Кафедра

                 Бодренко Андрей Иванович, кандидат физико-математических наук, доцент  

 

 

 

 

 

Учебно-методический комплекс по дисциплине

 

                                                        Алгебра и аналитическая геометрия

                                                                  (название)   

 

 

Направление: 010400  прикладная математика и информатика;

 

Утверждено	Рекомендовано
Ученым советом факультета Протокол №_ «____»_____________ 201_г.	кафедрой  ______________________ Протокол №_ «____»____________ 201_г.
Декан факультета__________	Зав. кафедрой____________________

 

Волгоград 2011 г.

 

 

 

 

Автор-составитель:

Ф.и.о., ученая степень, ученое звание, должность

Бодренко Андрей Иванович, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры

Учебно-методический комплекс__  Алгебра и аналитическая геометрия  

                                             

составлен в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению: 010400 прикладная математика и информатика.

Дисциплина входит в федеральный компонент цикла  математических и естественнонаучных дисциплин и  является обязательной для изучения.

 

__________________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 СОДЕРЖАНИЕ

	Стр.
1.     Рабочая программа учебной дисциплины	4
2.     Методические рекомендации по изучению дисциплины для студентов 2.1.         Советы по планированию и организации времени, необходимого на изучение дисциплины. 2.2.         Описание последовательности действий студента по изучению дисциплины. 2.3.         Рекомендации по использованию материалов учебно-методического комплекса и по работе     с литературой. 2.4.         Советы по подготовке к экзамену и разъяснения по поводу работы с тестовой системой курса, по выполнению домашних заданий.	19               21     21       22     23
3.     Учебно-методические материалы (УММ) 3.1.         Лекции 3.2.         Практические занятия: план проведения занятий; списки типовых задач по каждой теме, рекомендуемые сборники задач по каждой теме. 3.3.         Методические указания для преподавателей, ведущих практические занятия. 4.     Словарь терминов 5.     Формы текущего, промежуточного, рубежного и итогового контроля: 5.1.         Контрольные вопросы по каждой теме. 5.2.         Варианты контрольных работ, тесты.	24 24     26   30 31   36 36 39
6.     Балльно-рейтинговая система оценки успеваемости студентов по дисциплине	64

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рабочая программа учебной дисциплины

I.Аннотация.
Рабочая программа составлена на основании государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по курсу "Алгебра и аналитическая геометрия" и учебного плана по направлению: 010400 прикладная математика и информатика  .
Преподавание курса "Алгебра и аналитическая геометрия" имеет целью формирование у студентов правильных представлений об основных понятиях геометрии и алгебры, введение в аналитические методы исследования основных геометрических элементов и фигур, применение методов векторной и линейной алгебры в геометрических задачах. Целью преподавания основного курса “Алгебра и аналитическая геометрия” является обеспечение глубокого изучения студентами основ геометрии и алгебры, выработка у студентов умений и навыков, необходимых для решения алгебраических и геометрических задач.

Студент должен знать следующие понятия. Понятие вектора, операции сложения векторов и умножения вектора на число, понятие линейной зависимости векторов и ее геометрический смысл, определение координат вектора, определение и свойства скалярного произведения векторов, векторного и смешанного произведения векторов, понятия прямой линии и плоскости, системы координат, переход от одной системы координат к другой, уравнение прямой линии на плоскости и плоскости в пространстве, взаимное расположение прямых на плоскости и плоскостей в пространстве, уравнение прямой в пространстве. Линии второго порядка, приведение уравнений линий второго порядка к каноническому виду, директориальное свойство эллипса, гиперболы и параболы. Поверхности второго порядка, эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды, цилиндры, конические сечения, прямолинейные образующие. Матрица. Определитель. Свойства определителя. Разложение определителя по строке или столбцу. Вычисление определителя. Обратная матрица. Ранг матрицы. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Однородная и неоднородная системы. Метод Гаусса решения общей системы линейных уравнений. Критерий совместности. Теорема Кронекера --- Капелли. Линейное пространство. Координаты вектора. Подпространства линейного пространства. Преобразование координат. Изоморфизм линейных пространств. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Сопряженный оператор. Самосопряженный оператор. Приведение матрицы самосопряженного оператора к диагональному виду. Билинейные функции и квадратичные формы в евклидовом пространстве. Поле комплексных чисел. Определение комплексного числа. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Корни из комплексных чисел. Формула Муавра. Элементы общей алгебры. Группы. Подгруппа. Симметрическая группа. Кольца. Кольцо матриц. Кольцо классов вычетов. Поля. Кольцо многочленов. Операции над многочленами. Алгоритм деления с остатком. Делители. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Теорема о представлении наибольшего общего делителя. Корни многочлена. Теорема Безу. Кратные корни. Основная теорема алгебры.    Разложение многочленов на множители над полями вещественных и комплексных чисел.  Формулы Виета. Рациональные дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших.

Студент должен понимать основные определения изучаемой дисциплины: вектор, линейная зависимость, скалярное, векторное и смешанное произведение, прямая линия и плоскость в пространстве, линии второго порядка, поверхности второго порядка, матрица, определитель, обратная матрица, ранг матрицы, метод Гаусса решения общей системы линейных уравнений, линейные операторы, матрица линейного оператора, собственные значения и собственные векторы линейного оператора, билинейные функции и квадратичные формы в евклидовом пространстве, поле комплексных чисел, элементы общей алгебры, кольцо многочленов. Уметь доказывать основные теоремы курса.
Понятия геометрии и алгебры, алгебраические и аналитические методы исследования непосредственно и опосредованно проникли во многие разделы естествознания, пронизывают все фундаментальные общематематические курсы, являясь базисом, без привлечения которого немыслимо изложение любого математического курса. Методы  геометрии и алгебры имеют универсальное значение.

 Требования к результатам освоения основной образовательной программы

1. Выпускник должен обладать общекультурными компетенциями (ОК),

такими как:

-- способность осознать социальную значимость своей будущей профессии, обладать

высокой мотивацией к выполнению профессиональной деятельности (ОК- 9);

-- способность и готовность к письменной и устной коммуникации на родном языке

(ОК-10);

-- способность владения навыками работы с компьютером как средством управления

информацией (ОК-11);

-- способность работать с информацией в глобальных компьютерных сетях (ОК-12);

2. Выпускник должен обладать следующими профессиональными компетенциями

Научно-исследовательская деятельность:

-- способность демонстрации общенаучных базовых знаний естественных наук,

математики и информатики, понимание основных фактов, концепций, принципов

теорий, связанных с прикладной математикой и информатикой (ПК-1);

-- способность приобретать новые научные и профессиональные знания, используя

современные образовательные и информационные технологии (ПК-2);

Проектная и производственно-технологическая деятельность:

-- способность осуществлять целенаправленный поиск информации о новейших

научных и технологических достижениях в сети Интернет и из других источников

(ПК-6);

-- способность собирать, обрабатывать и интерпретировать данные современных

научных исследований, необходимые для формирования выводов по

соответствующим научным, профессиональным, социальным и этическим

проблемам (ПК-7);

-- способность формировать суждения о значении и последствиях своей

профессиональной деятельности с учетом социальных, профессиональных и

этических позиций (ПК-8);

-- способность решать задачи производственной и технологической деятельности на профессиональном уровне, включая разработку алгоритмических и программных решений в области системного и прикладного программирования (ПК-9);

-- способность применять в профессиональной деятельности современные языки

программирования и языки баз данных, операционные системы, электронные

библиотеки и пакеты программ, сетевые технологии (ПК-10).

