Скалярное произведение. Векторное и смешанное произведение. Линии и поверхности первого порядка. Понятие об уравнениях линии и поверхности. Уравнение прямой на плоскости. Уравнение плоскости в пространстве. Прямая в пространстве. Проекции вектора и координаты.

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии

 Аналитическая геометрия Bodrenko.com
Bodrenko.org
4.2 Векторное и смешанное произведение.

       Ориентация в вещественном линейном пространстве.Два базиса и линейного пространства V называются одинаково ориентированными, если матрица перехода Сe→e' имеет положительный определитель, и противоположно ориентированными − в противном случае.
    Замечание 1. Из определения и из свойств определителя следует, что два базиса, получающиеся друг из друга
       − перестановкой двух их векторов или
       − умножением какого - либо вектора на отрицательное число, противоподложно ориентированы.
    Теорема 4.4. Отношение одинаковой ориентированности является отношением эквивалентности на множестве всех базисов пространства V.     Доказательство.Действительно, рефлексивность отношения следует из того, что переход от базиса к самому себе осуществляется с помощью единичной матрицы, симметричность − из теоремы 17.5 и очевидного факта: |C-1| · |C| > 0, транзитивность − из того, что если e' = eC, e" = e'D, то e" = e(CD), при этом |CD| = |C| · |D| > 0. Теорема доказана.
        Так как определитель матрицы перехода от одного базиса к другому либо положителен, либо отрицателен, то множество всез базисов пространства разбивается отношением одинаковой ориентированности ровно на два непересекающихся класса (класса эквивалентности) так, что всякий базис принадлежит одному и только одному классу, два базиса одного класса одинаково ориентированы, а любые два базиса из разных классов противоположно ориентированы.
       Один из классов называют классом правых (или положительно ориентированных) базисов, а другой − левых (отрицательно ориентированных). Каждый из этих двух классовназывается ориентацией пространства. Вещественное линейное пространство с выбранной на нем ориентацией называется ориентированным пространством. Так как класс эквивалентности порожлается любым своим представителем, то для того, чтобы ориентировать линейное пространство, достаточно задать один какой - нибудь базис пространства и объявить положительно ориентированными все одноименные с ним базисы.
       Класс правых базисов на плоскости V2 и в пространствеV3 обычно выбирают следующим образом:
       − упорядоченную пару неколлиниарных векторов e1, e2 плоскости называют правой (положительно ориентированной), если кратчайший поворот (рис. 1) от e1 к e2 выполняется против часово=й стрелки, и левой(отрицательно ориентированной) − в противном случае (начала векторов считаются совмещенными);
       − упорядоченную тройку неколлиниарных векторов e1, e2, e3 пространства назыавют првой ( положительно ориентированной ), если из конца вектора e3 (рис. 2) кратчайший поворот от e1 к e2 виден против часовой стрелки, и левой (отрицательно ориентированной) − в противном случае (начала векторов торйки считаются совмещенными).
       Практически задание ориентации в геометрических постранствах означает задание направления движения на прямой (против часовой стрелки или наоборот) или винта в пространстве (проавогоили левого).
       Определения, основные факты. Пусть впространстве V3 выбрана ориентация. Базисы, задающие эту ориентацию, назовем правыми (положительными).
       Векторным произведением ненулевых векторов a и b называется вектор c такой, что:
  2. с ортогонален каждому из векторов a и b и если с ≠ 0, то
  3. с направлен так, что упорядоченная тройка a, b, с − правая.
Если один из векторов a или b нулевой, то векторное произведение считается равным 0. Обозначение: [a, b].
    Теорема 4.5. (критеий коллиниарности).Векторы a и b коллиниарны тогда и только тогда, когда [a, b] = 0.
    Доказательство.Действительно векторы a или b коллиниарны тогда и только тогда, когда либо а = 0, либо b = 0, либо ; это раносильно тому, что |[a, b]| = 0, т.е. [a, b] = 0. Теорема доказана.
    Замечание 2. Из теоремы 4.5 следует, что определение векторного произведения [a, b] для коллиниарных векторов a и b заканчивается требованием 1. Если же a и b не коллиниарны, то условия 1 и 2 означают, что:
     a) |[a, b]| = Sab, где Sab − площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b;      б) вектор [a, b] перпендикулярен пллоскости π (a, b), определяемой векторами a и b.
     Теорема 4.6. Векторное произведение антикоммутативно, т.е. [a, b] = -[b, a], ∀ a, b.
    Доказательство.Утверждение теоремы очевидно, если a и b коллиниарны. Пусть a и b не коллиниарны, тогда [a, b] ≠ 0, [b, a] ≠ 0, при этом |[a, b]| = |[b, a]| = Sab и [a, b], [b, a] перпендикулярны плоскости π (a, b). Значит, либо [a, b] = [b, a], либо [a, b] = - [b, a]. Но вектор [b, a] ≠ [a, b], так как тройка векторов b, a, [b, a] − правая (по определению векторного произведения) и, следовательно, тройка a, b, [b, a] − левая. Теорема доказана.
       Смешаннным произведением векторов a, b и c называется число, равное скалярному произведению векторного произведения a и b на вектор с. Обозначение: (a, b, c). Итак, (a, b, c) = ([a, b], c).
     Теорема 4.7. (критерий компланарности). Векторы а, b, c компланарны тогда итолько тогда, когда (а, b, c) = 0.
    Доказательство. Необходимость. Пусть а, b, c компланарны. будем считать,что а и b не коллиниарны и с ≠ 0 (в каждом из этих случаев, очевидно, (а, b, c) = 0). Тогда а, b, c параллельны плоскости π(a, b), причем [a, b] ⊥ π(a, b). Следовательно, ([a, b], c) = 0.
     Достаточность. Путсь (а, b, c) = 0. Тогда либо |[a, b]| = 0, либо |c| = 0, либо cos φ = 0, где φ − угол между векторами [a, b] и с. Это означает, что либо a и b коллиниарны, либо с = 0, либо с параллелен плоскости π(a, b). Во всех этих случаях a, b и c компланарны. Теорема доказана.
    Теорема 4.8. Смешанное произведение некомпланарных векторов a, b и c равно по абсолютной величине объему V параллепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a, b и c. Причем
    Доказательство. Из некомпланарности векторов a, b и c следует, что a и b не коллиниарны и с ≠ 0.
    Отложив векторы a, b и c от одной точки О (рис. 3), получим параллелепипед, ребрами которого являются эти векторы. Обозначим через h высоту параллелепипеда, опущенную из конца вектора с. Тогда V = Sabh. Отсюда и из замечания 2 следует, что
V = |[a,b]| · |c| · |cosφ| = |(a, b, c)|.             4.2.1
Знак (a, b, c) определяется только знаком cos φ, но cos φ > 0 тогда и только тогда, когда векторы [a, b] и с направлены в одну сторону от плоскости π(a, b), т.е. тогда и только тогда, когда тройка a, b, c − правая. В силу (4.2.1) отсюда следует утверждение теоремы. Теорема доказана.
     Теорема 4.9. Для любых векторов a, b, c
([a, b], c) = (a, [b, c]).             4.2.2
     Доказательство. Утверждение очевидно для компланарных векторов a, b, c (в силу теоремы 4.7). Пусть a, b, c − не компланарны. Тогда тройки a, b, c и b, c, а одинаково ориентированы (замечание 1). Так как (a, [b, c]) = (b, c, а), то из теоремы 4.8 следует (4.2.2). Теорема доказана.
    Следствие 1. Для любых векторов a, b, c
(a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b) = - (b, a, c) = - (a, c, b) = - (c, b, a).             4.2.3

