Bodrenko.com Bodrenko.org
§ 2.7. Компактность Назад // Вперед

   Топологическое пространство (X,Ω) называется компактным, если любое открытое покрытие этого пространства содержит конечное подпокрытие.

   Пусть (X,Ω) - топологическое пространство, а {Vα}αI - некоторое открытое покрытие X: X = , где Vα Ω для каждого α I. Определение компактности означает, что если X компактно, то среди множеств Vα найдутся несколько множеств Vα1, Vα2, ... , Vαn, уже покрывающих его: X = Vαi. Множества Vα1, Vα2, ... , Vαn образуют конечное открытое покрытие X.

   Для того чтобы пространство X не было компактным, у него должно существовать бесконечное открытое покрытие, никакая конечная часть которого не является покрытием.

  1. Дискретное пространство с бесконечным числом точек не компактно. Например, его открытое покрытие одноточечными множествами не имеет конечного подпокрытия.
  2. Любое антидискретное пространство X компактно. Его единственное открытое покрытие состоит из одного элемента - самого множества X.
  3. Всякое топологическое пространство, в котором конечное число открытых множеств, компактно. В этом пространстве любое открытое покрытие конечно.
  4. Числовая прямая R1 со стандартной топологией не компактна. Например, из открытого покрытия {(-n,n)}n=1 нельзя выделить конечное подпокрытие.
  5. Пространство X с топологией конечных дополнений компактно. Действительно, если X конечно, то оно является дискретным пространством, имеет конечное число открытых множеств, и, следовательно, компактно. Пусть теперь X имеет бесконечное число точек, S = {Vα}αI - произвольное открытое покрытие X, a Vα0 - произвольное открытое множество из семейства {Vα}αI. Фиксируем Vα0. Множество Х\Vα0 состоит из конечного числа точек у1, ... , уn: Х\Vα0 = {yi}. Обозначим через Vαi одно из множеств покрытия S, содержащее точку уi. Тогда {yi} Vαi следовательно, множества Vα1, Vα2, ... , Vαn покрывают X: X = Vα0 Vαi.

   Множество Y топологического пространства (X,Ω) называется компактным, если Y компактно в индуцированной топологии ΩY как подпространство, т.е. если топологическое пространство (Y,ΩY) компактно.

   Покрытием подмножества А множества X называется семейство подмножеств {Uα}αI множества X такое, что А Ua.

   Теорема 2.12.

   Подмножество А топологического пространства (X,Ω) компактно тогда и только тогда, когда из любого его покрытия множествами, открытыми в X, можно выбрать конечное подпокрытие.

   Доказательство. Докажем необходимость. Пусть множество А компактно, a {Uα}αI - произвольное его покрытие открытыми в X множествами: А Ua, Uα Ω для каждого α I. Выделим из {Uα}αI конечное подпокрытие множества А. Положим Vα = Uα А. Множества Vα открыты в подпространстве (А,ΩА) и образуют покрытие А: А = Uα А = (Uα A) = Vα. Tак как пространство (А,ΩА) компактно, то его покрытие {Vα}αI - содержит некоторое конечное подпокрытие Vα1, Vα2, ... , Vαn. A = Vαi Uαi. Тогда множества Uα1, Uα2, ... , Uαn образуют искомое конечное подпокрытие исходного покрытия множества А.

   Докажем достаточность. Пусть {Vα}αI - произвольное открытое покрытие подпространства (A,ΩА): А = Vα, где Vα ΩА для каждого α I. Тогда, по определению индуцированной топологии, каждое множество Vα можно представить как пересечение множества А с некоторым открытым в X множеством Uα : Vα = Uα А, Uα Ω. Очевидно, семейство {Uα}αI образует покрытие множества А, и по условию теоремы найдутся несколько множеств Uα1, Uα2, ... , Uαn из этого семейства, покрывающих множество А. Тогда соответствующие множества Vα1, Vα2, ... , Vαn образуют конечное подпокрытие покрытия {Vα}αI : А = Vαi. Таким образом, из любого открытого покрытия {Vα}αI подпространства (А, ΩА) можно выделить конечное подпокрытие. То есть А, по определению, есть компактное множество.

    Теорема доказана.

   Теорема 2.13.

    Замкнутое подмножество А компактного пространства (X,Ω) компактно.

   Доказательство. Пусть {Uα}αI - произвольное покрытие множества А открытыми в X множествами: А Uα, Uα Ω для каждого α I. В силу теоремы 2.12 достаточно показать, что из покрытия {Uα}αI можно выделить конечное подпокрытие. Действительно, X = (Х\А) А (Х\А) Uα, с другой стороны, (Х\А) Uα X, следовательно, X = (Х\А) Uα, причем, (Х\А) открыто. Значит, совокупность множеств (Х\А), {Uα}αI образует открытое покрытие X. Так как X компактно, то из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие, причем, мы всегда можем считать, что в него входит множество (Х\А): X = Uαi (Х\А). Тогда А = Х\(Х\А) = (Uαi (Х\А))\(Х\А) Uαi. Таким образом, семейство {Uαi}ni=1 искомое конечное подпокрытие множества А.

   Теорема доказана.

   Утверждение, обратное к теореме 2.13, вообще говоря, не верно. Например, в антидискретном пространстве X компактны все множества, а замкнуты всего два: и X. Достаточным условием является хаусдорфовость X.

   Теорема 2.14.

    Компактное подмножество А хаусдорфова пространства (X,Ω) замкнуто.

   Доказательство. Докажем, что Х\А открыто. Фиксируем произвольную точку у Х\А и покажем, что существует окрестность U(у) точки у, целиком лежащая в Х\А. Для любой точки х А в силу хаусдорфовости X найдутся открытые окрестности Uу(х) и Uх(у) точек х и у такие, что Uу(х) Uх(у) = . Система {Uy(x)}xA образует покрытие множества А, открытое в X. Так как А компактно, то по теореме 2.12 найдется конечное подпокрытие {Uy(xi)}ni=1, множества А для

некоторых точек х1, ... , хn, принадлежащих А. Тогда конечное пересечение Uxi(y) соответствующих множеств {Uxi(y)}ni=1 открыто в X и является искомой окрестностью точки

у: Uxi(y) = U(y).

   Теорема доказана.

   Из теоремы 2.14 следует, что если множество А, лежащее в некотором хаусдорфовом топологическом пространстве X, не замкнуто, то А не может быть компактным. Может оказаться, что замыкание такого множества А уже обладает свойством компактности.

   Подмножество А топологического пространства X называется предкомпактным, если его замыкание в X компактно.

   См. пример.

   Теорема 2.15.

    Всякое бесконечное подмножество Y компактного топологического пространства (X,Ω) имеет в X предельную точку.

   Доказательство. Предположим противное, т.е., что Y' = . Тогда в силу теоремы 1.5 = Y и значит, Y замкнуто, а следовательно, по теореме 2.10, Y компактно. С другой стороны, любая точка у Y не является предельной для Y и, следовательно, найдется такая ее окрестность U(y) Ω, что U(y) Y = {у}. Тогда в топологическом подпространстве (Y,ΩY) одноточечные множества V(y) = {у} ΩY и образуют открытое покрытие Y. Так как из бесконечного открытого покрытия

{V(y)}yY подпространства (Y,ΩY) нельзя выбрать конечное подпокрытие, то мы приходим к противоречию с компактностью множества Y.

    Теорема доказана.