Математическое моделирование экономических систем. Основы вероятностных методов анализа и моделирования экономических систем. Основные понятия теории вероятностей. Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей. Обобщения теорем сложения и умножения вероятностей. Схема независимых испытаний.

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии



Математическое моделирование экономических систем

 

Лекция 1

 

Тема лекции 1: «Основы вероятностных методов анализа и моделирования экономических систем»

Разделы лекции:

 

1.Основные понятия теории вероятностей.

2.Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей.

3. Обобщения теорем сложения и умножения вероятностей. Схема независимых испытаний.

РАЗДЕЛ 1.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

 

События, происходящие в окружающем нас мире, можно разделить на три вида: достоверные, невозможные и случайные.

 

КАКОЕ СОБЫТИЕ НАЗЫВАЕТСЯ ДОСТОВЕРНЫМ?

 

Достоверным относительно комплекса условий называется событие, которое обязательно произойдет при осуществлении этого комплекса условий. Например, если гладкий желоб с лежащим внутри него тяжелым шариком наклонить, то шарик обязательно покатится по желобу в сторону уклона.

 

КАКОЕ СОБЫТИЕ НАЗЫВАЕТСЯ НЕВОЗМОЖНЫМ?

 

Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет при осуществлении комплекса условий. Например, вода, которая находится в герметически  изолированном сосуде, не может вылиться из него.

 

КАКОЕ СОБЫТИЕ НАЗЫВАЕТСЯ СЛУЧАЙНЫМ?

 

Случайным относительно комплекса условий называется событие, которое при осуществлении указанного комплекса условий может либо произойти, либо не произойти. Например, если вы уронили фарфоровую чашку на пол, то она может, как разбиться, так и остаться неповрежденной.

 
Теория вероятностей
имеет дело со случайными событиями. Однако она не может предсказать, произойдет единичное событие или нет. Теория вероятностей изучает вероятностные закономерности массовых однородных случайных событий. Ее методы получили широкое распространение в различных областях естествознания и в прикладных проблемах техники. Теория вероятностей легла в основу теории массового обслуживания и теории надежности. В последние годы аппарат теории вероятностей активно используется в экономике.

 

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ.


Пусть
задано конечное множество элементов некоторой природы. Из них можно составлять определенные комбинации, количества которых изучает комбинаторика. Некоторые ее формулы используются в теории вероятности; приведем их.

 

ЧТО ТАКОЕ ПЕРЕСТАНОВКИ?

 

Комбинации, состоящие из одной и той же совокупности n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения, называются перестановками.

 

Число всех возможных перестановок определяется произведением чисел от единицы до n, то есть n!:

 

Pn=n!=1∙2∙3∙… ∙n.

 


ПРИМЕР 1. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3 и 4 с использованием всех указанных цифр в каждом числе?

 

РЕШЕНИЕ. Искомое количество четырехзначных чисел число равно:

 

Р4=4!=1∙2∙3∙4=24.

 

ЧТО ТАКОЕ РАЗМЕЩЕНИЯ?

 

Комбинации по m элементов, составленные из n различных элементов (mn), отличающиеся друг от друга либо элементами, либо их порядком, называются размещениями.

Число всевозможных размещений определяется равенством:

 

 

Amn=n∙(n – 1)∙(n – 2)∙...∙(nm +1).

 

ПРИМЕР 2. Сколько трехзначных чисел можно составить из семи различных цифр при отсутствии среди них нуля?

 

РЕШЕНИЕ. Искомое количество чисел трехзначных чисел равно:

 

A37=7∙(7 – 1)∙(7 – 2)=7∙6∙5 = 210.

 

ЧТО ТАКОЕ СОЧЕТАНИЯ?

 

Комбинации, содержащие по m элементов каждая, составленные из n различных элементов (mn), и различающиеся хотя бы одним элементом, называются сочетаниями.

Число сочетаний определяется формулой:

 Cmn=n!/(m!∙(n m)!).

 



Можно показать, что справедливы следующие формулы (1).

Cmn= Cnm n ,


Amn= PmCm n .

(1)

В частности, первую из формул удобно использовать в расчетах, когда m>n/2.

 Как записывается формула бинома Ньютона?


Напомним формулу бинома Ньютона, в которой участвуют коэффициенты (1):

(p+q)n= Cn npnq0+ Cn –1 npn – 1q1+ Cn–2 npn – 2q2+ ...+ C0 np0∙qn.

(2)

ПРИМЕР 3. Сколькими способами можно выбрать а) по три карты, б) по 32 карты из колоды, содержащей 36 игральных карт?

