Аналитическая геометрия. Особые и неособые направления. Диаметр

Линии второго порядка на плоскости. Диаметры. Эллипс. Парабола. Гипербола. Диаметры. Поверхности второго порядка. Эллипсоид. Мнимый, вырожденный эллипсоид. Гиперболоид однополостный, двуполостный. Конус. Параболоид эллиптический, гиперболический. Цилиндр.

Решение задач и выполнение научно-исследовательских разработок: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
математика, IT, информатика, программирование, статистика, биостатистика, экономика, психология
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии

Аналитическая геометрия Bodrenko.com
Bodrenko.org
7.4 Особые и неособые направления. Диаметр.

а₁₁x² + 2а₁₂xy + а₂₂y² + 2а₁₃x + 2а₂₃y + а₃₃ = 0 (7.4.1)

- произвольная линия второго порядка на аффинной плоскости.
Для любого направления l : m координаты x₀, y₀ точек М₀(x₀, y₀) удовлетворяют уравнению

(а₁₁l + а₁₂m)x + (а₁₂l + а₂₂m)y + (а₁₃l + а₂₃m) = 0. (7.4.2)

Направление l : m называется особым, если

а₁₁l + а₁₂m = 0,
а₁₂l + а₂₂m = 0; (7.4.3)

в противном случае оно называется неособым.
Для неособого направления уравнение (7.4.2) определяет некоторую прямую. Эта прямая называется диаметром, сопряженным с неособым направлением l : m.
Поскольку

а₁₁l² + 2а₁₂lm + а₂₂m² = (а₁₁l + а₁₂m)l + (а₁₂l + а₂₂m)m,

каждое особое направление является асимптотическим.
Для каждой центральной линии все направления неособы. Для нецентральных линий существует единственное особое направление -а₁₂ : а₁₁ = -а₂₂ : а₁₂. Для нецентральных линий асимптотическое направление особо.
Для неособого направления l : m диаметр (7.4.2) имеет направление -(а₁₁l + а₂₂m) : (а₁₁l + а₁₂m). Поэтому, если направление l : m является асимптотическим, и, значит,

(а₁₁l + а₁₂m)l + (а₁₂l + а₂₂m)m = 0,

то оно будет совпадать с направлением диаметра (7.4.2).
       Направление l : m называется хордальным (для линии (7.4.1)), если существует по крайней мере две прямые этого направления, каждая из которых пересекает линию (7.4.1) в двух различных точках.
       Любое хордальное направление является неасимптотическим.
        Диаметр линии (7.4.1), сопряженный с хордальным направлением l : m, однозначно характеризуется как прямая, проходящая через середины отрезков, высекаемых линией (7.4.1) на прямых этого направления.
        Все диаметры линии (7.4.1) проходят через каждый ее центр. Нецентральная линия, обладающая прямой центров, имеет единственный диаметр, совпадающий с этой прямой.
       Что касается центральных линий, то любая прямая, проходящая через центр, является диаметром. Действительно, требование, чтобы прямая Ax + By + C = 0 проходила через центр линии (7.4.1), означает, что эта прямая проходит через точку пересечения прямых

а₁₁x + а₁₂y + а₁₃ = 0 и а₂₁x + а₂₂y + а₂₃ = 0.

Поэтому существуют такие числа l и m, что

А = а₁₁l + а₂₁m, В = а₁₂l + а₂₂m, С = а₁₃l + а₂₃m.

Но тогда прямая Ax + By + C = 0 и будет диаметром , сопряженным с направлением l : m.
Направление

l^' : m^' = -(а₁₂l + а₂₂m) : (а₁₁l + а₁₂m)

диаметра (7.4.2), сопряженного с направлением l : m, удовлетворяет соотношению

(а₁₁l + а₁₂m) l^' + (а₁₂l + а₂₂m)m^' = 0,

т. е. соотношению

а₁₁ll^' + а₁₂(lm^' + ml^') + а₂₂mm^' = 0. (7.4.4)

Направление l^' : m^' называется сопряженным с направлением l : m, если выполнено условие (7.4.4).
Два диаметра центральной линии (7.4.1) называются сопряженными, если они имеют сопряженные направления , т.е. каждый сопряжен с направлением другого. Для нецентральных линий понятие сопряженных диаметров не определяется. Диаметр тогда и только тогда самосопряжен, т.е. сопряжен с самим собой, когда он является асимптотой.