Аналитическая геометрия. Парабола

Линии второго порядка на плоскости. Диаметры. Эллипс. Парабола. Гипербола. Диаметры. Поверхности второго порядка. Эллипсоид. Мнимый, вырожденный эллипсоид. Гиперболоид однополостный, двуполостный. Конус. Параболоид эллиптический, гиперболический. Цилиндр.

Решение задач и выполнение научно-исследовательских разработок: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
математика, IT, информатика, программирование, статистика, биостатистика, экономика, психология
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии

Аналитическая геометрия Bodrenko.com
Bodrenko.org
7.2 Парабола.

Определение 7.2. Линия на евклидовой плоскости называется параболой, если существует система прямоугольных координат x, y, в которой уравнение этой линии имеет вид

y² = 2px, где p > 0. (7.2.1)

Прямоугольные координаты x, y называются каноническими координатами для данной параболы, а уравнение (7.2.1) - ее каноническим уравнением.
Ось абсцисс системы канонических координат является осью симметрии параболы(т.к. при изменении знака y y, уравнение (7.2.1) не меняется). Эта прямая называется фокальной осью параболы. При x < 0 точек, удовлетворяющих уравнению (7.2.1), не существует. Это означает, что вся парабола расположена в полуплоскости x ≤ 0. Ось ординат x = 0 парабола (7.2.1) пересекает только в точке О(0, 0), которая называется вершиной параболы.
Отношение

сиремится к нулю, когда x → +∞. Это означает, что начиная с достаточно большого x, парабола содержится в любом симметричном угле, охватывающем положительную полуось оси абсцисс. Если смотреть вдоль этой полуоси, то парабола будет казаться сходящейся, но на самом деле она сколь угодно далеко отходит от оси абсцисс
(т.к. |y| → +∞ при x → +∞).
       Следовательно, ось параболы является ее единственной осью симметрии. Действительно, пусть d - произвольная ось симметрии параболы (7.2.1) и пусть АОВ - произвольный симметричный угол, охватывающий положительную полуось оси параболы. При симметриии в оси d угол АОВ переходит в некоторый угол A^'O^'B^', обладающий вместе с углом АОВ свойством содержать почти всю параболу(7.2.1). Поэтому пересечение углов АОВ и A^'O^'B^' также будет содержать почти всю параболу (7.2.1) и, значит, будет простираться в бесконечность. С другой стороны, если биссектрисы этих углов непараллельны (что имеет место тогда и только тогда, когда ось d непараллельна оси параболы), то их пересечение либо пусто, либо является четырехугольником конечного размера. Это доказывает, что ось d должна быть параллельна оси параболы (оси абсцисс канонической системы координат). Но симметрия относительно оси, параллельной оси абсцисс, переводит ось ординат в себя и потому должна оставлять точкуО на месте(т.к. эта точка является единственной общей точкой параболы и оси ординат). Поскольку это возможно только тогда, когда ось d проходит через точку О, этим доказано, что эта ось является осью параболы (7.2.1).
       По аналогичным соображениям у параболы нет центра симметрии.
       Таким образом, ось и вершина параболы однозначно характеризуются чисто геометрически, без обращения к каким - либо координатам: ось есть ось симметрии, а вершина - общая точка параболы и оси. Это означает, что оси системы канонических координат также однозначно характеризуются параболой: ось абсцисс - как ее ось, а ось ординат - как прямая, походящая через вершину перпендикулярно оси. Положительное направление оси также определяетсяпараболой (как направление, задающее полуплоскость, в которой она расположена).
       Этим доказано, что, с точностью до изменения ориентации оси ординат,канонические координаты однозначно определены параболой.
       Поэтому все объекты, определяющиеся с помощью канонических координат, но не зависящие от ориентации оси ординат, будут инвариантно связаны с параболой. К ним относятся:
       число p, называемое фокальным параметром,
       число p / 2, называемое фокусным расстоянием,
       точка (p / 2, 0), называемая фокусом,
       прямая x = -p / 2, называемая директрисой.
       Парабола является множеством (или "геометрическим местом") всех точек, раноудаленных от фокуса и директрисы. Действительно, условие равноудаленности

после возведения в квадрат и приведения подобных членов превратится в уравнение (7.2.1), и наоборот, если y² = 2px, то это условие, очевидно, выполнено.
Это свойство параболы называется ее директориальным свойством.
Касательная к кривой y = f(x) в ее точке М₀(x₀, y₀) (определяемая как предельное подложение секущей) имеет уравнение

y - y₀ = f^'(x₀)(x - x₀).

Это общее утверждение применимо, в частности , к части параболы, расположенной в верхней полуплоскости y > 0 и задаваемой уравнением

. Так как

то, следовательно, касательная к параболе (7.2.1) в ее точке М₀(x₀, y₀), y₀ > 0, задается уравнением

Поскольку y²₀ = 2px₀, это уравнение после умножения на y₀ и приведения подобных членов может быть записано в виде

y₀y = p(x + x₀). (7.2.2)

Это же уравнение получается и при y₀ ≤ 0(при y₀ = 0 касательной является ось ординат x = 0). Таким образом, касательная к параболе (7.2.1) в произвольной точке
М₀(x₀, y₀) имеет уравнение (7.2.2).
Отрезок, соединяющий фокус параболы с ее точкой М₀, называется фокальным радиусом точки М₀.
Прямая (7.2.2) пересекает ось абсцисс y = 0 в точке А(-x₀, 0), находящейся на том же расстоянии x₀ + p / 2 от фокуса F(p / 2, 0) параболы, что и точка касания М₀(x₀, y₀). Поэтому угол АМ₀F между касательной и фокальным радиусом точки касания равен углу М₀АF между касательной и положительным направлением оси абсцисс. Другое доказательство. Направляющий вектор прямой (7.2.2) имеет координаты ( y₀, p), а прямая FМ₀ - координаты (x₀ - p / 2, y₀). Поэтому для угла φ между этими прямыми имеет место - в силу директориального свойства - равенство

Но то же равенство имеет место и для угла между прямой (7.2.2) и осью абсцисс.
Это свойство параболы называется ее оптическим свойством. Если представить себе, что из фокуса F параболы испускаются лучи света, то поскольку угол падения равен углу отражения, все отраженные лучи будут параллельны оси параболы.