     Следствие 2. Смешанное произведение линейно по каждому из сомножителей. Это утверждение вытекает из (4.2.2) и линейности скалярного произведения. Доказано.
    Теорема 4.10. Векторное произведение линейно по каждому из сомножителей.
    Доказательство. В силу теоремы 4.6 достаточно показать, что для любых векторов a, b, c и любого числа α ∈ R имеют место равенства [a +b, c] = [a, c] + [b, c] и [αa, b] = α[a, b]. Пусть d = [a +b, c] - [a, c] - [b, c]. Тогда (d, d) = (a + b, c, d) - (a, c, d) - (b, c, d). Из линейности смешанного произведения следует, что (d, d) = (a, c, d) + (b, c, d)- (a, c, d) - (b, c, d) = 0. Это доказывает первое из требуемых равенств. Второе равенство доказывается аналогично. Теорема доказана.
       Векторное и смешанное произведения в прямоугольных координатах. Пусть e1, e2, e3 − ортонормированный базис пространства и пусть e1, e2, e3 − правая тройка.
      1. Найдем координаты векторного произведения [a, b], если вектры a = {a1, a2, a3} и b = {b1, b2, b3} заданы своими координатами в базисе e1, e2, e3. Согласно теоремам 4.5 и 4.10 имеем [a, b] = [a1e1 +a2e2 + a3e2, b1e1 + b2e2 + b3e3] = a1b1[e1, e2] + a1b3[ e1, e3] + a2b1[e2, e1] + a2b3[e2, e3] + a3b1[ e3, e1] + a3b2[e3, e2]. Отсюда в силу теоремы 4.6 следует, что
Пусть [a, b] = xe1 + ye2 + ze3. Тогда, применяя (4.1.4), теоремы 4.6 - 4.8 и замечание 1 (параграфа 4.2), получаем, что
Аналогично
Итак,
             4.2.4
или, в условной записи в виде мнемонического определителя,
                  4.2.5
(имеется в виду разложение этого определителя по первой строке).
      2. Из (4.2.4) и (4.1.5) непосредственно находим и смешанное произведение векторов a = {a1, a2, a3}, b = {b1, b2, b3}, с = {с1, с2, с3}, заданных своими координатами в ортонормированном базисе:
                  4.2.6

    Замечание 1. Если исходный базис e1, e2, e3 отрицательно ориентирован, то (e1, e2, e3) = -1 ( теорема 4.8) и, следовательно, в соотношениях (4.2.4) - (4.2.6) следует поменять знаки на противоположные:

© www.Bodrenko.org: Irina I. Bodrenko. All rights reserved. 2009
© www.Bodrenko.org: Бодренко Ирина Ивановна. Все права защищены. 2009