Bodrenko.com Bodrenko.org
§ 3.1.2 Многообразия с краем Назад // Вперед

   Обозначим через замкнутое полупространство пространства Rn. Многообразием с краем размерности n называется топологическое хаусдорфово пространство W со счетной базой, каждая точка которого имеет окрестность, гомеоморфную Rn или . Точки пространства W, имеющие окрестность, гомеоморфную Rn, называются внутренними точками W. Те точки, у которых нет такой окрестности, называются точками края многообразия с краем W, а множество всех таких точек называется краем многообразия с краем W. Из этого определения следует, что краем , как многообразия с краем, является граничная гиперплоскость. Множество W внутренних точек многообразия с краем W, очевидно, открыто и является n-мерным многообразием. Край многообразия с краем W будет границей множества W и, следовательно, является замкнутым множеством. Поэтому край многообразия с краем W естественно обозначить через ∂W.

   Теорема 5. Если край n-мерного многообразия с краем W не пуст, то он является многообразием размерности n - 1.

   Доказательство. Обозначим через Q границу . Пусть точка х0 ∈ ∂W и U - окрестность точки х0, гомеоморфная . Рассмотрим гомеоморфизм f: U → . Тогда f(x0) ∈ Q. В противном случае точка f(x0) имела бы в окрестность V, гомеоморфную Rn, а тогда точка х0W, так как ее окрестность f-1(V), в силу теоремы 2, гомеоморфна Rn, что невозможно. Множество U ∩ ∂W будет окрестностью х0 в ∂W. Покажем, что f(U ∩ ∂W) = Q, т. е. U ∩ ∂W гомеоморфно Rn-1. Если у ∈ U ∩ ∂W, то, как выше было показано, f(у) ∈ Q. Если точка z ∈ U \ ∂W, то f(z) ∈ \ Q. Допустим противное, тогда f(z) ∈ Q. Так как z - внутренняя точка, то у точки z существует окрестность U1 ⊂ U, гомеоморфная Rn. Рассмотрим гомеоморфизм g: Rn → U1. Тогда отображение h = f|U1g: Rn → Rn будет вложением. В силу теоремы 2' множество h(Rn) = f(U1) открыто в Rn. С другой стороны, точка f(z) ∈ f(U1) ⊂ Rn, в силу предположения, не является внутренней точкой множества f(U1) в топологии пространства Rn. Итак, мы доказали, что гомеоморфизм f переводит внутренние точки окрестности U во внутренние точки . Поэтому f(U ∩ ∂W) = Q, т. е. точка х0 имеет в ∂W окрестность U ∩ ∂W, гомеоморфную Rn-l. Теорема доказана.

   Замечание. Из доказательства теоремы 5 вытекает, что если W - компактное многообразие с краем, то край ∂W есть замкнутое (компактное) (n - 1)-мерное многообразие.

   Многообразие является частным случаем многообразия с краем, край которого пуст.

   Теорема 6. Если U и V - многообразия с краем размерности р и q соответственно, то U × V = U × V и

∂(U × V) = (∂U × V) ∪ (U × ∂V).     (3.2)

   Доказательство теоремы предоставляем читателю в качестве полезного упражнения. Формулу (3.2) можно иллюстрировать следующим примером.

   Пусть U = I2: {0 ≤ x1 ≤ 1; 0 ≤ x2 ≤ 1}, V = I1 : {0 ≤ x3 ≤ 1}. Тогда край куба I3 = I2 × I1 составлен из шести граней. Четыре грани, образующие боковую поверхность, составляют множество ∂I2 × I1 а верхнее и нижнее основания - множество I2 × ∂I1.