Векторы и точки. Метод координат. Прямая на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости. Геометрические свойства линий второго порядка. Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола. Учебно-методическое пособие

Решение задач и выполнение научно-исследовательских разработок: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org    
математика, IT, информатика, программирование, статистика, биостатистика, экономика, психология
Пришлите по e-mail: irina@bodrenko.org описание вашего задания, срок выполнения, стоимость



Bodrenko.com
Bodrenko.org

Учебные дисциплины на сайте Bodrenko.org
Портабельные Windows-приложения на сайте Bodrenko.com
"Геометрические методы математической физики" Компьютерные науки Математика и информатика Векторный и тензорный анализ Теория игр Аналитическая геометрия и линейная алгебра Римановы многообразия Элементы вариационного исцисления Дифференциальная геометрия и топология "Геометрия подмногообразий" Дополнительные главы дифференциальной геометрии "Дифференциальные уравнения на многообразиях" "Дифференциальная геометрия и топология кривых" Bodrenko.com Bodrenko.org

Bodrenko.org

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ




Сборник задач



Часть 1




Бодренко И.И., канд.физ.-мат. наук, доцент.





Аналитическая геометрия: Сборник задач. --- Ч.1.--- Учебно-методическое
пособие. 



Предлагаемое учебно-методическое пособие соответствует программе
университетского курса "Аналитическая геометрия" и написано в соответствии
с курсом лекций, читавшимся автором в течение ряда лет на
математическом факультете.

Пособие предназначено для студентов младших курсов университетов.

© И.И. Бодренко 2011 Все права защищены



1. ВЕКТОРЫ И ТОЧКИ. МЕТОД КООРДИНАТ.

В этой части пособия, если не определяется по-другому, векторы и точки
заданы в декартовой прямоугольной системе координат.

Расстояние d между двумя точками M1(x1;y1) и
M2(x2;y2)
на плоскости вычисляется по формуле:

d=\sqrt{(x2-x1)2+(y2-y1)2}. (1.1)


Отрезок M1M2 называется {\sl направленным}, если определены
его начало --- точка M1, и конец --- точка M2. Направленный отрезок
обозначается с помощью "стрелки" --- \longrightarrow:
\overrightarrow{M1M2}.

По определению, точка M(x; y) {\sl делит направленный отрезок
\overrightarrow{M1M2}
в отношении} lambda <= - 1, если

\overrightarrow{M1M} = lambda\overrightarrow{MM2}.

Координаты точки M(x; y) вычисляются по формулам:

x={x1+lambda x2}/{1+lambda},
y={y1+lambda y2}/{1+lambda}. (1.2)


На множестве всех направленных отрезков можно ввести отношение
эквивалентности ---  = : два направленных отрезка называются равными,
если они лежат на параллельных прямых, сонаправлены и имеют равные длины.

C помощью отношения  =  множество всех направленных отрезков
разбивается на подмножества(классы эквивалентности), каждое из которых
определяется любым своим элементом (представителем):
в класс эквивалентности [\overrightarrow{AB}]  входят те и
только те направленные отрезки \overrightarrow{A'B'},
для  которых выполнено:

\overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{AB}.


Класс эквивалентности направленных отрезков называется
{\sl cвободным вектором}. Свободный вектор на чертеже изображается
любым своим представителем.

Пример. Найти длину медианы BD треугольника АBC, если известны
координаты его вершин:
А(-2;7),
B(3;-3),
C(2;5).

Решение. Из формулы (1.2) получим, что точка D(x_D;y_D) имеет координаты:
x_D=0; y_D=6.
По формуле (1.1) находим длину медианы: |BD|=3\sqrt{10}.

Ответ. |BD|=3\sqrt{10}.


1. а) Построить на чертеже векторы, исходящие из начала
координат, зная их проекции на координатные оси: 

1) Х=3, Y=2;
2) Х=2, У=-5; 

3) Х=-5, У=0;
4) X=-2, У=3;  

5) X=0, Y=3;
6) Х=-5, Y=-1.  

b) Найти длину каждого из этих векторов.

2. а) Построить на чертеже векторы с началом в
точке A(2;-1), зная их проекции на координатные оси: 

1) Х=4, Y=3;
2) Х=2, Y=0;  

3) X=-3, Y=1;
4) X=-4, Y=-2; 

5) Х=О, Y=-3;
6) X=1, Y=-3.   

b) Найти углы между каждой парой этих векторов.

3. Даны точки: A(1;-2), B(2;1), C(5;0), M(-1;4) {\mbox и} N(0; -3). 

a) Найти проекции на координатные
оси векторов, соединяющих эти точки. 

b) Найти угол между векторами \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CM}

\mbox{и}  \overrightarrow{AN}.

4. Даны проекции отрезка AB на оси координат:
X=5, Y=-4; зная, что его начало --- в точке A(-2;3),
найти координаты его конца.

5. Даны проекции отрезка АВ на оси координат:
Х=4, Y=-5; зная, что его конец ---  в точке B(1;-3),
найти координаты его начала.

6. Построить на чертеже отрезки, исходящие из начала
координат, зная длину d и полярный угол phi каждого из них:

1) d=3, phi=300; 

2) d=4, phi=600.

7. а) Построить на чертеже векторы, имеющие началом
точку М(2;3), зная длину и полярный угол каждого из них 

1) d=3, phi=300; 

2) d=4, phi=600. 

b) Найти скалярное произведение векторов из 1) и 2). 

(координаты точки М --- декартовы прямоугольные).