РЕШЕНИЕ. Искомое число способов:

а)  C336 =36!/(3!∙(36 – 3)!)=36∙35∙34/3!=7140;

б)  C3236 =36!/(32!∙(36 – 32)!)=36∙35∙34∙33/4!=58905.


ЧТО В ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПОНИМАЮТ ПОД ТЕРМИНОМ ИСПЫТАНИЕ?

Выше мы ввели понятие случайного события.  Обычно в теории вероятностей вместо «совокупности условий» употребляют термин «испытание». И тогда событие трактуется как результат испытания.

ПРИМЕР 4. Например, стрельба по мишени:  выстрел это испытание, попадание в мишень  (или промах) – это событие.  Другой пример: подбрасывание монеты вверх — это испытание, выпадение орла (или решки) – это событие.


ВИДЫ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ.

КАКИЕ СОБЫТИЯ НАЗЫВАЮТСЯ НЕСОВМЕСТНЫМИ?

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. События называют несовместными, если в одном и том же испытании появление одного из них исключает появление других.

Например, выпадение орла при подбрасывании монеты исключает появление в этом же испытании решки,  и наоборот.

ЧТО ТАКОЕ ПОЛНАЯ ГРУППА СОБЫТИЙ?

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Говорят, что несколько событий образуют полную группу,  если в результате испытания появление хотя бы одного из них является достоверным событием.

ПРИМЕР 5. Например, при произведении выстрела по мишени (испытание) обязательно будет либо попадание, либо промах; эти два события образуют полную группу.


СЛЕДСТВИЕ. Если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий.

Этот частный случай будет использован далее.

КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ.

ЧТО ТАКОЕ ЭЛЕМЕНТАРНОЕ СОБЫТИЕ?

Назовем каждый из возможных результатов испытания элементарным событием, или исходом.

ЧТО ТАКОЕ БЛАГОПРИЯТНЫЙ ИСХОД?

Те элементарные исходы, в результате которых появляется событие A  (т.е. которые интересуют нас), называются благоприятными событиями.

ЧТО ТАКОЕ ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ?

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к общему числу равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу, называется вероятностью события А.  

Вероятность события А обозначается Р(А).

Понятие вероятности является одним из основных в теории вероятностей. Данное нами выше определение является классическим. Из него вытекают некоторые свойства вероятности.

СВОЙСТВО 1. Вероятность достоверного события равна единице.

СВОЙСТВО 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

СВОЙСТВО 3. Вероятность случайного события есть положительное число:

 0< Р(А)<1.

Следовательно, вероятность любого события удовлетворяет неравенству:

0≤Р(А)≤1.

ЗАМЕЧАНИЕ. Отметим, что современные курсы теории вероятностей основаны на теоретико-множественном подходе, в котором элементарные события являются точками пространства элементарных событии Ω. При этом событие А отождествляется с подмножеством элементарных исходов, благоприятствующих этому событию A.  о есть A является подмножеством пространства элементарных событий Ω.

Приведем примеры непосредственного вычисления вероятностей.

ПРИМЕР 6. В коробке лежит 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Найти вероятность того, что из пяти взятых наугад шаров будет 4 белых.

РЕШЕНИЕ. Найдем число благоприятных исходов: число  способов, которыми можно взять 4 белых шара из 6 имеющихся, равно:

C46 =6!/(4!∙(6 – 4)!)=6∙5/2!=15.

Общее число исходов определяется числом сочетаний из 10 по 5:

C510 =10!/(5!∙(10 – 5)!)=10∙9∙8∙7∙6/5!=252.

Согласно определению вероятности события A, искомая вероятность Р(A) равна:

Р(A) = C46 / C510 =15/252=5/84≈0,06.  

ПРИМЕР 7. Какова вероятность того, что при заполнении карточки спортивной лотереи «6 из 36» будет угадано 4 номера?  

РЕШЕНИЕ. Общее число исходов равно

C636 =1947792.

Число благоприятных исходов равно C46 =15. Отсюда искомая вероятность равна:

 Р(A) = C46 / C636 =15/1947792=5/649264≈7,7∙10-6.

ПРИМЕР 8. В ящике находится 10 стандартных и 5 нестандартных деталей. Какова вероятность, что среди наугад взятых 6 деталей будет 4 стандартных и 2 нестандартных?

РЕШЕНИЕ. Общее число исходов равно:

С615=15!/(6!∙(15 – 6)!)=15∙14∙13∙12∙11∙10/6!=5005.

Число благоприятных исходов определяется произведением

С410∙С25 ,

где первый сомножитель соответствует числу вариантов изъятия из ящика  4-х стандартных деталей из 10, а второй — числу вариантов изъятия из ящика 2-х нестандартных деталей из пяти.

