Bodrenko.com Bodrenko.org

Глава 1: Кривые в метрическом пространстве. Пространства с внутренней матрикой
§ 1.1 Кривые

Назад //  Вперед

    Путем l в Х называется непрерывное отображение f какого-либо отрезка [а, b] в Х. Множество путей пространства Х обозмайм через L(Х). Введем в L(Х) отношение эквивалентности Т: два пути

l1: х = f1(t), а ≤ t ≤ b, l2: х = f2(τ), α ≤ τ ≤ β,

будем называть эквивалентными, если существует такой гомеоморфизм φ [а, b] → [α, β], что при любом t ∈ [а, b]

f2(φ(t)) = f1(t).

Классы эквивалентных путей или, что то же, элементы фактор-пространства L(Х)/Т будем называть кривыми в пространстве Х. В классе эквивалентных путей точки, лежащие на разных путях, естественно объединяются в совокупность соответствующих точек, причем каждой такой совокупности в пространстве отвечает единственная точка. Эта совокупность отождествляемых точек и принимается за точку кривой. Пусть, далее, дан путь l: х = f(t), t ∈ [а, b]. Путь l': х = f(t), где t ∈ [c, d] ⊂ [а, b], называется дугой пути t с концами в точках f(c) и f(d). Отношение эквивалентности между путями, определяющими кривую L, естественно индуцирует отношение эквивалентности дуг этих путей. Класс эквивалентных между собой дуг называется дугой кривой L. Очевидно, что всякая дуга кривой может рассматриваться как самостоятельная кривая. Любой путь, представляющий кривую L, называется ее параметризацией.

Пусть теперь Х - метрическое пространство. Любой отрезок [а, b] может быть линейной функцией φ(t) = (t-a)/(b-a) топологически отображен на отрезок [0, 1]. Поэтому, полагая для любых двух путей f:[а, b] → Х, g:[c, d] → Х

ρ(f, g) = supτ∈[0,1] ρ(f (a + τ(b - а)), g (c + τ(d - с))), мы задаем в L(Х) метрику, которая индуцирует в Х[0,1] компактно-открытую топологию. В пространстве кривых L(Х)/Т, фактортопология индуцируется метрикой Фреше

r(ξ, η) = inf ρ(f, g),

где точная нижняя грань берется соответственно по всем путям f ∈ ξ, g ∈ η.