Bodrenko.com
Bodrenko.org

Учебные дисциплины на сайте Bodrenko.org
Портабельные Windows-приложения на сайте Bodrenko.com
"Геометрические методы математической физики" Компьютерные науки Математика и информатика Векторный и тензорный анализ Теория игр Аналитическая геометрия и линейная алгебра Римановы многообразия Элементы вариационного исцисления Дифференциальная геометрия и топология "Геометрия подмногообразий" Дополнительные главы дифференциальной геометрии "Диффиренциальные уравнения на многообразиях" "Дифференциальная геометрия и топология кривых" Bodrenko.com Bodrenko.org

Bodrenko.org

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУ ВПО «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

Кафедра ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ИНФОРМАТИКИ И ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

                 Бодренко Андрей Иванович, кандидат физико-математических наук, доцент  

Ф.И.О., ученая степень, ученое звание  автора

 

 

 

 

 

Учебно-методический комплекс по дисциплине

 

                                                           Линейная алгебра

                                                                                            (название)        

 

 

Специальность:080700  Бизнес информатика, 080802 Прикладная информатика в экономике                                                                            

 

 

 

 

Утверждено

Рекомендовано

Ученым советом факультета

Протокол №_

«____»_____________ 200_г.

кафедрой  ______________________

Протокол №_

«____»____________ 200_г.

Декан факультета__________

Лосев А.Г.

Зав. кафедрой____________________

Воронин А.А.

 

Волгоград 2009 г.

 

 

 

Автор-составитель:

Ф.и.о., ученая степень, ученое звание, должность

Бодренко Андрей Иванович, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры ФИОУ

Учебно-методический комплекс__ Линейная алгебра               

                                             

составлен в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальности: 080700  Бизнес информатика, 080802 Прикладная информатика в экономике.

Дисциплина входит в федеральный компонент цикла  математических и естественнонаучных дисциплин и  является обязательной для изучения.

 

 

__________________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 


 

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

Стр.

 

1.     Рабочая программа учебной дисциплины

4

 

2.     Методические рекомендации по изучению дисциплины для студентов

2.1.         Советы по планированию и организации времени, необходимого на изучение дисциплины.

2.2.         Описание последовательности действий студента по изучению дисциплины.

2.3.         Рекомендации по использованию материалов учебно-методического комплекса и по работе     с литературой.

2.4.         Советы по подготовке к экзамену и разъяснения по поводу работы с тестовой системой курса, по выполнению домашних заданий.

9            

 

10

 

 

10

 

11

 

 

12

 

 

 

3.     Учебно-методические материалы (УММ)

3.1.         Лекции

3.2.         Практические занятия: план проведения занятий; списки типовых задач по каждой теме, рекомендуемые сборники задач по каждой теме.

3.3.         Методические указания для преподавателей, ведущих практические занятия.

4.     Словарь терминов

5.     Формы текущего, промежуточного, рубежного и итогового контроля:

5.1.         Контрольные вопросы по каждой теме.

5.2.         Варианты контрольных работ, тесты.

12

12

13

 

 

13

 

14

 

17

17

17

 

6.     Балльно-рейтинговая система оценки успеваемости студентов по дисциплине

19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рабочая программа учебной дисциплины



  1. Аннотация.
    Рабочая программа составлена на основании государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по курсу "Линейная алгебра" и учебного плана по специальности  "Бизнес информатика", "ПИЭ" ВолГУ.

    Преподавание курса "Линейная алгебра" имеет целью формирование у студентов правильных представлений об основных понятиях  линейной алгебры,  применение методов векторной и линейной алгебры. Подготовка к восприятию многомерных векторных и евклидовых пространств.

    Студент должен знать следующие понятия и свойства: понятие вектора, операции сложения векторов и умножения вектора на число, понятие линейной зависимости векторов и ее геометрический смысл, о Матрица. Определитель. Свойства определителя. Разложение определителя по строке или столбцу. Вычисление определителя. Обратная матрица. Ранг матрицы. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Однородная и неоднородная системы. Метод Гаусса решения общей системы линейных уравнений. Критерий совместности. Теорема Кронекера --- Капелли. Линейное пространство. Координаты вектора. Подпространства линейного пространства. Преобразование координат. Изоморфизм линейных пространств. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Сопряженный оператор. Самосопряженный оператор. Приведение матрицы самосопряженного оператора к диагональному виду. Билинейные функции и квадратичные формы в евклидовом пространстве.