Организационно-управленческая деятельность:

-- способность приобретать и использовать организационно-управленческие навыки в

профессиональной и социальной деятельности (ПК-11);

-- способность использования основ защиты производственного персонала и

населения от возможных последствий аварий, катастроф, стихийных бедствий и

применения современных средств поражения, основных мер по ликвидации их

последствий, способность к общей оценке условий безопасности жизнедеятельности

(ПК-13);

Методика формирования результирующей оценки:
Выполнение каждой письменной модульной контрольной работы оценивается от 0 до 20 баллов. Выполнение студентом заданий на каждом практическом занятии оценивается от 0 до 1 балла. Количество баллов за практические занятия не может превышать 12 баллов за 1 семестр. Рейтинговая оценка работы студента в семестре равна сумме баллов за 3 модульные работы и практические занятия, и не может превысить 60 баллов. Студент, набравший в результате текущего семестрового контроля менее 20 баллов, к экзамену не допускается; ему выставляется итоговая пятибалльная оценка "неудовлетворительно".
Экзамен по дисциплине проводится в письменном виде. Экзаменационный билет содержит 5 пунктов, содержащих как теоретические вопросы, так и задачи. Ответ студента на каждый пункт билета оценивается от 0 до 8 баллов.
Итоговая рейтинговая оценка знаний студента равна сумме баллов, полученных в течение семестра за выполнение контрольных работ, и до 40 баллов, полученных за письменную экзаменационную работу в конце семестра (но не более 100 баллов).
Итоговая пятибалльная оценка по дисциплине определяется в соответствии со следующей схемой: если количество баллов не меньше 91, то выставляется оценка "отлично", иначе, если количество баллов не меньше 71, то выставляется оценка "хорошо", иначе, если количество баллов не меньше 60, то выставляется оценка "удовлетворительно".
В первом семестре студенты сдают экзамен, во втором семестре студенты сдают экзамен.
II. CОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ.
1. Объем дисциплины и виды учебной работы.

2. Тематический план дисциплины.

3. Содержание лекций и практических занятий.
3.1. Содержание лекций.

Примечание: программа первого семестра соответствует 1.-8. темам.
3.2. Содержание практических занятий.

Примечание: программа первого семестра соответствует 1.-8. темам.
III. Программа экзамена.
1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.
1.1. Вектор.
1.2. Сложение векторов. Вычитание векторов. Умножение вектора на число.
1.3. Угол между двумя векторами. Проекция вектора на ось.
1.4. Скалярное умножение двух векторов, свойства. Векторное умножение двух векторов, свойства.
1.5. Смешанное умножение трех векторов, свойства.
1.6. Координаты вектора и точки на плоскости.
1.7. Координаты вектора и точки в пространстве.
1.8. Действия над векторами, заданными координатами.
2. МЕТОД КООРДИНАТ.
2.1. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Полярно-сферические и полярно-цилиндрические системы координат.
2.2. Плоская линия и ее уравнение. Поверхность и ее уравнение. Уравнения линии в пространстве. Поверхность вращения.
2.3. Преобразования координат. Сжатие плоскости и пространства.
3. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ.
3.1. Прямая линия как линия первого порядка. Геометрический смысл знака трехчлена Ax+By+C. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
3.2. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение прямой в отрезках. Нормальное уравнение прямой.
3.3. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
3.4. Взаимное расположение двух прямых. Расстояние от точки до прямой.
4. ПЛОСКОСТЬ.
4.1. Общее уравнение плоскости. Исследование общего уравнения плоскости.
4.2. Геометрический смысл знака выражения Ax+By+Cz+D. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.
4.3. Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
5. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.
5.1. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Задание прямой двумя общими уравнениями плоскостей.
5.2. Углы между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой в пространстве.
5.3. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
6. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
6.1. Каноническое уравнение эллипса. Свойства.
6.2. Каноническое уравнение гиперболы. Свойства.
6.3. Каноническое уравнение параболы. Свойства.
6.4. Общее уравнение линий второго порядка. Центр линии второго порядка.
6.5. Исследование общего уравнения линий второго порядка, имеющих единственный центр.
6.6. Исследование общего уравнения линий второго порядка, не имеющих центра.
6.7. Исследование общего уравнения линий второго порядка, имеющих бесконечное множество центров.
7. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
7.1. Сфера и ее простейшее уравнение. Цилиндрические поверхности, свойства. Конические поверхности, свойства.
7.2. Эллипсоид вращения, свойства. Эллипсоид и его простейшее уравнение.
7.3. Гиперболоиды вращения, свойства. Однополостный гиперболоид и его простейшее уравнение. Двуполостный гиперболоид и его простейшее уравнение.
7.4. Параболоид вращения, свойства. Эллиптический параболоид и его простейшее уравнение. Гиперболический параболоид и его простейшее уравнение.
8. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.
8.1. Матрица. Операции над матрицами, свойства. Умножение матриц, свойства.
8.2. Определитель. Транспозиции, теорема о транспозиции. Перестановки, свойства. Подстановки, свойства. Вычисление определителя по правилу "треугольников". Вычисление определителя с помощью элементарных преобразований над строками и столбцами. Миноры, свойства. Алгебраические дополнения, свойства. Формула выражения алгебраического дополнения через минор. Свойства определителя.
8.3. Разложение определителя по строке или столбцу. Вычисление определителя.
8.4. Обратная матрица, свойства. Ранг матрицы, свойства.
9. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
9.1. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Однородная и неоднородная системы линейных уравнений. Решение по правилу Крамера. Решение с помощью обратной матрицы.
9.2. Метод Гаусса решения общей системы линейных уравнений. Критерий совместности. Теорема Кронекера --- Капелли.

10. Поле комплексных чисел.

10.1.Определение комплексного числа. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел.

10.2.Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Корни из комплексных чисел. Формула Муавра.
11. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.
11.1. Линейное пространство. Координаты вектора. Подпространства линейного пространства.
11.2. Преобразование координат. Изоморфизм линейных пространств.
11.3. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
11.4. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
11.5. Евклидово пространство.
11.6. Сопряженный оператор. Самосопряженный оператор. Приведение матрицы самосопряженного оператора к диагональному виду.
11.7. Билинейные функции и квадратичные формы в евклидовом пространстве.
Примечание: программа экзамена первого семестра соответствует 1.-8. темам программы.

12.Элементы общей алгебры.

12.1.Группы. Подгруппа. Примеры.

12.2.Симметрическая группа.

12.3.Кольца. Примеры. Кольцо матриц. Кольцо классов вычетов.

12.4.Поля. Примеры.