8. a) Вычислить проекции векторов на координатные оси,
зная длину d и полярный угол alpha каждого из них: 

1) d=2, alpha=600; 

2) d=5, alpha=450. 

b) Найти угол между векторами из 1) и 2).

9. Даны проекции векторов на координатные оси: 

1) Х=3, Y=-4;  

2) Х=12, У=5; 

3) X=-8, Y=6.

а) Вычислить длину векторов из 1), 2) и 3).

b) Найти углы между всеми парами этих векторов.


10. Даны проекции векторов на координатные оси: 

1) Х=-3, Y=-4;  

2) Х=2, У=-5; 

3) X=8, Y=2. 

Вычислить длину d и полярный угол alpha
каждого из них.

11. Даны точки A(2;-3), B(1;-4), C(-1;-7)
и D(-4;8). 

a) Вычислить длины и полярные углы векторов, выходящих из
точки A в точки B, C, и D.

12. Длина d отрезка равна 5, его проекция на ось
абсцисс равна 4. Найти проекцию этого отрезка на ось ординат
при условии, что он образует с осью ординат: 

1) острый угол, 

2) тупой угол.

13. Длина отрезка MN равна 13; его начало --- в точке 

M(3;-2), проекция на ось абсцисс равна -12. 

Найти
координаты конца этого отрезка при условии, что он
образует с осью ординат: 

1) острый угол, 

2) тупой угол.

14. Длина отрезка MN равна 17, его конец --- в точке
N(-7;3), проекция на ось ординат равна 15.  

Найти
координаты начала этого отрезка при условии, что он
образует с осью абсцисс: 

1) острый угол, 

2) тупой угол.

15. Зная проекции вектора  на координатные оси:
Х=1, Y=-3, найти его проекцию на ось, которая составляет
с осью Ох угол 600.

16. Даны две точки A(1;-5) и B(4;-1). 

Найти  алгебраическую
проекцию направленного отрезка AB на ось, которая составляет с осью
Ох угол 450.

17. Даны две точки Р(-5;2) и Q(3;1). 

Найти  векторную
проекцию направленного отрезка PQ на ось, которая составляет с осью
Ох угол
phi=arctg 600.

18. Даны точки A(0;0), В(3;-4), С(-3;4),
D(-2;2) и E(10;-3). Определить расстояние d между
всевозможными парами этих точек.

19. Даны две смежные вершины квадрата A(3;-7) и
В(-1;4). Вычислить его площадь.







2. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ.



Уравнения прямой на плоскости в этой части пособия записывауются
в векторной и координатной форме.

Основные понятия: направляющий вектор прямой, нормальный вектор прямой
на плоскости, а также, параллельность, перпендикулярность, углы,
расстояния и проекции. Под проекцией понимается
ортогональная проекция.

Прямая линия на плоскости может быть задана:

1) векторным уравнением в параметрической форме


\vec r =\vec r0 + \vec а t    (\vec а\not = \vec 0),   (2.1)

где \vec а --- направляющий вектор прямой, \vec r0 ---
радиус-вектор фиксированной точки на прямой, t --- числовой параметр; 

2) нормальным векторным уравнением


<\vec r - \vec r0 ,\vec n> = 0    (\vec n \not = \vec 0 ),   (2.2)


где \vec n --- нормальный вектор прямой; 

3) общим уравнением в аффинной системе координат


Ах + By + С = 0,  (А2 +В2\not = 0).         (2.3)


Уравнение (2.2) можно записать в виде

<\vec r , \vec n > = D,


где D = <\vec r0, \vec n>.

Если уравнение (2.1) записать в координатном виде в аффинной системе
координат, то получим параметрические уравнения прямой на плоскости:


х = x0 + alpha t,   y = y0 + beta t.  (2.4)


При alpha  \not = 0 , beta \not = 0   исключением параметра t
параметрические уравнения (2.4) прямой приводятся к канонической форме


{x-x0}/{alpha} = {y - y0}/{beta}.


При alpha = 0  каноническое уравнение прямой принимает вид x = x0,
при beta = 0 --- вид y = y0.

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки, может
быть записано в векторной форме


\vec r = \vec r1 + (\vec r2 - \vec r1) t


и в координатной форме


{x - x1}/{x2 - x1} = {y - y1}/{y2 - y1}.  (2.5)


Здесь \vec r1  и \vec r2 --- радиусы-векторы данных точек,
a (x1; y1) и
(x2; y2) ---
их аффинные координаты.

При  х1 = х2
или у1 = у2 уравнение (2.5) прямой
принимает соответственно вид х = х1 или у = у1.

Для данной прямой линии ее направляющий и нормальный
векторы определены с точностью до умножения на ненулевое число.
Направляющим вектором прямой, заданной общим уравнением (2.3),
является, например, вектор с координатами \{-В; А\}. Если система
координат прямоугольная, то нормальным вектором прямой (2.3) является,
например, вектор с координатами \{А; В\}.

Если прямая задана общим уравнением (2.3), то для координат
всех точек, лежащих по одну сторону от нее (<в положительной
полуплоскости>), выполнено неравенство Ах + By + С > 0, а для
координат всех точек, лежащих по другую сторону (<в отрицательной
полуплоскости>), --- неравенство Ах + By + С < 0.

Расстояние от точки с радиусом-вектором  \vec r1 до прямой, заданной
векторным уравнением (2.2), равно

{|<\vec r1 - \vec r0 , \vec n>|}/{|\vec n|}.


