Эллипсоиды и их плоские сечения. Однополостный и двуполостный
       гиперболоиды и их плоские сечения. Эллиптический и гиперболический
       параболоиды и их плоские сечения.
3.8. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида и гиперболического
       параболоида.
 
4.    ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.
4.1.  Переход от одной системы координат к другой.
       Ортогональные матрицы как матрицы перехода от одной прямоугольной
       системы координат к другой прямоугольной системе координат.
4.2.  Преобразование плоскости. Примеры. Линейные отображения плоскостей,
       свойства.
4.3.  Аффинные преобразования, свойства.
4.4.  Изометрии (движения или ортогональные преобразования). Собственные и
       несобственные движения.
 

5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ.

5.1. Гладкие и регулярные кривые.                                                                                            5.2. Касательная к кривой, нормальная плоскость.                                                                        5.3. Длина кривой. Кривизна и кручение кривой.                                                                            5.4. Гладкие и регулярные поверхности.                                                                                      5.5. Касательная плоскость к поверхности, нормаль.                                                                    5.6. Первая квадратичная форма поверхности.

6.    ЭЛЕМЕНТЫ ТОПОЛОГИИ И РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ.

6.1.      Понятие топологического пространства. Открытые множества. Примеры топологических пространств.

6.2.Замкнутые множества. Операции над замкнутыми множествами.

6.3.Окрестность точки. Критерий открытого множества.

6.4.Предельная точка множества. Критерий замкнутого множества.

6.5.Определение базы топологии. Критерий базы. Предбаза топологии. Примеры.

6.6.Подпространство. Индуцированная топология.

6.7.Метрические пространства. Метрическая топология.

6.8.Замыкание множества. Структура замыкания.

6.9.Граничные точки множества. Свойства.

6.10.        Непрерывные отображения топологических пространств. Свойства.

6.11.        Гомеоморфизмы. Открытые и замкнутые отображения.

6.12.        Определение отделимых множеств. Определение связного топологического пространства. Критерий связности.

6.13.        Свойства связных пространств. Компоненты связности.

6.14.        Определение сепарабельного пространства. Вторая аксиома счетности.

6.15.        Сепарабельные метрические пространства. Первая аксиома счетности.

6.16.        Аксиомы отделимости. Свойства T1-пространств.

6.17.        Подпространства хаусдорфова пространства.

6.18.        Определение покрытия. Определение компактного топологического пространства. Примеры.

6.19.        Компактные подпространства хаусдорфова пространства.

6.20.        Предельные точки бесконечного множества компактного пространства.

6.21.        Нормальность компактного хаусдорфова пространства.

6.22.        Непрерывные отображения компактных пространств.

6.23.        Прямое произведение топологических пространств.

 



IV. Учебно-методическое обеспечение.
Лекции и практические занятия в основном рассчитаны на применение учебных пособий [1-11], методических рекомендаций [1-3], и электронных методических рекомендаций [1].
Наш вариант изложения дисциплины имеет своей целью удобство ее приложений в других дисциплинах курса обучения. Другие варианты изложения и дополнительные результаты могут быть получены студентами из книг, приведенных в списке литературы.

 

На лекциях обсуждаются решения всех задач, включаемых в контрольные работы и экзаменационные билеты.
В течение семестра на практических занятиях проводится 3 контрольные работы. Расчетная продолжительность каждой контрольной работы не превышает 2 часа. Задания для контрольных работ (без разбиения на варианты) содержатся в электронных методических указаниях [1] и также доступны студентам без ограничений.

V. ЛИТЕРАТУРА.
V.1. ЛИТЕРАТУРА.

1. Моденов М.П., Пархоменко П.С. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1978, 332 с.
2. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1987, 254 с.
3. Бахвалов С.В., Моденов М.П., Пархоменко П.С. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1964, 332 с.
4. Александров П.С. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1967, 588 с.
5. Постников М.М. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1987.
6. Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Изд-во МГУ, 1990, 328 с.

7. Борисович Ю.Г. и др. Введение в топологию. - М.: Наука, 1995.
8. Постников М. М. Гладкие многообразия. М.: Наука. 1987.
9. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1986.
10. Мищенко А.С., Соловьев Ю. П., Фоменко А.Т. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
11. Бодренко А.И., Бодренко И.И. Общая топология. Учебно-методическое пособие. 2007 г. Волгоград. Издательство Волгу.



V.2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

1. Бодренко И.И. "Аналитическая геометрия. Сборник задач. Ч.1". 1998 г. 36 с.
2. Фонд контрольных заданий по курсу "Геометрия и топология". (Электронные методические указания. Составитель -- Бодренко И.И.)

3. Программа экзамена по курсу "Геометрия и топология". (Электронные методические указания. Составитель -- Бодренко И.И.)


 


Программа учебной дисциплины утверждена сроком на 4 года

на заседании кафедры  фундаментальной информатики и оптимального управления
                                      2008 г., протокол N 1. 