    Студент должен понимать основные определения  линейной алгебры: вектор, линейная зависимость, матрица, определитель, обратная матрица, ранг матрицы, метод Гаусса решения общей системы линейных уравнений, линейные операторы, матрица линейного оператора, собственные значения и собственные векторы линейного оператора, билинейные функции и квадратичные формы в евклидовом пространстве. Уметь доказывать основные теоремы курса.



Понятия линейной алгебры , алгебраические и аналитические методы исследования непосредственно и опосредованно проникли во многие разделы естествознания, пронизывают все фундаментальные общематематические курсы, являясь базисом, без привлечения которого немыслимо изложение любого физического курса. Методы линейной алгебры имеют универсальное значение.


Методика формирования результирующей оценки:
Выполнение каждой письменной контрольной работы оценивается от 0 до 12 баллов.
Выполнение студентом заданий на каждом практическом занятии оценивается от 0 до 4 баллов.
Рейтинговая оценка работы студента в семестре равна сумме баллов за 3 контрольные работы и практические занятия, и может достичь 72 баллов. Студент, набравший в результате текущего семестрового контроля менее 20 баллов, к экзамену (или зачету) не допускается; ему выставляется итоговая пятибалльная оценка "неудовлетворительно".
Экзамен (зачет) по дисциплине проводится в письменном виде. Экзаменационный (зачетный) билет содержит 5 пунктов, содержащих как теоретические вопросы, так и задачи. Ответ студента на каждый пункт билета оценивается от 0 до 8 баллов.
Итоговая рейтинговая оценка знаний студента равна сумме баллов, полученных в течение семестра за выполнение контрольных работ, и до 40 баллов, полученных за письменную экзаменационную работу в конце семестра (но не более 100 баллов).
Итоговая пятибалльная оценка по дисциплине определяется в соответствии со следующей схемой: если количество баллов не меньше 91, то выставляется оценка "отлично", иначе, если количество баллов не меньше 71, то выставляется оценка "хорошо", иначе, если количество баллов не меньше 60, то выставляется оценка "удовлетворительно".

В первом семестре студенты сдают зачет, во втором семестре студенты сдают экзамен. Для получения зачета необходимо получить семестровую оценку не ниже "удовлетворительно".

II. CОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ.


1. Объем дисциплины и виды учебной работы.

N п/п

Вид учебной работы

Всего часов

1.

Аудиторные занятия (всего)

68

1.1

Лекции

34

1.2.

Практические занятия

34

2.

Самостоятельная работа (всего)

42

3.

Общая трудоемкость дисциплины

150

4.

Вид итогового контроля

Экзамен



2. Тематический план дисциплины.

Номер темы

Тематика лекций и практических занятий

Лекции(часов)

Практ. занятия (часов)

1.

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.

8

4

2.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

6

3

3.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.

16

8

 

Всего часов

68

34



3. Содержание лекций и практических занятий.

3.1. Содержание лекций.

Номер темы

Название темы, наименование вопросов, изучаемых на лекциях

Кол - во часов

Практи- ческие работы

Методи- ческие указания

Форма контроля

1

2

3

4

5

6

1.

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.

8

8

V. 3-5

Экз., к.р.

1.1.

Матрица.Операции над матрицами, свойства. Умножение матриц, свойства.

2

1.1

 

 

1.2.

Определитель. Свойства определителя. Транспозиции, теорема о транспозиции. Перестановки, свойства. Подстановки, свойства. Вычисление определителя по правилу "треугольников". Вычисление определителя с помощью элементарных преобразований над строками и столбцами.

2

1.1

 

 

1.3.

Миноры, свойства. Алгебраические дополнения, свойства. Формула выражения алгебраического дополнения через минор. Свойства определителя. Разложение определителя по строке или столбцу. Вычисление определителя.

2

1.1

 

 

1.4.

Обратная матрица, свойства. Ранг матрицы, свойства. Теорема о ранге матрицы.

2

1.1

 

 

2.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

5

5

V. 3-5

Экз., к.р.

