Пусть X-произвольное множество. Топологией на множестве Х называется совокупность Ω его подмножеств, для которых выполнены три условия:

   (а) пусть множество и все множество Х принадлежат совокупности Ω;

   (б) объединение любого семейства множеств, принадлежащих совокупности Ω, также принадлежит совокупности Ω;

   (в) пересечение любого конечного числа множеств, принадлежащих совокупности Ω, также принадлежит совокупности Ω.

   Множество X с выделенной топологией Ω называется топологическим пространством и обозначается (X,Ω) или просто X, если ясно, о какой топологии идет речь. Элементы множества X называются точками пространства (X,Ω). Множества, входящие в выделенную совокупность Ω, называются открытыми множествами топологического пространства X. Условия (а) - (в) называются аксиомами топологического пространства.

    Следующие два примера топологических пространств мы получим, рассмотрев крайние случаи возможных совокупностей подмножеств X, удовлетворяющих аксиомам топологии.

1. Если Ω совпадает с множеством всех подмножеств множества X, то топологическое пространство (X,Ω) называется дискретным. Мы видим, что в дискретном пространстве все множества открыты.
2. Если Ω содержит всего два множества: и X, то топологическое пространство (X,Ω) называется антидискретным пространством или пространством с тривиальной топологией.

   Важное топологическое пространство образуют вещественные числа со стандартной топологией, которая вводится в следующем примере.

3. Пусть X - числовая прямая R¹. Стандартную топологию на R¹ можно задать следующим набором подмножеств: пустое множество и все те множества, которые вместе с каждой своей точкой содержат некоторый интервал около нее. Другими словами, непустое подмножество U числовой прямой R¹ открыто тогда и только тогда, когда для каждой точки х из U существуют такие числа а и b, что а < х < b и множество {у: а < у < b } является подмножеством множества U.

   Интересный пример топологии на множестве Х известен под названием топологии конечных дополнений или топологии Зарисского.

4. Пусть X - произвольное множество. Топология конечных дополнений Ω состоит из пустого множества и всех тex подмножеств из X, дополнения которых конечны (здесь пустое множество рассматривается как конечное множество). Если X само конечно, то Ω - это в точности дискретная топология на X. Если X бесконечно, то нужно проверить, что совокупность Ω удовлетворяет трем аксиомам топологии. Первая из них выполняется тривиально. Проверим аксиому (б). Пусть - произвольное семейство множеств из совокупности Ω. Это значит, что их дополнения - множества конечны для каждого индекса α из I. Чтобы доказать, что объединение тоже принадлежит Ω, нужно проверить, что дополнение конечно. Дополнение совпадает с пересечением семейства конечных множеств : и, следовательно, конечно. Для проверки третьей аксиомы рассмотрим произвольное конечное семейство множеств из Ω, где индекс α пробегает конечное семейство индексов K. Докажем, что пересечение тоже принадлежит Ω. Дополнение пересечения нескольких множеств совпадает с объединением их дополнений: . Тогда, если , для каждого индекса α из K, то множество конечно как объединение конечного числа конечных множеств . Следовательно, .
5. Пусть X - луч [0,+∞) числовой прямой R¹. Совокупность Ω состоит из , X и всевозможных бесконечных интервалов вида (а,+∞), где а 0. Для совокупности Ω аксиомы (а) - (в) выполнены. Полученное топологическое пространство (X, Ω) называется стрелкой.
6. Если X состоит из двух точек {а, b}, то имеется всего четыре различные топологии на X, а именно: Ω₁={,X}, Ω₂={,X,{a}}, Ω₃={,X,{b}}, Ω₄={,X,{a},{b}} . Множество X, наделенное топологией Ω₂ (или Ω₃) называется связным двоеточием.