Bodrenko.com Bodrenko.org
Глава 3. Топологические многообразия.
Гладкие и римановы многообразия

§ 3.1.1 Размерность топологического пространства.

Топологические многообразия

Назад // Вперед

    Размерность топологического пространства определяется с помощью индуктивного построения. Остановимся кратко на определении этого понятия, данного П. С. Урысоном в 1921 году.

   Пустое множество и только пустое множество имеет размерность -1.

   Пространство X имеет размерность не больше n (n ≥ 0) в точке х, если любая ее окрестность U содержит такую окрестность V, что dim ∂V ≤ n - 1. Размерность X не превосходит n, если X имеет размерность, не превосходящую n, в каждой своей точке.

   Пространство X имеет размерность n в точке x, если верно, что X имеет размерность, не превосходящую n, в х, и неверно, что X имеет размерность, не превосходящую n - 1, в точке х. Пространство X имеет размерность n, если dim X ≤ n, но неверно, что dim X ≤ n - 1.

   Очевидно, что свойство пространства X иметь размерность n топологически инвариантно.

   Однако при непрерывных отображениях размерность может ме- меняться. Возможность понижения размерности иллюстрируется три- тривиальными примерами проектирования Rm в Rk, где k < m. Возможность повышения размерности далеко не очевидна, она подтверждается знаменитым примером Пеано, в котором отрезок непрерывно отображается на квадрат. При взаимно однозначных отображениях размерность может также не сохраняться. Это подтверждает классический пример Г. Кантора. В связи с этими примерами встал вопрос, является ли размерность евклидова пространства Rn, которая определяется как мощность базиса в Rn, топологическим инвариантом. Этот вопрос был решен Л. Брауэром в 1911-1913 гг. в следующей теореме.

   Теорема 1. Если евклидовы пространства Rn и Rm гомеоморфны, то m = n.

   Брауэром была доказана и более сильная

   Теорема 2. Пусть φ - вложение некоторого подмножества X пространства Rn в Rn. Тогда, если х ∈ int X, то φ(х) ∈ int φ(X), а если х ∈ ∂Х, то φ(х) ∈ ∂φ(X). В частности, образ любого открытого множества X ⊂ Rn при вложении φ есть открытое множество в Rn.

   Доказательства теорем 1 и 2 читатель может найти в книгах [Зи], [31], [79].

   Сравнительно простое доказательство теоремы 2 может быть получено с помощью гомотопических групп, являющихся многомерными аналогами фундаментальной группы.

   Перейдем теперь к определению основного понятия этой главы - понятия топологического многообразия.

   Хаусдорфово топологическое пространство Wn со счетным базисом называется n-мерным топологическим многообразием, если каждая его точка имеет окрестность, гомеоморфную открытому множеству в Rn.

   Очевидно, что в этом определении требование о существовании окрестности, гомеоморфной открытому множеству в Rn, равносильно требованию существования окрестности, гомеоморфной Rn или открытому кубу Jn.

   Компактные многообразия часто называют замкнутыми, а некомпактные - открытыми.

   Сфера Sn-1 в Еn является примером компактного (n -1 ) мерного многообразия. Поверхности в Е3 суть двумерные многообразия. Например, тор - замкнутое, а гиперболоиды - открытые многообразия. Пространство матриц, имеющих n строк и m столбцов, будет многообразием размерности mn. Проективная плоскость P2 есть замкнутое двумерное многообразие.

   Из теоремы Бакельман И.Я., [9 § 2] и линейной связности единичного куба в Еn следует, что связное многообразие Wn линейно связно.

   Теорема 3. Любое связное одномерное замкнутое топологическое многообразие гомеоморфно окружности, а любое связное одномерное открытое топологическое многообразие гомеоморфно прямой.

   Доказательство. Пусть W1 - одномерное связное топологическое многообразие и ∑ = {Ui} - его открытое покрытие окрестностями Ui, гомеоморфными интервалу J = (0, 1).

   Если W1 замкнуто, то можно считать, что конечно; если W1 открыто, то не более чем счетно. Будем говорить, что обладает свойством минимальности, если для любой окрестности Ui множество

   Если это свойство для не выполнено, то из построим новое покрытие ', удовлетворяющее требованию минимальности, по следующему индукционному правилу: множество U1 оставляем в ', если V1 ≠ W1, и удаляем, если V1 = W1; при i > 1 множество Ui оставляем в ', если W1 не совпадает с объединением тех множеств Uj где j > i, и тех из множеств Uj(j < i), которые уже оставлены в ', и удаляем в противном случае.

   Итак, можно считать, что ∑ = {Ui} обладает свойством минимальности. Пусть W1 замкнуто, тогда конечно и содержит не менее двух множеств (в силу некомпактности интервала (0, 1)). Пусть fi гомеоморфизм (0, 1) на Ui. Если последовательность tn ∈ (0, 1) такова, что то последовательность fi(tn) сходится к единственной предельной точке .

   Аналогично существует точка когда последовательность tn ∈ (0, 1) сходится к 1. Очевидно, ∂Ui = ai ∪ bi.

   Далее множества Ui будем называть дугами, а точки ai и bi - их концами. Конец b1 дуги U1 лежит в одной из дуг Ui, i > 1. Можно считать, что b1 ∈ U2.

