Аналитическая геометрия. Конус

Линии второго порядка на плоскости. Диаметры. Эллипс. Парабола. Гипербола. Диаметры. Поверхности второго порядка. Эллипсоид. Мнимый, вырожденный эллипсоид. Гиперболоид однополостный, двуполостный. Конус. Параболоид эллиптический, гиперболический. Цилиндр.

Решение задач и выполнение научно-исследовательских разработок: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
математика, IT, информатика, программирование, статистика, биостатистика, экономика, психология
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии

Аналитическая геометрия Bodrenko.com
Bodrenko.org
8.3 Конус.

Определение. Поверхность в пространстве называется l-кратно линейчатой поверхностью, если через любую ее точку проходит l(и только l) различных прямых, целиком на ней лежащих. Эти прямые называются прямолинейными образующими линейчатой поверхности.
Конус. К этому типу принадлежат поверхности, имеющие в некоторой системе прямоугольных координат x, y, z уравнение вида

(8.3.1)

где a ≥ b > 0, c > 0 и 1 / a² + 1 / b² + 1 / c² = 1. Они называются действительными конусами второго порядка.
       Координатные плоскости являются плоскостями симметрии конуса (8.3.1), а начало координат - его центром симметрии.
       Вообще, конусом называется линейчатая поверхность, все прямолинейные образующие которой проходят через одну точку, называемую вершиной конуса.
       Для любой точки М₀(x₀, y₀, z₀) поверхности (8.3.1), отличной от О(0, 0, 0), каждая точка вида (tx₀, ty₀, tz₀), т.е. каждая точка прямой ОМ₀, принадлежит этой поверхности:

Таким образом поверхность (8.3.1) действительно является конусом.
Направляющей конуса называется произвольная расположенная на нем линия, обладающая тем свойством, что любая прямолинейная образующая пересекает ее в одной и только одной точке.
Примером направляющей конуса (8.3.1) может служить его сечение произвольной плоскостью вида z = h, где h ≠ 0. Это сечение является эллипсом с полуосями

монотонно возрастающими вместе с |h| от нуля до +∞. Прямая, проходящая через центры эллипсов, получающихся таким способом при различных h, т.е. ось Oz, называется осью конуса. Если пересекать конус (8.3.1) плоскостями, не перпендикулярными оси, можно получить окружность. Поэтому конус (8.3.1) называется также круговым конусом или косым круговым конусом. В случае, когда ось конуса прходит через центр окружности, - что имеет место тогда и только тогда, когда плоскость окружности перпендикулярна оси, или, иначе, когда a = b, - конус (8.3.1) называется прямым круговым конусом.
Направляющими конуса (8.3.1) - или, иначе, этого конуса без двух образующих - будут также его сечения плоскостями y = h и x = h, где h ≠ 0, являющиеся гиперболами с полуосями

также монотонно возрастающими вместе с |h| от нуля до +∞.
Плоскость z = 0 пересекает конус (8.3.1) по точке, а плоскости y = 0 и x = 0 - по парам прямых (двум образующим).
Плоскими сечениями (и направляющими) конуса (8.3.1) являются не только эллипсы и гиперболы, но и параболы. Так, например, параболой будет сечение конуса (8.3.1) любой плоскостью вида

Действительно, числа x, y являются на этой плоскости аффинными координатами, а уравнение линии, высекаемой на ней конусом (8.3.1), имеет в этих координатах вид

Несложным преобразованием это уравнение приводится к виду

которое определяет параболу.