Заведующий кафедрой ______________________ А.А. Ворони

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ ДЛЯ СТУДЕНТОВ

            В курсе «Геометрия и топология» изучаются основные понятия аналитической геометрии, дифференциальной геометрии и топологии.        Аналитическая геометрия является одним из разделов геометрии. Основные понятия аналитической геометрии – точки, прямые, плоскости, линии и поверхности второго порядка. В аналитической геометрии основными средствами исследования простейших геометрических образов служат метод координат и методы элементарной алгебры. Методы аналитической геометрии широко применяются в различных разделах математики, механики, физики и других науках.

            Пусть на плоскости с данной декартовой прямоугольной системой координат OXY задана некоторая линия L. С помощью понятия координат точек на плоскости вводится понятие уравнения линии L как соотношения F (x, y) = 0, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты каждой точки, не лежащей на этой линии.

            В аналитической геометрии на плоскости систематически изучаются свойства алгебраических линий первого и второго порядков. Выясняется, что на плоскости алгебраическими линиями первого порядка, т.е. линиями, определенными уравнениями вида Ax+By+C = 0,  являются прямые и только они. Линии второго порядка на плоскости определяются уравнениями вида Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F = 0. Основной метод исследования и классификации этих линий заключается в подборе такой декартовой прямоугольной системы координат, в которой уравнении данной линии имеет наиболее простой, т.е. канонический вид, и в последующем исследовании этого канонического уравнения. В аналитической геометрии на плоскости подробно изучаются геометрические свойства эллипса, гиперболы и параболы.

            В аналитической геометрии в пространстве исследуются алгебраические поверхности первого и второго порядков. Алгебраическими поверхностями первого порядка являются плоскости и только они. В аналитической геометрии в пространстве вводятся декартова прямоугольная система координат OXYZ.  Каждая плоскость определяется алгебраическим уравнением первой степени Ax+By+Cz+D = 0. Поверхности второго порядка определяются уравнениями вида Ax2+By2+Cz2+2Dxy+2Exz+2Fyz +2Gx+2Hy+2Mz+N = 0. Основной метод изучения и классификации этих поверхностей состоит в подборе такой декартовой прямоугольной системы координат, в которой уравнение поверхности имеет наиболее простой вид, и в дальнейшем исследовании этого канонического уравнения.

            В аналитической геометрии изучаются свойства аффинных преобразований. При аффинных преобразованиях плоскости каждая прямая переходит в прямую, пересекающиеся прямые аффинное преобразование переводит в пересекающиеся, параллельные – в параллельные. Аффинные преобразования пространства переводят плоскости в плоскости, прямые в прямые; при этом, пересекающиеся плоскости переходят в пересекающиеся, параллельные – в параллельные. Сохраняется взаимное расположение двух прямых в пространстве: параллельные прямые переходят в параллельные, пересекающиеся – в пересекающиеся, скрещивающиеся – в скрещивающиеся.  При аффинном преобразовании множество векторов плоскости (пространства) взаимно однозначно отображается на множество векторов плоскости (пространства) и это преобразование является линейным. 

            Под “фигурой” в топологии понимается любое множество точек, в котором задано отношение близости между точками и некоторыми подмножествами, удовлетворяющее определенным аксиомам. Такие фигуры называются топологическими пространствами. Главной задачей топологии является выделение и изучение топологических свойств пространств, или топологических инвариантов. К числу важнейших топологических инвариантов относятся связность, компактность, размерность и др. 

            Понятия геометрии и топологии и аналитические методы исследования пронизывают все фундаментальные общематематические курсы, являясь базисом, без привлечения которого немыслимо изложение любого математического курса. Методы геометрии и топологии  непосредственно и опосредованно проникли во многие разделы математического естествознания: математическую экономику, математическую экологию, и приобрели универсальное значение.
           

2.1.  Советы по планированию и организации времени, необходимого для изучения дисциплины.

При изучении дисциплины «Геометрия и топология» необходимо работать с теоретическим материалом, излагаемым на лекциях, решать задачи на практических занятиях, систематически и последовательно на протяжении всего семестра.  Планирование и организация времени, необходимого для изучения дисциплины «Геометрия и топология», должны проводиться в соответствии со следующими установленными объемом и видами учебной работы.

Объем дисциплины и виды учебной работы.

N п/п

Вид учебной работы

Всего часов

1.

Аудиторные занятия (всего)

68

1.1

Лекции

34

1.2.

Практические занятия

34

2.

Самостоятельная работа (всего)

72

3.

Общая трудоемкость дисциплины

140

4.

Вид итогового контроля

Экзамен

 

2.2. Описание последовательности действия студента при  изучении дисциплины.

Изучение дисциплины «Геометрия и топология» проводится в соответствии со следующим тематическим планом.

            Тематический план изучения дисциплины «Геометрия и топология».

Номер темы

Тематика лекций и практических занятий

Лекции (часов)

Практические  занятия (часов)

 

 

 

 

1.

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.

8

8

2.

ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ.

8

8

3.

ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ.

6

6

4.

ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.

2

2

5.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ.

4

4

6.

ЭЛЕМЕНТЫ ТОПОЛОГИИ И РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ.

6

6

 

Всего часов

34

34

 

            После изучения теоретических вопросов по теме каждой лекции и решения задач  необходимо определить наиболее трудные для понимания вопросы и нерешенные задачи. В случае если ответы на вопросы не удается получить самостоятельно, целесообразно проконсультироваться с преподавателем.