Отсюда следует, что искомая вероятность равна

P(A)=С410∙С25615=(10∙9∙8∙7/4!)∙(5∙4/2!)/20020=210∙10/5005≈0,42.

РАЗДЕЛ 2. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

НЕСОВМЕСТНЫЕ СОБЫТИЯ.

 ЧТО ПОНИМАЮТ ПОД СУММОЙ ДВУХ СОБЫТИЙ?

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Суммой двух событий А и В называют событие С = А + В, которое состоит в появлении либо события А, либо события В, либо событий А и В одновременно.

ЗАМЕЧАНИЕ. Это определение напоминает определение суммы двух множеств и используется в теоретико-множественном подходе теории вероятностей.

ПРИМЕР 9. Приведем примеры суммы событий: произведены два выстрел а, и события А и В — попадания при первом и втором выстрелах соответственно; тогда А + В — попадание либо при первом выстреле, либо при втором, либо при обоих выстрелах.

Если события А и В несовместные, то сумма таких событий – это событие, состоящее в появлении какого-либо из этих событий.


Аналогично определяется сумма нескольких событий, как событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

 

ТЕОРЕМА 1. Вероятность появления какого-либо из  нескольких попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей:

Р(А12+...+Аn)=Р(А1)+Р(А2) +… +Р(Аn).  (3)

СЛЕДСТВИЕ. Вероятность появления какого-либо из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

ПРИМЕР 10. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 4 концентрические зоны. Вероятности попадания в эти области, соответственно равны 0,4, 0,3, 0,2 и 0,1. Найти вероятность попадания либо в первую, либо во вторую зоны.


РЕШЕНИЕ. Пусть событие Аэто попадание в первую зону мишени, а событие Впопадание во вторую зону мишени. Эти события несовместны, поэтому применимы теорема  1 и формула (3) сложения вероятностей. Искомая вероятность равна:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=0,4+0,3=0,7.

ПОЛНАЯ ГРУППА СОБЫТИЙ. 

ТЕОРЕМА 2. Сумма вероятностей событий A1, A2, …, An, образующих полную группу, равна единице:

Р(А1) + Р(А2) + ... + Р(Аn) = 1.

ПРИМЕР 11. На складе готовой продукции находятся изделия, среди которых 5% нестандартных. Найти вероятность того, что при выдаче изделия со склада оно будет стандартным.

РЕШЕНИЕ. Вероятность получения нестандартного изделия равна 0,05; события выдачи стандартного и нестандартного изделия образуют полную группу. Следовательно, сумма их вероятностей равна единице, и тогда искомая вероятность равна 0,95.

КАКИЕ СОБЫТИЯ НАЗЫВАЮТСЯ ПРОТИВОПОЛОЖНЫМИ?

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Два единственно возможных события, образующих полную группу, называются противоположными.

Если событие обозначено через А, то противоположное ему событие обозначается через Ā.

Из теоремы 2 следует равенство:


Р(А) + Р(Ā)
= 1. (4)

Например, если при стрельбе по мишени попадание – это событие А, то событие Ā – это промах; сумма их вероятностей равна единице: при выстреле обязательно будет либо попадание, либо промах. То же самое и при подбрасывании монеты:  обязательно выпадет либо орел, либо решка.


ПРИМЕР 12. В магазине имеется 10 телевизоров, из которых 2 имеют дефекты. Найти вероятность того, что среди наугад взятых 3-х телевизоров будет хотя бы один с дефектами.

 
РЕШЕНИЕ. События «
среди взятых телевизоров нет ни одного с дефектами» и «есть хотя бы один с дефектами» – противоположные. Первое из них обозначим через А, а второе обозначим через Ā. Общее число способов, которыми можно взять 3 телевизора из десяти, равно числу сочетаний:

С310=10!/(3!∙(10 – 3)!)=10∙9∙8/3!=120.

Число исправных телевизоров равно 8, число способов выборки из них трех телевизоров равно числу сочетаний

С38=8!/(3!∙(8 – 3)!)=8∙7∙6/3!=56.

Таким образом, вероятность P(A) события A «среди взятых телевизоров нет ни одного с дефектами» равна:

Р(А)=С38/ С310=56/120≈0,47.

Искомая вероятность определяется из формулы (4):

Р(Ā)=1–Р(А)=1–0,47=0,53.

ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

 

ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ ДВУХ СОБЫТИЙ?

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Произведением двух событий А и В называется событие А∙В, означающее совместное появление этих событий.