2.1.

Система n линейных уравнений с n неизвестными. Однородная и неоднородная системы. Решение по правилу Крамера. Решение с помощью обратной матрицы.

2

2.1

 

 

2.2.

Метод Гаусса решения общей системы линейных уравнений (СЛУ). Критерий совместности. Теорема Кронекера --- Капелли. Фундаментальные решения однородной СЛУ, свойства. Решения неоднородной СЛУ и однородной СЛУ, свойства.

3

2.1

 

 

3.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.

15

15

V.3-5

Экз., к.р.

3.1.

Линейное пространство. Координаты вектора. Подпространства линейного пространства. Сумма и пересечение подпространств, прямая сумма подпространств, свойства. Теорема о размерности прямой суммы подпространств. Линейная оболочка, теорема о размерности линейной оболочки системы векторов.

2

10.1

 

 

3.2.

Преобразование координат вектора при переходе к другому базису. Изоморфизм линейных пространств, необходимое и достаточное условие изоморфизма конечномерных линейных пространств.

2

 

 

 

3.3.

Линейные операторы, свойства, примеры. Обратный линейный оператор. Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.

2

10.2

 

 

3.4.

Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Вычисление собственных значений, характеристическое уравнение. Теорема о линейной независимости системы собственных векторов, соответствующих попарно различным собственным значениям. Теорема о базисе линейного пространства, состоящего из собственных векторов. Собственное подпространство.

2

3.3

 

 

3.5.

Евклидово пространство, примеры. Скалярное произведение, свойства. Построение ортонормированного базиса. Изоморфизм евклидовых пространств, необходимое и достаточное условие изоморфизма конечномерных евклидовых пространств.

2

 

 

 

3.6.

Сопряженный оператор, теорема о существовании сопряженного оператора. Самосопряженный оператор. Теорема о приведении матрицы самосопряженного оператора к диагональному виду.

3

3.4

 

 

3.7.

Билинейные функции и квадратичные формы в евклидовом пространстве, свойства.

2

3.5

 

 


Примечание: программа первого семестра соответствует 1.-7. темам.


3.2. Содержание практических занятий.

Номер

 

Объем,

практи- ческой

Наименование практической работы

час

работы

 

 

1

2

3

1.

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.

4

1.1.

Матрица. Определитель. Свойства определителя. Разложение определителя по строке или столбцу. Вычисление определителя. Обратная матрица. Ранг матрицы.

4

2.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

3

2.1.

Метод Гаусса решения общей системы линейных уравнений. Правило Крамера. Критерий совместности. Теорема Кронекера --- Капелли.

3

3.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.

8

3.1.

Линейное пространство. Координаты вектора. Подпространства линейного пространства.

1

3.2.

Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.

2

3.3.

Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.

2

3.4.

Сопряженный оператор. Самосопряженный оператор. Приведение матрицы самосопряженного оператора к диагональному виду.

1

3.5.

Билинейные функции и квадратичные формы в евклидовом пространстве.

2


III. Программа экзамена.

1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.
1.1. Матрица. Операции над матрицами, свойства. Умножение матриц, свойства.
1.2. Определитель. Транспозиции, теорема о транспозиции. Перестановки, свойства. Подстановки, свойства. Вычисление определителя по правилу "треугольников". Вычисление определителя с помощью элементарных преобразований над строками и столбцами. Миноры, свойства. Алгебраические дополнения, свойства. Формула выражения алгебраического дополнения через минор. Свойства определителя.
1.3. Разложение определителя по строке или столбцу. Вычисление определителя.
1.4. Обратная матрица, свойства. Ранг матрицы, свойства.
2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
2.1. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Однородная и неоднородная системы линейных уравнений. Решение по правилу Крамера. Решение с помощью обратной матрицы.
2.2. Метод Гаусса решения общей системы линейных уравнений. Критерий совместности. Теорема Кронекера --- Капелли.
3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.
3.1. Линейное пространство. Координаты вектора. Подпространства линейного пространства.
3.2. Преобразование координат. Изоморфизм линейных пространств.
3.3. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
3.4. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
3.5. Евклидово пространство.
3.6. Сопряженный оператор. Самосопряженный оператор. Приведение матрицы самосопряженного оператора к диагональному виду.
3.7. Билинейные функции и квадратичные формы в евклидовом пространстве.