2. 3.  Рекомендации по использованию материалов учебно-методического комплекса и по работе с литературой.

 

               Лекции и практические занятия в основном рассчитаны на применение учебных пособий [1-11], методических рекомендаций [1-3], и электронных методических рекомендаций [1]. Наш вариант изложения дисциплины имеет своей целью удобство ее приложений в других дисциплинах курса обучения. Другие варианты изложения и дополнительные результаты могут быть получены студентами из книг, приведенных в списке литературы.  На лекциях обсуждаются решения всех задач, включаемых в контрольные работы и экзаменационные билеты.  В течение семестра на занятиях проводятся 3 контрольные работы. Расчетная продолжительность каждой контрольной работы не превышает 2 часа. Задания для контрольных работ (без разбиения на варианты) содержатся в электронных методических указаниях [1] и также доступны студентам без ограничений.
               Материалы учебно-методического комплекса целесообразно использовать в течение всего периода изучения дисциплины. Изучение теоретических вопросов, излагаемых на лекциях, необходимо сопровождать изучением соответствующих разделов в предлагаемой литературе. Необходимый минимум теоретического материала и типовые задачи по изучаемым в дисциплине «Геометрия и топология» вопросам содержатся в следующих учебниках и сборниках задач. 

 

1. Моденов М.П., Пархоменко П.С. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1978, 332 с.
2. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1987, 254 с.
3. Бахвалов С.В., Моденов М.П., Пархоменко П.С. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1964, 332 с.
4. Александров П.С. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1967, 588 с.
5. Постников М.М. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1987.
6. Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Изд-во МГУ, 1990, 328 с.

7. Борисович Ю.Г. и др. Введение в топологию. - М.: Наука, 1995.
8. Постников М. М. Гладкие многообразия. М.: Наука. 1987.
9. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1986.
10. Мищенко А.С., Соловьев Ю. П., Фоменко А.Т. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
11. Бодренко А.И., Бодренко И.И. Общая топология. Учебно-методическое пособие. 2007 г. Волгоград. Издательство Волгу.

 

               При подготовке к контрольным работам и экзамену целесообразно также использовать  следующие  учебно-методические материалы.

 

1. Фонд контрольных заданий по курсу "Геометрия и топология". (Электронные методические указания. Составитель -- Бодренко И.И.).

2. Бодренко И.И. "Аналитическая геометрия. Сборник задач. Ч.1". 1998 г. 36 с.
3. Программа экзамена по курсу "Геометрия и топология". (Электронные методические указания. Составитель -- Бодренко И.И.).

 


2. 4.  Советы по подготовке к экзамену  и разъяснения по поводу работы с тестовой системой курса, по выполнению домашних заданий.

 

В течение семестра на занятиях проводятся 3 контрольные работы. Расчетная продолжительность каждой контрольной работы не превышает 2 часа. Задания для контрольных работ (без разбиения на варианты) содержатся в электронных методических указаниях [1] и также доступны студентам без ограничений.
Выполнение каждой письменной контрольной работы оценивается от 0 до 12 баллов. Выполнение студентом заданий на каждом практическом занятии оценивается от 0 до 2 баллов.  Домашние задания следует выполнять в наиболее полном объеме и в срок.

            Рейтинговая оценка работы студента в семестре равна сумме баллов за 3 контрольные работы и практические занятия, и может достичь 72 баллов. Студент, набравший в результате текущего семестрового контроля менее 20 баллов, к экзамену  не допускается; ему выставляется итоговая пятибалльная оценка "неудовлетворительно".

Экзамен  по дисциплине проводится в письменном виде. Экзаменационный билет содержит 5 пунктов, содержащих как теоретические вопросы, так и задачи. Ответ студента на каждый пункт билета оценивается от 0 до 8 баллов.

Сложные разделы дисциплины должны быть тщательно проработаны и при необходимости вынесены на предэкзаменационную консультацию.

Итоговая рейтинговая оценка знаний студента равна сумме баллов, полученных в течение семестра за выполнение контрольных работ, и до 40 баллов, полученных за письменную экзаменационную работу в конце семестра (но не более 100 баллов).

Итоговая пятибалльная оценка по дисциплине определяется в соответствии со следующей схемой: если количество баллов не меньше 91, то выставляется оценка "отлично", иначе, если количество баллов не меньше 71, то выставляется оценка "хорошо", иначе, если количество баллов не меньше 60, то выставляется оценка "удовлетворительно".

В семестре студенты сдают экзамен.

 

3. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ

3.1. ЛЕКЦИИ

ТЕМА 1.  ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.

            Лекция 1. Векторы, свободный вектор. Линейные операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Векторное пространство. Примеры. Линейная зависимость и независимость векторов. Геометрический смысл линейной зависимости: коллинеарные векторы, компланарные векторы. Свойства линейной зависимости. Теорема о линейной зависимости.

            Лекция 2. Базисы. Теорема о числе векторов в базисах конечномерного пространства. Размерность. Примеры.  Координаты вектора, однозначная определенность координат вектора в данном базисе.  Координаты суммы векторов и произведения вектора на число. 