 
ПРИМЕР 13. Например, если событие А – шар, событие В – белый цвет, то их произведение А∙В – белый шар.

Аналогично определяется произведение нескольких событий, как совместное появление их всех.

КАК ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ БЕЗУСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ?

Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений кроме необходимого комплекса условий S не налагается, то такая вероятность называется безусловной. Если же налагаются другие дополнительные условия, содержащие случайные события, то вероятность такого события называется условной.

 КАК ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ?


ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.
Вероятность события В в предположении о наличии события А называют условной вероятностью РА(В).

ПРИМЕР 14. В ящике лежит 11 деталей, 3 детали из нихнестандартные. Из ящика дважды берут по одной детали, не возвращая их обратно. Найти вероятность того, что во второй раз из ящика будет извлечена стандартная деталь — событие В, если в первый раз была извлечена нестандартная деталь — событие А.

РЕШЕНИЕ. После первого извлечения (событие A) в ящике из 10 деталей осталось 8 стандартных, и, следовательно, искомая вероятность

РА(В) =8/10=0,8.  

Пусть теперь известны вероятность Р(А) события А и условная вероятность РА(В) события В. Тогда справедлива следующая теорема.

 
ТЕОРЕМА 3. Вероятность произведения  двух событий вычисляется по формуле:


Р(А∙В)=Р(А)∙РА(В). (5)

ПРИМЕР 14 (ПРОДОЛЖЕНИЕ). В условиях примера 14 найти вероятности того, что в первый раз извлечена нестандартная деталь, а во второй раз – стандартная, и наоборот.

РЕШЕНИЕ. Итак, событие А — это извлечение из ящика нестандартной детали, а событие В — стандартной. Тогда рассмотрим два случая.

Случай 1. Первый раз из ящика извлечена нестандартная деталь, а во второй раз – стандартная.  Тогда имеем следующие равенства.

Вероятность Р(А) = 3/11, а условная вероятность РА(В) = 0,8. Искомая вероятность произведения этих событий (их совместного появления в указанном порядке) равна, согласно теореме 3, 

Р(А∙В)=Р(А)∙РА(В)=(3/11)∙0,8=2,4/11≈0,22.

Случай 2. Первый раз из ящика извлечена стандартная деталь, а во второй раз – нестандартная.  Тогда имеем следующие равенства.

Вероятность Р(В) = 8/11, а условная вероятность РB(А)=0,3. Мы видим, что и в этом случае вероятность произведения событий

Р(BA)=Р(B)∙РB(A)=(8/11)∙0,3=2,4/11≈0,22. 

ЗАМЕЧАНИЕ. В примере 14 мы проверили известное в теории равенство

Р(А)∙РА(В)=Р(B)∙РB(A).

Теорема 3 допускает обобщение на случай произведения любого числа событий А1, А2, А3,…An,

 
Р(A1∙A2∙A3∙ … ∙An)=Р(A1)∙РA1(A2)∙РA1∙A2(A3)∙ … ∙ РA1∙A2∙A3∙ … ∙An-1(An).   (6)

То есть  вероятность совместного появления n событий равна произведению  n вероятностей, где

РA1∙A2∙A3∙ … ∙Ak-1(Ak)

 условные вероятности событий Аk в  предположении, что события A1, A2,A3, … Ak-1 уже произошли  (k=1,2, …, n).

ПРИМЕР 15. В коробке находится 4 белых шара, 5 красных и 3 синих. Из коробки наудачу извлекают по одному шару, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что в первый раз появится белый шар (событие А), во второй раз — красный (событие В), в третий — синий (событие С).

РЕШЕНИЕ. Всего в коробке находится 4+5+3=12 шаров.

Вероятность появления белого шара в первом извлечении равна:

Р(А)=4/12=1/3.

Условная вероятность появления красного шара во втором извлечении при условии появления в первый раз белого шара равна:

РА(В) =5/11.

Условная вероятность появления синего шара в третьем извлечении при условиях появления в предыдущих извлечениях белого и красного шаров равна

РА∙В(C) =3/10=0,3.

Искомая вероятность определяется по формуле (6) при n=3:


Р(ABC)=Р(A)∙РA(B)∙РAB(C)=(1/3)∙(5/11)∙0,3=1,5/11≈0,0455.

КАКИЕ СОБЫТИЯ НАЗЫВАЮТСЯ НЕЗАВИСИМЫМИ?

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Событие B называется независимым от события А, если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности (появление события А не влияет на вероятность события В):


Р(В) =РA(В).

Отсюда следует, что и событие А также независимо от события В:

Р(А)=РB(А).

