Кафедра 

Бодренко И.И., к. ф.-м.н., доцент

 

 

 

 

 

Учебно-методический комплекс по дисциплине

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

                                                                                                                     

 

 

Специальность: 552800 Информатика и вычислительная техника.

Специальность: 230200  Информационные системы и технологии. 

Специальность: 220200  Автоматизированные системы обработки информации и управления.

 

 

 

Утверждено	Рекомендовано
Ученым советом факультета Протокол №_ «____»_____________ 200_г.	кафедрой  ______________________ Протокол №_ «____»____________ 200_г.
Декан факультета__________	Зав. кафедрой____________________

 

 

Волгоград 2009 г.

 

 

Автор-составитель:

Бодренко И.И.,  к. ф.- м.н.,  доцент 

 

 

            Учебно-методический комплекс по дисциплине «Алгебра и геометрия»

составлен в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальности 552800  Информатика и вычислительная техника, по специальности  230200  Информационные системы и технологии,  по специальности 220200  Автоматизированные системы обработки информации и управления.

 

            Дисциплина входит в федеральный компонент цикла  математических и естественнонаучных  дисциплин и является обязательной для изучения.

 

 

__________________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

	Стр.
1.     Рабочая программа учебной дисциплины	4
2.     Методические рекомендации по изучению дисциплины для студентов 2.1.         Советы по планированию и организации времени, необходимого на изучение дисциплины. 2.2.         Описание последовательности действий студента по изучению дисциплины. 2.3.         Рекомендации по использованию материалов учебно-методического комплекса и по работе     с литературой. 2.4.         Советы по подготовке к экзамену и разъяснения по поводу работы с тестовой системой курса, по выполнению домашних заданий.	13                    14   14     15     16
3.     Учебно-методические материалы (УММ) 3.1.         Лекции 3.2.         Практические занятия: план проведения занятий; списки типовых задач по каждой теме, рекомендуемые сборники задач по каждой теме. 3.3.         Методические указания для преподавателей, ведущих практические занятия. 4.     Словарь терминов 5.     Формы текущего, промежуточного, рубежного и итогового контроля: 5.1.         Контрольные вопросы по каждой теме. 5.2.         Решение задач, тесты.	17 17 20       22 22   26 26 30
6.     Балльно-рейтинговая система оценки успеваемости студентов по дисциплине	77

 

 

 

 

 

 

 

 

    УТВЕРЖДЕНО                                                          УТВЕРЖДАЮ

   Ученым советом                                                    Декан факультета

     факультета

Протокол №        от                                                 _____________ 

"______ " ___________  2008 г.                              "______ " ___________  2008 г.

Программа учебной дисциплины
"АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ"
по направлению подготовки бакалавров  
 "Информатика и вычислительная техника", "Информационные системы и технологии",             по направлению подготовки специалистов

 "Автоматизированные системы обработки информации и управления".
Факультет математики и информационных технологий.

 

Составитель рабочей программы:

Доцент кафедры , к.ф.- м. н., доцент   Бодренко И.И. _____________

Волгоград  2008 г.

 

I. Аннотация.

Рабочая программа составлена на основании государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по курсу "Алгебра и геометрия" и учебного плана по специальности "Математика"

I.1. ЦЕЛЬ ПРЕПОДАВАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ.

Преподавание курса "Алгебра и геометрия" формирует у студентов правильные представления об основных понятиях  алгебры и геометрии, вводит в аналитические методы исследования основных геометрических элементов и фигур, знакомит с методами алгебры при решении геометрических задач, готовит к восприятию многомерных векторных и евклидовых пространств.

I.2. ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ.

Студент должен знать следующие понятия.  Алгебра:  линейная зависимость, линейное пространство, базис, размерность, координаты вектора, подпространства линейного пространства, сумма и пересечение подпространств,  преобразование координат, матрица, определитель, разложение определителя по строке или столбцу;  обратная матрица, ранг матрицы; линейные операторы, матрица линейного оператора, преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса, ядро линейного оператора, образ линейного оператора, собственные значения и собственные векторы линейного оператора; основные алгебраические структуры: полугруппы, группы, кольца, поля; булевы алгебры.  Аналитическая геометрия:  понятие вектора, геометрический смысл линейной зависимости и линейной независимости векторов: коллинеарность, компланарность;  определение скалярного, векторного и смешанного произведений векторов; понятие  прямой линии и плоскости в пространстве, линии второго порядка, поверхности второго порядка; понятие n- мерного евклидова пространства, линейные операторы в евклидовых пространствах.  Дифференциальная геометрия: понятие кривой,  касательная к кривой, нормальная плоскость, длина кривой, кривизна   и кручение кривой;  понятие поверхности, касательная плоскость и нормаль к поверхности,  первая квадратичная форма поверхности. Топология:  понятие топологического пространства, открытые и замкнутые множества, операции над открытыми и замкнутыми множествами, окрестности, предельные точки, критерий открытого множества, критерий замкнутого множества,  подпространства, индуцированная топология, метрические пространства, метрическая топология.

Студент должен понимать основные определения  алгебры и геометрии:  линейная зависимость, линейное пространство, базис, размерность, подпространство, сумма и пересечение подпространств, координаты вектора, скалярное, векторное и смешанное произведение, прямая линия и плоскость в пространстве, матрица, определитель, обратная матрица, ранг матрицы, линейные операторы, ядро и образ линейного оператора, матрица линейного оператора, собственные значения и собственные векторы линейного оператора, понятие кривой, касательная к кривой, нормальная плоскость, длина кривой, кривизна, кручение кривой, понятие поверхности, касательная плоскость к поверхности, нормаль, первая квадратичная форма,  понятие топологического пространства, открытые и замкнутые множества, топологические подпространства, индуцированная топология, метрические пространства, метрическая топология.
Уметь доказывать основные теоремы курса.
I.3. ВЗАИМОСВЯЗЬ УЧЕБНЫХ ДИСЦИПЛИН.

Понятия  алгебры и геометрии, аналитические методы исследования пронизывают все фундаментальные общематематические курсы, являясь базисом, без привлечения которого немыслимо изложение любого математического курса. Методы алгебры и геометрии непосредственно и опосредованно проникли во многие разделы естествознания  и приобрели универсальное значение.

Методика формирования результирующей оценки:
Выполнение каждой письменной контрольной работы оценивается от 0 до 12 баллов.
Выполнение студентом заданий на каждом практическом занятии оценивается от 0 до 4 баллов.
Рейтинговая оценка работы студента в семестре равна сумме баллов за 3 контрольные работы и практические занятия, и может достичь 72 баллов. Студент, набравший в результате текущего семестрового контроля менее 20 баллов, к экзамену  не допускается; ему выставляется итоговая пятибалльная оценка "неудовлетворительно".
Экзамен  по дисциплине проводится в письменном виде. Экзаменационный билет содержит 5 пунктов, содержащих как теоретические вопросы, так и задачи. Ответ студента на каждый пункт билета оценивается от 0 до 8 баллов.
Итоговая рейтинговая оценка знаний студента равна сумме баллов, полученных в течение семестра за выполнение контрольных работ, и до 40 баллов, полученных за письменную экзаменационную работу в конце семестра (но не более 100 баллов).
Итоговая пятибалльная оценка по дисциплине определяется в соответствии со следующей схемой: если количество баллов не меньше 91, то выставляется оценка "отлично", иначе, если количество баллов не меньше 71, то выставляется оценка "хорошо", иначе, если количество баллов не меньше 60, то выставляется оценка "удовлетворительно".

