Bodrenko.com Bodrenko.org
§2.3 Касательная m-плоскость гладкой m-поверхности. Нормаль Назад // Вперед

   Рассмотрим многообразия Vm и Wn, введенные в §2.2. Пусть гладкая параметрическая m-поверхность f задана уравнениями (2.2). Возьмем на f точку (u, f(u)), где точка u = (u10, ..., um0) ∈ Vm. Рассмотрим всевозможные гладкие пути на f, проходящие через точку (u, f(u)). Пусть один из этих путей l задается уравнениями

ui = φi(τ), τ ∈ [-а, а],

ui0 = φi(0).   (2.7)

Назовем касательным вектором t к пути l в точке (u, f(u)) ∈ f вектор с координатами

(2.8)

Поэтому

   (2.9)

где

Векторы ei ∈ Tf(u)(G, ψ) (см. § 3.5).

   Так как rang D(f) = m, то векторы е1, ..., еm линейно независимы. Их линейная оболочка L(е1, ..., еm) будет m-мерным подпространством пространства Tf(u)(G, ψ). Из (2.9) вытекает, что t ∈ L(е1, ..., еm). Покажем, что всякий вектор t = a1e1 + ... + аmеm ∈ L(е1, ..., еm) является касательным к некоторому пути на f, проходящему через точку (u, f(u)). Действительно, таким путем будет путь

u1 = a1τ + u10, ..., um = amτ + um0, τ ∈ [-a, a].

   Итак, множество L(е1, ..., еm) состоит из векторов, касательных к всевозможным путям на f, проходящим через точку (u, f(u)). Оно называется касательным пространством к параметрической m-поверхности f в точке (u, f(u)).

   Легко проверить, что для различных эквивалентных погружений в одной и той же точке m-поверхности все касательные m-пространства совпадают, а выбор конкретной параметризации f лишь фиксирует базис е1, ..., еm в этом m-мерном подпространстве Tf(u)(G, ψ). Это подпространство назовем касательной m-плоскостью к поверхности F в точке (u, f(u)) и обозначим через Tf(u)F.

   Равенства (2.8) определяют в каждой точке u ∈ Vm линейное отображение Df: TuVm → Tf(u)Wn имеющее в соответствующих локальных координатах матрицу (2.3). Линейный оператор Df называется дифференциалом отображения f.

   Касательная m-плоскость Tf(u)F есть область значений этого оператора.

   Отметим, что для любого ненулевого вектора α ∈ TVm вектор Df(α) ≠ 0, в противном случае rang D(f) < m.

   Для кривой в E3, заданной параметризацией (2.5), касательная плоскость будет прямой с направляющим вектором r'(t). Ее обычно называют касательной к кривой в данной точке. Для поверхности в Е3, заданной параметризацией (2.6), касательная плоскость содержит векторы ru, rv и полностью ими определяется. Пусть теперь Wn риманово многообразие. Тогда при каждом u ∈ Vm ортогональное дополнение к Tf(u)F в Tf(u)Wn называется нормальным пространством к F в точке f(u) и обозначается Nf(u)F. Размерность Nf(u)F равна n - m. Любое его одномерное подпространство называется нормалью к F в точке f(u). Если F — гиперповерхность, то в каждой точке F существует единственная нормаль, совпадающая в этом случае с Nf(u)F. Орт нормали гиперповерхности обозначим через v(u). На каждой нормали он может быть выбран двояким образом.

   Если поверхность F задана в Е3 параметризацией (2.6), то ниже единичный вектор нормали к F всегда определяется равенством

v(u, v) = (ru × rv) / (|ru × rv|).