Линейная алгебра. Тензор момента инерции. Момент импульса. Координаты дискриминантного тензора. Теореме Эйлера. Мгновенная ось вращения тела. Ковариантные и контравариантные координаты. Метрический тензор. Механика твердого тела. Выражение для кинетической энергии. Вектор мгновенной угловой скорости.

Решение задач и выполнение научно-исследовательских разработок: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org    
математика, IT, информатика, программирование, статистика, биостатистика, экономика, психология
Пришлите по e-mail: irina@bodrenko.org описание вашего задания, срок выполнения, стоимость

Учебные дисциплины на сайте Bodrenko.org
Портабельные Windows-приложения на сайте Bodrenko.com

§ 5. Тензор момента инерции

Рассмотрим твердое тело, закрепленное в точке О. Пусть г = — радиус-вектор точки М этого тела, v — скорость точки М.
Как известно, момент импульса N определяется соотношением , где V — объем тела, dm = ρ dV (ρ — плотность тела).
Обозначая через Nⁱ контравариантные координаты вектора N и используя формулу (8.60) для векторного произведения, получим

(напомним, что сⁱ_kl = g^is c_skl, где c_skl — координаты дискриминантного тензора в данном базисе пространства Е³, см. п. 6 §3 этой главы).
По теореме Эйлера существует мгновенная ось вращения тела. Обозначая через ω вектор мгновенной угловой скорости, получим v = [ωr]. Снова обращаясь к формуле (8.60) для векторного произведения, найдем

v^l = c^l_pn ω^p rⁿ.                                         (8.82)

Подставляя найденное выражение v^l в правую часть (8.81) и учитывая независимость ω^р от переменных интегрирования, получим следующее выражение для Nⁱ:

Тензор

фигурирующий в правой части соотношений (8.83), называется тензором момента инерции.
Преобразуем выражение (8.84) для тензора момента инерции. Для этой цели обратимся к формуле (8.65), По этой формуле имеем cⁱ_kl c^l_pn = g_kn δⁱ_p - g_kp δⁱ_n. Поэтому

Если в выражении (8.85) опустить индекс г с помощью метрического тензора, то в результате получим часто используемую формулу для координат дважды ковариантного тензора момента инерции:

Тензор момента инерции широко используется в механике твердого тела. Для примера запишем с помощью этого тензора выражение для кинетической энергии Т. Имеем

Но поскольку vⁱ = cⁱ_pn ω^p rⁿ, выражение для Т примет вид

Отсюда, согласно (8.84), найдем Т = ½ ω^p ω^k J_pk.

Bodrenko.org