В  семестре студенты сдают экзамен.

II. CОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ.


1. Объем дисциплины и виды учебной работы.

2. Тематический план дисциплины.

Номер темы	Тематика лекций и практических занятий	Лекции (часов)	Практ. занятия (часов)
1.	ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ	12	12
2.	ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ.	2	2
3.	АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.	12	12
4.	МНОГОМЕРНАЯ ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ.	2	2
5.	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ.	4	4
6.	ЭЛЕМЕНТЫ ТОПОЛОГИИ.	2	2
	Всего часов	34	34

3. Содержание лекций и практических занятий.

3.1. Содержание лекций.

Номер темы	Название темы, наименование вопросов, изучаемых на лекциях	Кол - во часов	Практ. работы	Метод. указания	Форма контроля
1.	ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ.	12
1.1.	Понятие векторного пространства. Базисы. Размерность.	2	1.1	V.2 1 - 5	К.р., экз.
1.2.	Матрицы, определители, ранг матрицы.Обратная матрица.	4	1.2
1.3.	Подпространства. Сумма и пересечение подпространств.	2	1.3.
1.4.	Линейные операторы. Определение линейного оператора. Образ, ядро, матрица линейного оператора.	2	1.4
1.5.	Собственные векторы, инвариантные подпространства.	2	1.5
2.	ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ.	2		V.2 1 -5	К.р., экз.
2.1.	Основные алгебраические структуры: полугруппы, группы, кольца, поля. Булевы алгебры.	2	2.1
3.	АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.	12		V.2 1 -5	К.р., экз/
3.1.	Векторы. Скалярное, векторное и смешанное произведение.	4	3.1
3.2.	Прямая и плоскость.	4	3.2.
3.3.	Линии и поверхности второго порядка.	4	3.3
4.	МНОГОМЕРНАЯ ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ.	2		V.2 1 -5	К.р., экз.
4.1.	Метрические векторные пространства.	1	4.1.
4.2.	Линейные операторы в евклидовом пространстве.	1	4.2.
5	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ.	4		V.2 1-5
5.1.	Понятие кривой, кривизна, кручение.	2	5.1.
5.2.	Поверхности. Первая квадратичная форма.	2	5.2.
6.	ЭЛЕМЕНТЫ ТОПОЛОГИИ.	2		V.2  1-5	Экз., к.р.
6.1.	Топологическое пространство. Примеры.  Открытые и замкнутые множества. Свойства.  Подпространства. Метрические пространства. Метрическая топология.	2	6.1.

3.2. Содержание практических занятий.

Номер		Объем,
практи-	Наименование практической работы	час
ческой работы
1.	ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ.	12
1.1	Понятие векторного пространства. Базисы. Размерность. Координаты вектора.	2
1.2	Матрицы, определители, ранг матрицы. Обратная матрица.	2
1.3.	Подпространства. Сумма и пересечение подпространств.	2
1.4.	Линейные операторы. Определение линейного оператора. Образ, ядро, матрица линейного оператора.	4
1.5.	Собственные векторы, инвариантные подпространства.	2
2.	ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ.	2
2.1.	Основные алгебраические структуры: полугруппы, группы, кольца, поля.  Булевы алгебры.	2
3	АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.	12
3.1	Векторы. Скалярное, векторное и смешанное произведение.	4
3.2	Прямая и плоскость.	4
3.3.	Линии и поверхности второго порядка.	4
4	МНОГОМЕРНАЯ ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ.	2
4.1	Метрические векторные пространства.	1
4.2	Линейные операторы в евклидовом пространстве.	1
5.	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ.	4
5.1.	Понятие кривой, гладкие и регулярные кривые. Касательная к кривой, нормальная плоскость. Длина кривой,  кривизна, кручение кривой.	2
5.2.	Понятие поверхности, гладкие и регулярные поверхности. Касательная плоскость к поверхности, нормаль. Первая квадратичная форма.	2
6.	ЭЛЕМЕНТЫ ТОПОЛОГИИ.	2
6.1.	Топологическое пространство.  Открытые и замкнутые множества.  Подпространства. Метрические пространства. Метрическая топология.	2

 

III. Программа экзамена.

1.    ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ.

1.1. Понятие векторного пространства. Аксиомы линейного пространства,  примеры, простейшие следствия из аксиом.

1.2. Линейная комбинация, линейная зависимость. Свойства линейной зависимости. 1.3. Матрицы, сложение матриц, умножение матрицы на число. Произведение матриц.

1.4. Определитель. Разложение определителя по строке (столбцу).

1.5. Обратная матрица.

1.6. Базис, размерность линейного пространства, линейные операции в координатах.

1.7. Линейное подпространство. Линейная оболочка. Сумма и пересечение подпространств.

       1.8. Прямая сумма подпространств. Размерность суммы подпространств.                       

       1.9. Линейные операторы. Определение линейного оператора. Образ, ядро, матрица линейного оператора.

       1.10. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования. Инвариантные подпространства.

 

2.    ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ.

2.1.  Полугруппы.

2.2.  Группы.

2.3.  Кольца.

2.4.  Поля. Булевы алгебры. 

3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

3.1.  Понятие вектора, линейные операции над векторами. Векторное

пространство. Примеры.

3.2.  Линейная зависимость и независимость векторов, коллинеарность,

       компланарность. Свойства линейной зависимости. Теорема о линейной

       зависимости.

3.3.  Базисы. Теорема о числе векторов в базисах конечномерного

       пространства. Размерность. Примеры.

3.4.  Координаты вектора, суммы векторов, произведения вектора на число.

       Однозначная определенность координат.

3.5 Скалярное произведение векторов, свойства. Евклидово векторное

       пространство. Неравенство Коши-Буняковского.

3.6.  Понятие об ориентации пространства. Векторное произведение, свойства

       (геометрический смысл, признак  коллинеарности векторов),

       антикоммутативность,  линейность).

3.7. Смешанное произведение. Ориентированный объем  параллелепипеда.

       Свойства.

3.8.  Скалярное произведение двух векторов и его выражение в прямоугольных

       координатах.

3.9. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей в

       ортонормированном базисе.

3.10. Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей.

3..11.  Прямая на плоскости, различные виды ее уравнений, переход от одного

       к другому. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

3.12.  Плоскость, различные виды ее уравнений: векторное параметрическое,

       координатные параметрические, общее уравнение, уравнение плоскости,

       проходящей через три неколлинеарные точки. Переход от одного уравнения

       к другому.

