Погружения f и g многообразий U и V соответственно в многообразие W называются эквивалентными,
если существует такой гомеоморфизм φ: U → V, что f = gφ. Так как
U и V гомеоморфны, то, определяя эквивалентные погружения,
можно ограничиться двумя погружениями одного и того же многообразия U.
Для эквивалентных погружений будем применять обозначение
f ~ g. Очевидно, введенное отношение рефлексивно, симметрично и
транзитивно. Отношение эквивалентности разбивает все погружения на непересекающиеся классы.
Ясно, что погружения негомеоморфных многообразий попадают в разные классы.
m-мерной поверхностью (или, короче, m-поверхностью) в n-мерном многообразии Wn называется класс эквивалентных
погружений связных m-мерных многообразий в Wn.
1-поверхность в Wn называется кривой, а (n — 1)-поверхность — гиперповерхностью.
Каждая m-поверхность определяется заданием любого
погружения из соответствующего класса. Это погружение обычно
называют параметризацией m-поверхности или параметрической m-поверхностью.
Ясно, что образы многообразия U при эквивалентных погружениях
совпадают. Если погружение f: Um → Wn является вложением,
то мы не будем различать m-поверхность, определенную этим
вложением, и множество f(Um). В этом смысле мы можем
рассматривать m-поверхность как подмногообразие размерности m многообразия Wn.
В общем случае мы проведем еще одно отождествление
и не будем различать погружение f и его график — подмножество
пар (u, f(u)), где u ∈ Um, множества Um × Wn. Это позволит нам
говррить о точках параметрической поверхности и рассматривать
параметрическую m-поверхность как подмногообразие размерности
т многообразия Um × Wn. Если два погружения эквивалентны, то их графики можно поточечно отождествить.
Это позволяет и m-поверхность рассматривать как подмногообразие размерности m
многообразия Um × Wn.
|