13.Кольцо многочленов.

13.1.Операции над многочленами. Алгоритм деления с остатком. Делители. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Теорема о представлении наибольшего общего делителя.

13.2.Корни многочлена. Теорема Безу. Кратные корни.

13.3.Основная теорема алгебры.    Разложение многочленов на множители над полями вещественных и комплексных чисел.  Формулы Виета.

13.4.Рациональные дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших.
                      IV. Учебно-методическое обеспечение.
Лекции и практические занятия в основном рассчитаны на применение учебных пособий [1-13], методических рекомендаций [1-3], и электронных методических рекомендаций [1].
Наш вариант изложения дисциплины имеет своей целью удобство ее приложений в других дисциплинах курса обучения. Другие варианты изложения и дополнительные результаты могут быть получены студентами из книг, приведенных в списке литературы.
В лекциях обсуждаются решения всех задач, включаемых в контрольные работы и экзаменационные билеты.
В течение семестра на практических занятиях проводится 3 контрольные работы. Расчетная продолжительность каждой контрольной работы не превышает 2 часа. Задания для контрольных работ (без разбиения на варианты) содержатся в электронных методических указаниях [1] и также доступны студентам без ограничений.
               V. ЛИТЕРАТУРА.
               V.1. ЛИТЕРАТУРА.
1. Моденов М.П., Пархоменко П.С. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1976, 332 с.
2. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1987, 254 с.
3. Александров П.С. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1967, 588 с.
4. Постников М.М. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1987.
5. Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Изд-во МГУ, 1990, 328 с.

6. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984/2002. (32 экз. в библ. ВолГУ)

7. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 2003 (16-е издание) (56 экз. в библ. ВолГУ)

8. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1970.

9. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976/1979. (10 экз. в библ. ВолГУ)

10. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. М.: Наука, 1986. (44 экз. в библ. ВолГУ)

11.Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1974/2001. (95 экз. в библ. ВолГУ)

12. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре. М.: Наука, 1999/2001. (65 экз. в библ. ВолГУ)

13. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. М.: Наука, 1969. (160 экз. в библ. ВолГУ, физ.корпус)

V.2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ.
1. Бодренко И.И. "Аналитическая геометрия. Сборник задач. Ч.1". 1998 г. 36 с.
2. Фонд контрольных заданий по курсу "Аналитическая геометрия и линейная алгебра". (Электронные методические указания. Составитель -- Бодренко А.И.)
3. Программа экзамена по курсу "Алгебра и аналитическая геометрия". (Электронные методические указания. Составитель -- Бодренко А.И.)

Программа учебной дисциплины утверждена сроком на 4 года на заседании кафедры                                                  20 августа 2011 г., протокол N 1.

Заведующий кафедрой ______________________

2. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ ДЛЯ СТУДЕНТОВ

            Дисциплина “Алгебра и аналитическая геометрия” состоит из двух частей. Аналитическая геометрия является одним из разделов геометрии. Основные понятия аналитической геометрии – точки, прямые, плоскости, линии и поверхности второго порядка. В аналитической геометрии основными средствами исследования простейших геометрических образов служат метод координат и методы элементарной алгебры. Методы аналитической геометрии широко применяются в различных разделах математики, механики, физики и других науках.

            Пусть на плоскости с данной декартовой прямоугольной системой координат OXY задана некоторая линия L. С помощью понятия координат точек на плоскости вводится понятие уравнения линии L как соотношения F (x, y) = 0, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты каждой точки, не лежащей на этой линии.

            В аналитической геометрии на плоскости систематически изучаются свойства алгебраических линий первого и второго порядков. Выясняется, что на плоскости алгебраическими линиями первого порядка, т.е. линиями, определенными уравнениями вида Ax+By+C = 0,  являются прямые и только они. Линии второго порядка на плоскости определяются уравнениями вида Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F = 0. Основной метод исследования и классификации этих линий заключается в подборе такой декартовой прямоугольной системы координат, в которой уравнении данной линии имеет наиболее простой, т.е. канонический вид, и в последующем исследовании этого канонического уравнения. В аналитической геометрии на плоскости подробно изучаются геометрические свойства эллипса, гиперболы и параболы.

            В аналитической геометрии в пространстве исследуются алгебраические поверхности первого и второго порядков. Алгебраическими поверхностями первого порядка являются плоскости и только они. В аналитической геометрии в пространстве вводятся декартова прямоугольная система координат OXYZ.  Каждая плоскость определяется алгебраическим уравнением первой степени Ax+By+Cz+D = 0. Поверхности второго порядка определяются уравнениями вида Ax²+By²+Cz²+2Dxy+2Exz+2Fyz +2Gx+2Hy+2Mz+N = 0. Основной метод изучения и классификации этих поверхностей состоит в подборе такой декартовой прямоугольной системы координат, в которой уравнение поверхности имеет наиболее простой вид, и в дальнейшем исследовании этого канонического уравнения.

            В аналитической геометрии изучаются свойства аффинных преобразований. При аффинных преобразованиях плоскости каждая прямая переходит в прямую, пересекающиеся прямые аффинное преобразование переводит в пересекающиеся, параллельные – в параллельные. Аффинные преобразования пространства переводят плоскости в плоскости, прямые в прямые; при этом, пересекающиеся плоскости переходят в пересекающиеся, параллельные – в параллельные. Сохраняется взаимное расположение двух прямых в пространстве: параллельные прямые переходят в параллельные, пересекающиеся – в пересекающиеся, скрещивающиеся – в скрещивающиеся.  При аффинном преобразовании множество векторов плоскости (пространства) взаимно однозначно отображается на множество векторов плоскости (пространства) и это преобразование является линейным. 

            Основные понятия линейной алгебры: Матрица. Определитель. Свойства определителя. Разложение определителя по строке или столбцу. Вычисление определителя. Обратная матрица. Ранг матрицы. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Однородная и неоднородная системы. Метод Гаусса решения общей системы линейных уравнений. Критерий совместности. Теорема Кронекера --- Капелли. Линейное пространство. Координаты вектора. Подпространства линейного пространства. Преобразование координат. Изоморфизм линейных пространств. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Сопряженный оператор. Самосопряженный оператор. Приведение матрицы самосопряженного оператора к диагональному виду. Билинейные функции и квадратичные формы в евклидовом пространстве.

Элементы общей алгебры: Группы. Подгруппа. Симметрическая группа. Кольца. Кольцо матриц. Кольцо классов вычетов. Поля. Кольцо многочленов. Операции над многочленами. Алгоритм деления с остатком. Делители. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Теорема о представлении наибольшего общего делителя.

Корни многочлена. Теорема Безу. Кратные корни. Основная теорема алгебры.    Разложение многочленов на множители над полями вещественных и комплексных чисел.  Формулы Виета. Рациональные дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших.