            Лекция 3. Длина вектора и угол между векторами. Скалярное произведение векторов, свойства. Евклидово векторное пространство. Неравенство Коши-Буняковского. Ортогональные векторы. Ортонормированные базисы.  Понятие об ориентации пространства. Правые и левые тройки векторов. Векторное произведение векторов, свойства (геометрический смысл векторного произведения, признак коллинеарности векторов, антикоммутативность векторного произведения, линейность).

            Лекция 4. Смешанное произведение векторов. Ориентированный объем параллелепипеда. Свойства смешанного произведения векторов (геометрический смысл смешанного произведения, однородность, признак компланарности трех векторов, линейность смешанного произведения).  Декартовы прямоугольные координаты.  Выражение скалярного произведения векторов через координаты сомножителей в ортонормированном базисе. Вычисление длины вектора и угла между векторами.  Выражение векторного произведения векторов через координаты сомножителей в ортонормированном базисе. Выражение смешанного произведения векторов через координаты сомножителей в ортонормированном базисе. 

ТЕМА 2. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ.

            Лекция 5. Прямая в аффинном пространстве, параметрические уравнения прямой. Прямая на плоскости, различные виды ее уравнений (каноническое уравнение прямой на плоскости, общее уравнение прямой на плоскости, уравнение прямой с угловым коэффициентом, уравнение прямой, проходящей через две точки, уравнение прямой «в отрезках»), переход от одного вида уравнения прямой к другому. Неполные уравнения прямой.  Прямая на евклидовой плоскости. Нормальный вектор прямой. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Расстояние между параллельными прямыми. Угол между прямыми. Условие перпендикулярности двух прямых. Разделение плоскости прямой.

            Лекция 6. Плоскость, различные виды ее уравнений(параметрические уравнения плоскости, общее уравнение плоскости, уравнение плоскости, проходящей через три неколлинеарные точки, уравнение плоскости «в отрезках»). Переход от одного вида уравнения плоскости к другому. Неполные уравнения плоскости. Плоскость в евклидовом пространстве. Нормальный вектор плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между двумя параллельными плоскостями.

            Лекция 7. Прямая в пространстве. Различные виды ее уравнений (параметрические уравнения, канонические уравнения прямой в пространстве). Прямая как линия пересечения двух плоскостей, нахождение направляющего вектора прямой и начальной точки. Уравнения плоскости: проходящей через прямую и точку, ей не принадлежащую; через две параллельные прямые; через две пересекающиеся прямые. Угол между плоскостями. Условие перпендикулярности двух плоскостей. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Условие перпендикулярности прямой и плоскости. 

            Лекция 8.  Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между прямыми в пространстве. Разделение пространства плоскостью. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Расстояние между двумя прямыми в пространстве.

ТЕМА 3. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ.

            Лекция 9. Плоская линия и ее уравнение. Уравнения поверхностей и линий в пространстве. Алгебраические линии и поверхности. Парабола. Каноническое уравнение параболы. Директориальное и оптическое свойства параболы. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса. Фокальное, директориальное и оптическое свойства эллипса. Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы. Фокальное, директориальное и и оптическое свойства гиперболы. Классификация линий второго порядка.

            Лекция 10. Поверхности вращения второго порядка. Сжатие пространства к плоскости. Эллипсоиды и их плоские сечения.  Однополостный и двуполостный гиперболоиды и их плоские сечения. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида.

            Лекция 11. Эллиптический и гиперболический параболоиды и их плоские сечения. Свойства прямолинейных образующих гиперболического параболоида.  Цилиндрические поверхности второго порядка. Конические поверхности второго порядка. Формулировка теоремы классификации поверхностей второго порядка.

ТЕМА 4. ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.

            Лекция 12. Переход от одной системы координат к другой. Ортогональные матрицы. Формулы преобразования координат векторов. Линейные отображения плоскостей. Примеры. Выражение линейного отображения в координатах. Свойства линейных отображений плоскостей.  Аффинные преобразования плоскости. Примеры. Свойства.  Ортогональные преобразования. Движения плоскости. Собственные и несобственные движения.

ТЕМА 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ. 

Лекция 13. Гладкие и регулярные кривые: касательная к кривой, нормальная плоскость. Длина кривой. Кривизна и кручение кривой.

Лекция 14. Гладкие и регулярные поверхности: касательная плоскость к поверхности, нормаль. Первая квадратичная форма поверхности.  Понятие риманова пространства.

 

ТЕМА 6.  ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ.

            Лекция 15. Топологические пространства.  Открытые и замкнутые множества.  Операции над открытыми и замкнутыми множествами. Окрестности, предельные точки. Базы.  Критерий открытого множества. Внутренность множества. Замыкание множества. Граница. Индуцированная топология.

            Лекция 16. Первая и вторая аксиомы счетности.  Сепарабельные пространства.  Метрические пространства. Непрерывные отображения метрических и топологических пространств. Свойства. Прямое произведение топологических пространств.

            Лекция 17. Связность, критерий связности. Свойства связных множеств. Компоненты связности. Аксиомы отделимости.  Хаусдорфовы, регулярные,  нормальные пространства. Компактные пространства.

 

3. 2. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ


ТЕМА 1.  ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.

