Bodrenko.com Bodrenko.org
Примеры

§ 1.9 База и предбаза топологии.

  1. Пусть X = {а, b, с}, А = {b, с}, В = {а, с}. Покажем, что совокупность множеств S = {X, А, В, } не может служить базой никакой топологии на X. Действительно, непосредственная проверка показывает, что объединение любого семейства множеств из S принадлежит S. Следовательно, если бы S являлась базой некоторой топологии, то эта топология совпала бы с S. Но S не является топологией, так как А В S.

  2. На числовой прямой R1 со стандартной топологией всевозможные бесконечные интервалы вида (-∞, а), (b, +∞), где числа а, b R1, образуют предбазу, не образуя базы.

§ 1.10 Непрерывные отображения.

    Пусть X - бесконечное множество с топологией конечных дополнений, R1 - числовая прямая со стандартной топологией, f : X R1 - непрерывное отображение. Покажем, что f является постоянным отображением. Предположим противное. Это значит, что найдутся точки х1, x2 X, х1 х2, такие, что при отображении f они имеют различные образы: f(х1) f(х2). Обозначим f(х1) = у1, f(х2) = у2, и пусть Bε1), Bε2) - некоторые непересекающиеся ε-окрестности этих точек. Тогда полные прообразы f-1(Bε1)), f-1(Bε2)) - непустые открытые в X множества, то есть: f-1(Bε1))= X\K1, f-1(Bε2))= X\K2, где K1, K2-некоторые конечные подмножества X. Значит, их пересечение f-1(Bε1)) f-1(Bε2))= (X\K1) (X\K2) = X\(K1 K2) - бесконечное множество. С другой стороны, учитывая, что полный прообраз пересечения множеств равен пересечению их полных прообразов, находим: f-1(Bε1)) f-1(Bε2)) = f-1(Bε1) Bε2)) = f-1() = . Полученное противоречие доказывает, что отображение f постоянно.

§ 2.1 Подпространства топологического пространства.

    Возьмем подмножество [а, b] R1 числовой прямой R1 со стандартной топологией и зададим на нем индуцированную топологию. Тогда множества
    [а, с), а < с < b,
    (d, b], а < d < b,
    (d, с), а d < с b,

    будут открытыми в [а, b]. Заметим, что открытое подмножество подпространства [а, b] не обязательно открыто в R1.

§ 2.2 Аксиомы отделимости.

    Пусть X = {а, b} - множество, состоящее из двух точек с топологией Ω = {X, , {а}}. Одноточечное множество А = {а} в топологическом пространстве (X,Ω) является открытым, так как принадлежит топологии Ω. Точка а имеет две окрестности: множество А и все пространство X. Точка b имеет единственную окрестность - все пространство X, которому принадлежит точка а. Поэтому у точки а есть окрестность, не содержащая точку b, а у точки b такой окрестности нет.

§ 2.6 Аксиомы счетности.

  1. Пусть X - несчетное множество с топологией конечных дополнений. В этом пространстве всякое бесконечное подмножество плотно, так как оно пересекается с каждым открытым множеством. Следовательно, X сепарабельно. С другой стороны, предположим, что X имеет счетную базу β. Фиксируем произвольную точку х X. Так как пересечение всех открытых множеств, содержащих х, равно {х}, то счетное пересечение элементов Ui(х) базы β, содержащих х, равно {х}: Ui(x) = {х}. Рассмотрим дополнение Х\{х}= (X\Ui(x))- Каждое множество Х\Ui (х) замкнуто и, следовательно, конечно. Значит, их объединение (Х\Ui(х)) не более чем счетно как объединение не более чем счетного числа конечных множеств. То есть Х\{х} не более чем счетно, в противоречие с несчетностью множества X.

  2. Пусть X - несчетное пространство с дискретной топологией. В дискретном пространстве любое множество открыто, в частности, открытым является всякое одноточечное множество. Следовательно, у каждой точки х X имеется одноточечная окрестность V(х) = {х}. Рассмотрим семейство β(x), состоящее из одного элемента V(х). Так как окрестность V(х) содержится в любой окрестности точки х, то β(x) является базой системы окрестностей точки х. Таким образом, X удовлетворяет первой аксиоме счетности. Покажем, что такое пространство не удовлетворяет второй аксиоме счетности. Образуем из всех одноточечных множеств V(х) пространства X несчетное открытое покрытие S = {V(x)}xX. Если из этого покрытия удалить хотя бы один элемент, то оставшиеся множества уже не будут покрывать X. То есть из S нельзя выделить никакое подпокрытие, и, в частности, не более чем счетное подпокрытие пространства X. Значит, в силу теоремы Линделёфа, пространство X не удовлетворяет второй аксиоме счетности.

§ 2.7 Компактность.

    Пусть А - множество рациональных точек на числовой прямой R1 со стандартной топологией, принадлежащих интервалу (0,1): А = Q (0,1). Тогда замыкание =[0,1] - компактное множество в R1.