Студент должен понимать основные определения изучаемой дисциплины: вектор, линейная зависимость, скалярное, векторное и смешанное произведение, прямая линия и плоскость в пространстве, линии второго порядка, поверхности второго порядка, матрица, определитель, обратная матрица, ранг матрицы, метод Гаусса решения общей системы линейных уравнений, линейные операторы, матрица линейного оператора, собственные значения и собственные векторы линейного оператора, билинейные функции и квадратичные формы в евклидовом пространстве, поле комплексных чисел, элементы общей алгебры, кольцо многочленов. Уметь доказывать основные теоремы курса.

Понятия геометрии и алгебры, алгебраические и аналитические методы исследования непосредственно и опосредованно проникли во многие разделы естествознания, пронизывают все фундаментальные общематематические курсы, являясь базисом, без привлечения которого немыслимо изложение любого математического курса. Методы  геометрии и алгебры имеют универсальное значение.

           

2.1.  Советы по планированию и организации времени, необходимого для изучения дисциплины.

При изучении дисциплины «Алгебра и аналитическая геометрия» необходимо работать с теоретическим материалом, излагаемым на лекциях, решать задачи на практических занятиях, систематически и последовательно на протяжении всего семестра.  Планирование и организация времени, необходимого для изучения дисциплины «Алгебра и аналитическая геометрия», должны проводиться в соответствии с  установленными объемом и видами учебной работы.

 

Разъяснения по поводу работы с тестовой системой курса, по выполнению домашних заданий.

 

Лекции и практические занятия в основном рассчитаны на применение учебных пособий [1-13], методических рекомендаций [1-3], и электронных методических рекомендаций [1]. Наш вариант изложения дисциплины имеет своей целью удобство ее приложений в других дисциплинах курса обучения. Другие варианты изложения и дополнительные результаты могут быть получены студентами из книг, приведенных в списке литературы.
В лекциях обсуждаются решения всех задач, включаемых в контрольные работы и экзаменационные билеты.

В течение семестра на практических занятиях проводится 3 контрольные работы. Расчетная продолжительность каждой контрольной работы не превышает 2 часа. Задания для контрольных работ (без разбиения на варианты) содержатся в электронных методических указаниях [1] и также доступны студентам без ограничений.

 

 

 

 

2.2. Описание последовательности действия студента при  изучении дисциплины.

Изучение дисциплины «Алгебра и аналитическая геометрия» проводится в соответствии со следующим тематическим планом.

            Тематический план изучения дисциплины «Алгебра и аналитическая геометрия».

 

После изучения теоретических вопросов по теме каждой лекции и решения задач  необходимо определить наиболее трудные для понимания вопросы и нерешенные задачи. В случае если ответы на вопросы не удается получить самостоятельно, целесообразно проконсультироваться с преподавателем.

 
2. 3.  Рекомендации по использованию материалов учебно-методического комплекса и по работе с литературой.

               Программа первого семестра по дисциплине «Алгебра и аналитическая геометрия» соответствует 1-8 темам, программа второго семестра – 9-13 темам. Лекции и практические занятия в основном рассчитаны на применение учебных пособий [1-13], методических рекомендаций [1-3], и электронных методических рекомендаций [1]. Наш вариант изложения дисциплины имеет своей целью удобство ее приложений в других дисциплинах курса обучения. Другие варианты изложения и дополнительные результаты могут быть получены студентами из книг, приведенных в списке литературы.  На лекциях обсуждаются решения всех задач, включаемых в контрольные работы и экзаменационные билеты.  В течение каждого семестра на занятиях проводятся 3 контрольные работы. Расчетная продолжительность каждой контрольной работы не превышает 2 часа. Задания для контрольных работ (без разбиения на варианты) содержатся в электронных методических указаниях [1] и также доступны студентам без ограничений.
               Материалы учебно-методического комплекса целесообразно использовать в течение всего периода изучения дисциплины. Изучение теоретических вопросов, излагаемых на лекциях, необходимо сопровождать изучением соответствующих разделов в предлагаемой литературе. Необходимый минимум теоретического материала и типовые задачи по изучаемым в дисциплине «Алгебра и аналитическая геометрия» вопросам содержатся в следующих учебниках и сборниках задач. 

 

1. Моденов М.П., Пархоменко П.С. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1976, 332 с.
2. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1987, 254 с.
3. Александров П.С. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1967, 588 с.
4. Постников М.М. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1987.
5. Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Изд-во МГУ, 1990, 328 с.

6. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984/2002. (32 экз. в библ. ВолГУ)

7. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 2003 (16-е издание) (56 экз. в библ. ВолГУ)

8. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1970.

9. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976/1979. (10 экз. в библ. ВолГУ)

10. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. М.: Наука, 1986. (44 экз. в библ. ВолГУ)

11.Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1974/2001. (95 экз. в библ. ВолГУ)

12. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре. М.: Наука, 1999/2001. (65 экз. в библ. ВолГУ)

13. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. М.: Наука, 1969. (160 экз. в библ. ВолГУ, физ.корпус)

 

При подготовке к контрольным работам и экзамену целесообразно также использовать  следующие  учебно-методические материалы.

1. Бодренко И.И. "Аналитическая геометрия. Сборник задач. Ч.1". 1998 г. 36 с.
2. Фонд контрольных заданий по курсу "Аналитическая геометрия и линейная алгебра". (Электронные методические указания. Составитель -- Бодренко А.И.)
3. Программа экзамена по курсу "Алгебра и аналитическая геометрия". (Электронные методические указания. Составитель -- Бодренко А.И.)

 

2. 4.  Советы по подготовке к экзамену  и разъяснения по поводу работы с тестовой системой курса, по выполнению домашних заданий.

 

В течение каждого семестра на занятиях проводятся 3 контрольные работы. Расчетная продолжительность каждой контрольной работы не превышает 2 часа. Задания для контрольных работ (без разбиения на варианты) содержатся в электронных методических указаниях [1] и также доступны студентам без ограничений. Выполнение каждой письменной модульной контрольной работы оценивается от 0 до 20 баллов. Выполнение студентом заданий на каждом практическом занятии оценивается от 0 до 1 балла. Количество баллов за практические занятия не может превышать 12 баллов за 1 семестр. Рейтинговая оценка работы студента в семестре равна сумме баллов за 3 модульные работы и практические занятия, и не может превысить 60 баллов. Студент, набравший в результате текущего семестрового контроля менее 20 баллов, к экзамену не допускается; ему выставляется итоговая пятибалльная оценка "неудовлетворительно". Экзамен по дисциплине проводится в письменном виде. Экзаменационный билет содержит 5 пунктов, содержащих как теоретические вопросы, так и задачи. Ответ студента на каждый пункт билета оценивается от 0 до 8 баллов. Итоговая рейтинговая оценка знаний студента равна сумме баллов, полученных в течение семестра за выполнение контрольных работ, и до 40 баллов, полученных за письменную экзаменационную работу в конце семестра (но не более 100 баллов). Итоговая пятибалльная оценка по дисциплине определяется в соответствии со следующей схемой: если количество баллов не меньше 91, то выставляется оценка "отлично", иначе, если количество баллов не меньше 71, то выставляется оценка "хорошо", иначе, если количество баллов не меньше 60, то выставляется оценка "удовлетворительно".