Для НЕЗАВИСИМЫХ СОБЫТИЙ теорема умножения вероятностей 3  в общей форме, которая следует из (6), имеет вид:

 
Р(A1∙A2∙A3∙ … ∙An)=Р(A1)∙Р(A2)∙Р(A3)∙ … ∙ Р(An), n>1.   (7)

Равенство (7) принимается за определение независимых событий. При этом если события независимы, то независимы также и соответствующие противоположные события.


ПРИМЕР 16. Найти вероятность поражения цели при совместной стрельбе тремя орудиями, если вероятности поражения цели орудиями соответственно равны 0,9, 0,8 и 0,7 (события А, В и С).

РЕШЕНИЕ. Поскольку события А, В и С являются независимыми, то искомая вероятность вычисляется, согласно формуле (7), при n=3:


Р(А∙В∙С)=Р(А)∙Р(В)∙Р(С)=0,9∙0,8∙0,7=0,504.

Когда в результате испытания может иметь место n независимых событий с известными вероятностями их появления, особый интерес представляет случай нахождения вероятности наступления хотя бы одного из них (например, в случае трех событий найти вероятность наступления либо одного, либо двух, либо трех событий). Обозначим это событие через А.

Справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 4. Вероятность появления хотя бы одного из независимых событий А1, А2, ... , Аn  вычисляется по формуле:

 
Р(А)=1 –
q1q2∙ … ∙qn,  (8)

где величины (qi =1 – pi) – это вероятности соответствующих противоположных событий Āi (i =1,2,... , n), pi =P(Ai).

В частном случае, когда все события Аi имеют одинаковую вероятность p, из формулы (8) следует, что

Р(А) =1 – qn, где q=1 – p. (9)

ПРИМЕР 16 (ПРОДОЛЖЕНИЕ). В условиях примера 16 найти вероятность поражения цели (хоти бы одного попадания) при залповой стрельбе трех орудий.

РЕШЕНИЕ. Вероятности противоположных событий (промахов), соответственно, равны:

q1=0,1,

q2= 0,2,

q3=0,3.

Искомая вероятность находится по формуле (8) при n=3:


Р(А)=1 – q1q2q3= 1 – 0,1∙0,2∙0,3=1 – 0,006= 0,994.

Из этого примера наглядно видно преимущество совместного воздействия случайных событий с целью достижения общего результата.


ПРИМЕР 17. На перевозку груза направлены 4 автомобиля. Вероятность нахождения каждой из машин в исправном состоянии равна 0,8. Найти вероятность того, что в работе участвует хотя бы один из выделенных для этого автомобилей.

РЕШЕНИЕ. Вероятность противоположного события (машина неисправна) равна:

q=1 – 0,8=0,2.

По формуле (9) находим искомую вероятность при n=4:

Р(А)=1 – q4=1 – (0,2)4 =1 – 0,0016=0,9984.

ПРИМЕР 18. Вероятность обслуживания клиента одним операционистом в банке равна 0,6. Какое минимальное число операционистов должно работать в банке, чтобы вероятность обслуживания клиента была не менее 0,95?

РЕШЕНИЕ. Вероятность противоположного события (отказ в обслуживании клиента операционистом) равна 0,4. Пусть  n – количество операционистов, удовлетворяющее условию задачи, т.е.

Р(А)=1 – qn=1 – (0,4)n 0,95.     

Решая это неравенство, получаем:

 
(0,4)n 0,05.

 
Логарифмирование обеих частей этого неравенства дает неравенство:≥

nlg(0,05)/lg(0,4)≈3,27.

Поскольку по условию задачи n должно быть целым числом, окончательно получаем, что в банке должны работать не менее 4 операционистов.

РАЗДЕЛ 3. ОБОБЩЕНИЯ ТЕОРЕМ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ. СХЕМА НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ.


ПОЯВЛЕНИЕ ТОЛЬКО  ОДНОГО ИЗ НЕЗАВИСИМЫХ СОБЫТИЙ.  

Рассмотрим примеры совместного применения теорем сложения и умножения.

Пусть два независимых события А1 и А2 имеют вероятности появления соответственно Р1 и Р2. Найдем вероятность появления только одного из этих событий.  Для этого введем новые события: В1 и В2.

Событие В1 состоит в том, что событие А1 наступило, а событие А2 не наступило; иными словами, событие B равно произведению двух событий: события A1 и события, противоположного событию A2

В11∙Ā2 .

 Аналогичным образом определяется и событие В2 (событие А1 не наступило, а событие А2 наступило):

событие В2 1∙А2.

Поскольку события А1 и А2  независимы то независимы также и противоположные события:

 Ā1 и Ā2.

