Обозначим через замкнутое
полупространство пространства Rn. Многообразием с краем размерности
n называется топологическое хаусдорфово пространство W со
счетной базой, каждая точка которого имеет окрестность, гомеоморфную Rn или .
Точки пространства W, имеющие окрестность,
гомеоморфную Rn, называются внутренними точками W. Те точки,
у которых нет такой окрестности, называются точками края
многообразия с краем W, а множество всех таких точек называется
краем многообразия с краем W. Из этого определения следует, что
краем , как многообразия с краем, является граничная
гиперплоскость. Множество W внутренних точек многообразия с краем
W, очевидно, открыто и является n-мерным многообразием. Край
многообразия с краем W будет границей множества W и,
следовательно, является замкнутым множеством. Поэтому край
многообразия с краем W естественно обозначить через ∂W.
Теорема 5. Если край n-мерного многообразия с краем W
не пуст, то он является многообразием размерности n - 1.
Доказательство. Обозначим через Q границу . Пусть
точка х0 ∈ ∂W и U - окрестность точки х0,
гомеоморфная .
Рассмотрим гомеоморфизм f: U → . Тогда f(x0) ∈ Q.
В противном случае точка f(x0) имела бы в окрестность V, гомеоморфную
Rn, а тогда точка х0 ∈ W, так как ее окрестность f-1(V), в силу
теоремы 2, гомеоморфна Rn, что невозможно. Множество U ∩ ∂W
будет окрестностью х0 в ∂W. Покажем, что f(U ∩ ∂W) = Q, т. е.
U ∩ ∂W гомеоморфно Rn-1. Если у ∈ U ∩ ∂W, то, как выше было
показано, f(у) ∈ Q. Если точка z ∈ U \ ∂W, то f(z) ∈ \ Q.
Допустим противное, тогда f(z) ∈ Q. Так как z - внутренняя точка,
то у точки z существует окрестность U1 ⊂ U, гомеоморфная Rn.
Рассмотрим гомеоморфизм g: Rn → U1. Тогда отображение
h = f|U1g: Rn → Rn будет вложением. В силу теоремы 2' множество
h(Rn) = f(U1) открыто в Rn.
С другой стороны, точка f(z) ∈ f(U1) ⊂ Rn,
в силу предположения, не является внутренней
точкой множества f(U1) в топологии пространства Rn.
Итак, мы доказали, что гомеоморфизм f переводит внутренние точки окрестности
U во внутренние точки . Поэтому f(U ∩ ∂W) = Q, т. е. точка
х0 имеет в ∂W окрестность U ∩ ∂W, гомеоморфную Rn-l.
Теорема доказана.
Замечание. Из доказательства теоремы 5 вытекает, что
если W - компактное многообразие с краем, то край ∂W есть
замкнутое (компактное) (n - 1)-мерное многообразие.
Многообразие является частным случаем многообразия с краем,
край которого пуст.
Теорема 6. Если U и V - многообразия с краем размерности
р и q соответственно, то U × V = U × V и
∂(U × V) = (∂U × V) ∪ (U × ∂V). (3.2)
Доказательство теоремы предоставляем читателю в качестве
полезного упражнения. Формулу (3.2) можно иллюстрировать
следующим примером.
Пусть U = I2: {0 ≤ x1 ≤ 1; 0 ≤ x2 ≤ 1},
V = I1 : {0 ≤ x3 ≤ 1}.
Тогда край куба I3 = I2 × I1 составлен из шести граней.
Четыре грани, образующие боковую поверхность, составляют
множество ∂I2 × I1 а верхнее и нижнее основания - множество I2 × ∂I1.
|