 Домашние задания следует выполнять в наиболее полном объеме и в срок.

Сложные разделы дисциплины должны быть тщательно проработаны и при необходимость вынесены на предэкзаменационную консультацию.

В первом семестре студенты сдают экзамен, во втором семестре студенты сдают экзамен.
3. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ

3.1. ЛЕКЦИИ

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.
1.1. Вектор.
1.2. Сложение векторов. Вычитание векторов. Умножение вектора на число.
1.3. Угол между двумя векторами. Проекция вектора на ось.
1.4. Скалярное умножение двух векторов, свойства. Векторное умножение двух векторов, свойства.
1.5. Смешанное умножение трех векторов, свойства.
1.6. Координаты вектора и точки на плоскости.
1.7. Координаты вектора и точки в пространстве.
1.8. Действия над векторами, заданными координатами.
2. МЕТОД КООРДИНАТ.
2.1. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Полярно-сферические и полярно-цилиндрические системы координат.
2.2. Плоская линия и ее уравнение. Поверхность и ее уравнение. Уравнения линии в пространстве. Поверхность вращения.
2.3. Преобразования координат. Сжатие плоскости и пространства.
3. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ.
3.1. Прямая линия как линия первого порядка. Геометрический смысл знака трехчлена Ax+By+C. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
3.2. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение прямой в отрезках. Нормальное уравнение прямой.
3.3. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
3.4. Взаимное расположение двух прямых. Расстояние от точки до прямой.
4. ПЛОСКОСТЬ.
4.1. Общее уравнение плоскости. Исследование общего уравнения плоскости.
4.2. Геометрический смысл знака выражения Ax+By+Cz+D. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.
4.3. Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
5. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.
5.1. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Задание прямой двумя общими уравнениями плоскостей.
5.2. Углы между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой в пространстве.
5.3. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
6. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
6.1. Каноническое уравнение эллипса. Свойства.
6.2. Каноническое уравнение гиперболы. Свойства.
6.3. Каноническое уравнение параболы. Свойства.
6.4. Общее уравнение линий второго порядка. Центр линии второго порядка.
6.5. Исследование общего уравнения линий второго порядка, имеющих единственный центр.
6.6. Исследование общего уравнения линий второго порядка, не имеющих центра.
6.7. Исследование общего уравнения линий второго порядка, имеющих бесконечное множество центров.
7. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
7.1. Сфера и ее простейшее уравнение. Цилиндрические поверхности, свойства. Конические поверхности, свойства.
7.2. Эллипсоид вращения, свойства. Эллипсоид и его простейшее уравнение.
7.3. Гиперболоиды вращения, свойства. Однополостный гиперболоид и его простейшее уравнение. Двуполостный гиперболоид и его простейшее уравнение.
7.4. Параболоид вращения, свойства. Эллиптический параболоид и его простейшее уравнение. Гиперболический параболоид и его простейшее уравнение.

8. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.
8.1. Матрица. Операции над матрицами, свойства. Умножение матриц, свойства.
8.2. Определитель. Транспозиции, теорема о транспозиции. Перестановки, свойства. Подстановки, свойства. Вычисление определителя по правилу "треугольников". Вычисление определителя с помощью элементарных преобразований над строками и столбцами. Миноры, свойства. Алгебраические дополнения, свойства. Формула выражения алгебраического дополнения через минор. Свойства определителя.
8.3. Разложение определителя по строке или столбцу. Вычисление определителя.
8.4. Обратная матрица, свойства. Ранг матрицы, свойства.
9. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
9.1. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Однородная и неоднородная системы линейных уравнений. Решение по правилу Крамера. Решение с помощью обратной матрицы.
9.2. Метод Гаусса решения общей системы линейных уравнений. Критерий совместности. Теорема Кронекера --- Капелли.

10. Поле комплексных чисел.

10.1.Определение комплексного числа. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел.

10.2.Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Корни из комплексных чисел. Формула Муавра.
11. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.
11.1. Линейное пространство. Координаты вектора. Подпространства линейного пространства.
11.2. Преобразование координат. Изоморфизм линейных пространств.
11.3. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
11.4. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
11.5. Евклидово пространство.
11.6. Сопряженный оператор. Самосопряженный оператор. Приведение матрицы самосопряженного оператора к диагональному виду.
11.7. Билинейные функции и квадратичные формы в евклидовом пространстве.
Примечание: программа экзамена первого семестра соответствует 1.-8. темам программы.

12.Элементы общей алгебры.

12.1.Группы. Подгруппа. Примеры.

12.2.Симметрическая группа.

12.3.Кольца. Примеры. Кольцо матриц. Кольцо классов вычетов.

12.4.Поля. Примеры.

13.Кольцо многочленов.

13.1.Операции над многочленами. Алгоритм деления с остатком. Делители. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Теорема о представлении наибольшего общего делителя.

13.2.Корни многочлена. Теорема Безу. Кратные корни.

13.3.Основная теорема алгебры.    Разложение многочленов на множители над полями вещественных и комплексных чисел.  Формулы Виета.

13.4.Рациональные дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших.

 

3. 2. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

 

 

 

3.3. Методические указания для преподавателей, ведущих практические занятия.

           

            В соответствии с общими правилами необходимо проводить практические  занятия в строгом соответствии с планом, уделять должное внимание текущему контролю знаний студентов, контрольные работы проводить в запланированные сроки, представлять необходимую отчетность по модулям рабочей программы. Особое внимание уделять наиболее трудным для понимания вопросам, контролировать выполнение домашних заданий.

 

                                    4.  СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ

 

Аффинная система координат                    – см. [5], т. 1, с. 358

Аффинное пространство                             – см. [5], т. 1, с. 362

 

Базис                                                               – см. [5], т. 1, с. 633

ортонормированный                                                – см. [1], т. 1, с. 633

 

Вектор геометрический                               – см. [5], т. 1, с. 632

-         свободный                                         – см. [5], т. 1, с. 632

Векторное пространство                              – см. [5], т. 1, с. 633, с. 642

Векторы коллинеарные                               – см. [5], т. 1, с. 632

компланарные                                         – см. [5], т. 1, с. 632

, линейная комбинация                          – см. [5], т. 1, с. 633

линейно зависимые                                – см. [5], т. 1, с. 633

линейно независимые                            – см. [5], т. 1, с. 633

ортогональные                                        – см. [5], т. 1, с. 634

равные                                                      – см. [5], т. 1, с. 632

 

Гипербола                                                      – см. [5], т. 1, с. 987

Гиперболоид двуполостный                       – см. [5], т. 1, с. 1000

-         однополостный                                 – см. [5], т. 1, с. 1000

 

Движение                                                      – см. [5], т. 2, с. 20

Декартовы прямоугольные координаты    – см. [5], т. 1, с. 634

Диаметр                                                         – см. [5], т. 2, с. 127

 

Конические сечения                                     – см. [5], т. 2, с. 1034

Конус действительный                                – см. [5], т. 4, с. 344

-         мнимый                                              – см. [5], т. 4, с. 344