   Так как множество V12 = U1 ∩ U2 открыто, то W12 = f1-1(V12) ∈ (0, 1) открыто и состоит из не более чем счетного числа компонент - интервалов.

   Если точка t' ∈ ∂W12 ∩ (0, 1), то f1(t') ∈ ∂U = a2 ∪ b2, a поэтому множество ∂W12 ∩ (0, 1) состоит из одного или двух интервалов. В силу минимальности покрытия ∑ оба конца этих интервалов не могут лежать внутри (0, 1), так как в противном случае U1 ⊂ U2 что невозможно.

   Итак, каждый интервал из W12 имеет один из концов внутри (0, 1), а другой из концов на ∂(0, 1). Так как точка b1 ∈ U2, то b1 ∈ ∂V12 и 1 ∈ ∂W12. Поэтому возможны лишь два случая: 1) W12 = (0, t0) ∪ (t1, 1) и 2) W12 = (t', 1), где t0 < t1.

   В первом случае множество U = U1 ∪ U2 будет одномерным многообразием, гомеоморфным окружности. Так как в этом случае ∂U ⊂ ∂U1 ∪ ∂U2 ⊂ U1 ∪ U2 = U, то множество U будет замкнуто и открыто, а потому U = W1 в силу связности W1.

   Итак, в этом случае W1 гомеоморфно окружности.

   Во втором случае можно считать, что f1(t') = a2 ∈ U1. Тогда множество U = U1 ∪ U2 будет дугой с концами в точках a1 и b2. Возьмем дугу U3, внутри которой лежит b2, и применим предыдущие рассуждения. Если U1 ∪ U2 ∪ U3 будет дугой, то берем U4 и т. д. Поскольку число дуг Ui конечно, то после конечного числа шагов приходим к случаю 1).

   Итак, если W1 замкнуто, то W1 гомеоморфно окружности.

   Если W1 открыто, то возможен лишь случай 1), а именно: любое непустое множество Ui ∩ Uj будет дугой, один конец которой лежит в ∂Ui, а другой - в ∂Uj. He будем приводить очевидных рассуждений, которые устанавливают в этом случае гомеоморфизм между W1 и E1. Теорема доказана.

   Ниже будет проведена классификация двумерных многообразий.

   Теорема 2 в случае многообразий формулируется следующим образом.

   Теорема 2'. Пусть U и V - n-мерные топологические многообразия, и пусть f - вложение U в V. Тогда образ f(G) любого открытого множества G ⊂ U есть открытое множество в V.

   Отметим, что из теоремы 2' следует топологическая инвариантность размерности многообразия.

   Теорема 4 ("лемма об отображении" А. Д. Александрова). Пусть U и V - топологические многообразия, одного и того же числа измерений n и φ - отображение U в V, удовлетворяющее следующим условиям:

    1) в каждой компоненте многообразия V есть образы точек из U;
    2) φ взаимно однозначно;
    3) φ непрерывно;
    4) прообраз всякой сходящейся последовательности точек bm ∈ V является секвенциально компактным множеством в U.
    Тогда φ(U) = V.

   Доказательство. Покажем сначала, что φ - вложение U в V. В силу условий 2) и 3) для это го достаточно доказать непрерывность отображения φ1-1: φ(U) → U, где φ1 есть приведение отображения φ. Пусть F - замкнутое множество в U. Тогда φ(F) есть полный прообраз множества F при отображении φ1-1. Если b - какая-либо предельная точка множества φ(F), то существует последовательность bm ∈ φ(F) ∩ W, сходящаяся к b (W - окрестность точки b, гомеоморфная n-мерному открытому кубу в Еn). По условию 4) из последовательности точек аm ∈ F таких, что φ(am) = bm, можно выделить подпоследовательность аmj, сходящуюся к точке а, причем φ(а) = b. Так как множество F замкнуто, то а ∈ F. Но тогда b ∈ φ(F), и, следовательно, множество φ(F) замкнуто в φ(U). В силу теоремы Бакельман И.Я., [1 п. 2.2] отображение φ1-1: φ(U) → U непрерывно.

   Итак, отображение φ(U) → V есть вложение. Тогда по теореме 2' множество φ(U) открыто в V. С другой стороны, в силу условия 4) φ(U) замкнуто в V. Докажем теперь, что φ(U) совпадает с V. Действительно, пусть А - какая-либо компонента многообразия V. Имеет место очевидное равенство

   

A = (A ∩ φ(U)) ∪ (A ∩ (V \ φ(U))). (3.1)

   Так как φ(U) открыто в V, то V \ φ(U) замкнуто. Множества A ∩ φ(U) и A ∩ (V \ φ(U)) замкнуты относительно топологии подпространства A и не имеют общих точек. В силу связности множества А разложение Бакельман И.Я., [(9.1)] возможно лишь в том случае, когда одно из указанных множеств пусто. По условию 1) А ∩ φ(U) ≠ ∅, следовательно, (V \ φ(U)) ∩ A = ∅, откуда имеем

A = φ(U) ∩ A.

Суммируя последнее равенство по всем компонентам многообразия V, получим V = φ(U), что и требовалось доказать.