3.13.  Взаимное расположение двух плоскостей.

3.14.  Прямая в пространстве. Различные ее уравнения. Прямая как линия пересечения

двух плоскостей, нахождение направляющего вектора и начальной точки.

3.15.  Взаимное расположение прямой и плоскости.

3.16.  Взаимное расположение двух прямых.

3.17.  Уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку, ей не принадлежащую; через две параллельные прямые; через две пересекающиеся прямые.

3.18.  Прямая на евклидовой плоскости. Нормальный вектор. Расстояние от точки

       до прямой на плоскости.

3.19. Плоскость в евклидовом пространстве .Нормальный вектор плоскости.

       Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между двумя параллельными

       плоскостями.

3.20. Расстояние от точки до прямой в пространстве.

3.21. Расстояние между двумя прямыми в пространстве. 

3.22.  Каноническое уравнение эллипса. Свойства.

3.23.  Каноническое уравнение гиперболы. Свойства.

3.24.  Каноническое уравнение параболы. Свойства.

3.25. Поверхности вращения второго порядка. Цилиндрические поверхности

      второго порядка.

3.26. Сжатие пространства к плоскости. Канонические уравнения поверхностей

       второго порядка.

3.27. Эллипсоиды и их плоские сечения. Однополостный и двуполостный

       гиперболоиды и их плоские сечения. Эллиптический и гиперболический

       параболоиды и их плоские сечения.

3.28. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида и гиперболического

       параболоида.

4. МНОГОМЕРНАЯ ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ.

4.1. Метрические векторные пространства.

4.2. Линейные операторы в евклидовом пространстве.

 

5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ.

5.1. Гладкие и регулярные кривые.                                                                                             5.2. Касательная к кривой, нормальная плоскость.                                                                        5.3. Длина кривой. Кривизна и кручение кривой.                                                                            5.4. Гладкие и регулярные поверхности.                                                                                      5.5. Касательная плоскость к поверхности, нормаль.                                                                    5.6. Первая квадратичная форма поверхности.

6.    ЭЛЕМЕНТЫ ТОПОЛОГИИ.

6.1. Понятие топологического пространства. Открытые множества. Примеры топологических пространств.  Замкнутые множества. Операции над замкнутыми множествами.

6.2.  Окрестность точки. Критерий открытого множества.

6.3. Предельная точка множества. Критерий замкнутого множества. 

6.4. Подпространство. Индуцированная топология.

6.5. Метрические пространства. Метрическая топология.

 

 

IV. Учебно-методическое обеспечение.

 

1.  Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования дисциплины «Алгебра и геометрия»  по направлениям:

            552800  –   Информатика и вычислительная техника,    

            230200  –   Информационные системы и технологии, 

            220200  –   Автоматизированные системы обработки информации и управления.

 

            АЛГЕБРА: основные алгебраические структуры; векторные пространства и линейные отображения; булевы алгебры.

            ГЕОМЕТРИЯ: аналитическая геометрия; многомерная евклидова геометрия;

дифференциальная геометрия кривых и поверхностей; элементы топологии.

 

2.  Лекции и практические занятия в основном рассчитаны на применение учебных пособий [1-20], методических рекомендаций [1-5].
Наш вариант изложения дисциплины имеет своей целью удобство ее приложений в других дисциплинах курса обучения. Другие варианты изложения и дополнительные результаты могут быть получены студентами из книг, приведенных в списке литературы.
В лекциях обсуждаются решения всех задач, включаемых в контрольные работы и экзаменационные билеты.
В течение семестра на практических занятиях проводится 3 контрольные работы. Расчетная продолжительность каждой контрольной работы не превышает 2 часа. Задания для контрольных работ (без разбиения на варианты) содержатся в электронных методических указаниях [4] и также доступны студентам без ограничений.

V. ЛИТЕРАТУРА.
V.1. ЛИТЕРАТУРА.

1. Моденов М.П., Пархоменко П.С. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1978, 332 с.
2. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1987, 254 с.
3. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. Учебн. пособие.  М.: ФИЗМАТЛИТ. 2001. 496 с.
4. Бахвалов С.В., Моденов М.П., Пархоменко П.С. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1964, 332 с.
5. Александров П.С. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1967, 588 с.
6. Постников М.М. Аналитическая геометрия. Лекции по геометрии. Семестр I.  - М.: Наука, 1987.
7. Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Изд-во МГУ, 1990, 328 с.

8. Борисович Ю.Г. и др. Введение в топологию. - М.: Наука, 1995.
9. Постников М. М. Гладкие многообразия. М.: Наука. 1987.
10. Мищенко А.С., Соловьев Ю. П., Фоменко А.Т. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
11. Бодренко А.И., Бодренко И.И. Общая топология. Учебно-методическое пособие. 2007 г. Волгоград. Издательство Волгу.

12. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1986.
13. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. 7-е изд. М.: Наука. 1984. 336 с.

14. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А.Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. Учебное пособие. М.: Наука. 1987. 496 с.

15.  Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. 3-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 464 с.

16.  Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Учебник, 3-е издание. М.: 2007, 400 с.

17. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Учебник, М.: 1979, 512 с.

18.  Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. Учебник. 6-е изд.М.: ФИЗМАТЛИТ 2004, 280 с.

19. Постников М.М. Лекции по геометрии, Семестр II. Линейная алгебра. М.: Наука, 1986, 400 с.

20.  Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия,  М.: Наука, 1990, 672 с.   

                                 
 
V.2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

1. Бодренко И.И. "Аналитическая геометрия. Сборник задач. Ч.1". 1998 г. 36 с.
2. Бодренко И.И. "Дифференциальная геометрия. Сборник задач. Ч.1". 1998 г. 36 с.

       3. Бодренко А.И., Бодренко И.И. «Общая топология». 2007 г. 44 с.

       4. Фонд контрольных заданий по курсу "Алгебра и геометрия". (Электронные методические указания. Составитель -- Бодренко И.И.)

       5. Программа экзамена по курсу "Алгебра и геометрия". (Электронные методические указания. Составитель -- Бодренко И.И.)



Программа учебной дисциплины утверждена сроком на 4 года

 на заседании кафедры
20 августа 2008 г., протокол N 1.

Заведующий кафедрой ______________________

           

 

 

2. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ ДЛЯ СТУДЕНТОВ

            В курсе «Алгебра и геометрия» изучаются основные понятия линейной алгебры, основные алгебраические структуры, основные понятия аналитической геометрии, дифференциальной геометрии и топологии. Аналитическая геометрия является одним из разделов геометрии. Основные понятия аналитической геометрии – точки, прямые, плоскости, линии и поверхности второго порядка. В аналитической геометрии основными средствами исследования простейших геометрических образов служат метод координат и методы элементарной алгебры. Методы аналитической геометрии широко применяются в различных разделах математики, механики, физики и других науках.