Координаты вектора                                    – см. [5], т. 1, с. 633

Косинусы направляющие                            – см. [5], т. 1, с. 634

 

Линейные операции над векторами           – см. [5], т. 1, с. 632

-         , сумма векторов                               – см. [5], т. 1, с. 632

-         , произведение вектора на число    – см. [5], т. 1, с. 633

Линия второго порядка                                – см. [5], т. 3, с. 387

-         , инварианты                                     – см. [5], т. 3, с. 388

-         нецентральная                                   – см. [5], т. 3, с. 388

-         центральная                                       – см. [5], т. 3, с. 388

 

Модуль вектора                                             – см. [5], т. 1, с. 632

 

Однородные координаты                            – см. [5], т. 3, с. 1180

 

Парабола                                                        – см. [5], т. 4, с. 191                          

Параболоид                                                   – см. [5], т. 4, с. 201

-         гиперболический                              – см. [5], т. 1, с. 992

-         эллиптический                                  – см. [5], т. 5 с. 993

Плоскость                                                      – см. [5], т. 4, с. 318

-         , нормальный вектор                        – см. [5], т. 4, с. 319

Поверхность второго порядка                     – см. [5], т. 4, с. 343

-         центральная                                       – см. [5], т. 4, с. 344

-         нецентральная                                   – см. [5], т. 4, с. 344

Преобразование аффинное                          – см. [5], т. 1, с. 361

-         линейное                                            – см. [5], т. 3, с. 350

-         ортогональное                                   – см. [5], т. 4, с. 87    

Проективная классификация

линий второго порядка                                – см. [5], т. 3, с. 389

Проективная плоскость                               – см. [5], т. 4, с. 664

Проективное пространство                         – см. [5], т. 4, с. 679  

Проективные координаты                           – см. [5], т. 4, с. 680  

Произведение векторное                             – см. [5], т. 1, с. 635, с. 642

-         двойное векторное                           – см. [5], т. 4, с. 635

-         скалярное векторов                          – см. [5], т. 1, с. 634

-         смешанное векторов                         – см. [5], т. 1, с. 635

Прямая                                                           – см. [5], т. 4, с. 722

-         , нормальный вектор                        – см. [5], т. 4, с. 722

Пучок прямых                                               – см. [5], т. 4, с. 771

-         плоскостей                                         – см. [5], т. 4, с. 771

 

Тройка векторов правая                               – см. [5], т. 1, с. 634

-         левая                                                   – см. [5], т. 1, с. 634

 

Угол между векторами                                 – см. [5], т. 1, с. 634

Уравнения линий второго порядка            – см. [5], т. 3, с. 387

-         поверхностей второго порядка       – см. [5], т. 4, с. 343   

 

Центр             линии                                                             – см. [5], т. 3, с. 388

Цилиндр                                                        – см. [5], т. 4, с. 344

-         гиперболический                              – см. [5], т. 1, с. 992

-         параболический                                – см. [5], т. 4, с. 195

-         эллиптический                                  – см. [5], т. 5, с. 993

 

Эллипс                                                           – см. [5], т. 5, с. 977

Эллипсоид                                                     – см. [5], т. 5, с. 978

-         мнимый                                              – см. [5], т. 5, с. 978

 

 

 

 

ЛИТЕРАТУРА

 

            [1] Постников М.М.  Лекции по геометрии. Семестр I. Аналитическая геометрия.: Учебн. пособие для вузов. 2-е издание.,  М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1986. - 416 с.           [2] Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1987, 254 с.

            [3] Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. Учебн. пособие.  М.: ФИЗМАТЛИТ. 2001. 496 с.

            [4] Бахвалов С.В., Моденов М.П., Пархоменко П.С. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. Лит. 1964.  440 с.

            [5] Математическая энциклопедия. Т. 1 – 5.  М. Издательство «Советская энциклопедия» 1977 – 1985. Т. 1 – 5.

 

 

 

Словарь терминов. Часть 2.                   

 

 Собственный вектор матрицы А   это   вектор такой, что:1); 2) существует такое , что, т.е. ,

Собственное число или собственное значение матрицы А   это   , соответствующее собственному вектору матрицы А, т.е. удовлетворяющее условию.

Коллинеарные вектора   это   вектора, лежащие на параллельных прямых (или на одной и той же прямой).

Собственное подпространство , отвечающее собственному значению   это   совокупность всех собственных векторов матрицы А, отвечающих данному собственному значению , т.е. множество решений системы .

Характеристический многочлен матрицы А   это   - многочлен n-ой степени от , равный . Характеристическое уравнение   это   уравнение =0 относительно неизвестной .

Корни характеристического уравнения   это   те значения , для которых, или .

Размерность собственного подпространства, отвечающего данному   это   число векторов в фундаментальной системе решений системы уравнений.

Скалярное произведение векторов и в пространстве   это   скалярная функция двух векторных аргументов, определенная по правилу, где , - компоненты векторов ,;i=1, 2,…,n.

Ортогональные векторы и   это   векторы, скалярное произведение которых равно нулю: .

Ортонормированный базис в пространстве   это   такой базис пространства , что .

Процесс ортогонализации линейно независимой системы векторов   это   построение такой ортогональной системы векторов , линейная оболочка которых совпадает с линейной оболочкой и ; ,k = 2, 3,…,m.

Определитель det A матрицы второго порядка А  это   - число, соответствующее матрице А и вычисляемое по правилу .

Ортогональная матрица   это   квадратная матрица порядка n, столбцы которой образуют ортонормированный базис в.

Симметричная матрица   это   квадратная матрица, элементы которой, симметричные относительно главной диагонали, равны, т.е. ; .

Квадратичная форма   это   скалярная функция векторного аргумента – многочлен второй степени от координат вектора , не содержащий первых и нулевых степеней координат, т.е. , причем, .

Матричная запись квадратичной формы   это   представление квадратичной формы в виде , где А симметричная матрица порядка n.

Симметричная матрица   это   квадратная матрица, элементы которой, симметричные относительно главной диагонали, равны .

Единичная матрица E   это   квадратная матрица, на главной диагонали которой стоят единицы, а остальные элементы равны нулю: .

Коэффициенты квадратичной формы   это   числа , равные элементам матрицы А, i=1, 2,…, n; j=1, 2,…,n.

Канонический вид квадратичной формы   это   представление квадратичной формы в виде суммы квадратов.

Ранг квадратичной формы   это   ранг матрицы квадратичной формы А; он равен числу ненулевых собственных значений матрицы А, или числу ненулевых коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы.

Закон инерции   это   сохранение числа положительных, отрицательных и нулевых коэффициентов в каноническом виде, не зависимо, от способа приведения квадратичной формы к сумме квадратов.

Невырожденная квадратичная форма   это   квадратичная форма, матрица которой невырождена.

Положительно определенная квадратичная форма   это   такая квадратичная форма , что для всех имеем .

Неотрицательно определенная квадратичная форма   это   такая квадратичная форма, что для всех векторов .

Угловые миноры матрицы  это   миноры где .

Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичный формы   это   необходимое и достаточное условие положительной определенности формы, состоящее в том, что все угловые миноры матрицы А должны быть строго положительны.

Линейное пространство V   это   множество V элементов (векторов) произвольной природы, в котором определены операции сложения векторов и умножения на скаляр, подчиняющиеся определенным аксиомам.

Пространство   это   совокупность функций, непрерывных на отрезке (а, b) с обычными операциями сложения функций (поточечное) и умножением на число.

Матрица перехода от базиса к базису   это   квадратная матрица , порядка n, столбцами которой являются координаты нового базиса по старому : , .

Евклидово пространство Е   это   линейное пространство, в котором введено скалярное произведение , причем – скалярная функция двух векторных аргументов подчиняется законам: 1) ; 2) , для всякого x, и равенство возможно только в случае ; 3) , для любых векторов и любых чисел.

Линейный оператор А в линейном пространстве V   это   правило, по которому каждому вектору ставится в соответствие некоторый определенный вектор y, , причем , для всяких векторов x,y и чисел .

Образ вектора относительно преобразования А   это   вектор , полученный из вектора под действием оператора А.

Матрица А линейного оператора (преобразования) А в базисе   это   квадратная матрица, элементы которой определяются из соотношения , (j = 1, 2, …, n).

Подобные матрицы А и В   это   квадратные матрицы порядка n, для которых существует такая невырожденная матрица P, что,Оператор А*, сопряженный к оператору А   это   такой линейный оператор А*, для которого выполняется соотношение для любых .

Матрица В сопряженного оператора А* в ортонормированном базисе   это   матрица, транспонированная к матрице А, где А – матрица оператора А в ортонормированном базисе, т.е. .

Самосопряженный оператор   это   оператор А в евклидовом линейном пространстве, который совпадает со своим сопряженным, А=А*.

Матрица самосопряженного оператора   это   симметричная матрица в любом ортонормированном базисе, т.е. .

Ортонормированный собственный базис самосопряженного оператора   это   ортонормированный базис из собственных векторов симметричной матрицы самосопряженного оператора; такой базис всегда существует и в нем матрица оператора имеет диагональный вид.

 

5. ФОРМЫ ТЕКУЩЕГО,  ПРОМЕЖУТОЧНОГО, РУБЕЖНОГО И ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ

 

5.1.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО КАЖДОЙ ТЕМЕ

 

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.
1.1. Вектор.
1.2. Сложение векторов. Вычитание векторов. Умножение вектора на число.
1.3. Угол между двумя векторами. Проекция вектора на ось.
1.4. Скалярное умножение двух векторов, свойства. Векторное умножение двух векторов, свойства.
1.5. Смешанное умножение трех векторов, свойства.
1.6. Координаты вектора и точки на плоскости.
1.7. Координаты вектора и точки в пространстве.
1.8. Действия над векторами, заданными координатами.
2. МЕТОД КООРДИНАТ.
2.1. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Полярно-сферические и полярно-цилиндрические системы координат.
2.2. Плоская линия и ее уравнение. Поверхность и ее уравнение. Уравнения линии в пространстве. Поверхность вращения.
2.3. Преобразования координат. Сжатие плоскости и пространства.
3. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ.
3.1. Прямая линия как линия первого порядка. Геометрический смысл знака трехчлена Ax+By+C. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
3.2. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение прямой в отрезках. Нормальное уравнение прямой.
3.3. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
3.4. Взаимное расположение двух прямых. Расстояние от точки до прямой.
4. ПЛОСКОСТЬ.
4.1. Общее уравнение плоскости. Исследование общего уравнения плоскости.
4.2. Геометрический смысл знака выражения Ax+By+Cz+D. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.
4.3. Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
5. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.
5.1. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Задание прямой двумя общими уравнениями плоскостей.
5.2. Углы между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой в пространстве.
5.3. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
6. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
6.1. Каноническое уравнение эллипса. Свойства.
6.2. Каноническое уравнение гиперболы. Свойства.
6.3. Каноническое уравнение параболы. Свойства.
6.4. Общее уравнение линий второго порядка. Центр линии второго порядка.
6.5. Исследование общего уравнения линий второго порядка, имеющих единственный центр.
6.6. Исследование общего уравнения линий второго порядка, не имеющих центра.
6.7. Исследование общего уравнения линий второго порядка, имеющих бесконечное множество центров.
7. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
7.1. Сфера и ее простейшее уравнение. Цилиндрические поверхности, свойства. Конические поверхности, свойства.
7.2. Эллипсоид вращения, свойства. Эллипсоид и его простейшее уравнение.
7.3. Гиперболоиды вращения, свойства. Однополостный гиперболоид и его простейшее уравнение. Двуполостный гиперболоид и его простейшее уравнение.
7.4. Параболоид вращения, свойства. Эллиптический параболоид и его простейшее уравнение. Гиперболический параболоид и его простейшее уравнение.

8. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.
8.1. Матрица. Операции над матрицами, свойства. Умножение матриц, свойства.
8.2. Определитель. Транспозиции, теорема о транспозиции. Перестановки, свойства. Подстановки, свойства. Вычисление определителя по правилу "треугольников". Вычисление определителя с помощью элементарных преобразований над строками и столбцами. Миноры, свойства. Алгебраические дополнения, свойства. Формула выражения алгебраического дополнения через минор. Свойства определителя.
8.3. Разложение определителя по строке или столбцу. Вычисление определителя.
8.4. Обратная матрица, свойства. Ранг матрицы, свойства.
9. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
9.1. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Однородная и неоднородная системы линейных уравнений. Решение по правилу Крамера. Решение с помощью обратной матрицы.
9.2. Метод Гаусса решения общей системы линейных уравнений. Критерий совместности. Теорема Кронекера --- Капелли.

10. Поле комплексных чисел.

10.1.Определение комплексного числа. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел.

10.2.Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Корни из комплексных чисел. Формула Муавра.
11. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.
11.1. Линейное пространство. Координаты вектора. Подпространства линейного пространства.
11.2. Преобразование координат. Изоморфизм линейных пространств.
11.3. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
11.4. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
11.5. Евклидово пространство.
11.6. Сопряженный оператор. Самосопряженный оператор. Приведение матрицы самосопряженного оператора к диагональному виду.
11.7. Билинейные функции и квадратичные формы в евклидовом пространстве.
Примечание: программа экзамена первого семестра соответствует 1.-8. темам программы.

12.Элементы общей алгебры.

12.1.Группы. Подгруппа. Примеры.

12.2.Симметрическая группа.

12.3.Кольца. Примеры. Кольцо матриц. Кольцо классов вычетов.

12.4.Поля. Примеры.

13.Кольцо многочленов.

13.1.Операции над многочленами. Алгоритм деления с остатком. Делители. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Теорема о представлении наибольшего общего делителя.

13.2.Корни многочлена. Теорема Безу. Кратные корни.

13.3.Основная теорема алгебры.    Разложение многочленов на множители над полями вещественных и комплексных чисел.  Формулы Виета.

13.4.Рациональные дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверочные контрольные работы, тесты.