  1. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости. Преобразование координат. Полярные координаты. Задачи: № 26 – 85 [2].
  2. Деление отрезка в данном отношении. Площадь треугольника. Задачи № 86 – 126 [2].
  3. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве. Расстояние между точками. Деление отрезка в данном отношении. Задачи: № 719 – 747 [2].
  4. Векторы, свободный вектор. Линейные операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Задачи:  № 748 – 775 [2].
  5. Линейная зависимость и независимость векторов. Геометрический смысл линейной зависимости: коллинеарные векторы, компланарные векторы. Свойства линейной зависимости. Базисы. Задачи: № 776 – 794 [2].
  6.  Длина вектора и угол между векторами. Скалярное произведение векторов. Задачи: № 795 – 838 [2].
  7. Векторное произведение векторов.  Задачи: № 839 – 864 [2].
  8. Смешанное произведение векторов. Задачи: № 885 – 878 [2].

 

ТЕМА 2. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ.

  1. Прямая на плоскости, различные виды ее уравнений (каноническое уравнение прямой на плоскости, общее уравнение прямой на плоскости, уравнение прямой с угловым коэффициентом, уравнение прямой, проходящей через две точки, уравнение прямой «в отрезках»), переход от одного вида уравнения прямой к другому. Неполные уравнения прямой. Задачи: № 210 – 221, 285 – 308 [2].
  2. Прямая на евклидовой плоскости. Нормальный вектор прямой. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Угол между прямыми. Условие перпендикулярности двух прямых. Задачи: № 222 – 284 [2].
  3. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Расстояние между параллельными прямыми. Разделение плоскости прямой. Задачи: № 309 – 352 [2].
  4. Плоскость, различные виды ее уравнений (параметрические уравнения плоскости, общее уравнение плоскости, уравнение плоскости, проходящей через три неколлинеарные точки, уравнение плоскости «в отрезках»). Переход от одного вида уравнения плоскости к другому. Неполные уравнения плоскости. Задачи: № 940 – 952 [2].
  5. Плоскость в евклидовом пространстве. Нормальный вектор плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей.
  6. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между двумя параллельными плоскостями. Задачи: № 956 – 973 [2].
  7. Прямая в пространстве. Различные виды ее уравнений (параметрические уравнения, канонические уравнения прямой в пространстве). Прямая как линия пересечения двух плоскостей, нахождение направляющего вектора прямой и начальной точки. Уравнения плоскости: проходящей через прямую и точку, ей не принадлежащую; через две параллельные прямые; через две пересекающиеся прямые. Задачи: № 982 – 1006, 1007 - 1021 [2].
  8. Угол между плоскостями. Условие перпендикулярности двух плоскостей. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Условие перпендикулярности прямой и плоскости. Задачи: № 982 – 1006, 1007 - 1021 [2].
  9. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Разделение пространства плоскостью.             Задачи: № 974 – 981, 1026 – 1029, 1007 - 1021 [2].
  10. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Расстояние между двумя прямыми в пространстве. Уравнения общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых в пространстве. Задачи: № 1029 – 1031, 1062 – 1064, 1083 [2].

ТЕМА 3. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ.

  1. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса. Фокальное, директориальное и оптическое свойства эллипса. Задачи: № 444 – 503 [2].
  2.  Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы. Фокальное, директориальное и оптическое свойства гиперболы. Задачи: № 515 – 573 [2].
  3. Парабола. Каноническое уравнение параболы. Директориальное и оптическое свойства параболы. Задачи: № 583 – 627 [2].
  4. Эллипсоиды и их плоские сечения.  Однополостный и двуполостный гиперболоиды и их плоские сечения. Эллиптический и гиперболический параболоиды и их плоские сечения. Задачи: № 1154 – 1180 [2].
  5.  Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида. Свойства прямолинейных образующих гиперболического параболоида. Задачи: № 1181 – 1185 [2].
  6. Цилиндрические поверхности второго порядка. Конические поверхности второго порядка. Задачи: № 1186 – 1203 [2].

ТЕМА 4. ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.

  1. Линейные отображения плоскостей. Примеры. Выражение линейного отображения в координатах. Свойства линейных отображений плоскостей. Задачи: № 127 – 141 [2].
  2. Аффинные преобразования плоскости. Свойства. № 12.37 – 12.62 [3].
  3.  Ортогональные преобразования. Движения плоскости. Собственные и несобственные движения. Задачи:  № 12.63 – 12.89 [3].

ТЕМА 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ.

  1.  Гладкие и регулярные кривые: касательная к кривой, нормальная плоскость. Длина кривой. Кривизна и кручение кривой. Задачи: № 17.18, 17.19, 17.33 – 17.35, 17/38 – 17.40, 18.1 – 18.5  [10]
  2.  Гладкие и регулярные поверхности: касательная плоскость к поверхности, нормаль. Первая квадратичная форма поверхности.  Задачи: №  5.1 – 5.3, 19.17 – 19.19, [10]

 

ТЕМА 6.  ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ.