Расстояние от
точки  М (x1; y1)  до прямой, заданной уравнением (2.3)
в прямоугольной декартовой
системе координат, равно


{|Ax1 + By1 + С|}/{\sqrt{A2+B2}}.


1. При каком необходимом и достаточном условии
прямые

\vec r = \vec r1 + \vec a1 t  \mbox{и} 
\vec r = \vec r2 + \vec а2 t :


1) пересекаются в единственной точке;

2) параллельны, но не совпадают;

3) совпадают?

2. Найти угол между прямыми, заданными своими
уравнениями:

1) \vec r = \vec r1 + \vec a1 t  \mbox{и} 
\vec r = \vec r2 + \vec а2 t;



2)  <\vec r, \vec n1> = D1  \mbox{и}  <\vec r, \vec n2> = D2.


3. При каких значениях а прямые ах - 4у = 6  и х - ау = 3 :

1) пересекаются; 2) параллельны; 3) совпадают?

4. При каких значениях а три прямые ах + у = 1, х - у =a,
х + y = а2  

имеют общую точку?

5. Точка М лежит на прямой Ах + By + С = 0;
вектор \overrightarrow{MM1} имеет координаты \{А; В\}.
Доказать, что точка
M1 лежит в "положительной полуплоскости" относительно
прямой с уравнением Ах + By + С = 0.

6. Точка М(3; 2) является центром
параллелограмма, а его стороны лежат на некоторых четырех
прямых. На каждой из этих прямых расположена одна из
точек: Р(2; 1), Q(4; -1), R(-2; 0), S(1; 5).
Найти уравнения прямых.

7. Даны две вершины треугольника (3;-1)  и (1; 4)
и точка пересечения его медиан (0; 2). Найти координаты
третьей вершины треугольника и составить уравнения его
сторон.

8. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку А(1; 2) так, что отрезок этой прямой, заключенный
между прямыми 3х + у + 2 = 0 и 4x + у - 1 = 0,
в точке А делится пополам.

9. Две медианы треугольника лежат на прямых
х + y = 3 и 2х + 3у = 1, а точка А(1; 1) является
вершиной треугольника. Составить уравнения сторон
треугольника.

10. Составить уравнения  прямых,  проходящих
через точку А(-1; 5) и равноудаленных от двух точек
В(3; 7) и С(1; -1).

11. Составить уравнения прямых, равноудаленных
от трех точек А(3; -1), В(9, 1) и С(-5; 5).

12. Через вершину С параллелограмма ABCD
проведена прямая, пересекающая продолжения сторон АВ
и AD соответственно в точках К и L таких, что
|АК|/|АВ| =5 |AL|/|AD|. Найти отношение
площади параллелограмма к площади треугольника AKL.
Cистема координат декартова прямоугольная.

13. Указать хотя бы один нормальный вектор прямой, которая:


1) имеет угловой коэффициент k;

2) задана общим уравнением Ах + By + С = 0.

%







3. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ.



1. Даны уравнения двух сторон параллелограмма
8х + 3у +1 = 0, 2х +у - 1 = 0 и уравнение одной из его
диагоналей 3х + 2y + 3 = 0. 

Определить координаты вершин этого параллелограмма.

2. Стороны треугольника лежат на прямых
х + 5у - 7 = 0, 3х - 2у - 4 = 0, 7х + у + 19 = 0. Вычислить его
площадь S.

3. Площадь треугольника S=8 кв. ед.; две его
вершины --- точки A(1; -2) и B(2; 3), а третья вершина С
лежит на прямой 3х - у - 8 = 0. Определить координаты
вершины С.

4. Площадь треугольника S=1,5 кв. ед., две его
вершины суть точки A(2; -3) и B(3; -2); центр тяжести
этого треугольника (точка пересечения медиан) лежит на прямой
3х - у - 8 = 0.
Определить координаты третьей вершины С.

5. Составить уравнение прямой и построить прямую
на чертеже, зная ее угловой коэффициент k и отрезок b,
отсекаемый ею на оси Оу: k=2/3, b=3.


6. Определить угловой коэффициент k и отрезок b,
отсекаемый на оси Оу, для каждой из прямых:    

1) 5х-у+3=0 ;    2) 2x+3у-6=0;                     

3) 5х+3у+2=0;  4) 3x+2y=0; 5) у-3=0.                


7. Дана прямая 5х+3у-3=0. Определить угловой
коэффициент k прямой:

1) параллельной данной прямой;

2) перпендикулярной к данной прямой;

8. Дана прямая 2х+3у+4=0. Составить уравнение
прямой, проходящей через точку М0(2, 1):

1) параллельно данной прямой;

2) перпендикулярно к данной прямой;

9. Даны уравнения двух сторон прямоугольника
2х - 3у + 5 = 0, 3х + 2у - 7 = 0 и одна из его вершин
A(2; -3). Составить уравнения двух других сторон этого
прямоугольника.


10. Даны уравнения двух сторон прямоугольника
х - 2у = 0, х - 2у + 15 = 0
и уравнение одной из его
диагоналей 7х + у - 15 = 0. Найти вершины прямоугольника.

11. Найти проекцию точки Р(-6; 4) на прямую
4х - 5y + 3 = 0.

12. Найти точку Q, симметричную точке Р(-5; 13)
относительно прямой 2х - 3у - 3 = 0.

