Bodrenko.com
Bodrenko.org

Учебные дисциплины на сайте Bodrenko.org
Портабельные Windows-приложения на сайте Bodrenko.com
"Геометрические методы математической физики" Компьютерные науки Математика и информатика Векторный и тензорный анализ Теория игр Аналитическая геометрия и линейная алгебра Римановы многообразия Элементы вариационного исцисления Дифференциальная геометрия и топология "Геометрия подмногообразий" Дополнительные главы дифференциальной геометрии "Диффиренциальные уравнения на многообразиях" "Дифференциальная геометрия и топология кривых" Bodrenko.com Bodrenko.org

Bodrenko.org

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУ ВПО «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

Кафедра  фундаментальной информатики и оптимального управления

Бодренко И.И., к. ф. м.-н., доцент

 

 

 

 

 

Учебно-методический комплекс по дисциплине

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ 

                                                                                                                     

 

 

Специальность: 010100  Математика

 

 

Утверждено

Рекомендовано

Ученым советом факультета

Протокол №_

«____»_____________ 200_г.

кафедрой  ______________________

Протокол №_

«____»____________ 200_г.

Декан факультета__________

Лосев А.Г.       

Зав. кафедрой____________________

Воронин А.А.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Волгоград 2009 г.

 

 

Автор-составитель:

Бодренко И.И.,  к. ф. м.-н.,  доцент 

 

 

Учебно-методический комплекс по дисциплине «Линейная алгебра  и геометрия» 

составлен в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальности 010100  Математика.

 

Дисциплина входит в федеральный компонент цикла  математических и естественнонаучных  дисциплин и является обязательной для изучения.

 

 

__________________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 


 

СОДЕРЖАНИЕ

 

Стр.

1.     Рабочая программа учебной дисциплины

4

2.     Методические рекомендации по изучению дисциплины для студентов

2.1.         Советы по планированию и организации времени, необходимого на изучение дисциплины.

2.2.         Описание последовательности действий студента по изучению дисциплины.

2.3.         Рекомендации по использованию материалов учебно-методического комплекса и по работе     с литературой.

2.4.         Советы по подготовке к экзамену и разъяснения по поводу работы с тестовой системой курса, по выполнению домашних заданий.

17             

 

 

 

17

 

17

 

 

18

 

 

18

3.     Учебно-методические материалы (УММ)

3.1.         Лекции

3.2.         Практические занятия: план проведения занятий; списки типовых задач по каждой теме, рекомендуемые сборники задач по каждой теме.

3.3.         Методические указания для преподавателей, ведущих практические занятия.

4.     Словарь терминов

5.     Формы текущего, промежуточного, рубежного и итогового контроля:

5.1.         Контрольные вопросы по каждой теме.

5.2.         Варианты контрольных работ, тесты.

19

19

22

 

 

 

25

25

 

27

27

30

6.     Балльно-рейтинговая система оценки успеваемости студентов по дисциплине

50

 

 

 

 

 

 

 

Федеральное агенство по образованию Российской Федерации

ГОУ ВПО "ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ"

 ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

КАФЕДРА ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ИНФОРМАТИКИ И ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ




 
    УТВЕРЖДЕНО                                                          УТВЕРЖДАЮ
   Ученым советом                                                    Декан факультета
     факультета
Протокол N        от                                                  _____________ А.Г. Лосев
"______ " ___________  2008 г.                              "______ " ___________  2008 г.
 
 




Программа учебной дисциплины
"Линейная алгебра и геометрия"
по направлению подготовки бакалавров
"Математика".
Факультет математики и информационных технологий.




 
 
Составитель рабочей программы:
 
Доцент кафедры ФИОУ, к.ф.м.н., доцент   Бодренко И.И. _____________
 






Волгоград 2008 г.

  1. Аннотация.
    Рабочая программа составлена на основании государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по курсу "Линейная алгебра и геометрия" и учебного плана по специальности "Математика" ВолГУ.

    I.1. ЦЕЛЬ ПРЕПОДАВАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ.


Преподавание курса "Линейная алгебра и геометрия" формирует у студентов правильные представления об основных понятиях линейной алгебры и многомерной геометрии, вводит в аналитические методы исследования основных геометрических элементов и фигур, знакомит с методами векторной и линейной алгебры при решении геометрических задач, формирует восприятие многомерных векторных, аффинных и евклидовых пространств.

I.2. ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ.                                                                        

Студент должен знать следующие понятия и свойства. Векторные пространства:  линейная  зависимость векторов; размерность и базис векторного пространства;  координаты вектора в заданном базисе; изоморфность векторных пространств одинаковой конечной размерности;  подпространства векторного пространства; линейная оболочка и ранг систем векторов;  пересечение и  сумма  подпространств;  прямая сумма;  линейные функции;  сопряженное пространство; дуальный  базис;  линейные  отображения  векторных  пространств, их  задание  матрицами:  ядро и образ линейного отображения;  условие существования обратного  отображения; линейные операторы; действия над ними; матрицы оператора  в  различных  базисах;  инвариантные   подпространства; собственные векторы и собственные значения; характеристический многочлен линейного оператора;  теорема Гамильтона-Кэли;   Жорданова   клетка:  корневые подпространства; разложение в прямую сумму; теорема о жордановой нормальной форме матрицы  линейного  оператора в комплексном и в  вещественном пространстве;  единственность жордановой  нормальной формы;  необходимое и достаточное условие диагонализируемости матрицы;  полилинейные функции на векторном пространстве: общее понятие о тензорах; компоненты тензора; переход от одной системы координат к другой; задание тензоров типа (2,0) (билинейных функций) матрицей; квадратичные и эрмитовы формы; приведение симметрических билинейных форм к каноническому виду;  закон инерции; положительные  определенные  формы;   критерий Сильвестра;  свертка тензора; симметрические и кососимметрические тензоры;  операция симметрирования и альтернирования;  внешнее умножение;  внешняя алгебра; связь с определителями;  ориентация  конечномерного   векторного пространства. Евклидовы  и  унитарные векторные пространства: длина вектора и угол  между векторами;  неравенство Коши-Буняковского;  ортонормированные  базисы; процесс ортогонализации;  ортогональные и унитарные матрицы; примеры; изоморфность унитарных пространств одинаковой размерности; соответствие между билинейными формами и линейными операторами: линейный оператор, сопряженный к данному; симметрические и эрмитовы линейные операторы; их спектр; существование собственного ортонормированного базиса; приведение квадратичной (эрмитовой) формы  к  главным осям;  ортогональные и унитарные линейные операторы; канонический базис для них; аффинные и евклидовы аффинные (точечные) пространства:  системы координат;  плоскости  в  аффинном пространстве;  их  задание системами  линейных уравнений;  расстояние между точками евклидова   пространства;   расстояние от точки до плоскости; объем в евклидовом пространстве; объем параллелепипеда и определитель Грама;  Аффинные  отображения, их запись в координатах; разложение аффинного преобразования в произведение сдвига и преобразования,  оставляющего на месте точку;  геометрический смысл определителя аффинного  преобразования. Движения  евклидова   пространства;   классификация   движений  трехмерного  пространства;  Группа невырожденных аффинных преобразований и  группа движений; теоретико-групповая точка зрения на геометрию;  аффинная и евклидова геометрия. Квадрики (гиперповерхности второго порядка) в аффинном пространстве: классификация квадрик в аффинной и евклидовой  геометриях; невырожденные центральные квадрики; линейные уравнения,  определяющие центр;  канонические и цилиндрические квадрики;  асимптотические  направления;  геометрические свойства главных осей  эллипсоида. Проективное  пространство произвольной размерности,  различные модели: однородные координаты;  аффинные карты проективного пространства;  проективные преобразования и проективная группа;  квадрики в проективном пространстве, их классификация.