  1. Топологические пространства.  Открытые и замкнутые множества.  Операции над открытыми и замкнутыми множествами. Задачи: № 14.9 – 14.6,  [10]
  2. Окрестности, предельные точки. Базы.  Критерий открытого множества. Внутренность множества. Замыкание множества. Граница. Индуцированная топология. Задачи: № 14.1 – 14.6  [10].
  3. Первая и вторая аксиомы счетности.  Сепарабельные пространства.  Метрические пространства. Непрерывные отображения метрических и топологических пространств. Свойства. Прямое произведение топологических пространств. Задачи: № 14.11, 14.14,  14.23 [10].
  4. Связность, критерий связности. Свойства связных множеств. Компоненты связности. Аксиомы отделимости.  Хаусдорфовы, регулярные,  нормальные пространства. Компактные пространства. Задачи: №  14.10 – 14. 13, 14.15, 14.49 – 14.51  [10].

            3.3. Методические указания для преподавателей, ведущих практические занятия.

           

            Практические  занятия необходимо проводить в строгом соответствии с планом, уделять должное внимание текущему контролю знаний студентов; контрольные работы проводить в запланированные сроки, представлять необходимую отчетность по модулям рабочей программы. Особое внимание уделять наиболее трудным для понимания вопросам, контролировать выполнение домашних заданий.

 

                                    4.  СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ

 

Аксиомы отделимости

Аксиомы счетности

Аксиомы топологического пространства

Аффинная система координат                    – см. [5], т. 1, с. 358

Аффинное пространство                             – см. [5], т. 1, с. 362

 

База топологии

Базис                                                               – см. [5], т. 1, с. 633

ортонормированный                                                – см. [1], т. 1, с. 633

 

Вектор геометрический                               – см. [5], т. 1, с. 632

-         свободный                                         – см. [5], т. 1, с. 632                                      

-         нормали к поверхности

Векторное пространство                              – см. [5], т. 1, с. 633, с. 642

Векторы коллинеарные                               – см. [5], т. 1, с. 632

компланарные                                         – см. [5], т. 1, с. 632

, линейная комбинация                          – см. [5], т. 1, с. 633

линейно зависимые                                – см. [5], т. 1, с. 633

линейно независимые                            – см. [5], т. 1, с. 633

ортогональные                                        – см. [5], т. 1, с. 634

равные                                                      – см. [5], т. 1, с. 632

Внутренность множества

Внутренняя точка

Вписанное покрытие

Вторая аксиома счетности

 

Гиперболическая точка       

Гипербола                                                      – см. [5], т. 1, с. 987

Гиперболоид двуполостный                       – см. [5], т. 1, с. 1000

-         однополостный                                 – см. [5], т. 1, с. 1000

Гладкая кривая

Граница множества

Граничная точка

 

 

Движение                                                      – см. [5], т. 2, с. 20

Декартовы прямоугольные координаты    – см. [5], т. 1, с. 634

Диаметр                                                         – см. [5], т. 2, с. 127

Длина дуги

- кривой

 

Замена параметра

Замкнутое множество

Замыкание

 

Индуцированная топология

 

 

Касательная плоскость

Касательный вектор кривой

            - поверхности в точке

Квадратичная форма поверхности вторая

            - первая

Кривая гладкая

            -регулярная

Кривизна кривой

Компактное топологическое пространство

Компонента связности

Конические сечения                                                 – см. [5], т. 2, с. 1034

Конус действительный                                – см. [5], т. 4, с. 344

-         мнимый                                              – см. [5], т. 4, с. 344

Координаты вектора                                    – см. [5], т. 1, с. 633

Косинусы направляющие                            – см. [5], т. 1, с. 634

Кручение кривой

 

Линейные операции над векторами           – см. [5], т. 1, с. 632

-         , сумма векторов                               – см. [5], т. 1, с. 632

-         , произведение вектора на число    – см. [5], т. 1, с. 633

Линия второго порядка                                – см. [5], т. 3, с. 387

-         , инварианты                                     – см. [5], т. 3, с. 388

-         нецентральная                                   – см. [5], т. 3, с. 388

-         центральная                                       – см. [5], т. 3, с. 388

 

Метрика

Метрическое пространство

Модуль вектора                                             – см. [5], т. 1, с. 632

 

Натуральный параметр

Непрерывность в точке

Нормаль к кривой

Нормальная плоскость кривой

Нормальное пространство

 

Отделенные множества

Открытое множество

Открытое покрытие

Отображение замкнутое

- непрерывное

- открытое

 

 

Парабола                                                        – см. [5], т. 4, с. 191                          

Параболическая точка

Параболоид                                                   – см. [5], т. 4, с. 201

-         гиперболический                              – см. [5], т. 1, с. 992

-         эллиптический                                  – см. [5], т. 5 с. 993

Плоскость                                                      – см. [5], т. 4, с. 318

-         , нормальный вектор                        – см. [5], т. 4, с. 319

Поверхность второго порядка                     – см. [5], т. 4, с. 343

-         центральная                                       – см. [5], т. 4, с. 344

-         нецентральная                                   – см. [5], т. 4, с. 344

-          

Подмножество всюду плотное

- связное

Предельная точка множества

Прямое произведение

Преобразование аффинное                          – см. [5], т. 1, с. 361

-         линейное                                            – см. [5], т. 3, с. 350

-         ортогональное                                   – см. [5], т. 4, с. 87    

 

Произведение векторное                             – см. [5], т. 1, с. 635, с. 642

