Размерность топологического пространства определяется с помощью индуктивного построения. Остановимся кратко на определении этого понятия, данного П. С. Урысоном в 1921 году.

   Пустое множество и только пустое множество имеет размерность -1.

   Пространство X имеет размерность не больше n (n ≥ 0) в точке х, если любая ее окрестность U содержит такую окрестность V, что dim ∂V ≤ n - 1. Размерность X не превосходит n, если X имеет размерность, не превосходящую n, в каждой своей точке.

   Пространство X имеет размерность n в точке x, если верно, что X имеет размерность, не превосходящую n, в х, и неверно, что X имеет размерность, не превосходящую n - 1, в точке х. Пространство X имеет размерность n, если dim X ≤ n, но неверно, что dim X ≤ n - 1.

   Очевидно, что свойство пространства X иметь размерность n топологически инвариантно.

   Однако при непрерывных отображениях размерность может ме- меняться. Возможность понижения размерности иллюстрируется три- тривиальными примерами проектирования R^m в R^k, где k < m. Возможность повышения размерности далеко не очевидна, она подтверждается знаменитым примером Пеано, в котором отрезок непрерывно отображается на квадрат. При взаимно однозначных отображениях размерность может также не сохраняться. Это подтверждает классический пример Г. Кантора. В связи с этими примерами встал вопрос, является ли размерность евклидова пространства Rⁿ, которая определяется как мощность базиса в Rⁿ, топологическим инвариантом. Этот вопрос был решен Л. Брауэром в 1911-1913 гг. в следующей теореме.

   Теорема 1. Если евклидовы пространства Rⁿ и R^m гомеоморфны, то m = n.

   Брауэром была доказана и более сильная

   Теорема 2. Пусть φ - вложение некоторого подмножества X пространства Rⁿ в Rⁿ. Тогда, если х ∈ int X, то φ(х) ∈ int φ(X), а если х ∈ ∂Х, то φ(х) ∈ ∂φ(X). В частности, образ любого открытого множества X ⊂ Rⁿ при вложении φ есть открытое множество в Rⁿ.

   Доказательства теорем 1 и 2 читатель может найти в книгах [Зи], [31], [79].

   Сравнительно простое доказательство теоремы 2 может быть получено с помощью гомотопических групп, являющихся многомерными аналогами фундаментальной группы.

   Перейдем теперь к определению основного понятия этой главы - понятия топологического многообразия.

   Хаусдорфово топологическое пространство Wⁿ со счетным базисом называется n-мерным топологическим многообразием, если каждая его точка имеет окрестность, гомеоморфную открытому множеству в Rⁿ.

   Очевидно, что в этом определении требование о существовании окрестности, гомеоморфной открытому множеству в Rⁿ, равносильно требованию существования окрестности, гомеоморфной Rⁿ или открытому кубу Jⁿ.

   Компактные многообразия часто называют замкнутыми, а некомпактные - открытыми.

   Сфера S^n-1 в Еⁿ является примером компактного (n -1 ) мерного многообразия. Поверхности в Е³ суть двумерные многообразия. Например, тор - замкнутое, а гиперболоиды - открытые многообразия. Пространство матриц, имеющих n строк и m столбцов, будет многообразием размерности mn. Проективная плоскость P² есть замкнутое двумерное многообразие.

   Из теоремы Бакельман И.Я., [9 § 2] и линейной связности единичного куба в Еⁿ следует, что связное многообразие Wⁿ линейно связно.

   Теорема 3. Любое связное одномерное замкнутое топологическое многообразие гомеоморфно окружности, а любое связное одномерное открытое топологическое многообразие гомеоморфно прямой.

   Доказательство. Пусть W¹ - одномерное связное топологическое многообразие и ∑ = {U_i} - его открытое покрытие окрестностями U_i, гомеоморфными интервалу J = (0, 1).

   Если W¹ замкнуто, то можно считать, что ∑ конечно; если W¹ открыто, то ∑ не более чем счетно. Будем говорить, что ∑ обладает свойством минимальности, если для любой окрестности U_i множество

   Если это свойство для ∑ не выполнено, то из ∑ построим новое покрытие ∑^', удовлетворяющее требованию минимальности, по следующему индукционному правилу: множество U₁ оставляем в ∑^', если V₁ ≠ W¹, и удаляем, если V₁ = W¹; при i > 1 множество U_i оставляем в ∑^', если W¹ не совпадает с объединением тех множеств U_j где j > i, и тех из множеств U_j(j < i), которые уже оставлены в ∑^', и удаляем в противном случае.

   Итак, можно считать, что ∑ = {U_i} обладает свойством минимальности. Пусть W¹ замкнуто, тогда ∑ конечно и содержит не менее двух множеств (в силу некомпактности интервала (0, 1)). Пусть f_i гомеоморфизм (0, 1) на U_i. Если последовательность t_n ∈ (0, 1) такова, что то последовательность f_i(t_n) сходится к единственной предельной точке .

   Аналогично существует точка когда последовательность t_n ∈ (0, 1) сходится к 1. Очевидно, ∂U_i = a_i ∪ b_i.