13. В каждом из следующих случаев составить уравнение
прямой, параллельной двум данным прямым и
проходящей посередине между ними:

1) 3х - 2у - 1 = 0,  3x - 2у - 13 = 0;

2) 5х + y + 3 = 0,  5х + y - 17 = 0;

3) 2х + 3у - 6 = 0,  x + 6у + 17 = 0;

4) 5x + 7y + 15 = 0,  5x + 7y + 3 = 0.

14. Вычислить угловой коэффициент k прямой,
проходящей через две данные точки:

а) M1(2; -5),  M2(3; 2);

б) P(-3; 1),  Q(7; 8);

в) А(5; -3),  В(-1; 6).

15. Составить уравнения прямых, проходящих через
вершины треугольника A(5; -4), В(-1; 3), С(-3; -2),
параллельно противоположным сторонам.

16. Даны середины сторон треугольника: A(2; 1),
B(5; 3) и C(3; -4). Составить уравнения его сторон.

17. Даны две точки: Р(2; 3) и Q(-1; 0). Составить
уравнение прямой, проходящей через точку Q
перпендикулярно к отрезку PQ.

18. Составить уравнение прямой, если точка Р(2; 3)
служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала
координат на эту прямую.

19. Даны вершины треугольника A(2; 1), B(-1; -1)
и C(3; 2). Составить уравнения его высот.

20. Стороны треугольника даны уравнениями
4х - у - 7 = 0, х + 3у - 31 = 0, х + 5у - 7 = 0. Определить
точку пересечения его высот.

21. Даны вершины треугольника A(1; -1), В(-2; 1)
и С(3; 5). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного
из вершины А на медиану, проведенную из вершины В.

22. Даны вершины треугольника A(2; -2), B(3; -5)
и С(5; 7). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного
из вершины С на биссектрису внутреннего угла при вершине А.

23. Составить уравнения сторон и медиан треугольника
с вершинами A(3; 2), В(5; -2), С(1; 0).

24. Через точки A(-1; 2) и B(2; 3) проведена прямая.
Определить точки пересечения этой прямой с осями координат.

25. Доказать, что условие, при котором три точки
A(a; b), B(c; d) и C(e; f) лежат на одной прямой,
может быть записано в виде равенства нулю
некоторого определителя третьего
порядка. Найти этот определитель.

26. Доказать, что уравнение прямой, проходящей через
две данные точки A(a; b) и B(c; d), может быть
записано в виде равенства нулю
некоторого определителя третьего
порядка. Найти этот определитель.

27. Даны последовательные вершины выпуклого
четырехугольника A(-3; 1), B(3; 9), С(7; 6) и D(-2; -6).
Определить точку пересечения его диагоналей.

28. Даны две смежные вершины A(-3; -1) и В(2; 2)
параллелограмма ABCD и точка Q(3; 0) пересечения его
диагоналей. Составить уравнения сторон этого
параллелограмма.

29. Даны уравнения двух сторон прямоугольника
5х + 2у - 7 = 0, 5х + 2у - 36 = 0 и уравнение его диагонали
3х + 7у - 10 = 0. Составить уравнения остальных сторон
и второй диагонали этого прямоугольника.

30. Даны вершины треугольника A(1; -2), B(5; 4)
и С(-2; 0). Составить уравнения биссектрис его
внутреннего и внешнего углов при вершине A.

31. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку Р(3; 5) на одинаковых расстояниях от точек A(-7; 3)
и B(11; -15).

32. Найти проекцию точки Р(-8; 12) на прямую,
проходящую через точки A(2; -3) и В(-5; 1).

33. Найти точку P, симметричную точке Q(8; -9)
относительно прямой, проходящей через точки A(3; -4)
и В(-1; -2).

34. На оси абсцисс найти такую точку Р, чтобы сумма
ее расстояний до точек A(1; 2) и B(3; 4) была наименьшей.

35. На оси ординат найти такую точку Р, чтобы
разность расстояний ее до точек М(-3; 2) и N(2; 5) была
наибольшей.

36. На прямой 2х - у - 5 = 0 найти такую точку Р,
сумма расстояний которой до точек A(-7; 1), В(-5; 5)
была бы наименьшей.

37. На прямой 3х - у - 1 = 0 найти такую точку Р,
разность расстояний которой до точек A(4; 1) и B(0; 4)
была бы наибольшей.

38. Определить угол phi  между двумя прямыми:

1) 5х - у + 7 = 0,    3х + 2у = 0;

2) 3x - 2y + 7 = 0,  3x + 2y - 3 = 0.

39. Дана прямая 2х + 3у + 4 = 0. Составить уравнение
прямой, проходящей через точку A(2; 1) под углом 450
к данной прямой.

40. Точка A(-4; 5) является вершиной квадрата,
диагональ которого лежит на прямой 7х - y + 8 = 0.
Составить уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата.

41. Даны две противоположные вершины квадрата
A(-1; 3) и С(6; 2). Составить уравнения его сторон.

42. Точка A(1; -1) является центром квадрата, одна
из сторон которого лежит на прямой х - 2у + 12 = 0.
Составить уравнения прямых, на которых лежат остальные
стороны этого квадрата.

43. Из точки A(-2; 3) под углом alpha к оси Ох
направлен луч света. Известно, что tg alpha  = 3. Дойдя до оси Ох,
луч от нее отразился. Составить уравнения прямых, на
которых лежат лучи падающий и отраженный.

44. Луч света направлен по прямой х - 2у + 5 = 0.
Дойдя до прямой Зх - 2у + 7 = 0, луч от нее отразился.
Составить уравнение прямой, на которой лежит
отраженный луч.