            Пусть на плоскости с данной декартовой прямоугольной системой координат OXY задана некоторая линия L. С помощью понятия координат точек на плоскости вводится понятие уравнения линии L как соотношения F (x, y) = 0, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты каждой точки, не лежащей на этой линии.

            В аналитической геометрии на плоскости систематически изучаются свойства алгебраических линий первого и второго порядков. Выясняется, что на плоскости алгебраическими линиями первого порядка, т.е. линиями, определенными уравнениями вида Ax+By+C = 0,  являются прямые и только они. Линии второго порядка на плоскости определяются уравнениями вида Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F = 0. Основной метод исследования и классификации этих линий заключается в подборе такой декартовой прямоугольной системы координат, в которой уравнении данной линии имеет наиболее простой, т.е. канонический вид, и в последующем исследовании этого канонического уравнения. В аналитической геометрии на плоскости подробно изучаются геометрические свойства эллипса, гиперболы и параболы.

            В аналитической геометрии в пространстве исследуются алгебраические поверхности первого и второго порядков. Алгебраическими поверхностями первого порядка являются плоскости и только они. В аналитической геометрии в пространстве вводятся декартова прямоугольная система координат OXYZ.  Каждая плоскость определяется алгебраическим уравнением первой степени Ax+By+Cz+D = 0. Поверхности второго порядка определяются уравнениями вида Ax²+By²+Cz²+2Dxy+2Exz+2Fyz +2Gx+2Hy+2Mz+N = 0. Основной метод изучения и классификации этих поверхностей состоит в подборе такой декартовой прямоугольной системы координат, в которой уравнение поверхности имеет наиболее простой вид, и в дальнейшем исследовании этого канонического уравнения.

            В аналитической геометрии изучаются свойства аффинных преобразований. При аффинных преобразованиях плоскости каждая прямая переходит в прямую, пересекающиеся прямые аффинное преобразование переводит в пересекающиеся, параллельные – в параллельные. Аффинные преобразования пространства переводят плоскости в плоскости, прямые в прямые; при этом, пересекающиеся плоскости переходят в пересекающиеся, параллельные – в параллельные. Сохраняется взаимное расположение двух прямых в пространстве: параллельные прямые переходят в параллельные, пересекающиеся – в пересекающиеся, скрещивающиеся – в скрещивающиеся.  При аффинном преобразовании множество векторов плоскости (пространства) взаимно однозначно отображается на множество векторов плоскости (пространства) и это преобразование является линейным. 

            Под “фигурой” в топологии понимается любое множество точек, в котором задано отношение близости между точками и некоторыми подмножествами, удовлетворяющее определенным аксиомам. Такие фигуры называются топологическими пространствами. Главной задачей топологии является выделение и изучение топологических свойств пространств, или топологических инвариантов. К числу важнейших топологических инвариантов относятся связность, компактность, размерность и др. 

            Понятия алгебры и геометрии,  аналитические методы исследования пронизывают все фундаментальные общематематические курсы, являясь базисом, без привлечения которого немыслимо изложение любого математического курса. Методы алгебры и  геометрии  непосредственно и опосредованно проникли во многие разделы математического естествознания: математическую экономику, математическую экологию, и приобрели универсальное значение.
           

2.1.  Советы по планированию и организации времени, необходимого для изучения дисциплины.

При изучении дисциплины «Алгебра  и геометрия» необходимо работать с теоретическим материалом, излагаемым на лекциях, решать задачи на практических занятиях, систематически и последовательно на протяжении всего семестра.  Планирование и организация времени, необходимого для изучения дисциплины «Алгебра и геометрия», должны проводиться в соответствии со следующими установленными объемом и видами учебной работы.

Объем дисциплины и виды учебной работы.

 

2.2. Описание последовательности действия студента при  изучении дисциплины.

            Изучение дисциплины «Алгебра и геометрия» проводится в соответствии со следующим тематическим планом.

 

 

            Тематический план изучения дисциплины «Алгебра  и геометрия».

 

Номер темы	Тематика лекций и практических занятий	Лекции (часов)	Практ. занятия (часов)
1.	ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ	12	12
2.	ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ.	2	2
3.	АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.	12	12
4.	МНОГОМЕРНАЯ ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ.	2	2
5.	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ.	4	4
6.	ЭЛЕМЕНТЫ ТОПОЛОГИИ.	2	2
	Всего часов	34	34

 

 

            После изучения теоретических вопросов по теме каждой лекции и решения задач  необходимо определить наиболее трудные для понимания вопросы и нерешенные задачи. В случае если ответы на вопросы не удается получить самостоятельно, целесообразно проконсультироваться с преподавателем.

 
2. 3.  Рекомендации по использованию материалов учебно-методического комплекса и по работе с литературой.

               Лекции и практические занятия в основном рассчитаны на применение учебных пособий [1-20], методических рекомендаций [1-3], и электронных методических рекомендаций [1]. Наш вариант изложения дисциплины имеет своей целью удобство ее приложений в других дисциплинах курса обучения. Другие варианты изложения и дополнительные результаты могут быть получены студентами из книг, приведенных в списке литературы.  На лекциях обсуждаются решения всех задач, включаемых в контрольные работы и экзаменационные билеты.  В течение семестра на занятиях проводятся 3 контрольные работы. Расчетная продолжительность каждой контрольной работы не превышает 2 часа. Задания для контрольных работ (без разбиения на варианты) содержатся в электронных методических указаниях [1] и также доступны студентам без ограничений.
               Материалы учебно-методического комплекса целесообразно использовать в течение всего периода изучения дисциплины. Изучение теоретических вопросов, излагаемых на лекциях, необходимо сопровождать изучением соответствующих разделов в предлагаемой литературе. Необходимый минимум теоретического материала и типовые задачи по изучаемым в дисциплине «Геометрия и топология» вопросам содержатся в следующих учебниках и сборниках задач. 

 

1. Моденов М.П., Пархоменко П.С. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1978, 332 с.
2. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1987, 254 с.
3. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. Учебн. пособие.  М.: ФИЗМАТЛИТ. 2001. 496 с.
4. Бахвалов С.В., Моденов М.П., Пархоменко П.С. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1964, 332 с.
5. Александров П.С. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1967, 588 с.
6. Постников М.М. Аналитическая геометрия. Лекции по геометрии. Семестр I.  - М.: Наука, 1987.
7. Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Изд-во МГУ, 1990, 328 с.

8. Борисович Ю.Г. и др. Введение в топологию. - М.: Наука, 1995.
9. Постников М. М. Гладкие многообразия. М.: Наука. 1987.
10. Мищенко А.С., Соловьев Ю. П., Фоменко А.Т. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
11. Бодренко А.И., Бодренко И.И. Общая топология. Учебно-методическое пособие. 2007 г. Волгоград. Издательство Волгу.

12. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1986.
13. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. 7-е изд. М.: Наука. 1984. 336 с.

14. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А.Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. Учебное пособие. М.: Наука. 1987. 496 с.