IV. Учебно-методическое обеспечение.
Лекции и практические занятия в основном рассчитаны на применение учебных пособий [1-2], методических рекомендаций [1-3], и электронных методических рекомендаций [1].
Наш вариант изложения дисциплины имеет своей целью удобство ее приложений в других дисциплинах курса обучения. Другие варианты изложения и дополнительные результаты могут быть получены студентами из книг, приведенных в списке литературы.
В лекциях обсуждаются решения всех задач, включаемых в контрольные работы и экзаменационные билеты.

 

 

 

В течение семестра на практических занятиях проводится 3 контрольные работы. Расчетная продолжительность каждой контрольной работы не превышает 2 часа. Задания для контрольных работ (без разбиения на варианты) содержатся в электронных методических указаниях [1] и также доступны студентам без ограничений.

V. ЛИТЕРАТУРА.

V.1. ЛИТЕРАТУРА.

1.  Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. Учебн. пособие.  М.: ФИЗМАТЛИТ. 2001. 496 с.

2. Клетеник Д.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Наука, 1987, 254 с.
5. Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Изд-во МГУ, 1990, 328 с.

V.2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ.



1. Фонд контрольных заданий по курсу "Линейная алгебра". (Электронные методические указания. Составитель -- Бодренко А.И.)
2. Программа экзамена по курсу "Линейная алгебра". (Электронные методические указания. Составитель -- Бодренко А.И.)



Программа учебной дисциплины утверждена  сроком на 4 года

на заседании кафедры фундаментальной информатики и оптимального управления
29 августа 2008 г., протокол N 1.

Заведующий кафедрой ______________________ А.А. Воронин

2. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ ДЛЯ СТУДЕНТОВ

            Дисциплина “Линейная алгебра” состоит из следующих разделов. Основные понятия линейной алгебры: Матрица. Определитель. Свойства определителя. Разложение определителя по строке или столбцу. Вычисление определителя. Обратная матрица. Ранг матрицы. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Однородная и неоднородная системы. Метод Гаусса решения общей системы линейных уравнений. Критерий совместности. Теорема Кронекера --- Капелли. Линейное пространство. Координаты вектора. Подпространства линейного пространства. Преобразование координат. Изоморфизм линейных пространств. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Сопряженный оператор. Самосопряженный оператор. Приведение матрицы самосопряженного оператора к диагональному виду. Билинейные функции и квадратичные формы в евклидовом пространстве.

Студент должен понимать основные определения линейной алгебры: матрица, определитель, обратная матрица, ранг матрицы, метод Гаусса решения общей системы линейных уравнений, линейные операторы, матрица линейного оператора, собственные значения и собственные векторы линейного оператора, билинейные функции и квадратичные формы в евклидовом пространстве. Уметь доказывать основные теоремы курса.

Понятия линейной алгебры , алгебраические и аналитические методы исследования непосредственно и опосредованно проникли во многие разделы естествознания, пронизывают все фундаментальные общематематические курсы, являясь базисом, без привлечения которого немыслимо изложение любого физического курса. Методы  линейной алгебры имеют универсальное значение.

           

2.1.  Советы по планированию и организации времени, необходимого для изучения дисциплины.

При изучении дисциплины «Линейная алгебра» необходимо работать с теоретическим материалом, излагаемым на лекциях, решать задачи на практических занятиях, систематически и последовательно на протяжении всего семестра.  Планирование и организация времени, необходимого для изучения дисциплины «Линейная алгебра», должны проводиться в соответствии с  установленными объемом и видами учебной работы.

 

Разъяснения по поводу работы с тестовой системой курса, по выполнению домашних заданий.

 

Лекции и практические занятия в основном рассчитаны на применение учебных пособий [1-2], методических рекомендаций [1-3], и электронных методических рекомендаций [1].
Наш вариант изложения дисциплины имеет своей целью удобство ее приложений в других дисциплинах курса обучения. Другие варианты изложения и дополнительные результаты могут быть получены студентами из книг, приведенных в списке литературы.
В лекциях обсуждаются решения всех задач, включаемых в контрольные работы и экзаменационные билеты.