   Далее множества U_i будем называть дугами, а точки a_i и b_i - их концами. Конец b₁ дуги U₁ лежит в одной из дуг U_i, i > 1. Можно считать, что b₁ ∈ U₂.

   Так как множество V₁₂ = U₁ ∩ U₂ открыто, то W₁₂ = f₁^-1(V₁₂) ∈ (0, 1) открыто и состоит из не более чем счетного числа компонент - интервалов.

   Если точка t^' ∈ ∂W₁₂ ∩ (0, 1), то f₁(t^') ∈ ∂U = a₂ ∪ b₂, a поэтому множество ∂W₁₂ ∩ (0, 1) состоит из одного или двух интервалов. В силу минимальности покрытия ∑ оба конца этих интервалов не могут лежать внутри (0, 1), так как в противном случае U₁ ⊂ U₂ что невозможно.

   Итак, каждый интервал из W₁₂ имеет один из концов внутри (0, 1), а другой из концов на ∂(0, 1). Так как точка b₁ ∈ U₂, то b₁ ∈ ∂V₁₂ и 1 ∈ ∂W₁₂. Поэтому возможны лишь два случая: 1) W₁₂ = (0, t₀) ∪ (t₁, 1) и 2) W₁₂ = (t^', 1), где t₀ < t₁.

   В первом случае множество U = U₁ ∪ U₂ будет одномерным многообразием, гомеоморфным окружности. Так как в этом случае ∂U ⊂ ∂U₁ ∪ ∂U₂ ⊂ U₁ ∪ U₂ = U, то множество U будет замкнуто и открыто, а потому U = W¹ в силу связности W¹.

   Итак, в этом случае W¹ гомеоморфно окружности.

   Во втором случае можно считать, что f₁(t^') = a₂ ∈ U¹. Тогда множество U = U₁ ∪ U₂ будет дугой с концами в точках a₁ и b₂. Возьмем дугу U₃, внутри которой лежит b₂, и применим предыдущие рассуждения. Если U₁ ∪ U₂ ∪ U₃ будет дугой, то берем U₄ и т. д. Поскольку число дуг U_i конечно, то после конечного числа шагов приходим к случаю 1).

   Итак, если W¹ замкнуто, то W¹ гомеоморфно окружности.

   Если W¹ открыто, то возможен лишь случай 1), а именно: любое непустое множество U_i ∩ U_j будет дугой, один конец которой лежит в ∂U_i, а другой - в ∂U_j. He будем приводить очевидных рассуждений, которые устанавливают в этом случае гомеоморфизм между W¹ и E¹. Теорема доказана.

   Ниже будет проведена классификация двумерных многообразий.

   Теорема 2 в случае многообразий формулируется следующим образом.

   Теорема 2^'. Пусть U и V - n-мерные топологические многообразия, и пусть f - вложение U в V. Тогда образ f(G) любого открытого множества G ⊂ U есть открытое множество в V.

   Отметим, что из теоремы 2^' следует топологическая инвариантность размерности многообразия.

   Теорема 4 ("лемма об отображении" А. Д. Александрова). Пусть U и V - топологические многообразия, одного и того же числа измерений n и φ - отображение U в V, удовлетворяющее следующим условиям:

1) в каждой компоненте многообразия V есть образы точек из U;

   Доказательство. Покажем сначала, что φ - вложение U в V. В силу условий 2) и 3) для это го достаточно доказать непрерывность отображения φ₁^-1: φ(U) → U, где φ₁ есть приведение отображения φ. Пусть F - замкнутое множество в U. Тогда φ(F) есть полный прообраз множества F при отображении φ₁^-1. Если b - какая-либо предельная точка множества φ(F), то существует последовательность b_m ∈ φ(F) ∩ W, сходящаяся к b (W - окрестность точки b, гомеоморфная n-мерному открытому кубу в Еⁿ). По условию 4) из последовательности точек а_m ∈ F таких, что φ(a_m) = b_m, можно выделить подпоследовательность а_mj, сходящуюся к точке а, причем φ(а) = b. Так как множество F замкнуто, то а ∈ F. Но тогда b ∈ φ(F), и, следовательно, множество φ(F) замкнуто в φ(U). В силу теоремы Бакельман И.Я., [1 п. 2.2] отображение φ₁^-1: φ(U) → U непрерывно.

   Итак, отображение φ(U) → V есть вложение. Тогда по теореме 2^' множество φ(U) открыто в V. С другой стороны, в силу условия 4) φ(U) замкнуто в V. Докажем теперь, что φ(U) совпадает с V. Действительно, пусть А - какая-либо компонента многообразия V. Имеет место очевидное равенство

   Так как φ(U) открыто в V, то V \ φ(U) замкнуто. Множества A ∩ φ(U) и A ∩ (V \ φ(U)) замкнуты относительно топологии подпространства A и не имеют общих точек. В силу связности множества А разложение Бакельман И.Я., [(9.1)] возможно лишь в том случае, когда одно из указанных множеств пусто. По условию 1) А ∩ φ(U) ≠ ∅, следовательно, (V \ φ(U)) ∩ A = ∅, откуда имеем

Суммируя последнее равенство по всем компонентам многообразия V, получим V = φ(U), что и требовалось доказать.