Тогда события В1 и В2 являются несовместными. Вероятность наступления только одного из событий А1 и А2 находится как сумма вероятностей несовместных событий В1 и B2:

 
Р(В1+В2)=Р(В1)
+ Р(В2)=Р(А1∙Ā2)+Р(Ā1∙А2)=Р(А1)∙P(Ā2)+Р(Ā1)∙P(А2)=p1∙q2+q1∙p2,    (10)

где q1= 1 – p1, q2=1 – p2.

Аналогичным образом можно убедиться в справедливости формулы вероятности наступления только одного из трех независимых событий А1, А2, А3 с вероятностями наступления соответственно p1, p2 и р3:

 
Р(В1+В2+
B3)=Р(В1) + Р(В2) +P(B3)=p1∙q2∙q3+p2q1∙q3+p3q1q2,    (11)

где события Вi (i=1,2,3) – произведения наступившего события Аi и двух других ненаступивших событий.  

Для случая n  НЕЗАВИСИМЫХ СОБЫТИЙ формула вероятности наступления только одного из них имеет аналогичный вид — сумма n слагаемых, каждый член которой представляет собой произведение вероятности  наступления одного из событий на вероятности (n – 1) других противоположных событий.

ПРИМЕР 19. Предприниматель решил вложить свои средства поровну в два контракта, каждый из которых принесет ему прибыль в размере 100%. Вероятность того, что любой из контрактов не «лопнет», равна 0,8. Какова вероятность того, что по истечении контрактов предприниматель, по меньшей мере, ничего не потеряет?

 
РЕШЕНИЕ. Предприниматель, по крайней мере, ничего не потеряет, если либо не «лопнет» один из контрактов (другой контракт возместит ему потери), либо будут выполнены  оба контракта.

Пусть события А1 и А2 это выполнение соответствующих контрактов (вероятности этих событий равны р=0,8); эти события являются независимыми. Противоположные им события Ā1 и Ā2 –   невыполнение соответствующих контрактов (вероятность q= 0,2). Тогда события  

 В1=А1∙Ā2,  В2=Ā1∙A2 и А1∙А2 (выполнение обоих контрактов) являются несовместными.

Искомая вероятность определяется с учетом формул (10) и (7):

 
Р(В1+В2+А1∙А2)=р1∙q2+q1∙p2+p1∙p2=p∙(1– p)+(1– p)∙p+pp=2∙0,8∙0,2+0,8∙0,8=

=0,32+0,64=0,96.

ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ  СОВМЕСТНЫХ СОБЫТИЙ.

 КАКИЕ СОБЫТИЯ НАЗЫВАЮТСЯ СОВМЕСТНЫМИ?


ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. События А и В называют совместными, если в одном и том же испытании появление одного из них не исключает появления другого.

Для таких событий справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 5. Вероятность суммы совместных событий равна сумме их вероятностей без вероятности их произведения:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В) – Р(А∙В). (12)

Из формулы (12) получается ряд следующих частных случаев.

1. Для НЕЗАВИСИМЫХ СОБЫТИЙ с учетом формулы (7)

Р(А+В)=Р(А)+Р(В) – Р(А)∙Р(В). (13)

2. Для ЗАВИСИМЫХ СОБЫТИЙ с учетом формулы (5)

Р(А+В)=Р(А)+Р(В) – Р(А)∙РА(В).  (14)

3. Для НЕСОВМЕСТНЫХ СОБЫТИЙ Р(А∙В)=0, и в этом случае имеем подтверждение теоремы 1 и формулы (3):

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

ПРИМЕР 20. Вероятности поражения цели первым и вторым стрелками равны соответственно 0,8 и 09. Найти вероятность поражения цели при залпе.

РЕШЕНИЕ. Поскольку вероятности поражения цели стрелками (события А и В соответственно) не зависят от результатов стрельбы каждого из напарников, то эти события независимы. Искомая вероятность рассчитывается по формуле (13):


Р(А+В)=Р(А)+Р(В) – Р(А)∙Р(В)=0,8+0,9 – 0,8∙0,9=1,7–0,72=0,98.

Аналогичный результат можно было бы получить и с применением формулы (8). Пусть событие А1 поражение цели, Ā1 и Ā2 – события, соответствующие промахам стрелков, тогда

Р(А1)=1 – Р(Ā1)∙Р(Ā2)=1 – 0,2∙0,1=0,98.       

ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ.

Пусть события В1, В2, ..., Вn несовместны и образуют полную группу, т.е., согласно теореме 2, выполняется равенство:

Р(В1)+Р(В2)+...+Р(Вn)=1.