В течение семестра на практических занятиях проводится 3 контрольные работы. Расчетная продолжительность каждой контрольной работы не превышает 2 часа. Задания для контрольных работ (без разбиения на варианты) содержатся в электронных методических указаниях [1] и также доступны студентам без ограничений.

 

 

 

 

2.2. Описание последовательности действия студента при  изучении дисциплины.

Изучение дисциплины «Линейная алгебра» проводится в соответствии со следующим тематическим планом.

            Тематический план изучения дисциплины «Линейная алгебра».

Номер темы

Тематика лекций и практических занятий

Лекции(часов)

Практ. занятия (часов)

1.

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.

8

4

2.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

6

3

3.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.

16

8

 

Всего часов

68

34

 

После изучения теоретических вопросов по теме каждой лекции и решения задач  необходимо определить наиболее трудные для понимания вопросы и нерешенные задачи. В случае если ответы на вопросы не удается получить самостоятельно, целесообразно проконсультироваться с преподавателем.

 
2. 3.  Рекомендации по использованию материалов учебно-методического комплекса и по работе с литературой.

               Программа семестра по дисциплине «Линейная алгебра» соответствует 1, 2,3 темам. Лекции и практические занятия в основном рассчитаны на применение учебных пособий [1-6], методических рекомендаций [1-3], и электронных методических рекомендаций [1]. Наш вариант изложения дисциплины имеет своей целью удобство ее приложений в других дисциплинах курса обучения. Другие варианты изложения и дополнительные результаты могут быть получены студентами из книг, приведенных в списке литературы.  На лекциях обсуждаются решения всех задач, включаемых в контрольные работы и экзаменационные билеты.  В течение каждого семестра на занятиях проводятся 3 контрольные работы. Расчетная продолжительность каждой контрольной работы не превышает 2 часа. Задания для контрольных работ (без разбиения на варианты) содержатся в электронных методических указаниях [1] и также доступны студентам без ограничений.
               Материалы учебно-методического комплекса целесообразно использовать в течение всего периода изучения дисциплины. Изучение теоретических вопросов, излагаемых на лекциях, необходимо сопровождать изучением соответствующих разделов в предлагаемой литературе. Необходимый минимум теоретического материала и типовые задачи по изучаемым в дисциплине «Линейная алгебра» вопросам содержатся в следующих учебниках и сборниках задач. 

 

1.  Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. Учебн. пособие.  М.: ФИЗМАТЛИТ. 2001. 496 с.

2. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1987, 254 с.
3. Александров П.С. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1967, 588 с.
4. Постников М.М. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1987.
5. Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Изд-во МГУ, 1990, 328 с.

При подготовке к контрольным работам и экзамену целесообразно также использовать  следующие  учебно-методические материалы.


1. Бодренко А.И. "Линейная алгебра. Сборник задач.
2. Фонд контрольных заданий по курсу "Линейная алгебра". (Электронные методические указания. Составитель -- Бодренко А.И.)
3. Программа экзамена по курсу "Линейная алгебра". (Электронные методические указания. Составитель -- Бодренко А.И.)

 

 

 

 

 


2. 4.  Советы по подготовке к экзамену  и разъяснения по поводу работы с тестовой системой курса, по выполнению домашних заданий.

 

В течение каждого семестра на занятиях проводятся 3 контрольные работы. Расчетная продолжительность каждой контрольной работы не превышает 2 часа. Задания для контрольных работ (без разбиения на варианты) содержатся в электронных методических указаниях [1] и также доступны студентам без ограничений.
Выполнение каждой письменной контрольной работы оценивается от 0 до 12 баллов. Выполнение студентом заданий на каждом практическом занятии оценивается от 0 до 2 баллов.  Домашние задания следует выполнять в наиболее полном объеме и в срок.

            Рейтинговая оценка работы студента в семестре равна сумме баллов за 3 контрольные работы и практические занятия, и может достичь 72 баллов. Студент, набравший в результате текущего семестрового контроля менее 20 баллов, к экзамену  не допускается; ему выставляется итоговая пятибалльная оценка "неудовлетворительно".

Экзамен  по дисциплине проводится в письменном виде. Экзаменационный билет содержит 5 пунктов, содержащих как теоретические вопросы, так и задачи. Ответ студента на каждый пункт билета оценивается от 0 до 8 баллов.