45. Даны уравнения сторон треугольника 

3х + 4у - 1 = 0,  х - 7у - 17 = 0,  7х + у + 31 = 0.

Доказать, что
этот треугольник равнобедренный. Решить задачу при
помощи сравнения углов треугольника.

46. Доказать, что уравнение прямой, проходящей через
точку P(a; b) параллельно прямой Ах + Ву + С = О,
может быть записано в виде А(х-a) + В(у-b) = 0.

47. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку A(2; -3) параллельно прямой: 

1) 3х - 7у + 3 = 0;  2) x + 9y - 11 = 0; 

3) 16x - 24y - 7 = 0;  4) 2x + 3 = 0; 5) 3у - 1 = 0.

Решить задачу, не вычисляя угловых коэффициентов
данных прямых.

48. Доказать, что условие перпендикулярности прямых
Ax + By + C = 0, Eх + Fy + G = 0 может быть
записано в следующем виде: АE + ВF = 0.

49. Установить, какие из следующих пар прямых
перпендикулярны:

1) 3x - 4y + 1 = 0,  4x - 3y + 7 = 0;

2) 9x - 12y + 5 = 0, 8x + 6y - 13 = 0;

3) 5x - 7y + 3 = 0,  3x - 2y - 5 = 0;

4) 6x - l5y + 7 = 0, x + 4y - 3 = 0;

5) 7x - 2y + 1 = 0,  4x + 6y + 17 = 0;

Решить задачу, не вычисляя угловых коэффициентов данных прямых.

50. Определить угол, образованный двумя прямыми:

3х - у + 5 = 0,  2х + у - 7 = 0;

Решить задачу, не вычисляя угловых коэффициентов данных прямых.

51. Даны две вершины треугольника A(-10; 2)
и B(6; 4); его высоты пересекаются в точке C(5; 2).
Определить координаты третьей вершины D.

52. Даны две вершины A(3; -1) и В(5; 7)
треугольника АВС и точка N(4; -1) пересечения его высот.
Составить уравнения сторон этого треугольника.

53. В треугольнике АВС даны: уравнение стороны
АВ: 5х - 3у -12=0, уравнения высот AM: 4x - 3у + 1 = 0
и BN: 7х + 2у - 22 = 0. Составить уравнения двух других
сторон и третьей высоты этого треугольника.

54. Составить уравнения сторон треугольника АВС,
если даны одна из его вершин A(1; 3) и уравнения двух
медиан х - 2у + 1 = 0 и у - 1 = 0.

55. Составить уравнения сторон треугольника, если даны
одна из его вершин В(-4; -5) и уравнения двух высот
5х + 3у - 4 = 0 и 3х + 8у + 13 = 0.

56. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну
из его вершин A(4; -1) и уравнения двух биссектрис
х - 1 = 0 и х - у - 1 = 0.

57. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну
его вершину B(2; 6), а также, уравнения высоты
х - 7у + 15 = 0 и биссектрисы 7х + у + 5 = 0, проведенных из
одной вершины.

58. Составить уравнения сторон треугольника, зная
одну его вершину B(2; -1), а также, уравнения высот
2x + y = 1,  4x + y = 8.






4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ОКРУЖНОСТЬ.



Уравнение


(x -a)2+(у-b)2 = R2             (4.1)


определяет окружность радиуса R с центром С(a; b).

Если центр окружности совпадает с началом координат, т. е.
если a = 0, b = 0, то уравнение (4.1) принимает вид


x2+y2=R2.                       (4.2)


1. Составить уравнение окружности в каждом из
следующих случаев:

1) центр окружности совпадает с началом координат и ее
радиус R = 3;

2) центр окружности совпадает с точкой C(2; -3) и ее
радиус R = 7;

3) окружность проходит через начало координат и ее
центр совпадает с точкой С(6; -8);

4) окружность проходит через точку А(2; 6) и ее центр
совпадает с точкой С(-1; 2);

5) точки A(3; 2) и В(-1; 6) являются концами одного
из диаметров окружности;

6) центр окружности совпадает с началом координат и
прямая 3х - 4у + 20 = 0 является касательной к окружности;

7) центр окружности совпадает с точкой С(1; -1) и
прямая 5х - 12у + 9 = 0 является касательной к окружности;

8) окружность проходит через точки А(3; 1) и В(-1: 3),
а ее центр лежит на прямой 3х - у - 2 = 0;

9) окружность проходит через три точки A(1; 1), В (1; -1)
и С(2; 0);

10) окружность проходит через три точки: 

A(-1; 5), B(-2; -2) и C(5; 5).

2. Точка С(3; -1) является центром окружности,
отсекающей на прямой 2х - 5y + 18 = 0 хорду, длина
которой равна 6. Составить уравнение этой окружности.

3. Написать уравнения окружностей радиуса R = 5,
касающихся прямой х - 2у - 1 = 0 в точке A(3; 1).

4. Составить уравнение окружности, касающейся двух
параллельных прямых: 2х + у - 5 = 0, 2x + y + 15 = 0,
причем, одной из них --- в точке А(2; 1).

5. Составить уравнения окружностей, которые проходят
через точку A(1; 0) и касаются двух параллельных прямых:
2х + y + 2 = 0, 2х + у - 18 = 0.

6. Составить уравнение окружности, которая, имея
центр на прямой 2х + у = 0, касается прямых 4х - 3у + 10 = 0,
4х - 3у - 30 = 0.