Пусть также событие А может наступить при условии появления одного из событий Вi, (i=1, 2, …, n), причем известны как вероятности так и условные вероятности РBi(А) (i =1,2,..., n).

В таком случае формула для вероятности события А определяется следующей теоремой.

ТЕОРЕМА 6. Вероятность события А, появление которого возможно лишь при наступлении одного из несовместных событий Вi, образующих полную группу (i=1,2, … , n), равна сумме попарных произведений вероятности каждого из этих событий на соответствующую  вероятность появления события А:


Р(А)
=Р(В1)∙РB1(А)+Р(В2)∙РB2(А)+…+Р(Вn)∙РBn(А).      (14)

ПРИМЕР 21. В двух урнах находятся белые и красные шары:  в первой – 4 белых и 5 красных, во второй – 7 белых и 3  красных. Из второй урны наудачу взяли шар и переложили его в первую урну. Найти вероятность того, что наудачу взятый после этого из первой урны шар будет белым. 

РЕШЕНИЕ. Общее количество шаров во второй урне равно: 7+3=10. Перекладывание из второй урны в первую белого шара (событие В1) и красного шара (событие В2) образует полную группу независимых событий. Их вероятности соответственно равны:

Р(В1)=7/10=0,7;и

Р(В2)=3/10=0,3.

В первой урне первоначально находится 4+5=9 шаров. После добавления в первую урну одного шара (белого либо красного) в ней станет 10 шаров. Условные вероятности извлечения из первой урны белого шара (событие А) при добавлении туда белого или красного шара из второй урны соответственно равны:

РB1(А)=(4+1)/10=0,5;

РB2(А)=(5+1)/10= 0,6.

Искомая вероятность находится по формуле (14) при n=2:

Р(А)=Р(В1)∙РB1(А)+Р(В2)∙РB2(А)= 0,7∙0,5+0,3∙0,6=0,35+0,18=0,53.

ФОРМУЛЫ БАЙЕСА.

Пусть события В1, В2, ..., Вn  несовместны и образуют полную группу, а событие А может наступить при условии появления одного из них. События Вi называют гипотезами, так как заранее неизвестно, какое из них наступит. Пусть произведено испытание, и в результате появилось событие А. Тогда оказывается возможным определить условные вероятности гипотез  Вi по следующим формулам:


РА
i)=Р(Вi)∙РBi(А)/ Р(A)=Р(Вi)∙РBi(А)/( Р(В1)∙РB1(А)+Р(В2)∙РB2(А)+…+Р(Вn)∙РBn(А)),   (15)

i=1, 2, …, n.

Формулы (15) называются формулами Байеса, по имени их автора. Эти формулы позволяют оценить вероятность гипотезы Вi во всех испытаниях, где наступает событие А. Иными словами, зная вероятность Р(Вi) до проведения испытания, мы можем переоценивать ее после проведения испытания, в результате которого появилось событие А.

ПРИМЕР 22. Вероятность изготовления изделия с браком равна 0,08. После изготовления все изделия подвергаются проверке, в результате которой изделия без брака признаются годными с вероятностью 0,95, а изделия с браком — с вероятностью 0,06. Найти долю изделий, выпущенных после проверки, а также вероятность того, что выпущенное после проверки изделие окажется без брака.

РЕШЕНИЕ. Независимые события (гипотезы), образующие полную группу, — это В1 (изделие без брака) и В2 (изделие с браком). Пусть событие А заключается в том, что при проверке изделие признается годным.

Ответ на первый вопрос задачи дает формула (14):

Р(А)=Р(В1)∙РB1(А)+Р(В2)∙РB2(А)=0,92∙0,95+0,08∙0,06=0,8788.


Следовательно, после проверки признаются годными около 88% всех изготовленных изделий.

Ответ на второй вопрос задачи дает формула Байеса (5) при n=2 и i=1:

РA(В1)= Р(В1)∙РB1(А)/ Р(A)=0,92∙0,95/0,8788≈0,995.

Иными словами, среди изделий, прошедших проверку (то есть признанных годными), содержится 99,5% изделий без брака.

ПРИМЕР 23. В среднем из каждых 100 клиентов отделения банка 60 обслуживаются первым операционистом и 40 — вторым операционистом. Вероятность того, что клиент будет обслужен без помощи заведующего отделением, только самим операционистом, составляет 0,9 и 0,75 соответственно для первого и второго служащих банка. Найти вероятность полного обслуживания клиента первым операционистом.