-         двойное векторное                           – см. [5], т. 4, с. 635

-         скалярное векторов                          – см. [5], т. 1, с. 634

-         смешанное векторов                         – см. [5], т. 1, с. 635

Прямая                                                           – см. [5], т. 4, с. 722

-         , нормальный вектор                        – см. [5], т. 4, с. 722

 

Радиус кривизны

Регулярное пространство

 

 

Связное множество

Сепарабельное пространство

Счетная база

 

Тензорное поле        

Топология

Топологическое

            -многообразие

- пространство

Точка распрямления

Тройка векторов правая                               – см. [5], т. 1, с. 634

-         левая                                                   – см. [5], т. 1, с. 634

 

Угол между векторами                                 – см. [5], т. 1, с. 634

-  кривыми

Уравнения линий второго порядка            – см. [5], т. 3, с. 387

-         поверхностей второго порядка       – см. [5], т. 4, с. 343   

 

Хаусдорфово пространство

 

Центр             линии                                                             – см. [5], т. 3, с. 388

Цилиндр                                                        – см. [5], т. 4, с. 344

-         гиперболический                              – см. [5], т. 1, с. 992

-         параболический                                – см. [5], т. 4, с. 195

-         эллиптический                                  – см. [5], т. 5, с. 993

 

Эллипс                                                           – см. [5], т. 5, с. 977

Эллипсоид                                                     – см. [5], т. 5, с. 978

-         мнимый                                              – см. [5], т. 5, с. 978

 

Эллиптическая точка

 

 

ЛИТЕРАТУРА

 

            [1] Постников М.М.  Лекции по геометрии. Семестр I. Аналитическая геометрия.: Учебн. пособие для вузов. 2-е издание.,  М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1986. - 416 с.           [2] Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1987, 254 с.

            [3] Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. Учебн. пособие.  М.: ФИЗМАТЛИТ. 2001. 496 с.

            [4] Бахвалов С.В., Моденов М.П., Пархоменко П.С. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. Лит. 1964.  440 с.

            [5] Математическая энциклопедия. Т. 1 – 5.  М. Издательство «Советская энциклопедия» 1977 – 1985. Т. 1 – 5.

[6] Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Изд-во МГУ, 1990, 328 с.

[7] Борисович Ю.Г. и др. Введение в топологию. - М.: Наука, 1995.

[8] Постников М. М. Гладкие многообразия. М.: Наука. 1987.
[9] Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.:

Наука, 1986.

[10] Мищенко А.С., Соловьев Ю. П., Фоменко А.Т. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

[11] Бодренко А.И., Бодренко И.И. Общая топология. Учебно-методическое пособие. 2007 г. Волгоград. Издательство Волгу.

 

 

 

 

  1. ФОРМЫ ТЕКУЩЕГО,  ПРОМЕЖУТОЧНОГО, РУБЕЖНОГО И ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ

 

 

 

5.1.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО КАЖДОЙ ТЕМЕ

 

                                              ТЕМА 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.
 
               1.1.  Понятие вектора, линейные операции над векторами. Векторное пространство. Примеры.
               1.2.  Линейная зависимость и независимость векторов, коллинеарность,      компланарность. Свойства линейной зависимости. Теорема о линейной зависимости.
               1.3.  Базисы. Теорема о числе векторов в базисах конечномерного     пространства. Размерность. Примеры.
               1.4.  Координаты вектора, суммы векторов, произведения вектора на число Однозначная определенность координат.
               1.5.  Полярно-сферические и полярно-цилиндрические системы координат.
               1.6.  Скалярное произведение векторов, свойства. Евклидово векторное  пространство. Неравенство Коши-Буняковского.
               1.7.  Понятие об ориентации пространства. Векторное произведение, свойства. (геометрический смысл, признак  коллинеарности векторов, антикоммутативность,  линейность).
               1.8. Смешанное произведение. Ориентированный объем  параллелепипеда. Свойства.
               1.9.  Скалярное произведение двух векторов и его выражение в прямоугольных       координатах.
               1.10. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей в       ортонормированном базисе.
               1.11. Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей.
 
                                              ТЕМА 2.  ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ.
 
               2.1.  Аффинное пространство. Аффинная система координат. Прямая в аффинном пространстве.
               2.2.  Прямая на плоскости, различные виды ее уравнений, переход от одного       к другому. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
               2.3.  Плоскость, различные виды ее уравнений: векторное параметрическое;       координатные параметрические; общее уравнение плоскости; уравнение плоскости,  проходящей через три неколлинеарные точки. Переход от одного вида уравнения  к другому.
               2.4.  Взаимное расположение двух плоскостей.
               2.5.  Прямая в пространстве. Различные ее уравнения. Прямая как линия пересечения двух плоскостей, нахождение направляющего вектора и начальной точки.
               2.6.  Взаимное расположение прямой и плоскости.
               2.7.  Взаимное расположение двух прямых.
               2.8.  Уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку, ей не       принадлежащую; через две параллельные прямые; через две пересекающиеся прямые.
               2.9.  Прямая на евклидовой плоскости. Нормальный вектор. Расстояние от точки до прямой на плоскости.
               2.10. Плоскость в евклидовом пространстве. Нормальный вектор плоскости.       Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между двумя параллельными       плоскостями.
               2.11. Расстояние от точки до прямой в пространстве.
               2.12. Расстояние между двумя прямыми в пространстве.
 
