Линии второго порядка на плоскости. Диаметры. Эллипс. Парабола. Гипербола. Диаметры. Поверхности второго порядка. Эллипсоид. Мнимый, вырожденный эллипсоид. Гиперболоид однополостный, двуполостный. Конус. Параболоид эллиптический, гиперболический. Цилиндр.

Решение задач и выполнение научно-исследовательских разработок: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org    
математика, IT, информатика, программирование, статистика, биостатистика, экономика, психология
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии

 Аналитическая геометрия Bodrenko.com
Bodrenko.org
8.1 Эллипсоид. Мнимый, вырожденный эллипсоид.


       Поверхности второго порядка имеют уравнение вида
F(x, y, z) = 0,
где F(x, y, z) - некоторый многочлен от x, y, z второй степени.
        Эллипсоид. К этому типу принадлежат поверхности, имеющие в некоторой системе прямоугольных координат x, y, z уравнение вида
              (8.1.1)
где a ≥ b ≥ c > 0. Они называются эллипсоидами.
       При а = b = с эллипсоид является сферой радиуса а.
        Рассмотрим плоскость z = h, параллельную плоскости Oxy. На этой плоскости числа x, y являются координатами, а уравнение линии, высекаемой на ней эллипсоидом (8.1.1), имеет в этих координатах вид
т.е. вид
Следовательно, плоскость z = h при |h| > c не пересекает эллипсоид (8.1.1), при |h| = c имеет с эллипсоидом (8.1.1) единственную общую точку ((0, 0, с) при h = c и (0, 0, -c) при h = -c) и при h < c пересекает эллипсоид (8.1.1) по эллипсу с полуосями
наибольшими (и равными а и b) при h = 0 и монотонно уменьшающимися до нуля, когда |h| возрастает от нуля до с.
        Аналогично показывается, что плоскость y = h при |h| > b не пересекает эллипсоид (8.1.1), при |h| = b имеет с эллипсоидом (8.1.1) единственную общую точку ((0, b, 0) при h = b и (0, -b, 0) при h = -b) и при h < b пересекает эллипсоид (8.1.1) по эллипсу с полуосями
наибольшими (и равными а и c) при h = 0 и монотонно уменьшающимися до нуля, когда |h| возрастает от нуля до b.
        Точно так же плоскость x = h при |h| > a не пересекает эллипсоид (8.1.1), при |h| = a имеет с эллипсоидом (8.1.1) единственную общую точку ((a, 0, 0) при h = a и (-a, 0, 0) при h = -a) и при h < a пересекает эллипсоид (8.1.1) по эллипсу с полуосями
наибольшими (и равными b и c) при h = 0 и монотонно уменьшающимися до нуля, когда |h| возрастает от нуля до a.
        Это дает удовлетворительное представление о форме эллипсоида (8.1.1). В частности, видно, что эллипсоид (8.1.1) целиком расположен в прямоугольном параллепипеде с центром в точке О(0, 0, 0), с гранями, параллельными координатным плоскостям, и со сторонами, имеющими длины 2а, 2b и 2с.
       Так как уравнение (8.1.1) не меняется при изменении знаков координат x, y, z, то координатные плоскости являются плоскостями симметрии эллипсоида (8.1.1), а начало координат - его центром симметрии.
        При a > b > c никаких других плоскостей симметрии не имеет.
        Мнимый эллипсоид. К этому типу принадлежат поверхности, имеющие в некоторой системе прямоугольных координат x, y, z уравнение вида
             (8.1.2)
где a ≥ b ≥ c > 0. Они вещественных точек не имеют и называются мнимыми эллипсоидами.
        Вырожденный эллипсоид. К этому типу принадлежат поверхности, имеющие в некоторой системе прямоугольных координат x, y, z уравнение вида
             (8.1.3)
где a ≥ b ≥ c > 0 и 1 / a² + 1 / b² + 1 / c² = 1. Они имеют единственную вещественную точку О(0, 0, 0) и называются вырожденными эллипсоидами.

© www.Bodrenko.org: Irina I. Bodrenko. All rights reserved. 2009
© www.Bodrenko.org: Бодренко Ирина Ивановна. Все права защищены. 2009