Bodrenko.com Bodrenko.org
§ 2.9. Топология в сумме топологических пространств Назад // Вперед

   Пусть {(Xii)}iI - семейство топологических пространств, где индекс i пробегает семейство индексов I произвольной мощности. Предположим, что множества Xi попарно дизъюнктны, т.е. попарно не пересекаются. Положим X = Xi и пусть S = Ω, т.е. S - это объединение всех множеств U X таких, что U Ωi при некотором i I. Введем на X топологию Ω, приняв за ее предбазу семейство S. Топология Ω называется суммой топологий Ωi. Топологическое пространство (X,Ω) называется топологической суммой пространств {(Xii)}iI.

   Пусть множества U1, ... , Un S. Тогда, если U1, ... , Un Ωi, для некоторого i I, то в силу аксиомы в) топологического пространства пересечение Uk Ωi, и следовательно, содержится в S. Если же множества U1, ... , Un принадлежат различным семействам из совокупности {Ωi}iI то в силу дизъюнктности множеств {Xi}iI и пересечение Uk = .

    Таким образом, предбаза S образует и базу топологии Ω.

   Теорема 2.17. Пусть (X,Ω) - топологическая сумма дизъюнктных пространств {(Xii)}iI, где индекс i пробегает семейство индексов I произвольной мощности. Тогда выполняются следующие свойства:

   1) каждое множество Xi является одновременно замкнутым и открытым в пространстве (X,Ω);

   2) для любого семейства {Ai}iI, множеств Аi, замкнутых в пространствах (Хii) множество А = Ai замкнуто в пространстве (X,Ω).

   Доказательство. Докажем свойство 1). По определению базы топологии, открытыми в пространстве (X,Ω) множествами являются всевозможные объединения множеств, открытых в пространствах {(Xii)}iI. В частности, для любого i0 I множество Хi0 является открытым в пространстве (X,Ω). С другой стороны, Хi0 = Х\ Хi, так как множества семейства {Xi}iI попарно не пересекаются. Тогда Хi0 является замкнутым в пространстве (X,Ω) как дополнение открытого множества Хi Ω Докажем свойство 2). Покажем, что Х\А открыто в X. Действительно, Х\ Ai = Хi\Ai = (Xi\Ai), так как множества семейства {Xi}iI попарно не пересекаются. Каждое из множеств Хii, открыто в соответствующем пространстве (Xii), тогда их объединение Х\А принадлежит базе топологии Ω и поэтому открыто в пространстве (X,Ω). Тогда А замкнуто в X как дополнение открытого множества.

    Теорема доказана.