15.  Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. 3-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 464 с.

16.  Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Учебник, 3-е издание. М.: 2007, 400 с.

17. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Учебник, М.: 1979, 512 с.

18.  Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. Учебник. 6-е изд.М.: ФИЗМАТЛИТ 2004, 280 с.

19. Постников М.М. Лекции по геометрии, Семестр II. Линейная алгебра. М.: Наука, 1986, 400 с.

20.  Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия,  М.: Наука, 1990, 672 с.   

                                       

               При подготовке к контрольным работам и экзамену целесообразно также использовать  следующие  учебно-методические материалы.

 

1. Фонд контрольных заданий по курсу "Алгебра и геометрия". (Электронные методические указания. Составитель -- Бодренко И.И.).

2. Бодренко И.И. "Аналитическая геометрия. Сборник задач. Ч.1". 1998 г. 36 с.
3. Программа экзамена по курсу "Алгебра и геометрия". (Электронные методические указания. Составитель -- Бодренко И.И.).

 

 

2. 4.  Советы по подготовке к экзамену  и разъяснения по поводу работы с тестовой системой курса, по выполнению домашних заданий.

 

В течение семестра на занятиях проводятся 3 контрольные работы. Расчетная продолжительность каждой контрольной работы не превышает 2 часа. Задания для контрольных работ (без разбиения на варианты) содержатся в электронных методических указаниях [1] и также доступны студентам без ограничений.
Выполнение каждой письменной контрольной работы оценивается от 0 до 12 баллов. Выполнение студентом заданий на каждом практическом занятии оценивается от 0 до 2 баллов.  Домашние задания следует выполнять в наиболее полном объеме и в срок.

            Рейтинговая оценка работы студента в семестре равна сумме баллов за 3 контрольные работы и практические занятия, и может достичь 72 баллов. Студент, набравший в результате текущего семестрового контроля менее 20 баллов, к экзамену  не допускается; ему выставляется итоговая пятибалльная оценка "неудовлетворительно".

Экзамен  по дисциплине проводится в письменном виде. Экзаменационный билет содержит 5 пунктов, содержащих как теоретические вопросы, так и задачи. Ответ студента на каждый пункт билета оценивается от 0 до 8 баллов.

Сложные разделы дисциплины должны быть тщательно проработаны и при необходимости вынесены на предэкзаменационную консультацию.

Итоговая рейтинговая оценка знаний студента равна сумме баллов, полученных в течение семестра за выполнение контрольных работ, и до 40 баллов, полученных за письменную экзаменационную работу в конце семестра (но не более 100 баллов).

Итоговая пятибалльная оценка по дисциплине определяется в соответствии со следующей схемой: если количество баллов не меньше 91, то выставляется оценка "отлично", иначе, если количество баллов не меньше 71, то выставляется оценка "хорошо", иначе, если количество баллов не меньше 60, то выставляется оценка "удовлетворительно".

В семестре студенты сдают экзамен.

 

 

3. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ

3.1. ЛЕКЦИИ

ТЕМА 1.  ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ.

            Лекция 1. Понятие векторного пространства. Линейная комбинация, линейная зависимость, свойства линейной зависимости.

            Лекция 2. Матрицы, операции над матрицами: сложение, умножение матрицы на число,  произведение матриц. Определители, вычисление определителя.   Разложение определителя по строке (столбцу).

            Лекция 3. Ранг матрицы. Лемма о базисном миноре. Обратная матрица.

            Лекция 4. Базис, размерность векторного пространства. Координаты вектора, однозначная определенность координат вектора в данном базисе, линейные операции в координатах. Линейные подпространства. Линейная оболочка. Сумма и пересечение подпространств. Прямая сумма подпространств. Размерность суммы подпространств.

            Лекция 5. Линейные операторы. Образ, ядро, матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса.

            Лекция 6. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования. Инвариантные подпространства.

ТЕМА 2. ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ.

            Лекция 7. Основные алгебраические структуры: полугруппы, группы, кольца, поля. Булевы алгебры.

ТЕМА 3.  АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

            Лекция 8. Свободный вектор. Линейные операции над геометрическими векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Геометрический смысл линейной зависимости: коллинеарные векторы, компланарные векторы. Свойства линейной зависимости. Теорема о линейной зависимости. Теорема о числе векторов в базисах конечномерного пространства. Длина вектора и угол между векторами. Скалярное произведение векторов, свойства. Евклидово векторное пространство. Неравенство Коши-Буняковского. Ортогональные векторы. Ортонормированные базисы.  Понятие об ориентации пространства. Правые и левые тройки векторов. Векторное произведение векторов, свойства (геометрический смысл векторного произведения, признак коллинеарности векторов, антикоммутативность векторного произведения, линейность).

            Лекция 9. Смешанное произведение векторов. Ориентированный объем параллелепипеда. Свойства смешанного произведения векторов (геометрический смысл смешанного произведения, однородность, признак компланарности трех векторов, линейность смешанного произведения).  Декартовы прямоугольные координаты.  Выражение скалярного произведения векторов через координаты сомножителей в ортонормированном базисе. Вычисление длины вектора и угла между векторами.  Выражение векторного произведения векторов через координаты сомножителей в ортонормированном базисе. Выражение смешанного произведения векторов через координаты сомножителей в ортонормированном базисе. 

            Лекция 10. Прямая в аффинном пространстве, параметрические уравнения прямой. Прямая на плоскости, различные виды ее уравнений (каноническое уравнение прямой на плоскости, общее уравнение прямой на плоскости, уравнение прямой с угловым коэффициентом, уравнение прямой, проходящей через две точки, уравнение прямой «в отрезках»), переход от одного вида уравнения прямой к другому. Неполные уравнения прямой. Прямая на евклидовой плоскости. Нормальный вектор прямой. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Расстояние между параллельными прямыми. Угол между прямыми. Условие перпендикулярности двух прямых. Разделение плоскости прямой.

            Лекция 11. Плоскость, различные виды ее уравнений(параметрические уравнения плоскости, общее уравнение плоскости, уравнение плоскости, проходящей через три неколлинеарные точки, уравнение плоскости «в отрезках»). Переход от одного вида уравнения плоскости к другому. Неполные уравнения плоскости. Плоскость в евклидовом пространстве. Нормальный вектор плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между двумя параллельными плоскостями. Прямая в пространстве. Различные виды ее уравнений (параметрические уравнения, канонические уравнения прямой в пространстве). Прямая как линия пересечения двух плоскостей, нахождение направляющего вектора прямой и начальной точки. Уравнения плоскости: проходящей через прямую и точку, ей не принадлежащую; через две параллельные прямые; через две пересекающиеся прямые. Угол между плоскостями. Условие перпендикулярности двух плоскостей. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Условие перпендикулярности прямой и плоскости.   Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между прямыми в пространстве. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Расстояние между двумя прямыми в пространстве.

