Для задания на множестве X некоторой топологии Ω нет необходимости указывать непосредственно
все подмножества семейства Ω. Существует другой очень удобный способ построения топологии с помощью понятия базы.
Совокупность β открытых множеств пространства (X,Ω) называется базой топологии Ω или базой пространства
(X,Ω), если всякое непустое открытое множество топологического пространства (X,Ω) можно представить в виде объединения
некоторой совокупности множеств, принадлежащих β. В частности, X равно объединение всех множеств базы.
Теорема 1.9.
Совокупность β открытых множеств топологии Ω является базой этой топологии тогда и только тогда,
когда для всякого открытого множества U Ω
и для всякой точки х U существует множество
V β такое,
что х V U.
Доказательство. Пусть β - база топологии Ω. U - произвольное открытое
множество из семейства Ω, х - произвольная точка множества U. Тогда, по определению базы, множество
, где - некоторое
семейство множеств, принадлежащих совокупности β. Так как х U,
то найдется индекс α0 J такой,
что х Vα0 β,
и Vα0 U.
Обратно, если U - произвольное открытое множество из семейства Ω, то для любой точки
х U
найдется множество Vx β такое, что
х Vx U.
Непосредственно проверяется, что объединение
всех таких Vx совпадает с U: . Таким образом, любое открытое множество из семейства Ω
является объединением некоторой совокупности множеств, принадлежащих β. Значит, β является, по определению,
базой топологии Ω.
Теорема доказана.
Система подмножеств Sα
из X называется покрытием X, если объединение совпадает с X.
Покрытие S называется открытым, если
каждое Sα открыто в пространстве (X,Ω).
В частности, база пространства (X,Ω) является открытым покрытием X. Однако не всякое покрытие X может служить
базой некоторой топологии на X.
См. пример.
Возникает вопрос: если - некоторое покрытие X, то при каких условиях можно
построить топологию на X так, чтобы данное семейство было базой этой топологии?
Отвечает на этот вопрос следующая теорема.
Теорема 1.10.
Пусть .
Покрытие β = является
базой
некоторой топологии на X тогда и только тогда, когда для каждого Vα из β,
каждого Vβ из β и для каждой точки x
Vα Vβ
существует Vγ β
такое, что x Vγ (Vα Vβ).
Доказательство. Пусть β = - база пространства (X,Ω).
Так как β Ω, то в силу аксиомы
в) топологического пространства пересечение любых двух множеств из совокупности β является открытым множеством,
т.е. Vα Vβ
Ω.
Отсюда, по теореме 1.9 для любой точки х Vα Vβ найдется
Vγ β такое,
что x Vγ (Vα
Vβ).
Обратно, пусть покрытие β удовлетворяет условию теоремы. Зададим семейство Ω, состоящее из пустого множества
и всевозможных объединений множеств из β. Покажем, что построенное семейство Ω удовлетворяет аксиомам
а) - в) топологического пространства. Аксиома а)очевидна: пустое множество
входит в Ω по условию, а множество
принадлежит Ω как объединение всех множеств из β. Проверим аксиому б).
Пусть - семейство множеств,
где Uα Ω
для любого индекса α из J. Каждое множество Uα является объединением некоторой совокупности
множеств из β: где Vα,γ β
для каждого индекса α J и каждого
индекса γ G. Тогда , т.е. множество
является
объединением некоторой совокупности множеств из β и, следовательно, принадлежит семейству Ω.
Для проверки аксиомы в) достаточно показать, что пересечение любых двух множеств U, из Ω. принадлежит Ω.
Представим множества U, в следующем виде:
где
Vγ β
для каждого γ G,
δ β для каждого δ D.
Рассмотрим пересечение .
Сначала убедимся в том, что каждое множество вида Vγ δ
принадлежит Ω.
Действительно, для любой точки х Vγ δ
по условию теоремы найдется множество Wx β такое, что х Wx Vγ δ.
Следовательно, множество Vγ δ = .
Полученное равенство показывает, что множество Vγ δ Ω
как объединение некоторого семейства множеств из совокупности β.
Поэтому множество U
есть объединение некоторого семейства множеств, принадлежащих Ω, и значит, в силу аксиомы б), U Ω.
Таким образом, семейство Ω удовлетворяет аксиомам а) - в) топологического пространства,
т.е. является топологией на X, а покрытие β служит для Ω, по определению, базой.
Теорема доказана.
Заметим, что в доказательстве теоремы 1.10 указан способ построения топологии на X,
если задано покрытие β, удовлетворяющее условию теоремы.
Можно ли сконструировать топологию на X, если задано произвольное покрытие ?
Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема 1.11.
Пусть - произвольное покрытие множества X.
Тогда семейство всевозможных конечных пересечений элементов из S образует базу некоторой топологии на X.
Доказательство. Проверим, что покрытие где К -
произвольное конечное подмножество из I, удовлетворяет критерию базы.
Заметив, что пересечение любых двух элементов семейства β снова является элементом семейства β,
применим теорему 1.10: для любых множеств Uα, Vβ,
принадлежащих β, положим Vγ = Vα Vβ.
Тогда Vγ β как пересечение конечного числа множеств из S.
Следовательно, для любой точки х Vα Vβ имеем: х Vγ = (Vα Vβ).
Таким образом, в силу теоремы 1.10, β является базой некоторой топологии на X.
Теорема доказана.
Семейство γ открытых подмножеств пространства (X,Ω) называется предбазой топологии Ω,
если семейство β, состоящее из всевозможных конечных пересечений множеств из γ, образует базу топологии Ω.
Теорема 1.11 утверждает, что каждое покрытие множества X является предбазой
некоторой топологии на X.
См. пример.
Очевидно, всякая база пространства является и его предбазой.
Как правило, у топологии есть много баз и предбаз.
Предпочтение может быть отдано той или иной из них в зависимости от решаемой задачи.
|