Студент должен понимать следующие основные определения  линейной алгебры и геометрии. Векторное (линейное) пространство, линейная  зависимость векторов, размерность и базис векторного пространства, координаты вектора, преобразование координат, линейное подпространство, изоморфизм линейных пространств, линейная оболочка и ранг системы векторов. Линейная функция, сопряженное пространство. Евклидово  и унитарное  векторные пространства, длина вектора, угол между векторами. Аффинное и евклидово аффинные (точечные) пространства, аффинная система координат, плоскости в аффинном пространстве,  расстояние между точками евклидова   пространства,  расстояние от точки до плоскости и объем в евклидовом пространстве. Линейный оператор, матрица линейного оператора, собственные значения и собственные векторы линейного оператора, сопряженный оператор, самосопряженный оператор. Билинейные функции и квадратичные формы в евклидовом пространстве, положительно определенные  формы. Понятие тензора, симметрические и кососимметрические тензоры, операции симметрирования и альтернирования, внешнее умножение;  внешняя алгебра. Ортонормированный  базис, процесс ортогонализации,  ортогональные и унитарные матрицы, изоморфность унитарных пространств одинаковой размерности, соответствие между билинейными формами и линейными операторами. Аффинные  отображения, геометрический смысл определителя аффинного  преобразования;  движения евклидова  пространства.  Гиперквадрики (гиперповерхности второго порядка) в аффинном пространстве. Проективное пространство, проективные преобразования.
Уметь доказывать основные теоремы курса.


I.3. ВЗАИМОСВЯЗЬ УЧЕБНЫХ ДИСЦИПЛИН.

Понятия линейной алгебры и геометрии, алгебраические и аналитические методы исследования пронизывают все фундаментальные общематематические курсы, непосредственно и опосредованно проникли во многие разделы естествознания, математическую экономику, математическую экологию,  являясь базисом, без привлечения которого немыслимо изложение любого математического курса. Методы линейной алгебры и геометрии имеют универсальное значение.

Методика формирования результирующей оценки:
Выполнение каждой письменной контрольной работы оценивается от 0 до 12 баллов.
Выполнение студентом заданий на каждом практическом занятии оценивается от 0 до 4 баллов.
Рейтинговая оценка работы студента в семестре равна сумме баллов за 3 контрольные работы и практические занятия, и может достичь 72 баллов. Студент, набравший в результате текущего семестрового контроля менее 20 баллов, к экзамену  не допускается; ему выставляется итоговая пятибальная оценка "неудовлетворительно".
Экзамен  по дисциплине проводится в письменном виде. Экзаменационный билет содержит 5 пунктов, содержащих как теоретические вопросы, так и задачи. Ответ студента на каждый пункт билета оценивается от 0 до 8 баллов.
Итоговая рейтинговая оценка знаний студента равна сумме баллов, полученных в течение семестра за выполнение контрольных работ, и до 40 баллов, полученных за письменную экзаменационную работу в конце семестра (но не более 100 баллов).
Итоговая пятибальная оценка по дисциплине определяется в соответствии со следующей схемой: если количество баллов не меньше 91, то выставляется оценка "отлично", иначе, если количество баллов не меньше 71, то выставляется оценка "хорошо", иначе, если количество баллов не меньше 60, то выставляется оценка "удовлетворительно".

В первом семестре студенты сдают зачет, во втором семестре студенты сдают зачет и экзамен.

II. CОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ.

1. Объем дисциплины и виды учебной работы.

N п/п

Вид учебной работы

Всего часов

1.

Аудиторные занятия (всего)

144

1.1

Лекции

72

1.2.

Практические занятия

72

2.

Самостоятельная работа (всего)

96

3.

Общая трудоемкость дисциплины

240

4.

Вид итогового контроля

Экзамен


2. Тематический план дисциплины.

Номер темы

Тематика лекций и практических занятий

Лекции(часов)

Практ. занятия (часов)

 

 

 

 

1.

Линейные пространства.

10

10

2.

Аффинные пространства.

6

6

3.

Линейные операторы.

20

20

4.

Линейные, билинейные и квадратичные формы.

12

12

5.

Метрические векторные пространства.

8

8

6.

Тензорная алгебра.

8

8

7.

Аффинная, евклидова и проективная геометрия.

8

8

 

Всего часов

72

72

3. Содержание лекций и практических занятий.

3.1. Содержание лекций.

Номер темы

Название темы, наименование вопросов, изучаемых на лекциях

Кол - во часов

Практ. работы

Метод. указания

Форма контроля

 1.

   ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

10

10

V.2, 1,2.

К.р., зач.,экз.

1.1.

Аксиомы линейного пространства,  примеры, простейшие следствия из аксиом . Линейная комбинация, линейная зависимость. Свойства линейной зависимости.

2

1.1.

 

 

1.2.

Лемма о базисном миноре, основная лемма о двух системах векторов.  Ранг матрицы. 

2

1.2.

 

 

1.3.

Базис, размерность линейного пространства, линейные операции в координатах. Изоморфизм линейных пространств.

2

1.3.

 

 

1.4.

Линейное подпространство. Линейная оболочка. Сумма и пересечение подпространств.

2

1.4.

 

 

1.5.

Прямая сумма подпространств. Размерность суммы подпространств.

2

1.5.

 

 

2

АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

6

6

V.2, 1,2.

К.р.,зач., экз.

2.1.

Аффинное пространство, аффинные координаты. Плоскости в аффинном пространстве.

2

2.1.

 

 

2.2.

Взаимное расположение плоскостей в аффинном пространстве.

4

2.2.

 

 

3.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

20

20

 

К.р., зач, экз.

3.1

Определение линейного оператора. Образ, ядро, матрица линейного оператора.

4

3.1.

 

 

3.2.

Линейные преобразования. Инвариантные подпространства.

4

3.2.

 

 

3.3.

Собственные векторы и собственные значения, характеристический многочлен линейного преобразования.Основные теоремы о  характеристическом многочлене и собственных векторах.                                                             

4

3.3.

 

 

3.4.

Вырожденные линейные преобразования. Нильпотентные линейные преобразования.

4

3.4.

 

 

3.5.

Жорданова  клетка, жорданова нормальная форма матрицы линейного  преобразования,  корневые подпространства, разложение в прямую сумму. Теорема о жордановой нормальной форме матрицы линейного преобразования в комплексном и в  вещественном пространстве.  Единственность жордановой  нормальной формы;  необходимое и достаточное условие диагонализируемости матрицы. Теорема Гамильтона-Кэли.

4

3.5.

 

 

4.

ЛИНЕЙНЫЕ, БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ.

12

12

V.2, 1,2.

К.р., зач.,

экз.

4.1.

Линейные формы. Сопряженное пространство.

2

4.1.

 

 

4.2.

Билинейные формы. Симметрические и кососимметрические билинейные формы. Матрица и ранг билинейной формы, матрицы билинейной формы в различных базисах.

2

4.2.