            Лекция 12. Плоская линия и ее уравнение. Уравнения поверхностей и линий в пространстве. Алгебраические линии и поверхности. Парабола. Каноническое уравнение параболы. Директориальное и оптическое свойства параболы. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса. Фокальное, директориальное и оптическое свойства эллипса. Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы. Фокальное, директориальное и и оптическое свойства гиперболы. Классификация линий второго порядка.

            Лекция 13. Поверхности вращения второго порядка. Сжатие пространства к плоскости. Эллипсоиды и их плоские сечения.  Однополостный и двуполостный гиперболоиды и их плоские сечения. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида.  Эллиптический и гиперболический параболоиды и их плоские сечения. Свойства прямолинейных образующих гиперболического параболоида.  Цилиндрические поверхности второго порядка. Конические поверхности второго порядка. Формулировка теоремы классификации поверхностей второго порядка.

ТЕМА 4. МНОГОМЕРНАЯ ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ.

            Лекция 14. Метрические векторные пространства. Линейные операторы в евклидовом пространстве.

ТЕМА 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ. 

Лекция 15. Гладкие и регулярные кривые: касательная к кривой, нормальная плоскость. Длина кривой. Кривизна и кручение кривой.

Лекция 16. Гладкие и регулярные поверхности: касательная плоскость к поверхности, нормаль. Первая квадратичная форма поверхности.  Понятие риманова пространства.

 

ТЕМА 6.  ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ.

            Лекция 17. Топологические пространства.  Открытые и замкнутые множества.  Операции над открытыми и замкнутыми множествами. Окрестности, предельные точки.  Критерий открытого множества. Внутренность множества. Замыкание множества. Граница. Подпространства. Индуцированная топология. Метрические пространства. Метрическая топология.

 

 

 

3. 2. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

ТЕМА 1.    ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ.

1.       

1. Понятие векторного пространства. Аксиомы линейного пространства,  примеры, простейшие следствия из аксиом. Задачи: № 20.1 [3], 20.3 [3].

2. Линейная комбинация, линейная зависимость. Свойства линейной зависимости.  Матрицы, сложение матриц, умножение матрицы на число. Произведение матриц. Задачи:  № 20.10 [3], 20.11, 20.13, 15.10   [3].

3. Определитель. Разложение определителя по строке (столбцу). Задачи: № 14.4, 14.7, 14.21 [3].

4. Обратная матрица. Задачи: № 15.45, 15.47 [3].

5. Базис, размерность линейного пространства, линейные операции в координатах. Задачи: № 20. 12, 20.17 [3].

6. Линейное подпространство. Линейная оболочка. Сумма и пересечение подпространств. Задачи: № 20.14, 20.15 [3].

       7. Прямая сумма подпространств. Размерность суммы подпространств.                          

       8. Линейные операторы. Определение линейного оператора. Образ, ядро, матрица линейного оператора. Задачи № 23.56, 23.58, 23.62, 23.64, 23.70 [3].

       9. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования. Инвариантные подпространства. Задачи № 24.20, 24.30, 24.32 24.30, 24.32 [3].

 

ТЕМА 2.    ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ.

10.  Полугруппы.   

11.  Группы. Задачи: № 1634 [12]. 

12.  Кольца. Задачи: № 1709 – 1724 [12].

13.  Поля. Булевы алгебры. Задачи: 1781 [12]. 

ТЕМА 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

14. Векторы, свободный вектор. Линейные операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Задачи:  № 748 – 775 [2].

            15. Линейная зависимость и независимость векторов. Геометрический смысл линейной зависимости: коллинеарные векторы, компланарные векторы. Свойства линейной зависимости. Базисы. Задачи: № 776 – 794 [2].

            16. Длина вектора и угол между векторами. Скалярное произведение векторов. Задачи: № 795 – 838 [2].

            17. Векторное произведение векторов.  Задачи: № 839 – 864 [2].

            18. Смешанное произведение векторов. Задачи: № 885 – 878 [2].

            19. Прямая на плоскости, различные виды ее уравнений (каноническое уравнение прямой на плоскости, общее уравнение прямой на плоскости, уравнение прямой с угловым коэффициентом, уравнение прямой, проходящей через две точки, уравнение прямой «в отрезках»), переход от одного вида уравнения прямой к другому. Неполные уравнения прямой. Задачи: № 210 – 221, 285 – 308 [2].

            20. Прямая на евклидовой плоскости. Нормальный вектор прямой. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Угол между прямыми. Условие перпендикулярности двух прямых. Задачи: № 222 – 284 [2].

            21. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Расстояние между параллельными прямыми. Разделение плоскости прямой. Задачи: № 309 – 352 [2].

            22. Плоскость, различные виды ее уравнений (параметрические уравнения плоскости, общее уравнение плоскости, уравнение плоскости, проходящей через три неколлинеарные точки, уравнение плоскости «в отрезках»). Переход от одного вида уравнения плоскости к другому. Неполные уравнения плоскости. Задачи: № 940 – 952 [2].

23. Плоскость в евклидовом пространстве. Нормальный вектор плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между двумя параллельными плоскостями. Задачи: № 956 – 973 [2].

            24. Прямая в пространстве. Различные виды ее уравнений (параметрические уравнения, канонические уравнения прямой в пространстве). Прямая как линия пересечения двух плоскостей, нахождение направляющего вектора прямой и начальной точки. Уравнения плоскости: проходящей через прямую и точку, ей не принадлежащую; через две параллельные прямые; через две пересекающиеся прямые. Задачи: № 982 – 1006, 1007 - 1021 [2].

            25. Угол между плоскостями. Условие перпендикулярности двух плоскостей. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Условие перпендикулярности прямой и плоскости. Задачи: № 982 – 1006, 1007 - 1021 [2].

            26. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Разделение пространства плоскостью.             Задачи: № 974 – 981, 1026 – 1029, 1007 - 1021 [2].

            27. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Расстояние между двумя прямыми в пространстве. Уравнения общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых в пространстве. Задачи: № 1029 – 1031, 1062 – 1064, 1083 [2].

            28. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса. Фокальное, директориальное и оптическое свойства эллипса. Задачи: № 444 – 503 [2].

            29.  Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы. Фокальное, директориальное и оптическое свойства гиперболы. Задачи: № 515 – 573 [2].

            30.Парабола. Каноническое уравнение параболы. Директориальное и оптическое свойства параболы. Задачи: № 583 – 627 [2].

            31. Эллипсоиды и их плоские сечения.  Однополостный и двуполостный гиперболоиды и их плоские сечения. Эллиптический и гиперболический параболоиды и их плоские сечения. Задачи: № 1154 – 1180 [2].

 

ТЕМА 4. МНОГОМЕРНАЯ ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ.

 

            32. Метрические векторные пространства. Задачи: 25.20, 25.26 [3].

            33. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Задачи: 28.19, 29.19 [3].

 

ТЕМА 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ.