РЕШЕНИЕ. Вероятность того, что клиент попадет к первом у операционисту (событие В1), составляет 0,6, ко второму — 0,4 (событие В2). Искомая вероятность полного обслуживания клиента первым операционистом (событие А) определяется по формулам (14) и (15):

РА(В1)=Р(В1)∙РB1(А)/Р(A)=0,6∙0,9/(Р(В1)∙РB1(А)+Р(В2)∙РB2(А))=0,53/(0,6∙0,9+0,4∙0,75)= 0,53/(0,53+0,3)≈0,64.

Иными словами, около 64% клиентов, попавших на обслуживание к первому операционисту, будут обслужены им полностью.

СХЕМА НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ.

 Формула Бернулли.
 
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Если при проведении нескольких испытаний вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других событий, то эти испытания называются независимыми относительно события А.

Будем рассматривать только такие независимые испытания, в которых событие А имеет одинаковую вероятность. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью р. Тогда вероятность противоположного события — ненаступления события А — также постоянна в каждом испытании и равна:

 q=1 – p.

В теории вероятностей представляет особый интерес случай, когда в n испытаниях событие А осуществится k  раз и не осуществится (nk) раз.

Вероятность этого сложного события, состоящего из n испытаний, определяется формулой Бернулли:

 
Р
n(k)=Cknpkqnk

или

Рn(k)=(n!/(k!∙(nk)!))∙pkqnk.     (16)

ПРИМЕР 24. Монету бросают 6 раз. Найти вероятности того, что герб выпадет:

1) 2 раза,

2) не менее двух раз.

РЕШЕНИЕ. Вероятности выпадения любой из двух сторон монеты одинаковы, т.е. р= 0,5.

1) В этом случае n=6, k=2. Отсюда согласно формуле (16) получаем:

 
Р6(2)26∙(0,5)2∙(0,5)4=15∙(0,5)60,2344.

2) Р6(2≤k≤6)=1—Р6(0) – P6(1)=1 – С06∙(0,5)0∙(0,5)6  – С16∙(0,5)1∙(0,5)5=1 – 1∙(0,5)0∙(0,5)6  – 6∙(0,5)1∙(0,5)5=1 – 7∙(0,5)6= 1 – 7/64=57/64≈0,89.

ПРИМЕР 25. Вероятность покупки бракованного  комплекта посуды равна 0,1. Найти вероятность того, что из 7 купленных комплектов 5 будут без брака.

РЕШЕНИЕ. Вероятность покупки комплекта без брака р=0,9, q=0,1 — это дано по условию задачи. Тогда искомая вероятность находятся по формуле (16):

Р7(5)=(7!/(5!∙(7 – 5)!))∙(0,9)5∙(0,1)7 –5 =21∙0,59049∙0,01=0,124.

ПРИМЕР 26. Контрольный тест состоит из 4 вопросов. На каждый вопрос предлагается 4 варианта ответа, среди которых только один правильный. Найти вероятность правильного ответа на два, три и четыре вопроса теста для неподготовленного человека (выбор ответа наудачу).

РЕШЕНИЕ. Искомые значения вероятности находятся по формуле Бернулли (16) с учетом того, что вероятность события А (правильный ответ) в каждом испытании (выбор ответа на вопрос теста) равна: p=0,25, тогда q=0,75. Отсюда получаем:

Р4(2)=(4!/(2!∙(4 – 2)!))∙(0,25)2∙(0,75)4 –2 =6∙9/(16∙16)≈0,211;

Р4(3)=(4!/(3!∙(4 – 3)!))∙(0,25)3∙(0,75)4 –3 =4∙3/(64∙4)≈0,047;

Р4(4)=(4!/(4!∙(4 – 4)!))∙(0,25)4∙(0,75)4 –4 =1/(256)≈0,004.

ЗАМЕЧАНИЕ. Использование формулы Бернулли (16) при больших значениях n и k представляется затруднительным ввиду увеличения объема вычислений и операций с большими числами. В этом случае применима формула, устанавливаемая локальной теоремой Лапласа. 

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.

 

[1] Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических  систем: Учеб. пособие. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Финансы и статистика, 2006. - 432 с.: ил.

 

 [2] Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учебник. 4-е изд., испр. – М.: Дело, 2003. – 688 с.

[3]Колемаев В.А. Экономико-математическое моделирование. Моделирование макроэкономических процессов и систем.  М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. - 295 с.

 

[4] Шелобаев С. И. Математические методы и модели в экономике,  финансах, бизнесе: Учеб. пособие для вузов. — М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2001. - 367 с.

[5] Шикин Е. В., Чхартишвили А. Г. Математические методы и модели в управлении: Учеб. пособие. — 3-е изд. — М.: Дело, 2004. — 440 с. — (Серия «Классический университетский учебник»).