 

 

4.3.

Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа. Нормальный вид квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Якоби.

4

4.3., 4.4.

 

 

4.4.

Положительно определенные и отрицательно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.

2

 4.5.

 

 

4.5.

Определитель Грама. Неравенство Коши – Буняковского.

2

4.6.

 

 

5.

МЕТРИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

 8

8

V.2, 1,2.

К.р., зач., экз.

5.1.

Евклидовы  и  унитарные векторные пространства. Длина вектора и угол  между векторами.  Неравенство Коши –  Буняковского.  

2

5.1.

 

 

5.2.

Ортонормированные  базисы.  Процесс ортогонализации.  Ортогональные и унитарные матрицы; примеры. Изоморфность унитарных пространств одинаковой размерности.

2

5.2.

 

 

5.3.

Линейный оператор, сопряженный к данному. Симметрические и эрмитовы линейные операторы, их спектр, существование собственного ортонормированного базиса. 

2

5.3

 

 

5.4.

Приведение квадратичной (эрмитовой) формы  к  главным осям.  Ортогональные и унитарные линейные операторы; канонический базис для них.

2

5.4.

 

 

6.

ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА

8

8

V.2, 1,2.

 

6.1.

Понятие тензора, симметрические и кососимметрические тензоры. Алгебраические операции над тензорами.

4

6.1.

 

 

6.2.

Внешнее умножение;  внешняя алгебра. Связь с определителями;  ориентация  конечномерного   векторного пространства.

4

6.2.

 

 

7.

АФФИННАЯ, ЕВКЛИДОВА И ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

8

8

V.2, 1,2.

 

7.1.

Аффинные  отображения, их запись в координатах. Разложение аффинного преобразования в произведение сдвига и преобразования,  оставляющего на месте точку. Геометрический смысл определителя аффинного  преобразования.

2

7.1

 

 

7.2.

Движения  евклидова   пространства.   Классификация   движений  трехмерного  пространства.  Группа невырожденных аффинных преобразований и  группа движений.

2

7.2.

 

 

7.3.

Квадрики (гиперповерхности второго порядка) в аффинном пространстве: классификация квадрик в аффинной и евклидовой  геометриях; невырожденные центральные квадрики; линейные уравнения,  определяющие центр;  канонические и цилиндрические квадрики;  асимптотические  направления;  геометрические свойства главных осей  эллипсоида. 

2

7.3.

 

 

7.4.

Проективные пространства произвольной размерности.

Однородные координаты. Аффинные карты проективного пространства.  Проективные преобразования и проективная группа. Квадрики в проективном пространстве, их классификация.

2

7.4.

 

 


Примечание: программа лекций первого семестра соответствует 1- 3 темам.

3.2. Содержание практических занятий.

Номер

 

Объем,

практи-

Наименование практической работы

час

ческой работы

 

 

 1.

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.

10

1.1.

Линейная комбинация, линейная зависимость. Свойства линейной зависимости.

2

 

Задачи: 15.2, 20.10-20.13 [1], 636-655, 665- 681 [2].

 

1.2.

Ранг матрицы.

2

 

Задачи: 16.1- 16.30 [1], 608-613, 619-622 [2].

 

1.3.

Базис, размерность линейного пространства, линейные операции в координатах.

2

 

Задачи: 20.17- 20.22, 20.24- 20.31 [1], 1277- 1284 [2].

 

1.4.

Линейное подпространство. Линейная оболочка.

2

 

Задачи: 20.14- 20.16, 20.24- 20.31 [1], 1285- 1313 [2].

 

1.5.

Сумма и пересечение подпространств.Прямая сумма подпространств. Размерность суммы подпространств.

2

 

Задачи: 21.1- 21.17 [1], 1314- 1328 [2].

 

2.

АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

6

2.1.

Аффинное пространство, аффинные координаты. Плоскости в аффинном пространстве.

2

 

Задачи: 33.1- 33.5, 33.18- 33.21 [1], 1337- 1341 [2].

 

2.2.

Взаимное расположение плоскостей в аффинном пространстве.

4

 

Задачи: 33.22- 33.35 [1], 1342- 1345 [2].

 

3.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

20

3.1.

Определение линейного оператора. Образ, ядро, матрица линейного оператора.

4

 

Задачи: 23.1- 23.8, 23.26-23.35 [1], 1434- 1461 [2].

 

3.2.

Инвариантные подпространства.

2

 

Задачи: 24.66 – 24.73, 24.86, 24.87 [1], 1504, 1505 [2].

 

3.3.

Собственные векторы и собственные значения, характеристический многочлен линейного преобразования.

4

 

Задачи: 24.1- 24.21, 24.30, 24.32, 24.34, 24.35 [1], 1465- 1474 [2].

 

3.4.

Вырожденные линейные преобразования. Нильпотентные линейные преобразования.

4

3.5.

Жорданова нормальная форма матрицы линейного  преобразования,  корневые подпространства.

6

 

 Задачи: 24.93- 24.96 [1], 1530- 1535 [2].

 

4.

ЛИНЕЙНЫЕ, БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ.

12

4.1.

Линейные формы. Сопряженное пространство.

2

 

Задачи: 31.1- 31.32 [1], 1530- 1535 [2].

 

4.2.

Билинейные формы. Симметрические и кососимметрические билинейные формы. Матрица и ранг билинейной формы, матрицы билинейной формы в различных базисах.

2

 

Задачи: 32.1- 32.7 [1], 1530- 1535 [2].

 

4.3.

Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа.

2

 

Задачи: 32.8 [1], 1175- 1192 [2].

 

4.4.

Нормальный вид квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Якоби.

2

 

Задачи: 32.10- 32.12 [1], 1201- 1204 [2].

 

4.5.

Положительно определенные и отрицательно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.

2

 

Задачи: 32.9, 32.18 [1], 1212- 1216, 1224 - 1232 [2].

 

4.6.

Определитель Грама. Неравенство Коши – Буняковского.

2

 

Задачи: 25.22- 25.24 [1], 1415- 1417 [2].

 

5.

МЕТРИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

8

5.1.

Евклидовы  и  унитарные векторные пространства. Длина вектора и угол  между векторами.  Неравенство Коши –  Буняковского.  

2

 

Задачи: 25.1- 25.6, 25.25 – 25.29, 25.34,  [1], 1415- 1417 [2].

 

5.2.

Ортонормированные  базисы.  Процесс ортогонализации.

2

 

 Задачи: 26.1- 26.24 [1], 1415- 1417 [2].

 

5.3.

Сопряженный линейный оператор. Симметрические и эрмитовы линейные операторы, их спектр, существование собственного ортонормированного базиса.           

2

 

Задачи: 28.22- 28.32 [1], 1540- 1543 [2].

 

5.4.

Приведение квадратичной (эрмитовой) формы  к  главным осям.  Ортогональные и унитарные линейные операторы; канонический базис для них.

2

 

Задачи: 30.2-30.8 [1], 1415- 1417 [2].

 

6.

ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА

8

6.1

Алгебраические операции над тензорами.

4

 

Задачи: 36.1- 36.56. [1], 1900- 1938 [2].

 

6.2.

Внешнее умножение;  внешняя алгебра.

4

 

Задачи: 38.1- 38.31 [1], 1415- 1417 [2].

 

7.

 АФФИННАЯ, ЕВКЛИДОВА И ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

8

7.1.

