Аналитическая геометрия. Эллипсоид. Мнимый, вырожденный эллипсоид

Линии второго порядка на плоскости. Диаметры. Эллипс. Парабола. Гипербола. Диаметры. Поверхности второго порядка. Эллипсоид. Мнимый, вырожденный эллипсоид. Гиперболоид однополостный, двуполостный. Конус. Параболоид эллиптический, гиперболический. Цилиндр.

Решение задач и выполнение научно-исследовательских разработок: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
математика, IT, информатика, программирование, статистика, биостатистика, экономика, психология
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии

Аналитическая геометрия Bodrenko.com
Bodrenko.org
8.1 Эллипсоид. Мнимый, вырожденный эллипсоид.

Поверхности второго порядка имеют уравнение вида

F(x, y, z) = 0,

где F(x, y, z) - некоторый многочлен от x, y, z второй степени.
Эллипсоид. К этому типу принадлежат поверхности, имеющие в некоторой системе прямоугольных координат x, y, z уравнение вида

(8.1.1)

где a ≥ b ≥ c > 0. Они называются эллипсоидами.
При а = b = с эллипсоид является сферой радиуса а.
Рассмотрим плоскость z = h, параллельную плоскости Oxy. На этой плоскости числа x, y являются координатами, а уравнение линии, высекаемой на ней эллипсоидом (8.1.1), имеет в этих координатах вид

т.е. вид

Следовательно, плоскость z = h при |h| > c не пересекает эллипсоид (8.1.1), при |h| = c имеет с эллипсоидом (8.1.1) единственную общую точку ((0, 0, с) при h = c и (0, 0, -c) при h = -c) и при h < c пересекает эллипсоид (8.1.1) по эллипсу с полуосями

наибольшими (и равными а и b) при h = 0 и монотонно уменьшающимися до нуля, когда |h| возрастает от нуля до с.
Аналогично показывается, что плоскость y = h при |h| > b не пересекает эллипсоид (8.1.1), при |h| = b имеет с эллипсоидом (8.1.1) единственную общую точку ((0, b, 0) при h = b и (0, -b, 0) при h = -b) и при h < b пересекает эллипсоид (8.1.1) по эллипсу с полуосями

наибольшими (и равными а и c) при h = 0 и монотонно уменьшающимися до нуля, когда |h| возрастает от нуля до b.
Точно так же плоскость x = h при |h| > a не пересекает эллипсоид (8.1.1), при |h| = a имеет с эллипсоидом (8.1.1) единственную общую точку ((a, 0, 0) при h = a и (-a, 0, 0) при h = -a) и при h < a пересекает эллипсоид (8.1.1) по эллипсу с полуосями

наибольшими (и равными b и c) при h = 0 и монотонно уменьшающимися до нуля, когда |h| возрастает от нуля до a.
        Это дает удовлетворительное представление о форме эллипсоида (8.1.1). В частности, видно, что эллипсоид (8.1.1) целиком расположен в прямоугольном параллепипеде с центром в точке О(0, 0, 0), с гранями, параллельными координатным плоскостям, и со сторонами, имеющими длины 2а, 2b и 2с.
       Так как уравнение (8.1.1) не меняется при изменении знаков координат x, y, z, то координатные плоскости являются плоскостями симметрии эллипсоида (8.1.1), а начало координат - его центром симметрии.
        При a > b > c никаких других плоскостей симметрии не имеет.
        Мнимый эллипсоид. К этому типу принадлежат поверхности, имеющие в некоторой системе прямоугольных координат x, y, z уравнение вида

(8.1.2)

где a ≥ b ≥ c > 0. Они вещественных точек не имеют и называются мнимыми эллипсоидами.
Вырожденный эллипсоид. К этому типу принадлежат поверхности, имеющие в некоторой системе прямоугольных координат x, y, z уравнение вида

(8.1.3)

где a ≥ b ≥ c > 0 и 1 / a² + 1 / b² + 1 / c² = 1. Они имеют единственную вещественную точку О(0, 0, 0) и называются вырожденными эллипсоидами.