            34. Гладкие и регулярные кривые: касательная к кривой, нормальная плоскость. Длина кривой. Кривизна и кручение кривой. Задачи: № 17.18, 17.19, 17.33 – 17.35, 17.38 – 17.40, 18.1 – 18.5  [10]

            35. Гладкие и регулярные поверхности: касательная плоскость к поверхности, нормаль. Первая квадратичная форма поверхности.  Задачи: №  5.1 – 5.3, 19.17 – 19.19, [10].

 

ТЕМА 6.  ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ.

            36. Топологические пространства.  Открытые и замкнутые множества.  Операции над открытыми и замкнутыми множествами. Задачи: № 14.9 – 14.6,  [10]

            37. Окрестности, предельные точки. Базы.  Критерий открытого множества. Внутренность множества. Замыкание множества. Граница. Индуцированная топология. Метрические пространства. Задачи: № 14.1 – 14.6  [10].

            3.3. Методические указания для преподавателей, ведущих практические занятия.

           

            Практические  занятия необходимо проводить в строгом соответствии с планом, уделять должное внимание текущему контролю знаний студентов; контрольные работы проводить в запланированные сроки, представлять необходимую отчетность по модулям рабочей программы. Особое внимание уделять наиболее трудным для понимания вопросам, контролировать выполнение домашних заданий.

 

                                    4.  СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ

 

Аксиомы отделимости

Аксиомы счетности

Аксиомы топологического пространства

Аффинная система координат                    – см. [5], т. 1, с. 358

Аффинное пространство                             – см. [5], т. 1, с. 362

 

База топологии

Базис                                                               – см. [5], т. 1, с. 633

ортонормированный                                                – см. [1], т. 1, с. 633

 

Вектор геометрический                               – см. [5], т. 1, с. 632

-         свободный                                         – см. [5], т. 1, с. 632                                      

-         нормали к поверхности

Векторное пространство                              – см. [5], т. 1, с. 633, с. 642

Векторы коллинеарные                               – см. [5], т. 1, с. 632

-          компланарные                                   – см. [5], т. 1, с. 632

, линейная комбинация                          – см. [5], т. 1, с. 633

линейно зависимые                                – см. [5], т. 1, с. 633

линейно независимые                            – см. [5], т. 1, с. 633

ортогональные                                        – см. [5], т. 1, с. 634

равные                                                      – см. [5], т. 1, с. 632

Внутренность множества

Внутренняя точка

Вписанное покрытие

Вторая аксиома счетности

 

Гиперболическая точка       

Гипербола                                                      – см. [5], т. 1, с. 987

Гиперболоид двуполостный                       – см. [5], т. 1, с. 1000

-         однополостный                                 – см. [5], т. 1, с. 1000

Гладкая кривая

Граница множества

Граничная точка

 

 

Движение                                                      – см. [5], т. 2, с. 20

Декартовы прямоугольные координаты    – см. [5], т. 1, с. 634

Диаметр                                                         – см. [5], т. 2, с. 127

Длина дуги

- кривой

 

Замена параметра

Замкнутое множество

Замыкание

 

Индуцированная топология

 

 

Касательная плоскость

Касательный вектор кривой

            - поверхности в точке

Квадратичная форма поверхности вторая

            - первая

Кривая гладкая

            -регулярная

Кривизна кривой

Компактное топологическое пространство

Компонента связности

Конические сечения                                                 – см. [5], т. 2, с. 1034

Конус действительный                                – см. [5], т. 4, с. 344

-         мнимый                                              – см. [5], т. 4, с. 344

Координаты вектора                                    – см. [5], т. 1, с. 633

Косинусы направляющие                            – см. [5], т. 1, с. 634

Кручение кривой

 

Линейные операции над векторами           – см. [5], т. 1, с. 632

-         , сумма векторов                               – см. [5], т. 1, с. 632

-         , произведение вектора на число    – см. [5], т. 1, с. 633

Линия второго порядка                                – см. [5], т. 3, с. 387

-         , инварианты                                     – см. [5], т. 3, с. 388

-         нецентральная                                   – см. [5], т. 3, с. 388

-         центральная                                       – см. [5], т. 3, с. 388

 

Метрика

Метрическое пространство

Модуль вектора                                             – см. [5], т. 1, с. 632

 

Натуральный параметр

Непрерывность в точке

Нормаль к кривой

Нормальная плоскость кривой

Нормальное пространство

 

Отделенные множества

Открытое множество

Открытое покрытие

Отображение замкнутое

- непрерывное

- открытое

 

 

Парабола                                                        – см. [5], т. 4, с. 191                          

Параболическая точка

Параболоид                                                   – см. [5], т. 4, с. 201

-         гиперболический                              – см. [5], т. 1, с. 992

-         эллиптический                                  – см. [5], т. 5 с. 993

Плоскость                                                      – см. [5], т. 4, с. 318

-         , нормальный вектор                        – см. [5], т. 4, с. 319

Поверхность второго порядка                     – см. [5], т. 4, с. 343

-         центральная                                       – см. [5], т. 4, с. 344

-         нецентральная                                   – см. [5], т. 4, с. 344

-          

Подмножество всюду плотное

- связное

Предельная точка множества

Прямое произведение

Преобразование аффинное                          – см. [5], т. 1, с. 361

-         линейное                                            – см. [5], т. 3, с. 350

-         ортогональное                                   – см. [5], т. 4, с. 87    

 

Произведение векторное                             – см. [5], т. 1, с. 635, с. 642

-         двойное векторное                           – см. [5], т. 4, с. 635

-         скалярное векторов                          – см. [5], т. 1, с. 634

-         смешанное векторов                         – см. [5], т. 1, с. 635

Прямая                                                           – см. [5], т. 4, с. 722

-         , нормальный вектор                        – см. [5], т. 4, с. 722

 

Радиус кривизны

Регулярное пространство

 

 

Связное множество

Сепарабельное пространство

Счетная база

 

Тензорное поле        

Топология

Топологическое

            -многообразие

- пространство

Точка распрямления

Тройка векторов правая                               – см. [5], т. 1, с. 634

-         левая                                                   – см. [5], т. 1, с. 634

 

Угол между векторами                                 – см. [5], т. 1, с. 634

-  кривыми

Уравнения линий второго порядка            – см. [5], т. 3, с. 387

-         поверхностей второго порядка       – см. [5], т. 4, с. 343   

 

Хаусдорфово пространство

 

Центр             линии                                                             – см. [5], т. 3, с. 388

Цилиндр                                                        – см. [5], т. 4, с. 344

-         гиперболический                              – см. [5], т. 1, с. 992

-         параболический                                – см. [5], т. 4, с. 195

-         эллиптический                                  – см. [5], т. 5, с. 993

 

Эллипс                                                           – см. [5], т. 5, с. 977

Эллипсоид                                                     – см. [5], т. 5, с. 978

-         мнимый                                              – см. [5], т. 5, с. 978

 

Эллиптическая точка

 

 

ЛИТЕРАТУРА

 

            [1] Постников М.М.  Лекции по геометрии. Семестр I. Аналитическая геометрия.: Учебн. пособие для вузов. 2-е издание.,  М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1986. - 416 с.           [2] Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1987, 254 с.