 Аффинные  отображения.

2

 

Задачи: 12.37- 12.89 [1], 1415- 1417 [2].

 

7.2.

Движения  евклидова   пространства.

2

 

Задачи: 30.13, 30.16, 30.20, 30.29, 30.35 [1], 1571- 1573 [2].

 

7.3.

Гиперповерхности второго порядка.

2

 

Задачи: 32.27, 32.28 [1], 1854, 1860 [2].

 

7.4.

Проективные пространства.

2

 

Задачи: 13.1- 13.9 [1], 1634 [2].

 


Примечание: программа практических занятий первого семестра соответствует 1 - 3 темам.


-         Программа экзамена по дисциплине «Линейная алгебра и геометрия».

Линейные пространства.

-         Аксиомы линейного пространства,  примеры, простейшие следствия из аксиом . Линейная комбинация, линейная зависимость. Свойства линейной зависимости.

-         Лемма о базисном миноре, основная лемма о двух системах векторов.  Ранг матрицы. 

-         Базис, размерность линейного пространства, линейные операции в координатах. Изоморфизм линейных пространств.

-         Линейное подпространство. Линейная оболочка. Сумма и пересечение подпространств.

-         Прямая сумма подпространств. Размерность суммы подпространств.

      

       Аффинные пространства.

 

-         Аффинное пространство, аффинные координаты. Плоскости в аффинном пространстве.

-         Взаимное расположение плоскостей в аффинном пространстве.

 

       Линейные операторы.

 

-         Определение линейного оператора. Образ, ядро, матрица линейного оператора.

-         Линейные преобразования. Инвариантные подпространства.

-         Собственные векторы и собственные значения, характеристический многочлен линейного преобразования.Основные теоремы о  характеристическом многочлене и собственных векторах.

-         Жорданова  клетка, жорданова нормальная форма матрицы линейного преобразования. Корневые подпространства, разложение в прямую сумму.

-         Теорема о жордановой нормальной форме матрицы линейного преобразования в комплексном и в  вещественном пространстве.

-         Единственность жордановой нормальной формы;  необходимое и достаточное условие диагонализируемости матрицы. Минимальный многочлен.

-         Теорема Гамильтона-Кэли.

 

       Линейные, билинейные и квадратичные формы.

 

-         Линейные формы. Сопряженное пространство.

-         Билинейные формы. Симметрические и кососимметрические билинейные формы.

-         Матрица и ранг билинейной формы, матрицы билинейной формы в различных базисах.   

-         Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа.

-         Нормальный вид квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм.

-          Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Якоби.

-         Положительно определенные и отрицательно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.

-         Определитель Грама.

 

       Метрические векторные пространства.

 

-         Евклидовы  и  унитарные векторные пространства. Длина вектора и угол  между векторами. 

-         Неравенство Коши –  Буняковского.

-         Ортонормированные  базисы.  Процесс ортогонализации. 

-         Ортогональные и унитарные матрицы; примеры.

-         Изоморфность унитарных пространств одинаковой конечной размерности.

-         Линейный оператор, сопряженный к данному.

-         Симметрические и эрмитовы линейные операторы, их спектр, существование собственного ортонормированного базиса. 

-         Приведение квадратичной (эрмитовой) формы  к  главным осям. 

-         Ортогональные и унитарные линейные операторы; канонический базис для них.

 

       Тензорная алгебра.

 

-         Понятие тензора, симметрические и кососимметрические тензоры.

-         лгебраические операции над тензорами. 

-         Внешнее умножение.

-         Внешняя алгебра.

 

       Аффинная, евклидова и проективная геометрия.

 

-         Аффинные  отображения, их запись в координатах.

-         Разложение аффинного преобразования в произведение сдвига и преобразования, оставляющего на месте точку.

-         Геометрический смысл определителя аффинного  преобразования.

-         Движения  евклидова   пространства. 

-         Классификация   движений  трехмерного  пространства. 

-         Группа невырожденных аффинных преобразований и  группа движений.

-         Квадрики (гиперповерхности второго порядка) в аффинном пространстве.

-         Классификация квадрик в аффинной и евклидовой  геометриях.

-         Невырожденные центральные квадрики.

-         Линейные уравнения,  определяющие центр квадрики.

-         Канонические и цилиндрические квадрики.

-         Асимптотические  направления.

-         Геометрические свойства главных осей  эллипсоида. 

-         Проективные пространства произвольной размерности.

-         Однородные координаты. Аффинные карты проективного пространства.

-         Проективные преобразования и проективная группа.

-         Квадрики в проективном пространстве, их классификация.

 

      

Примечания.

-         Программа зачета первого семестра соответствует 1 -3 темам.

-         Программа зачета второго семестра соответствует 4 -7 темам.

-         Программа экзамена второго семестра соответствует 1 -7 темам.

-         Модульные контрольные работы в первом семестре распределяются по темам следующим образом: контрольная работа № 1 – тема 1,  контрольная работа № 2 – тема 2,  контрольная работа № 3 – тема 3.

-         Модульные контрольные работы во втором семестре распределяются по темам следующим образом: контрольная работа № 1 – тема 4,  контрольная работа № 2 – тема 5, контрольная работа № 3 – темы 6,7.

 

 

IV. Учебно-методическое обеспечение.
Лекции и практические занятия основаны на учебных пособиях [1-9] и методических рекомендациях [1, 2]. Наш вариант изложения дисциплины имеет своей целью удобство ее приложений в других дисциплинах курса обучения. Другие варианты изложения и дополнительные результаты могут быть получены студентами из книг, приведенных в списке литературы. В лекциях обсуждаются решения всех задач, включаемых в контрольные работы и экзаменационные билеты. В течение каждого семестра на практических занятиях проводятся 3 контрольные работы. Расчетная продолжительность каждой контрольной работы не превышает 2 часа. Примеры заданий для контрольных работ содержатся в электронных методических указаниях [1] и также доступны студентам без ограничений.

V. ЛИТЕРАТУРА.
V.1. ЛИТЕРАТУРА.
 

1. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А.Сборник задач по аналитической

геометрии и линейной алгебре. Учебное пособие. М.: Наука. 1987. 496 с.

2. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. 7-е изд. М.: Наука. 1984. 336 с.

3. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. 3-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 464 с.

4. Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Учебник, 3-е издание. М.: 2007, 400 с.

5. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Учебник, М.: 1979, 512 с.

6. Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Изд-во МГУ, 1990, 328 с.

7. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. Учебник. 6-е изд.М.: ФИЗМАТЛИТ 2004, 280 с.

8. Постников М.М. Лекции по геометрии, Семестр II. Линейная алгебра. М.: Наука, 1986, 400 с.

9. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия,  М.: Наука, 1990, 672 с.                   

        
V.2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
 
       1. Фонд контрольных заданий по курсу "Линейная алгебра и геометрия". (Электронные методические указания. Составитель -- Бодренко И.И.)
       2. Программа экзамена по курсу "Линейная алгебра и геометрия". (Электронные методические указания. Составитель -- Бодренко И.И.)



Программа учебной дисциплины утверждена сроком на 4 года

 на заседании кафедры фундаментальной информатики и оптимального управления
29 августа 2008 г., протокол N 1.

Заведующий кафедрой ______________________ А.А. Воронин




 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ ДЛЯ СТУДЕНТОВ

2.1.  Советы по планированию и организации времени, необходимого для изучения дисциплины.