Сложные разделы дисциплины должны быть тщательно проработаны и при необходимость вынесены на предэкзаменационную консультацию.

Итоговая рейтинговая оценка знаний студента равна сумме баллов, полученных в течение семестра за выполнение контрольных работ, и до 40 баллов, полученных за письменную экзаменационную работу в конце семестра (но не более 100 баллов).

Итоговая пятибалльная оценка по дисциплине определяется в соответствии со следующей схемой: если количество баллов не меньше 91, то выставляется оценка "отлично", иначе, если количество баллов не меньше 71, то выставляется оценка "хорошо", иначе, если количество баллов не меньше 60, то выставляется оценка "удовлетворительно".

В первом семестре студенты сдают экзамен, во втором семестре студенты сдают экзамен.

3. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ

3.1. ЛЕКЦИИ

1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.
1.1. Матрица. Операции над матрицами, свойства. Умножение матриц, свойства.
1.2. Определитель. Транспозиции, теорема о транспозиции. Перестановки, свойства. Подстановки, свойства. Вычисление определителя по правилу "треугольников". Вычисление определителя с помощью элементарных преобразований над строками и столбцами. Миноры, свойства. Алгебраические дополнения, свойства. Формула выражения алгебраического дополнения через минор. Свойства определителя.
1.3. Разложение определителя по строке или столбцу. Вычисление определителя.
1.4. Обратная матрица, свойства. Ранг матрицы, свойства.
2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
2.1. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Однородная и неоднородная системы линейных уравнений. Решение по правилу Крамера. Решение с помощью обратной матрицы.
2.2. Метод Гаусса решения общей системы линейных уравнений. Критерий совместности. Теорема Кронекера --- Капелли.
3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.
3.1. Линейное пространство. Координаты вектора. Подпространства линейного пространства.
3.2. Преобразование координат. Изоморфизм линейных пространств.
3.3. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
3.4. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
3.5. Евклидово пространство.
3.6. Сопряженный оператор. Самосопряженный оператор. Приведение матрицы самосопряженного оператора к диагональному виду.
3.7. Билинейные функции и квадратичные формы в евклидовом пространстве.

3. 2. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

 

 

Номер

 

Объем,

практи- ческой

Наименование практической работы

час

работы

 

 

1

2

3

1.

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.

4

1.1.

Матрица. Определитель. Свойства определителя. Разложение определителя по строке или столбцу. Вычисление определителя. Обратная матрица. Ранг матрицы.

4

2.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

3

2.1.

Метод Гаусса решения общей системы линейных уравнений. Правило Крамера. Критерий совместности. Теорема Кронекера --- Капелли.

3

3.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.

8

3.1.

Линейное пространство. Координаты вектора. Подпространства линейного пространства.

1

3.2.

Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.

2

3.3.

Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.

2

3.4.

Сопряженный оператор. Самосопряженный оператор. Приведение матрицы самосопряженного оператора к диагональному виду.

1

3.5.

Билинейные функции и квадратичные формы в евклидовом пространстве.

2

 

 

3.3. Методические указания для преподавателей, ведущих практические занятия.

           

            В соответствии с общими правилами необходимо проводить практические  занятия в строгом соответствии с планом, уделять должное внимание текущему контролю знаний студентов, контрольные работы проводить в запланированные сроки, представлять необходимую отчетность по модулям рабочей программы. Особое внимание уделять наиболее трудным для понимания вопросам, контролировать выполнение домашних заданий.

 

 

 

 

 

 

 

                                   4.  СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ

   

 Собственный вектор матрицы А   это   вектор такой, что:1); 2) существует такое , что, т.е. ,

Собственное число или собственное значение матрицы А   это   , соответствующее собственному вектору матрицы А, т.е. удовлетворяющее условию.

Коллинеарные вектора   это   вектора, лежащие на параллельных прямых (или на одной и той же прямой).

Собственное подпространство , отвечающее собственному значению   это   совокупность всех собственных векторов матрицы А, отвечающих данному собственному значению , т.е. множество решений системы .

Характеристический многочлен матрицы А   это   - многочлен n-ой степени от , равный ,Характеристическое уравнение   это   уравнение =0 относительно неизвестной .