7. Составить уравнения окружностей, касающихся двух
пересекающихся прямых: 7x - у - 5 = 0, х + у + 13 = 0,
причем, одной из них  --- в точке A(1; 2).

8. Составить уравнения окружностей, проходящих через
начало координат и касающихся двух пересекающихся
прямых: х + 2у - 9 = 0, 2х - у + 2 = 0.

9. Составить уравнения окружностей, которые, имея
центры на прямой 4х - 5у - 3 = 0, касаются прямых
2х - 5y - 10 = 0, 3х - 2y + 5 = 0.

10. Написать уравнения окружностей, проходящих через
точку А(-1; 5) и касающихся двух пересекающихся прямых:
3х + 4y - 35 = 0, 4х + 3у + 14 = 0.

11. Написать уравнения окружностей, касающихся трех
прямых: 4х - 3у - 10 = 0, 3х - 4у - 5 = 0 и 3x - 4у - 15 = 0.

12. Написать уравнения окружностей, касающихся трех
прямых: 3х + 4у - 35 = 0, 3x - 4y - 35 = 0 и х - 1 = 0.

%







5. ЭЛЛИПС.



1. Составить уравнение
эллипса, фокусы которого лежат на
оси абсцисс, симметрично
относительно начала координат, зная, кроме
того, что:

1) его полуоси равны 5 и 2;

2) его большая ось равна 10,
а расстояние между фокусами 2с = 8;

3) его малая ось равна 24, а расстояние между фокусами 2с = 10;

4) расстояние между его фокусами 2с = 64 и эксцентриситет e = 3/5

5) его большая ось равна 20, а эксцентриситет е = 3/5;

6) его малая ось равна 10, а эксцентриситет е = 12/13;

7) расстояние между его директрисами равно 5 и
расстояние между фокусами 2с = 4;

8) его большая ось равна 8, а расстояние между
директрисами равно 16;

9) его малая ось равна 6, а расстояние между
директрисами равно 13;

10) расстояние между его директрисами равно 32 и e = 1/2.

2. Составить уравнение эллипса, фокусы которого
лежат на оси ординат, симметрично относительно начала
координат, зная, кроме того, что:

1) его полуоси равны соответственно 7 и 2;

2) его большая ось равна 10, а расстояние между
фокусами 2с = 8;

3) расстояние между его фокусами 2с = 24 и эксцентриситет е = 12/13;

4) его малая ось равна 16, а эксцентриситет e = 3/5;

5) расстояние между его фокусами 2с = 6 и расстояние
между директрисами равно 16;

6) расстояние между его директрисами равно 9 и
эксцентриситет е = 3/4.

3. Дан эллипс 9х2+ 25y2 = 225. Найти: 1) его
полуоси; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения директрис.

4. Вычислить площадь четырехугольника, две вершины
которого лежат в фокусах эллипса x2+5у2=20, а две
другие совпадают с концами его малой оси.

5. Дан эллипс  9х2 + 5y2 = 45. Найти: 1) его полуоси;
2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения директрис.

6. Вычислить площадь четырехугольника, две вершины
которого лежат в фокусах эллипса  9х2 + 5y2 = 1 , две другие
совпадают с концами его малой оси.

7. Вычислить расстояние от фокуса F(c; 0) эллипса
9х2 + 5y2 = 45
до односторонней с этим фокусом директрисы.

8. Найти фокусы и директрисы
эллипса 9х2 + 5y2 = 1.

9. На эллипсе  х2 + 5y2 = 45  найти точки, абсцисса которых
равна -3.

10. Эксцентриситет эллипса е = 2/3, фокальный радиус
точки М эллипса равен 10. Вычислить расстояние от точки М
до односторонней с этим фокусом директрисы.

11. Эксцентриситет эллипса е = 2/5,   расстояние от
точки М эллипса до директрисы равно 20. Вычислить
расстояние от точки М до фокуса, одностороннего с этой директрисой.

12. Дана точка М(2; -5/3) на эллипсе 5x2 + 9y2 = 45;
составить уравнения прямых, на которых лежат фокальные
радиусы точки М.

13. Убедившись, что точка М(-4; 2,4) лежит на
эллипсе  16x2 + 25y2 = 400,  определить фокальные   радиусы
точки М.

14. Эксцентриситет эллипса e = 1/3, центр его
совпадает с началом координат, один из фокусов  --- (-2; 0).
Вычислить расстояние от точки М эллипса с абсциссой,
равной 2, до директрисы, односторонней с данным фокусом.

15. Эксцентриситет эллипса e = 1/2, центр его
совпадает с началом координат, одна из директрис дана
уравнением х = 16. Вычислить расстояние от точки М эллипса
с абсциссой, равной -4, до фокуса, одностороннего с данной директрисой.

16. Определить точки эллипса  36x2 + 100y2 = 3600,
расстояние которых до правого фокуса равно 14.

17. Определить точки эллипса 7x2 + 16y2 = 112,
расстояние которых до левого фокуса равно 2,5.

18. Через фокус эллипса 15x2 + 25y2 = 375
проведен перпендикуляр к его большой оси. Определить расстояния от
точек пересечения этого перпендикуляра с эллипсом до фокусов.