При изучении дисциплины «Линейная алгебра и геометрия» на протяжении всего периода изучения необходимо систематически и последовательно работать с   теоретическим материалом, излагаемым на лекциях, решать задачи на практических занятиях.  Планирование и организация времени, необходимого для изучения дисциплины «Линейная алгебра и геометрия», должны проводиться в соответствии со следующими установленными объемом и видами учебной работы.

Объем дисциплины и виды учебной работы.

N п/п

Вид учебной работы

Всего часов

1.

Аудиторные занятия (всего)

144

1.1

Лекции

72

1.2.

Практические занятия

72

2.

Самостоятельная работа (всего)

96

3.

Общая трудоемкость дисциплины

240

4.

Вид итогового контроля

Экзамен

 

2.2. Описание последовательности действия студента при  изучении дисциплины.

Изучение дисциплины «Линейная алгебра и геометрия» проводится в соответствии со следующим тематическим планом.

            Тематический план изучения дисциплины «Линейная алгебра и геометрия».

Номер темы

Тематика лекций и практических занятий

Лекции(часов)

Практ. занятия (часов)

 

 

 

 

1.

Линейные пространства.

10

10

2.

Аффинные пространства.

6

6

3.

Линейные операторы.

20

20

4.

Линейные, билинейные и квадратичные формы.

12

12

5.

Метрические векторные пространства.

8

8

6.

Тензорная алгебра.

8

8

7.

Аффинная, евклидова и проективная геометрия.

8

8

 

Всего часов

72

72

 

            После изучения теоретических вопросов по теме каждой лекции и решения задач  необходимо определить наиболее трудные для понимания вопросы и нерешенные задачи. В случае если ответы на вопросы не удается получить самостоятельно, целесообразно проконсультироваться с преподавателем.


2. 3.  Рекомендации по использованию материалов учебно-методического комплекса и по работе с литературой.

               Программа первого семестра по дисциплине «Линейная алгебра и геометрия» соответствует 1 – 3  темам, программа второго семестра – 4 – 7 темам. Лекции и практические занятия в основном рассчитаны на применение учебных пособий [1-9], методических рекомендаций [1-2]. Наш вариант изложения дисциплины имеет своей целью удобство ее приложений в других дисциплинах курса обучения. Другие варианты изложения и дополнительные результаты могут быть получены студентами из книг, приведенных в списке литературы.  На лекциях обсуждаются решения всех задач, включаемых в контрольные работы и экзаменационные билеты.  В течение каждого семестра на занятиях проводятся 3 контрольные работы. Расчетная продолжительность каждой контрольной работы не превышает 2 часа. Задания для контрольных работ (без разбиения на варианты) содержатся в электронных методических указаниях [1] и также доступны студентам без ограничений.
               Материалы учебно-методического комплекса целесообразно использовать в течение всего периода изучения дисциплины. Изучение теоретических вопросов, излагаемых на лекциях, необходимо сопровождать изучением соответствующих разделов в предлагаемой литературе. Необходимый минимум теоретического материала и типовые задачи по изучаемым в дисциплине «Линейная алгебра и геометрия» вопросам содержатся в следующих учебниках и сборниках задач. 

 

1. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А.Сборник задач по аналитической

геометрии и линейной алгебре. Учебное пособие. М.: Наука. 1987. 496 с.

2. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. 7-е изд. М.: Наука. 1984. 336 с.

3. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. 3-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 464 с.

4. Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Учебник, 3-е издание. М.: 2007, 400 с.

5. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Учебник, М.: 1979, 512 с.

6. Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Изд-во МГУ, 1990, 328 с.

7. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. Учебник. 6-е изд.М.: ФИЗМАТЛИТ 2004, 280 с.

8. Постников М.М. Лекции по геометрии, Семестр II. Линейная алгебра. М.: Наука, 1986, 400 с.

9. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия,  М.: Наука, 1990, 672 с.                   

        

               При подготовке к контрольным работам, зачетам  и экзамену целесообразно также использовать  следующие  учебно-методические материалы.


       1. Фонд контрольных заданий по курсу "Линейная алгебра и геометрия". (Электронные методические указания. Составитель -- Бодренко И.И.)
       2. Программа экзамена по курсу "Линейная алгебра и геометрия". (Электронные методические указания. Составитель -- Бодренко И.И.)

2. 4.  Советы по подготовке к экзамену  и разъяснения по поводу работы с тестовой системой курса, по выполнению домашних заданий.

 

В течение каждого семестра на занятиях проводятся по 3 контрольные работы. Расчетная продолжительность каждой контрольной работы не превышает 2 часа. Задания для контрольных работ (без разбиения на варианты) содержатся в электронных методических указаниях [1] и также доступны студентам без ограничений.
Выполнение каждой письменной контрольной работы оценивается от 0 до 12 баллов. Выполнение студентом заданий на каждом практическом занятии оценивается от 0 до 2 баллов.  Домашние задания следует выполнять в наиболее полном объеме и в срок.

            Рейтинговая оценка работы студента в семестре равна сумме баллов за 3 контрольные работы и практические занятия, и может достичь 72 баллов. Студент, набравший в результате текущего семестрового контроля менее 20 баллов, к экзамену  не допускается; ему выставляется итоговая пятибалльная оценка "неудовлетворительно".

Экзамен  по дисциплине проводится в письменном виде. Экзаменационный билет содержит 5 пунктов, содержащих как теоретические вопросы, так и задачи. Ответ студента на каждый пункт билета оценивается от 0 до 8 баллов.

Сложные разделы дисциплины должны быть тщательно проработаны и при необходимость вынесены на предэкзаменационную консультацию.

Итоговая рейтинговая оценка знаний студента равна сумме баллов, полученных в течение семестра за выполнение контрольных работ, и до 40 баллов, полученных за письменную экзаменационную работу в конце семестра (но не более 100 баллов).

Итоговая пятибалльная оценка по дисциплине определяется в соответствии со следующей схемой: если количество баллов не меньше 91, то выставляется оценка "отлично", иначе, если количество баллов не меньше 71, то выставляется оценка "хорошо", иначе, если количество баллов не меньше 60, то выставляется оценка "удовлетворительно".

В первом семестре студенты сдают зачет, во втором семестре студенты сдают зачет и экзамен.


 

 

           

 

 

 

3. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ

3.1. ЛЕКЦИИ

ТЕМА 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 

            Лекция 1. Аксиомы линейного пространства,  примеры, простейшие следствия из аксиом. Линейная комбинация, линейная зависимость. Свойства линейной зависимости.

            Лекция 2. Лемма о базисном миноре, основная лемма о двух системах векторов.  Ранг матрицы.  

            Лекция 3. Базис, размерность линейного пространства, линейные операции в координатах. Изоморфизм линейных пространств.  Примеры.

            Лекция 4. Линейное подпространство. Линейная оболочка. Сумма и пересечение подпространств.

            Лекция 5. Прямая сумма подпространств. Размерность суммы подпространств.

ТЕМА 2. АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА.

            Лекция 6. Аффинное пространство, аффинные координаты. Плоскости в аффинном пространстве.

            Лекция 7. Взаимное расположение плоскостей в аффинном пространстве.

            Лекция 8.

ТЕМА 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.

            Лекция 9. Определение линейного оператора. Примеры. Матрица линейного оператора.

