Пусть {(X_i,Ω_i)}_iI - семейство топологических пространств, где индекс i пробегает семейство индексов I произвольной мощности. Предположим, что множества X_i попарно дизъюнктны, т.е. попарно не пересекаются. Положим X = X_i и пусть S = Ω, т.е. S - это объединение всех множеств U X таких, что U Ω_i при некотором i I. Введем на X топологию Ω, приняв за ее предбазу семейство S. Топология Ω называется суммой топологий Ω_i. Топологическое пространство (X,Ω) называется топологической суммой пространств {(X_i,Ω_i)}_iI.

   Пусть множества U₁, ... , U_n S. Тогда, если U₁, ... , U_n Ω_i, для некоторого i I, то в силу аксиомы в) топологического пространства пересечение U_k Ω_i, и следовательно, содержится в S. Если же множества U₁, ... , U_n принадлежат различным семействам из совокупности {Ω_i}_iI то в силу дизъюнктности множеств {X_i}_iI и пересечение U_k = .

    Таким образом, предбаза S образует и базу топологии Ω.

   Теорема 2.17. Пусть (X,Ω) - топологическая сумма дизъюнктных пространств {(X_i,Ω_i)}_iI, где индекс i пробегает семейство индексов I произвольной мощности. Тогда выполняются следующие свойства:

   1) каждое множество X_i является одновременно замкнутым и открытым в пространстве (X,Ω);

   2) для любого семейства {A_i}_iI, множеств А_i, замкнутых в пространствах (Х_i,Ω_i) множество А = A_i замкнуто в пространстве (X,Ω).

   Доказательство. Докажем свойство 1). По определению базы топологии, открытыми в пространстве (X,Ω) множествами являются всевозможные объединения множеств, открытых в пространствах {(X_i,Ω_i)}_iI. В частности, для любого i₀ I множество Х_i0 является открытым в пространстве (X,Ω). С другой стороны, Х_i0 = Х\ Х_i, так как множества семейства {X_i}_iI попарно не пересекаются. Тогда Х_i0 является замкнутым в пространстве (X,Ω) как дополнение открытого множества Х_i Ω Докажем свойство 2). Покажем, что Х\А открыто в X. Действительно, Х\ A_i = Х_i\A_i = (X_i\A_i), так как множества семейства {X_i}_iI попарно не пересекаются. Каждое из множеств Х_i\А_i, открыто в соответствующем пространстве (X_i,Ω_i), тогда их объединение Х\А принадлежит базе топологии Ω и поэтому открыто в пространстве (X,Ω). Тогда А замкнуто в X как дополнение открытого множества.

    Теорема доказана.