                                              ТЕМА 3. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ.
 
               3.1.  Плоская линия и ее уравнение. Уравнения поверхностей и линий в       пространстве. Вывод уравнения поверхности вращения. Алгебраические линии и поверхности.
               3.2.  Каноническое уравнение эллипса. Свойства.
               3.3.  Каноническое уравнение гиперболы. Свойства.
               3.4.  Каноническое уравнение параболы. Свойства.
               3.5. Поверхности вращения второго порядка. Цилиндрические поверхности      второго порядка.
               3.6. Сжатие пространства к плоскости. Канонические уравнения поверхностей       второго порядка.
               3.7. Эллипсоиды и их плоские сечения. Однополостный и двуполостный   гиперболоиды и их плоские сечения. Эллиптический и гиперболический  параболоиды и их плоские сечения.
               3.8. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида.
 
                               ТЕМА 4. ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.
 
               4.1.  Переход от одной системы координат к другой. Ортогональные матрицы как матрицы перехода от одной прямоугольной  системы координат к другой прямоугольной системе координат.
               4.2.  Преобразование плоскости. Примеры. Линейные отображения плоскостей,       свойства.
               4.3.  Аффинные преобразования, свойства.
               4.4.  Изометрии (движения или ортогональные преобразования). Собственные и       несобственные движения.
 
                               

5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ.

5.1. Гладкие и регулярные кривые.                                                                                            

5.2. Касательная к кривой, нормальная плоскость.                                                                       

5.3. Длина кривой. Кривизна и кручение кривой.                                                                          

 5.4. Гладкие и регулярные поверхности.                                                                                     

5.5. Касательная плоскость к поверхности, нормаль.                                                                    

5.6. Первая квадратичная форма поверхности.

6.    ЭЛЕМЕНТЫ ТОПОЛОГИИ И РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ.

6.1.      Понятие топологического пространства. Открытые множества. Примеры топологических пространств.

            6.2. Замкнутые множества. Операции над замкнутыми множествами.

 

6.3.Окрестность точки. Критерий открытого множества.

6.4.Предельная точка множества. Критерий замкнутого множества.

6.5.Определение базы топологии. Критерий базы. Предбаза топологии. Примеры.

6.6.Подпространство. Индуцированная топология.

6.7.Метрические пространства. Метрическая топология.

6.8.Замыкание множества. Структура замыкания.

6.9.Граничные точки множества. Свойства.

6.10.        Непрерывные отображения топологических пространств. Свойства.

6.11.        Гомеоморфизмы. Открытые и замкнутые отображения.

6.12.        Определение отделимых множеств. Определение связного топологического пространства. Критерий связности.

6.13.        Свойства связных пространств. Компоненты связности.

6.14.        Определение сепарабельного пространства. Вторая аксиома счетности.

6.15.        Сепарабельные метрические пространства. Первая аксиома счетности.

6.16.        Аксиомы отделимости. Свойства T1-пространств.

6.17.        Подпространства хаусдорфова пространства.

6.18.        Определение покрытия. Определение компактного топологического пространства. Примеры.

6.19.        Компактные подпространства хаусдорфова пространства.

6.20.        Предельные точки бесконечного множества компактного пространства.

6.21.        Нормальность компактного хаусдорфова пространства.

6.22.        Непрерывные отображения компактных пространств.

6.23.        Прямое произведение топологических пространств.

 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.      БАЛЛЬНО-РЕЙТИНГОВАЯ СИСТЕМА ОЦЕНКИ УСПЕВАЕМОСТИ СТУДЕНТОВ



Методика формирования результирующей оценки опирается на Положение о балльно-рейтинговой системе оценки успеваемости студентов ВолГУ. Контроль текущей работы студентов в семестре осуществляется по результатам выполнения ими в течение семестра трех контрольных работ и текущей аттестации.

Выполнение каждой письменной контрольной работы оценивается от 0 до 12 баллов. Выполнение студентом заданий на каждом практическом занятии оценивается от 0 до 2 баллов. 

Рейтинговая оценка работы студента в каждом семестре равна сумме баллов за 3 контрольные работы и практические занятия, и может достичь 72 баллов. Студент, набравший в результате текущего семестрового контроля менее 20 баллов, к экзамену  не допускается; ему выставляется итоговая пятибалльная оценка "неудовлетворительно".

Экзамен  по дисциплине проводится в письменном виде. Экзаменационный билет содержит 5 пунктов, содержащих как теоретические вопросы, так и задачи. Ответ студента на каждый пункт билета оценивается от 0 до 8 баллов.

Итоговая рейтинговая оценка знаний студента равна сумме баллов, полученных в течение семестра за выполнение контрольных работ и заданий, и до 40 баллов, полученных за письменную экзаменационную работу в конце семестра (но не более 100 баллов).

Итоговая пятибалльная оценка по дисциплине определяется в соответствии со следующей схемой: если количество баллов не меньше 91, то выставляется оценка "отлично", иначе, если количество баллов не меньше 71, то выставляется оценка "хорошо", иначе, если количество баллов не меньше 60, то выставляется оценка "удовлетворительно".

В  семестре студенты сдают экзамен.


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

77