            Лекция 10. Образ, ядро линейного оператора. Ранг и дефект линейного оператора.

            Лекция 11. Линейные преобразования. Инвариантные подпространства.

            Лекция 12.

            Лекция 13. Собственные векторы и собственные значения, характеристический многочлен линейного преобразования.

            Лекция 14. Основные теоремы о  характеристическом многочлене и собственных векторах линейного преобразования.

            Лекция 15. Вырожденные линейные преобразования. Нильпотентные линейные преобразования. 

            Лекция 16. Жорданова  клетка, жорданова нормальная форма матрицы линейного  преобразования,  корневые подпространства, разложение в прямую сумму.

            Лекция 17. Теорема о жордановой нормальной форме матрицы линейного преобразования в комплексном и в  вещественном пространстве.

            Лекция 18. Единственность жордановой  нормальной формы;  необходимое и достаточное условие диагонализируемости матрицы. Теорема Гамильтона-Кэли.

ТЕМА 4. ЛИНЕЙНЫЕ, БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ.

            Лекция 19. Линейные формы. Сопряженное пространство.

            Лекция 20. Билинейные формы. Симметрические и кососимметрические билинейные формы. Матрица и ранг билинейной формы, матрицы билинейной формы в различных базисах.

            Лекция 21. Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа.

            Лекция 22. Нормальный вид квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Якоби.

            Лекция 23. Положительно определенные и отрицательно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.

            Лекция 24.  Определитель Грама. Неравенство Коши – Буняковского.

ТЕМА 5. МЕТРИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.

            Лекция 25. Евклидовы  и  унитарные векторные пространства. Длина вектора и угол  между векторами.  Неравенство Коши –  Буняковского.  

            Лекция 26. Ортонормированные  базисы.  Процесс ортогонализации. Ортогональные и унитарные матрицы; примеры. Изоморфность унитарных пространств одинаковой размерности.

            Лекция 27. Сопряженный линейный оператор. Симметрические и эрмитовы линейные операторы, их спектр, существование собственного ортонормированного базиса.             

            Лекция 28. Приведение квадратичной (эрмитовой) формы  к  главным осям.  Ортогональные и унитарные линейные операторы; канонический базис для них.

ТЕМА 6. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА.

            Лекция 29. Понятие тензора, переход от одной системы координат к другой. Задание тензоров типа (0, 2) (билинейных функций) матрицей; задание тензоров типа (1,1) (линейных операторов) матрицей. Алгебраические операции над тензорами: сумма тензоров, произведение тензора на числа, тензорное произведение. Свертка тензора.

            Лекция 30. Сиимметрические и кососимметрические тензоры. Симметрирование и альтернирование тензоров.

            Лекция 31. Внешнее умножение;  внешняя алгебра. Связь с определителями;  ориентация  конечномерного   векторного пространства.

            Лекция 32.

ТЕМА 7. АФФИННАЯ, ЕВКЛИДОВА И ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

            Лекция 33. Аффинные  отображения, их запись в координатах. Разложение аффинного преобразования в произведение сдвига и преобразования,  оставляющего на месте точку. Геометрический смысл определителя аффинного  преобразования.

            Лекция 34. Движения  евклидова   пространства.   Классификация   движений  трехмерного  пространства.  Группа невырожденных аффинных преобразований и  группа движений.

            Лекция 35. Квадрики (гиперповерхности второго порядка) в аффинном пространстве: классификация квадрик в аффинной и евклидовой  геометриях; невырожденные центральные квадрики; линейные уравнения,  определяющие центр;  канонические и цилиндрические квадрики;  асимптотические  направления;  геометрические свойства главных осей  эллипсоида. 

            Лекция 36. Проективные пространства произвольной размерности.Однородные координаты. Аффинные карты проективного пространства.  Проективные преобразования и проективная группа. Квадрики в проективном пространстве, их классификация.

 

3. 2. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ


ТЕМА 1.  ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.

  1. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости. Преобразование координат. Полярные координаты. Задачи: № 26 – 85 [2].
  2. Деление отрезка в данном отношении. Площадь треугольника. Задачи № 86 – 126 [2].
  3. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве. Расстояние между точками. Деление отрезка в данном отношении. Задачи: № 719 – 747 [2].
  4. Векторы, свободный вектор. Линейные операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Задачи:  № 748 – 775 [2].
  5. Линейная зависимость и независимость векторов. Геометрический смысл линейной зависимости: коллинеарные векторы, компланарные векторы. Свойства линейной зависимости. Базисы. Задачи: № 776 – 794 [2].
  6.  Длина вектора и угол между векторами. Скалярное произведение векторов. Задачи: № 795 – 838 [2].
  7. Векторное произведение векторов.  Задачи: № 839 – 864 [2].
  8. Смешанное произведение векторов. Задачи: № 885 – 878 [2].

ТЕМА 2. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ.

  1. Прямая на плоскости, различные виды ее уравнений (каноническое уравнение прямой на плоскости, общее уравнение прямой на плоскости, уравнение прямой с угловым коэффициентом, уравнение прямой, проходящей через две точки, уравнение прямой «в отрезках»), переход от одного вида уравнения прямой к другому. Неполные уравнения прямой. Задачи: № 210 – 221, 285 – 308 [2].
  2. Прямая на евклидовой плоскости. Нормальный вектор прямой. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Угол между прямыми. Условие перпендикулярности двух прямых. Задачи: № 222 – 284 [2].
  3. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Расстояние между параллельными прямыми. Разделение плоскости прямой. Задачи: № 309 – 352 [2].
  4. Плоскость, различные виды ее уравнений (параметрические уравнения плоскости, общее уравнение плоскости, уравнение плоскости, проходящей через три неколлинеарные точки, уравнение плоскости «в отрезках»). Переход от одного вида уравнения плоскости к другому. Неполные уравнения плоскости. Задачи: № 940 – 952 [2].
  5. Плоскость в евклидовом пространстве. Нормальный вектор плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей.
  6. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между двумя параллельными плоскостями. Задачи: № 956 – 973 [2].
  7. Прямая в пространстве. Различные виды ее уравнений (параметрические уравнения, канонические уравнения прямой в пространстве). Прямая как линия пересечения двух плоскостей, нахождение направляющего вектора прямой и начальной точки. Уравнения плоскости: проходящей через прямую и точку, ей не принадлежащую; через две параллельные прямые; через две пересекающиеся прямые. Задачи: № 982 – 1006, 1007 - 1021 [2].
  8. Угол между плоскостями. Условие перпендикулярности двух плоскостей. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Условие перпендикулярности прямой и плоскости. Задачи: № 982 – 1006, 1007 - 1021 [2].
  9. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Разделение пространства плоскостью.             Задачи: № 974 – 981, 1026 – 1029, 1007 - 1021 [2].
  10. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Расстояние между двумя прямыми в пространстве. Уравнения общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых в пространстве. Задачи: № 1029 – 1031, 1062 – 1064, 1083 [2].

ТЕМА 3. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ.