19. Составить уравнение эллипса, фокусы которого
расположены на оси абсцисс симметрично относительно
начала координат, если даны:

1) точка  M(-2; 2) эллипса и его малая полуось
b = 3;

2) точка М(2; -2) эллипса и его большая полуось
а = 4;

3) точки A(4; -3) и B(2; 3) эллипса;

4) точка A(15; -1) эллипса и расстояние между его
фокусами 2с = 8;

5) точка A(2; -5/3) и его большая полуось
а = 4;

6) точка A(8; 12) эллипса и расстояние r = 20 от нее
до левого фокуса;

7) точка A(-5; 2)
эллипса и расстояние между
его директрисами равно 10.

20. Определить эксцентриситет е эллипса, если:

1) его малая ось видна
из   фокусов   под углом в 600;

2) отрезок между фокусами виден из вершин малой оси под прямым углом;

3) расстояние между директрисами в три раза больше
расстояния между фокусами;

4) отрезок перпендикуляра, опущенного из центра эллипса
на его директрису, делится вершиной эллипса пополам.

21. Составить уравнение эллипса с полуосями а, b и
центром С(x; y), если известно, что оси симметрии эллипса
параллельны осям координат.

22. Эллипс касается оси абсцисс в точке A(3; 0) и оси
ординат в точке В(0; -4). Составить уравнение этого
эллипса, зная, что его оси симметрии параллельны координатным осям.

23. Точка С(-3; 2) является центром эллипса,
касающегося обеих координатных осей. Составить уравнение этого
эллипса, зная, что его оси симметрии параллельны координатным осям.

24. Установить, что каждое из следующих уравнений
определяет эллипс, и найти координаты его центра С,
полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис:

1) 5x2 + 9у2 - 30х + 18у + 9 = 0;

2) 16х2 + 25у2 + 32х - 100у - 284 = 0.

Изобразить эти линии на чертеже.

25. Составить уравнение эллипса, зная, что:

1) его большая ось равна 26 и фокусы суть M(-10; 0),
N(14; 0);

2) его малая ось равна 2 и фокусы  --- точки M(-1; -1),
N(1; 1);

3) его фокусы  --- M(-2; -5), N(2;-7), эксцентриситет ---
e = 1/2.

4) его фокусы суть F(1; 3), H(3; 1) и расстояние между
директрисами равно 12.

26. Составить уравнение эллипса, если известны его
эксцентриситет е = 2/3, фокус F(2; 1) и уравнение
соответствующей директрисы х - 5 = 0.

27. Составить уравнение эллипса, если известны его
эксцентриситет e = 1/2, фокус F(-4; 1) и уравнение
соответствующей директрисы у + 3 = 0.

28. Точка A(-3; -5) лежит на эллипсе, фокус
которого --- точка F(-1; -4), а соответствующая директриса дана
уравнением х - 2 = 0. Составить уравнение этого эллипса.

29. Составить уравнение эллипса, если известны его
эксцентриситет e = 1/2, фокус  F(3; 0) и уравнение соответствующей
директрисы х + у - 1 = 0.

30. Точка A(2; -1) лежит на эллипсе, фокус
которого --- F(1; 0), а соответствующая директриса дана
уравнением 2x - у - 10 = 0. Составить уравнение этого эллипса.

31. Точка A(3; -1) является концом малой оси
эллипса, фокусы которого лежат на прямой у + 6 = 0. Составить
уравнение этого эллипса, зная его эксцентриситет е = 1/2.

32. Найти точки пересечения прямой x + 2у - 7 = 0 и
эллипса x2 + 4у2 = 25.

33. Найти точки пересечения прямой 3x + 4у - 25 = 0 и
эллипса  4x2 + 25у2 = 100.

34. Найти точки пересечения прямой
3x - 4у - 40 = 0 и
эллипса 9x2 + 16у2 = 144.

35. Определить, как расположена прямая относительно
эллипса: пересекает ли, касается или проходит вне его, если
прямая и эллипс заданы следующими уравнениями:

1) 2x - 8у - 20 = 0, 3x2 + 6у2 = 44; 


2)  x - 11у - 20 = 0, 7x2 + 4у2 = 11;  


3)  8x - 3у - 32 = 0, 2x2 + 9у2 = 4;  


36. Определить, при каких значениях m  прямая у = -х + m: 


1) пересекает эллипс  2x2 + 9у2 = 4;

2) касается его;

3) проходит вне этого эллипса.






6. ГИПЕРБОЛА.



1. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой
расположены на оси ординат симметрично относительно
начала координат, зная, кроме того, что:

1) ее полуоси а = 6, b = 18 (буквой а мы обозначаем
полуось гиперболы, расположенную на оси абсцисс);


2) расстояние между фокусами 2с = 10 и эксцентриситет e = 5/3; 


3) уравнение асимптоты y = 12x/5 и расстояние между
вершинами равно 48; 


4) расстояние между директрисами равно 7  и эксцентриситет e = 7/5; 


5) уравнение асимптоты y = 4x/3  и
расстояние между директрисами равно 6.

2. Определить полуоси а и b каждой из следующих
гипербол:

1) {x2}/{9} - {y2}/{4} = 1; 


2) {x2}/{16} - y2 = 1;  


3) x2 -4 y2 = 16;   


4)  x2 - y2 = 1;      


3. Дана гипербола  16x2 - 9y2 = 144. Найти:
1) полуоси а и b; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения
асимптот; 5) уравнения директрис.

4. Дана гипербола  16x2 - 9y2 = -144. Найти:
1) полуоси а и b ; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения
асимптот; 5) уравнения директрис.

5. Вычислить площадь треугольника, образованного асимптотами гиперболы

{x2}/{4} - {y2}/{9} = 1

и прямой 9х + 2у - 24 = 0.

