Рассмотрим многообразия V^m и Wⁿ, введенные в §2.2. Пусть гладкая параметрическая m-поверхность f задана уравнениями (2.2). Возьмем на f точку (u, f(u)), где точка u = (u₁⁰, ..., u_m⁰) ∈ V^m. Рассмотрим всевозможные гладкие пути на f, проходящие через точку (u, f(u)). Пусть один из этих путей l задается уравнениями

Назовем касательным вектором t к пути l в точке (u, f(u)) ∈ f вектор с координатами

(2.8)

Поэтому

   (2.9)

где

Векторы e_i ∈ T_f(u)(G, ψ) (см. § 3.5).

   Так как rang D(f) = m, то векторы е₁, ..., е_m линейно независимы. Их линейная оболочка L(е₁, ..., е_m) будет m-мерным подпространством пространства T_f(u)(G, ψ). Из (2.9) вытекает, что t ∈ L(е₁, ..., е_m). Покажем, что всякий вектор t = a₁e₁ + ... + а_mе_m ∈ L(е₁, ..., е_m) является касательным к некоторому пути на f, проходящему через точку (u, f(u)). Действительно, таким путем будет путь

   Итак, множество L(е₁, ..., е_m) состоит из векторов, касательных к всевозможным путям на f, проходящим через точку (u, f(u)). Оно называется касательным пространством к параметрической m-поверхности f в точке (u, f(u)).

   Легко проверить, что для различных эквивалентных погружений в одной и той же точке m-поверхности все касательные m-пространства совпадают, а выбор конкретной параметризации f лишь фиксирует базис е₁, ..., е_m в этом m-мерном подпространстве T_f(u)(G, ψ). Это подпространство назовем касательной m-плоскостью к поверхности F в точке (u, f(u)) и обозначим через T_f(u)F.

   Равенства (2.8) определяют в каждой точке u ∈ V^m линейное отображение Df: T_uV^m → T_f(u)Wⁿ имеющее в соответствующих локальных координатах матрицу (2.3). Линейный оператор Df называется дифференциалом отображения f.

   Касательная m-плоскость T_f(u)F есть область значений этого оператора.

   Отметим, что для любого ненулевого вектора α ∈ TV^m вектор Df(α) ≠ 0, в противном случае rang D(f) < m.

   Для кривой в E³, заданной параметризацией (2.5), касательная плоскость будет прямой с направляющим вектором r'(t). Ее обычно называют касательной к кривой в данной точке. Для поверхности в Е³, заданной параметризацией (2.6), касательная плоскость содержит векторы r_u, r_v и полностью ими определяется. Пусть теперь Wⁿ риманово многообразие. Тогда при каждом u ∈ V^m ортогональное дополнение к T_f(u)F в T_f(u)Wⁿ называется нормальным пространством к F в точке f(u) и обозначается N_f(u)F. Размерность N_f(u)F равна n - m. Любое его одномерное подпространство называется нормалью к F в точке f(u). Если F — гиперповерхность, то в каждой точке F существует единственная нормаль, совпадающая в этом случае с N_f(u)F. Орт нормали гиперповерхности обозначим через v(u). На каждой нормали он может быть выбран двояким образом.

   Если поверхность F задана в Е³ параметризацией (2.6), то ниже единичный вектор нормали к F всегда определяется равенством