  1. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса. Фокальное, директориальное и оптическое свойства эллипса. Задачи: № 444 – 503 [2].
  2.  Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы. Фокальное, директориальное и оптическое свойства гиперболы. Задачи: № 515 – 573 [2].
  3. Парабола. Каноническое уравнение параболы. Директориальное и оптическое свойства параболы. Задачи: № 583 – 627 [2].
  4. Центр симметрии линий второго порядка.  Центральные и нецентральные линии второго порядка. Задачи: № 665 – 669 [2].
  5. Взаимное расположение прямой и линии второго порядка. Прямые асимптотического направления. Асимптоты.  Прямые неасимптотического направления. Касательные. Задачи: № 670 – 672 [2].
  6. Особые и неособые направления. Свойства. Взаимно сопряженные направления. Самосопряженные направления. Диаметры линии второго порядка. Задачи: № 643 – 663 [2].
  7. Упрощение уравнения центральной линии второго порядка. Задачи: № 673 – 688 [2].
  8. Упрощение уравнения нецентральной линии второго порядка. Задачи: № 689 – 700 [2].
  9.  Эллипсоиды и их плоские сечения.  Однополостный и двуполостный гиперболоиды и их плоские сечения. Эллиптический и гиперболический параболоиды и их плоские сечения. Задачи: № 1154 – 1180 [2].
  10.  Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида. Свойства прямолинейных образующих гиперболического параболоида. Задачи: № 1181 – 1185 [2].
  11. Цилиндрические поверхности второго порядка. Конические поверхности второго порядка. Задачи: № 1186 – 1203 [2].

ТЕМА 4. ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.

  1. Линейные отображения плоскостей. Примеры. Выражение линейного отображения в координатах. Свойства линейных отображений плоскостей. Задачи: № 127 – 141 [2].
  2. Аффинные преобразования плоскости. Свойства. № 12.37 – 12.62 [3].
  3.  Ортогональные преобразования. Движения плоскости. Собственные и несобственные движения. № 12.63 – 12.89 [3].

ТЕМА 5.  ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. 

  1. Центральная проекция. Бесконечно удаленные элементы евклидова пространства. Проективное пространство. Задачи: № 1883 – 1886 [4].
  2.  Интерпретация проективной прямой и проективной плоскости в связке прямых. Однородные координаты точки на проективной прямой и проективной плоскости. Задачи: № 1887 – 1889 [4].
  3. Проективные системы координат. Проективно-аффинные преобразования. Задачи: № 1890 – 1894 [4].
  4. Проективная классификация линий второго порядка. Задачи: № 1885 – 1901 [4].

 

           

 

 

 

 

 

            3.3. Методические указания для преподавателей, ведущих практические занятия.

           

            В соответствии с общими правилами необходимо проводить практические  занятия в строгом соответствии с планом, уделять должное внимание текущему контролю знаний студентов, контрольные работы проводить в запланированные сроки, представлять необходимую отчетность по модулям рабочей программы. Особое внимание уделять наиболее трудным для понимания вопросам, контролировать выполнение домашних заданий.

 

                                    4.  СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ

 

Аффинная система координат                    – см. [5], т. 1, с. 358

Аффинное пространство                             – см. [5], т. 1, с. 362

 

Базис                                                               – см. [5], т. 1, с. 633

ортонормированный                                                – см. [1], т. 1, с. 633

 

Вектор геометрический                               – см. [5], т. 1, с. 632

-         свободный                                         – см. [5], т. 1, с. 632

Векторное пространство                              – см. [5], т. 1, с. 633, с. 642

Векторы коллинеарные                               – см. [5], т. 1, с. 632

компланарные                                         – см. [5], т. 1, с. 632

, линейная комбинация                          – см. [5], т. 1, с. 633

линейно зависимые                                – см. [5], т. 1, с. 633

линейно независимые                            – см. [5], т. 1, с. 633

ортогональные                                        – см. [5], т. 1, с. 634

равные                                                      – см. [5], т. 1, с. 632

 

Гипербола                                                      – см. [5], т. 1, с. 987

Гиперболоид двуполостный                       – см. [5], т. 1, с. 1000

-         однополостный                                 – см. [5], т. 1, с. 1000

 

Движение                                                      – см. [5], т. 2, с. 20

Декартовы прямоугольные координаты    – см. [5], т. 1, с. 634

Диаметр                                                         – см. [5], т. 2, с. 127

 

Конические сечения                                     – см. [5], т. 2, с. 1034

Конус действительный                                – см. [5], т. 4, с. 344

-         мнимый                                              – см. [5], т. 4, с. 344

Координаты вектора                                    – см. [5], т. 1, с. 633

Косинусы направляющие                            – см. [5], т. 1, с. 634

 

Линейные операции над векторами           – см. [5], т. 1, с. 632

-         , сумма векторов                               – см. [5], т. 1, с. 632

-         , произведение вектора на число    – см. [5], т. 1, с. 633

Линия второго порядка                                – см. [5], т. 3, с. 387

-         , инварианты                                     – см. [5], т. 3, с. 388

-         нецентральная                                   – см. [5], т. 3, с. 388

-         центральная                                       – см. [5], т. 3, с. 388

 

Модуль вектора                                             – см. [5], т. 1, с. 632

 

Однородные координаты                            – см. [5], т. 3, с. 1180

 

Парабола                                                        – см. [5], т. 4, с. 191                          

Параболоид                                                   – см. [5], т. 4, с. 201

-         гиперболический                              – см. [5], т. 1, с. 992

-         эллиптический                                  – см. [5], т. 5 с. 993

Плоскость                                                      – см. [5], т. 4, с. 318

-         , нормальный вектор                        – см. [5], т. 4, с. 319

Поверхность второго порядка                     – см. [5], т. 4, с. 343

-         центральная                                       – см. [5], т. 4, с. 344

-         нецентральная                                   – см. [5], т. 4, с. 344

Преобразование аффинное                          – см. [5], т. 1, с. 361

-         линейное                                            – см. [5], т. 3, с. 350

-         ортогональное                                   – см. [5], т. 4, с. 87    

Проективная классификация

линий второго порядка                                – см. [5], т. 3, с. 389

Проективная плоскость                               – см. [5], т. 4, с. 664

Проективное пространство                         – см. [5], т. 4, с. 679  

Проективные координаты                           – см. [5], т. 4, с. 680  

Произведение векторное                             – см. [5], т. 1, с. 635, с. 642

-         двойное векторное                           – см. [5], т. 4, с. 635

-         скалярное векторов                          – см. [5], т. 1, с. 634

-         смешанное векторов                         – см. [5], т. 1, с. 635

Прямая                                                           – см. [5], т. 4, с. 722

-         , нормальный вектор                        – см. [5], т. 4, с. 722

Пучок прямых                                               – см. [5], т. 4, с. 771

-         плоскостей                                         – см. [5], т. 4, с. 771

 

Тройка векторов правая                               – см. [5], т. 1, с. 634

-         левая                                                   – см. [5], т. 1, с. 634

 

Угол между векторами                                 – см. [5], т. 1, с. 634

Уравнения линий второго порядка            – см. [5], т. 3, с. 387

-         поверхностей второго порядка       – см. [5], т. 4, с. 343   

 

Центр             линии                                                             – см. [5], т. 3, с. 388

Цилиндр                                                        – см. [5], т. 4, с. 344

-         гиперболический                              – см. [5], т. 1, с. 992

-         параболический                                – см. [5], т. 4, с. 195

-         эллиптический                                  – см. [5], т. 5, с. 993

 

Эллипс                                                           – см. [5], т. 5, с. 977

Эллипсоид                                                     – см. [5], т. 5, с. 978

-         мнимый                                              – см. [5], т. 5, с. 978

 

 

 

 

ЛИТЕРАТУРА

 

            [1] Постников М.М.  Лекции по геометрии. Семестр I. Аналитическая геометрия.: Учебн. пособие для вузов. 2-е издание.,  М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1986. - 416 с.           [2] Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1987, 254 с.

