Bodrenko.com Bodrenko.org
Глава 2. Понятие поверхности

§ 2.1. Поверхности.

Назад // Вперед

    Погружения f и g многообразий U и V соответственно в многообразие W называются эквивалентными, если существует такой гомеоморфизм φ: U → V, что f = gφ. Так как U и V гомеоморфны, то, определяя эквивалентные погружения, можно ограничиться двумя погружениями одного и того же многообразия U.

   Для эквивалентных погружений будем применять обозначение f ~ g. Очевидно, введенное отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно. Отношение эквивалентности разбивает все погружения на непересекающиеся классы. Ясно, что погружения негомеоморфных многообразий попадают в разные классы. m-мерной поверхностью (или, короче, m-поверхностью) в n-мерном многообразии Wn называется класс эквивалентных погружений связных m-мерных многообразий в Wn.

   1-поверхность в Wn называется кривой, а (n — 1)-поверхность — гиперповерхностью.

   Каждая m-поверхность определяется заданием любого погружения из соответствующего класса. Это погружение обычно называют параметризацией m-поверхности или параметрической m-поверхностью.

   Ясно, что образы многообразия U при эквивалентных погружениях совпадают. Если погружение f: Um → Wn является вложением, то мы не будем различать m-поверхность, определенную этим вложением, и множество f(Um). В этом смысле мы можем рассматривать m-поверхность как подмногообразие размерности m многообразия Wn. В общем случае мы проведем еще одно отождествление и не будем различать погружение f и его график — подмножество пар (u, f(u)), где u ∈ Um, множества Um × Wn. Это позволит нам говррить о точках параметрической поверхности и рассматривать параметрическую m-поверхность как подмногообразие размерности т многообразия Um × Wn. Если два погружения эквивалентны, то их графики можно поточечно отождествить. Это позволяет и m-поверхность рассматривать как подмногообразие размерности m многообразия Um × Wn.