6. Дана точка A(10; -\sqrt{5}) на гиперболе

{x2}/{80} - {y2}/{20} = 1.

Составить уравнения прямых, на которых лежат фокальные
радиусы точки A.

7. Убедившись, что точка М(-5; 9/4) лежит
на гиперболе

{x2}/{16} - {y2}/{9} = 1,

определить фокальные радиусы точки M.

8. Эксцентриситет гиперболы e = 2, фокальный радиус
ее точки М, проведенный из некоторого фокуса, равен 16.
Вычислить расстояние от точки М до односторонней с этим
фокусом директрисы.

9. Эксцентриситет гиперболы е = 3, расстояние от
точки М гиперболы до директрисы равно 4. Вычислить
расстояние от точки М до фокуса, одностороннего с этой
директрисой.

10. Эксцентриситет гиперболы е = 2, центр ее лежит
в начале координат, один из фокусов F(12; 0). Вычислить
расстояние от точки A гиперболы с абсциссой, равной 13,
до директрисы, соответствующей заданному фокусу.

11. Эксцентриситет гиперболы е = 2, центр ее лежит
в начале координат, одна из директрис дана уравнением
х = -8. Вычислить расстояние от точки M гиперболы
с абсциссой, равной 10, до фокуса, соответствующего заданной директрисе.

12. Определить точки гиперболы

{x2}/{64} - {y2}/{36} = 1,

расстояние которых до правого фокуса равно 4,5.

13. Определить точки гиперболы

{x2}/{9} - {y2}/{16} = 1,

расстояние которых до левого фокуса равно 7.

14. Через левый фокус гиперболы

{x2}/{144} - {y2}/{25} = 1

проведен перпендикуляр к ее оси, содержащей вершины.
Определить расстояния от фокусов до точек пересечения этого
перпендикуляра с гиперболой.




7. ПАРАБОЛА.



1. Найти уравнения параболы, вершина которой лежит
в начале координат, если: 


1) парабола   расположена симметричио относительно
оси Оу и проходит через точку С(1; 1); 


2) парабола  расположена  симметрично  относительно
оси Оx и проходит через точку Z(4; -8).   


2. Стальной трос подвешен за два конца; точки
крепления расположены на одинаковой высоте; расстояние между
ними равно 20 м. Величина его прогиба на расстоянии 2 м
от точки крепления, считая по горизонтали, равна 14,4 см.
Определить величину прогиба этого троса в середине между
точками крепления, приближенно считая, что трос имеет
форму дуги параболы.

3. Составить уравнение параболы, которая имеет
фокус А(0; -3) и проходит через начало координат, зная, что
ее осью служит ось Оу.

4. Найти фокус А и уравнение директрисы параболы
у2 = 24х.

5. Вычислить фокальный радиус точки М параболы
у2 = 20х , если абсцисса точки М равна 7.

6. Вычислить фокальный радиус точки М параболы
у2 = 12х, если ордината точки М равна 6.

7. На параболе y2 = 16x  найти точки, фокальный
радиус которых равен 13.

8. Составить уравнение параболы, если дан фокус
F(-7; 0) и уравнение директрисы х - 7 = 0.

9. Составить уравнение параболы, зная, что ее вершина
совпадает с точкой (а; b), параметр равен р, ось параллельна
оси Ох, и парабола проходит:

1) в положительном направлении оси Ох;

2) в отрицательном направлении оси Ох.

10. Составить уравнение параболы, зная, что ее вершина
совпадает с точкой (а; b), параметр равен р, ось параллельна
оси Оу и парабола проходит:

1) в положительном направлении оси Оу (т. е. парабола
является восходящей);

2) в отрицательном направлении оси Оу (т. е. парабола
является нисходящей).

11. Установить, что каждое из следующих уравнений
определяет параболу, и найти координаты ее вершины A,
величину параметра р и уравнение директрисы:

1)  y2 = 4х - 8;

2) y2 = 4 - 6х;

3) x2 = 6у + 2;

4) x2 = 2 - y.

12. Составить уравнение параболы, если даны ее фокус
F(7; 2) и директриса х - 5 = 0.

13. Составить уравнение параболы, если даны ее фокус
F(4; 3) и директриса у + 1 = 0.

14. Составить уравнение параболы, если даны ее фокус
F(2; -1) и директриса х - у - 1 = 0.

15. Даны вершина параболы A(6; -3) и уравнение ее
директрисы 3х - 5y + 1 = 0. Найти фокус F этой параболы.

16. Даны вершина параболы A(-2; -1) и уравнение
ее директрисы х + у - 1 = 0. Составить уравнение этой
параболы.

17. Определить точки пересечения прямой х + у - 3 = 0
и параболы х2 = 4у.

18. Определить точки пересечения прямой 3х + 4у - 12 = 0
и параболы у2 = -9х.

19. Определить точки пересечения прямой 3х - 2у + 6 = 0
и параболы у2 = 6х.





СОДЕРЖАНИЕ


1. ВЕКТОРЫ И ТОЧКИ. МЕТОД КООРДИНАТ. (3) 

2. ПРЯМАЯ НА  ПЛОСКОСТИ. (8)     

3. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ. (12)    

4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ОКРУЖНОСТЬ. (20)      

5. ЭЛЛИПС. (22)     

6. ГИПЕРБОЛА. (28)     

7. ПАРАБОЛА.  (31)   



АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ





Сборник задач





Часть 1








Учебно-методическое пособие 









Бодренко Ирина Ивановна