Корни характеристического уравнения   это   те значения , для которых, или .

Размерность собственного подпространства, отвечающего данному   это   число векторов в фундаментальной системе решений системы уравнений.

Скалярное произведение векторов и в пространстве   это   скалярная функция двух векторных аргументов, определенная по правилу, где , - компоненты векторов ,;i=1, 2,…,n.

Ортогональные векторы и   это   векторы, скалярное произведение которых равно нулю: .

Ортонормированный базис в пространстве   это   такой базис пространства , что .

Процесс ортогонализации линейно независимой системы векторов   это   построение такой ортогональной системы векторов , линейная оболочка которых совпадает с линейной оболочкой и ; ,k = 2, 3,…,m.

Определитель det A матрицы второго порядка А  это   - число, соответствующее матрице А и вычисляемое по правилу .

Ортогональная матрица   это   квадратная матрица порядка n, столбцы которой образуют ортонормированный базис в.

Симметричная матрица   это   квадратная матрица, элементы которой, симметричные относительно главной диагонали, равны, т.е. ; .

Квадратичная форма   это   скалярная функция векторного аргумента – многочлен второй степени от координат вектора , не содержащий первых и нулевых степеней координат, т.е. , причем, .

Матричная запись квадратичной формы   это   представление квадратичной формы в виде , где А симметричная матрица порядка n.

Симметричная матрица   это   квадратная матрица, элементы которой, симметричные относительно главной диагонали, равны .

Единичная матрица E   это   квадратная матрица, на главной диагонали которой стоят единицы, а остальные элементы равны нулю: .

Коэффициенты квадратичной формы   это   числа , равные элементам матрицы А, i=1, 2,…, n; j=1, 2,…,n.

Канонический вид квадратичной формы   это   представление квадратичной формы в виде суммы квадратов.

Ранг квадратичной формы   это   ранг матрицы квадратичной формы А; он равен числу ненулевых собственных значений матрицы А, или числу ненулевых коэффициентов в кононическом виде квадратичной формы.

Закон инерции   это   сохранение числа положительных, отрицательных и нулевых коэффициентов в каноническом виде, не зависимо, от способа приведения квадратичной формы к сумме квадратов.

Невырожденная квадратичная форма   это   квадратичная форма, матрица которой невырождена.

Положительно определенная квадратичная форма   это   такая квадратичная форма , что для всех имеем .

Неотрицательно определенная квадратичная форма   это   такая квадратичная форма, что для всех векторов .

Угловые миноры матрицы  это   миноры где .

Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичный формы   это   необходимое и достаточное условие положительной определенности формы, состоящее в том, что все угловые миноры матрицы А должны быть строго положительны.

Линейное пространство V   это   множество V элементов (векторов) произвольной природы, в котором определены операции сложения векторов и умножения на скаляр, подчиняющиеся определенным аксиомам.

Пространство   это   совокупность функций, непрерывных на отрезке (а, b) с обычными операциями сложения функций (поточечное) и умножением на число.

Матрица перехода от базиса к базису   это   квадратная матрица , порядка n, столбцами которой являются координаты нового базиса по старому : , .

Евклидово пространство Е   это   линейное пространство, в котором введено скалярное произведение , причем – скалярная функция двух векторных аргументов подчиняется законам: 1) ; 2) , для всякого x, и равенство возможно только в случае ; 3) , для любых векторов и любых чисел.

Линейный оператор А в линейном пространстве V   это   правило, по которому каждому вектору ставится в соответствие некоторый определенный вектор y, , причем , для всяких векторов x,y и чисел .

Образ вектора относительно преобразования А   это   вектор , полученный из вектора под действием оператора А.

Матрица А линейного оператора (преобразования) А в базисе   это   квадратная матрица, элементы которой определяются из соотношения , (j = 1, 2, …, n).

Подобные матрицы А и В   это   квадратные матрицы порядка n, для которых существует такая невырожденная матрица P, что,Оператор А*, сопряженный к оператору А   это   такой линейный оператор А*, для которого выполняется соотношение для любых .

Матрица В сопряженного оператора А* в ортонормированном базисе   это   матрица, транспонированная к матрице А, где А – матрица оператора А в ортонормированном базисе, т.е. .