            [3] Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. Учебн. пособие.  М.: ФИЗМАТЛИТ. 2001. 496 с.

            [4] Бахвалов С.В., Моденов М.П., Пархоменко П.С. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. Лит. 1964.  440 с.

            [5] Математическая энциклопедия. Т. 1 – 5.  М. Издательство «Советская энциклопедия» 1977 – 1985. Т. 1 – 5.

 

 

 

  1. ФОРМЫ ТЕКУЩЕГО,  ПРОМЕЖУТОЧНОГО, РУБЕЖНОГО И ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ

 

 

 

5.1.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО КАЖДОЙ ТЕМЕ

 

                                              ТЕМА 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.
 
               1.1.  Понятие вектора, линейные операции над векторами. Векторное пространство. Примеры.
               1.2.  Линейная зависимость и независимость векторов, коллинеарность,      компланарность. Свойства линейной зависимости. Теорема о линейной зависимости.
               1.3.  Базисы. Теорема о числе векторов в базисах конечномерного     пространства. Размерность. Примеры.
               1.4.  Координаты вектора, суммы векторов, произведения вектора на число Однозначная определенность координат.
               1.5.  Полярно-сферические и полярно-цилиндрические системы координат.
               1.6.  Скалярное произведение векторов, свойства. Евклидово векторное  пространство. Неравенство Коши-Буняковского.
               1.7.  Понятие об ориентации пространства. Векторное произведение, свойства. (геометрический смысл, признак  коллинеарности векторов, антикоммутативность,  линейность).
               1.8. Смешанное произведение. Ориентированный объем  параллелепипеда. Свойства.
               1.9.  Скалярное произведение двух векторов и его выражение в прямоугольных       координатах.
               1.10. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей в       ортонормированном базисе.
               1.11. Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей.
 
                                              ТЕМА 2.  ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ.
 
               2.1.  Аффинное пространство. Аффинная система координат. Прямая в аффинном пространстве.
               2.2.  Прямая на плоскости, различные виды ее уравнений, переход от одного       к другому. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
               2.3.  Плоскость, различные виды ее уравнений: векторное параметрическое;       координатные параметрические; общее уравнение плоскости; уравнение плоскости,  проходящей через три неколлинеарные точки. Переход от одного вида уравнения  к другому.
               2.4.  Взаимное расположение двух плоскостей.
               2.5.  Прямая в пространстве. Различные ее уравнения. Прямая как линия пересечения двух плоскостей, нахождение направляющего вектора и начальной точки.
               2.6.  Взаимное расположение прямой и плоскости.
               2.7.  Взаимное расположение двух прямых.
               2.8.  Уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку, ей не       принадлежащую; через две параллельные прямые; через две пересекающиеся прямые.
               2.9.  Прямая на евклидовой плоскости. Нормальный вектор. Расстояние от точки до прямой на плоскости.
               2.10. Плоскость в евклидовом пространстве .Нормальный вектор плоскости.       Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между двумя параллельными       плоскостями.
               2.11. Расстояние от точки до прямой в пространстве.
               2.12. Расстояние между двумя прямыми в пространстве. Общий перпендикуляр       к двум скрещивающимся прямым.
 
                                              ТЕМА 3. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ.
 
               3.1.  Плоская линия и ее уравнение. Уравнения поверхностей и линий в       пространстве. Вывод уравнения поверхности вращения. Алгебраические линии и поверхности.
               3.2.  Каноническое уравнение эллипса. Свойства.
               3.3.  Каноническое уравнение гиперболы. Свойства.
               3.4.  Каноническое уравнение параболы. Свойства.
               3.5.  Взаимное расположение прямой и линии второго порядка. Асимптотические  направления.
               3.6.  Центр симметрии линий второго порядка.
               3.7.  Типы кривых, определяемых уравнением второй степени с двумя неизвестными (приведение к каноническому виду).
               3.8. Особые и неособые направления. Диаметры. Взаимно сопряженные направления.
               3.9. Поверхности вращения второго порядка. Цилиндрические поверхности      второго порядка.
               3.10. Сжатие пространства к плоскости. Канонические уравнения поверхностей       второго порядка.
               3.11. Эллипсоиды и их плоские сечения. Однополостный и двуполостный   гиперболоиды и их плоские сечения. Эллиптический и гиперболический  параболоиды и их плоские сечения.
               3.12. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида.
 
                               ТЕМА 4. ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.
 
               4.1.  Переход от одной системы координат к другой. Ортогональные матрицы как матрицы перехода от одной прямоугольной  системы координат к другой прямоугольной системе координат.
               4.2.  Преобразование плоскости. Примеры. Линейные отображения плоскостей,       свойства.
               4.3.  Аффинные преобразования, свойства.
               4.4.  Изометрии (движения или ортогональные преобразования). Собственные и       несобственные движения.
 
                               ТЕМА 5. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.
 
               5.1.  Центральная проекция. Бесконечно удаленные элементы евклидова пространства. Проективное пространство.
               5.2.  Интерпретация проективной прямой и проективной плоскости  в связке прямых. Однородные координаты точки на проективной прямой и проективной плоскости.
               5.3.  Проективные системы координат. Проективно-аффинные преобразования.
               5.4. Проективная классификация линий второго порядка.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  1. БАЛЛЬНО-РЕЙТИНГОВАЯ СИСТЕМА ОЦЕНКИ УСПЕВАЕМОСТИ СТУДЕНТОВ



Методика формирования результирующей оценки опирается на Положение о балльно-рейтинговой системе оценки успеваемости студентов ВолГУ. Контроль текущей работы студентов в семестре осуществляется по результатам выполнения ими в течение семестра трех контрольных работ и текущей аттестации.

Выполнение каждой письменной контрольной работы оценивается от 0 до 12 баллов. Выполнение студентом заданий на каждом практическом занятии оценивается от 0 до 2 баллов. 

Рейтинговая оценка работы студента в каждом семестре равна сумме баллов за 3 контрольные работы и практические занятия, и может достичь 72 баллов. Студент, набравший в результате текущего семестрового контроля менее 20 баллов, к экзамену  не допускается; ему выставляется итоговая пятибалльная оценка "неудовлетворительно".

Экзамен  по дисциплине проводится в письменном виде. Экзаменационный билет содержит 5 пунктов, содержащих как теоретические вопросы, так и задачи. Ответ студента на каждый пункт билета оценивается от 0 до 8 баллов.

Итоговая рейтинговая оценка знаний студента равна сумме баллов, полученных в течение семестра за выполнение контрольных работ и заданий, и до 40 баллов, полученных за письменную экзаменационную работу в конце семестра (но не более 100 баллов).

Итоговая пятибалльная оценка по дисциплине определяется в соответствии со следующей схемой: если количество баллов не меньше 91, то выставляется оценка "отлично", иначе, если количество баллов не меньше 71, то выставляется оценка "хорошо", иначе, если количество баллов не меньше 60, то выставляется оценка "удовлетворительно".

В первом семестре студенты сдают экзамен, во втором семестре студенты сдают экзамен.