§ 1.9 База и предбаза топологии.

1. Пусть X = {а, b, с}, А = {b, с}, В = {а, с}. Покажем, что совокупность множеств S = {X, А, В, } не может служить базой никакой топологии на X. Действительно, непосредственная проверка показывает, что объединение любого семейства множеств из S принадлежит S. Следовательно, если бы S являлась базой некоторой топологии, то эта топология совпала бы с S. Но S не является топологией, так как А В S.

2. На числовой прямой R¹ со стандартной топологией всевозможные бесконечные интервалы вида (-∞, а), (b, +∞), где числа а, b R¹, образуют предбазу, не образуя базы.

§ 1.10 Непрерывные отображения.

Пусть X - бесконечное множество с топологией конечных дополнений, R¹ - числовая прямая со стандартной топологией, f : X R¹ - непрерывное отображение. Покажем, что f является постоянным отображением. Предположим противное. Это значит, что найдутся точки х₁, x₂ X, х₁ х₂, такие, что при отображении f они имеют различные образы: f(х₁) f(х₂). Обозначим f(х₁) = у₁, f(х₂) = у₂, и пусть B_ε(у₁), B_ε(у₂) - некоторые непересекающиеся ε-окрестности этих точек. Тогда полные прообразы f^-1(B_ε(у₁)), f^-1(B_ε(у₂)) - непустые открытые в X множества, то есть: f^-1(B_ε(у₁))= X\K₁, f^-1(B_ε(у₂))= X\K₂, где K₁, K₂-некоторые конечные подмножества X. Значит, их пересечение f^-1(B_ε(у₁)) f^-1(B_ε(у₂))= (X\K₁) (X\K₂) = X\(K₁ K₂) - бесконечное множество. С другой стороны, учитывая, что полный прообраз пересечения множеств равен пересечению их полных прообразов, находим: f^-1(B_ε(у₁)) f^-1(B_ε(у₂)) = f^-1(B_ε(у₁) B_ε(у₂)) = f^-1() = . Полученное противоречие доказывает, что отображение f постоянно.

§ 2.1 Подпространства топологического пространства.

Возьмем подмножество [а, b] R¹ числовой прямой R¹ со стандартной топологией и зададим на нем индуцированную топологию. Тогда множества [а, с), а < с < b, (d, b], а < d < b, (d, с), а d < с b,

будут открытыми в [а, b]. Заметим, что открытое подмножество подпространства [а, b] не обязательно открыто в R¹.

§ 2.2 Аксиомы отделимости.

Пусть X = {а, b} - множество, состоящее из двух точек с топологией Ω = {X, , {а}}. Одноточечное множество А = {а} в топологическом пространстве (X,Ω) является открытым, так как принадлежит топологии Ω. Точка а имеет две окрестности: множество А и все пространство X. Точка b имеет единственную окрестность - все пространство X, которому принадлежит точка а. Поэтому у точки а есть окрестность, не содержащая точку b, а у точки b такой окрестности нет.

§ 2.6 Аксиомы счетности.

1. Пусть X - несчетное множество с топологией конечных дополнений. В этом пространстве всякое бесконечное подмножество плотно, так как оно пересекается с каждым открытым множеством. Следовательно, X сепарабельно. С другой стороны, предположим, что X имеет счетную базу β. Фиксируем произвольную точку х X. Так как пересечение всех открытых множеств, содержащих х, равно {х}, то счетное пересечение элементов U_i(х) базы β, содержащих х, равно {х}: U_i(x) = {х}. Рассмотрим дополнение Х\{х}= (X\U_i(x))- Каждое множество Х\U_i (х) замкнуто и, следовательно, конечно. Значит, их объединение (Х\U_i(х)) не более чем счетно как объединение не более чем счетного числа конечных множеств. То есть Х\{х} не более чем счетно, в противоречие с несчетностью множества X.

2. Пусть X - несчетное пространство с дискретной топологией. В дискретном пространстве любое множество открыто, в частности, открытым является всякое одноточечное множество. Следовательно, у каждой точки х X имеется одноточечная окрестность V(х) = {х}. Рассмотрим семейство β(x), состоящее из одного элемента V(х). Так как окрестность V(х) содержится в любой окрестности точки х, то β(x) является базой системы окрестностей точки х. Таким образом, X удовлетворяет первой аксиоме счетности. Покажем, что такое пространство не удовлетворяет второй аксиоме счетности. Образуем из всех одноточечных множеств V(х) пространства X несчетное открытое покрытие S = {V(x)}_xX. Если из этого покрытия удалить хотя бы один элемент, то оставшиеся множества уже не будут покрывать X. То есть из S нельзя выделить никакое подпокрытие, и, в частности, не более чем счетное подпокрытие пространства X. Значит, в силу теоремы Линделёфа, пространство X не удовлетворяет второй аксиоме счетности.

§ 2.7 Компактность.

Пусть А - множество рациональных точек на числовой прямой R¹ со стандартной топологией, принадлежащих интервалу (0,1): А = Q (0,1). Тогда замыкание =[0,1] - компактное множество в R¹.