Самосопряженный оператор   это   оператор А в евклидовом линейном пространстве, который совпадает со своим сопряженным, А=А*.

Матрица самосопряженного оператора   это   симметричная матрица в любом ортонормированном базисе, т.е. .

Ортонормированный собственный базис самосопряженного оператора   это   ортонормированный базис из собственных векторов симметричной матрицы самосопряженного оператора; такой базис всегда существует и в нем матрица оператора имеет диагональный вид.

 

 

 

 

 

                                                                           

  1. ФОРМЫ ТЕКУЩЕГО,  ПРОМЕЖУТОЧНОГО, РУБЕЖНОГО И ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ

 

5.1.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО КАЖДОЙ ТЕМЕ

 

1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.
1.1. Матрица. Операции над матрицами, свойства. Умножение матриц, свойства.
1.2. Определитель. Транспозиции, теорема о транспозиции. Перестановки, свойства. Подстановки, свойства. Вычисление определителя по правилу "треугольников". Вычисление определителя с помощью элементарных преобразований над строками и столбцами. Миноры, свойства. Алгебраические дополнения, свойства. Формула выражения алгебраического дополнения через минор. Свойства определителя.
1.3. Разложение определителя по строке или столбцу. Вычисление определителя.
1.4. Обратная матрица, свойства. Ранг матрицы, свойства.
2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
2.1. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Однородная и неоднородная системы линейных уравнений. Решение по правилу Крамера. Решение с помощью обратной матрицы.
2.2. Метод Гаусса решения общей системы линейных уравнений. Критерий совместности. Теорема Кронекера --- Капелли.
3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.
3.1. Линейное пространство. Координаты вектора. Подпространства линейного пространства.
3.2. Преобразование координат. Изоморфизм линейных пространств.
3.3. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
3.4. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
3.5. Евклидово пространство.
3.6. Сопряженный оператор. Самосопряженный оператор. Приведение матрицы самосопряженного оператора к диагональному виду.
3.7. Билинейные функции и квадратичные формы в евклидовом пространстве.

 

 

5.2.Варианты контрольных работ, тесты.

5.2.1.      Задачи к контрольным работам по каждой теме.

  1. Даны матрицы А и В: , Матрица при, равном:



  1. Даны матрицы А и В: , Матрицы А и В взаимно обратные при , равном:



  1. Даны матрицы Матрица АВВА равна:



  1. Даны матрицы Пусть С = АВ, тогда матрица равна:



  1. В системе уравнений  зависимыми (несвободными) переменными являются

  1. В системе уравнений  свободными (независимыми) можно считать переменные

  1. В системе уравнений  свободными переменными являются

  1. Определитель  равен

 –2

  1. Определитель  равен

 0

  1. Определитель  равен   –12
  2. Произведение  матрицы  на вектор  равно

 

  1. Балльно-рейтинговая система оценки успеваемости студентов по дисциплине

Методика формирования результирующей оценки:             
Выполнение каждой письменной контрольной работы оценивается от 0 до 12 баллов.
Выполнение студентом заданий на каждом практическом занятии оценивается от 0 до 4 баллов.
Рейтинговая оценка работы студента в семестре равна сумме баллов за 3 контрольные работы и практические занятия, и может достичь 72 баллов. Студент, набравший в результате текущего семестрового контроля менее 20 баллов, к экзамену не допускается; ему выставляется итоговая пятибалльная оценка "неудовлетворительно".
Экзамен по дисциплине проводится в письменном виде. Экзаменационный билет содержит 5 пунктов, содержащих как теоретические вопросы, так и задачи. Ответ студента на каждый пункт билета оценивается от 0 до 8 баллов.
Итоговая рейтинговая оценка знаний студента равна сумме баллов, полученных в течение семестра за выполнение контрольных работ, и до 40 баллов, полученных за письменную экзаменационную работу в конце семестра (но не более 100 баллов).
Итоговая пятибалльная оценка по дисциплине определяется в соответствии со следующей схемой: если количество баллов не меньше 91, то выставляется оценка "отлично", иначе, если количество баллов не меньше 71, то выставляется оценка "хорошо", иначе, если количество баллов не меньше 60, то выставляется оценка "удовлетворительно".

В семестре студенты сдают экзамен.