Формы контроля:

Варианты проверочных контрольных работ, тесты;

Часть 1.

1. Вершины треугольника АВС имеют координаты А (1,1,1), В (2,2,0), С (2,3,3). Проекция  стороны  на  равна

2. Все элементы матрицы 3-го порядка А увеличили в 3 раза, тогда определитель новой матрицы

увеличился в 27 раз

3. Дано уравнение гиперболы  . Расстояние между вершинами гиперболы равно

6

4. Дано уравнение кривой второго порядка  . Ее каноническое уравнение и тип кривой

 , гипербола

5. Дано уравнение кривой второго порядка  . Ее каноническое уравнение и тип кривой

 , окружность

6. Дано уравнение кривой второго порядка  . Ее каноническое уравнение и тип кривой

 , эллипс

7. Дано уравнение кривой второго порядка  . Ее каноническое уравнение и тип кривой

 , окружность

8. Через точку (0, 2, 1) проходит

прямая

9. Через точку (1, 1, 2) проходит

прямая

10. Через точку (1, 2, 4) проходит

прямая

11. Через точку (1, 4, 3) проходит

прямая

12. Через точку (-3, 1, 5) проходит

плоскость x + 3y + z - 5 = 0

 

 

 

Часть 2.

1. Даны матрицы А и В: , Матрица при, равном:
   
   

2. Даны матрицы А и В: , Матрицы А и В взаимно обратные при , равном:
   
   

3. Даны матрицы Матрица АВ – ВА равна:
   
   

4. Даны матрицы Пусть С = АВ, тогда матрица равна:
   
   

5. В системе уравнений  зависимыми (несвободными) переменными являются

6. В системе уравнений  свободными (независимыми) можно считать переменные

7. В системе уравнений  свободными переменными являются

8. Определитель  равен

 –2

9. Определитель  равен

 0

10. Определитель  равен   –12
11. Произведение  матрицы  на вектор  равно

 

 

 

Задачи III

Перестановки: умножение, обратная перестановка, знак перестановки

Матрицы: сложение, умножение, умножение на число, обратная матрица

Комплексные числа: арифметические действия, извлечение корня, тригонометрическая форма

Многочлены: деление "уголком", нахождение НОД, кратные корни

Рациональные дроби: разложение на вещественные и комплексные простейшие

Системы линейных уравнений: метод Гаусса, правило Крамера, ФСР, НФСР

Определители: вычисление методом Гаусса, разложение по строке

Линейные пространства: ЛНС и ЛЗС, отыскание базиса и размерности линейной оболочки

Линейные операторы: отыскание ядра и образа, матрица линейного оператора, отыскание собственных значений и собственных векторов

Преобразования базиса: преобразование координат вектора и матрицы линейного оператора при переходе к новому базису

 

 

	Задачи IV
	Матрицы: сложение, умножение, умножение на число, обратная матрица
	Системы линейных уравнений: метод Гаусса, правило Крамера, ФСР, НФСР
	Определители: вычисление методом Гаусса, разложение по строке и столбцу
	Линейные пространства: ЛНС и ЛЗС, отыскание базиса и размерности линейной оболочки
	Преобразования базиса: преобразование координат вектора, матрицы линейного оператора и матрицы билинейной формы при переходе к новому базису
	Линейные операторы: отыскание ядра и образа, матрица линейного оператора, отыскание собственных значений и собственных векторов, жорданова форма.
	Евклидово пространство: норма вектора, углы между векторами, объем гиперпараллепипеда, метод ортогонализации.
	Билинейные и квадратичные формы: приведение к каноническому виду ортогональным преобразованием.
	Аналитическая геометрия: скалярное, векторное и смешанное произведения; уравнения прямых и плоскостей; приведение уравнений кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду. Эллипс, гипербола, парабола, эллипсоид, конус, гиперболоиды, параболоиды, цилиндры.

Литература

Основная

1.      Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984/2002. (32 экз. в библ. ВолГУ)

2.      Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 2003 (16-е издание) (56 экз. в библ. ВолГУ)

3.      Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1970.

4.      Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976/1979. (10 экз. в библ. ВолГУ)

5.      Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. М.: Наука, 1986. (44 экз. в библ. ВолГУ)

6.      Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1974/2001. (95 экз. в библ. ВолГУ)

7.      Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре. М.: Наука, 1999/2001. (65 экз. в библ. ВолГУ)

8.      Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. М.: Наука, 1969. (160 экз. в библ. ВолГУ, физ.корпус)

 

 

Дополнительная

9.      Бурбаки Н. Теория множеств. М.: Мир, 1965.

10.  Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.: Наука, 1977.

11.  Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. М.: Наука, 1962/1973. (5 экз. в библ. ВолГУ)

12.  Френкель А.Н., Бар-Хиллел.  Основы теории множеств. М.: Мир, 1966.

13.  Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1974/1980. (14 экз. в библ. ВолГУ)

14.  Общая алгебра под редакцией Скорнякова Л.А. (в двух томах).  М.: Наука, 1969.

15.  Постников М.М. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1979.

16.  Постников М.М. Линейная алгебра. М.: Наука, 1986.

17.  Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: МГУ, 1990.

18.  Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1984.

19.  Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. М.: Наука, 1983.

20.  Шилов Г.Е. Математический анализ. Конечномерные линейные пространства. М.: Наука, 1969.

21.  Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.

22.  Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976.

23.  Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982.

24.  Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.

25.  Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: Наука, 1977.

26.  Сборник задач по алгебре. Под ред. Кострикина А.И. М.: Наука, 1987.

27.  Фаддеев Д.К. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1970.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Балльно-рейтинговая система оценки успеваемости студентов по дисциплине

 

Методика формирования результирующей оценки:
Выполнение каждой письменной модульной контрольной работы оценивается от 0 до 20 баллов. Выполнение студентом заданий на каждом практическом занятии оценивается от 0 до 1 балла. Количество баллов за практические занятия не может превышать 12 баллов за 1 семестр. Рейтинговая оценка работы студента в семестре равна сумме баллов за 3 модульные работы и практические занятия, и не может превысить 60 баллов. Студент, набравший в результате текущего семестрового контроля менее 20 баллов, к экзамену не допускается; ему выставляется итоговая пятибалльная оценка "неудовлетворительно".
Экзамен по дисциплине проводится в письменном виде. Экзаменационный билет содержит 5 пунктов, содержащих как теоретические вопросы, так и задачи. Ответ студента на каждый пункт билета оценивается от 0 до 8 баллов.
Итоговая рейтинговая оценка знаний студента равна сумме баллов, полученных в течение семестра за выполнение контрольных работ, и до 40 баллов, полученных за письменную экзаменационную работу в конце семестра (но не более 100 баллов).
Итоговая пятибалльная оценка по дисциплине определяется в соответствии со следующей схемой: если количество баллов не меньше 91, то выставляется оценка "отлично", иначе, если количество баллов не меньше 71, то выставляется оценка "хорошо", иначе, если количество баллов не меньше 60, то выставляется оценка "удовлетворительно".

В первом семестре студенты сдают экзамен, во втором семестре студенты сдают экзамен.