            [3] Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. Учебн. пособие.  М.: ФИЗМАТЛИТ. 2001. 496 с.

            [4] Бахвалов С.В., Моденов М.П., Пархоменко П.С. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. Лит. 1964.  440 с.

            [5] Математическая энциклопедия. Т. 1 – 5.  М. Издательство «Советская энциклопедия» 1977 – 1985. Т. 1 – 5.

[6] Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Изд-во МГУ, 1990, 328 с.

[7] Борисович Ю.Г. и др. Введение в топологию. - М.: Наука, 1995.

[8] Постников М. М. Гладкие многообразия. М.: Наука. 1987.
[9] Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.:

Наука, 1986.

[10] Мищенко А.С., Соловьев Ю. П., Фоменко А.Т. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

[11] Бодренко А.И., Бодренко И.И. Общая топология. Учебно-методическое пособие. 2007 г. Волгоград. Издательство Волгу.

[12] Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. 7-е изд. М.: Наука. 1984. 336 с.

[13]. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А.Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. Учебное пособие. М.: Наука. 1987. 496 с.

[14].  Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. 3-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 464 с.

[15].  Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Учебник, 3-е издание. М.: 2007, 400 с.

[16]. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Учебник, М.: 1979, 512 с.

[17].  Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. Учебник. 6-е изд.М.: ФИЗМАТЛИТ 2004, 280 с.

[18]. Александров П.С. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1967, 588 с. 5.

[19]. Постников М.М. Лекции по геометрии, Семестр II. Линейная алгебра. М.: Наука, 1986, 400 с.

[20].  Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия,  М.: Наука, 1990, 672 с.   

                                       

 

5. ФОРМЫ ТЕКУЩЕГО,  ПРОМЕЖУТОЧНОГО, РУБЕЖНОГО И ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ

 

 

 

5.1.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО КАЖДОЙ ТЕМЕ

 

               ТЕМА 1. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ.

1.1.  Понятие векторного пространства. Линейная комбинация, линейная зависимость, свойства линейной зависимости.

1.2. Матрицы, операции над матрицами: сложение, умножение матрицы на число,  произведение матриц.

1.3.Определители, вычисление определителя.   Разложение определителя по строке (столбцу).

1.4. Ранг матрицы. Лемма о базисном миноре.

1.5.Обратная матрица.

1.6. Базис, размерность векторного пространства.

1.7. Координаты вектора, однозначная определенность координат вектора в данном базисе, линейные операции в координатах.

1.8. Линейные подпространства.

1.9.  Линейная оболочка.

1.10.      Сумма и пересечение подпространств.

1.11.      Прямая сумма подпространств.

1.12.      Размерность суммы подпространств.

1.13.      Линейные операторы.

1.14.      Образ, ядро линейного оператора.

1.15.      Матрица линейного оператора.

1.16.      Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса.

1.17.      Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования.

1.18.      Инвариантные подпространства.

 

ТЕМА 2.    ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ.

2.1. Полугруппы.

2.2. Группы.

2.3. Кольца.

2.4. Поля. Булевы алгебры.  

ТЕМА 3.  АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

.

               3.1.  Понятие вектора, линейные операции над векторами. Векторное пространство. Примеры.

               3.2.  Линейная зависимость и независимость векторов, коллинеарность,      компланарность. Свойства линейной зависимости. Теорема о линейной зависимости.

               3.3.  Базисы. Теорема о числе векторов в базисах конечномерного     пространства. Размерность. Примеры.

               3.4.  Координаты вектора, суммы векторов, произведения вектора на число Однозначная определенность координат.

               3.5.  Скалярное произведение векторов, свойства. Евклидово векторное  пространство. Неравенство Коши-Буняковского.

               3.6.  Понятие об ориентации пространства. Векторное произведение, свойства. (геометрический смысл, признак  коллинеарности векторов, антикоммутативность,  линейность).

               3.7. Смешанное произведение. Ориентированный объем  параллелепипеда. Свойства.

               3.8.  Скалярное произведение двух векторов и его выражение в прямоугольных       координатах.

               3.9. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей в       ортонормированном базисе.

               3.10. Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей.

               3.11.  Прямая на плоскости, различные виды ее уравнений, переход от одного       к другому. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

               3.12.  Плоскость, различные виды ее уравнений: векторное параметрическое;       координатные параметрические; общее уравнение плоскости; уравнение плоскости,  проходящей через три неколлинеарные точки. Переход от одного вида уравнения  к другому.

               3.13.  Взаимное расположение двух плоскостей.

               3.14.  Прямая в пространстве. Различные ее уравнения. Прямая как линия пересечения двух плоскостей, нахождение направляющего вектора и начальной точки.

               3.15.  Взаимное расположение прямой и плоскости.

               3.16.  Взаимное расположение двух прямых.

               3.17.  Уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку, ей не       принадлежащую; через две параллельные прямые; через две пересекающиеся прямые.

               3.18.  Прямая на евклидовой плоскости. Нормальный вектор. Расстояние от точки до прямой на плоскости.

               3.19. Плоскость в евклидовом пространстве. Нормальный вектор плоскости.       Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между двумя параллельными       плоскостями.

               3.20. Расстояние от точки до прямой в пространстве.

               3.21. Расстояние между двумя прямыми в пространстве.

               3.22.  Каноническое уравнение эллипса. Свойства.

               3.23  Каноническое уравнение гиперболы. Свойства.

               3.24.  Каноническое уравнение параболы. Свойства.

               3.25. Поверхности вращения второго порядка. Цилиндрические поверхности      второго порядка.

               3.26. Сжатие пространства к плоскости. Канонические уравнения поверхностей       второго порядка.

               3.27. Эллипсоиды и их плоские сечения. Однополостный и двуполостный   гиперболоиды и их плоские сечения. Эллиптический и гиперболический  параболоиды и их плоские сечения.

               3.28. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида.

                        ТЕМА 4.  МНОГОМЕРНАЯ ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ.

            4.1.  Метрические векторные пространства.

4.2. Линейные операторы в евклидовом пространстве.

ТЕМА 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ.

5.1. Гладкие и регулярные кривые.                                                                                            

5.2. Касательная к кривой, нормальная плоскость.                                                                       

5.3. Длина кривой. Кривизна и кручение кривой.                                                                          

 5.4. Гладкие и регулярные поверхности.                                                                                     

5.5. Касательная плоскость к поверхности, нормаль.                                                                   

5.6. Первая квадратичная форма поверхности.

ТЕМА 6.    ЭЛЕМЕНТЫ ТОПОЛОГИИ.

6.1.      Понятие топологического пространства. Открытые множества. Примеры топологических пространств.

            6.2. Замкнутые множества. Операции над замкнутыми множествами.

 

6.3. Окрестность точки. Критерий открытого множества.

 

6.4. Предельная точка множества. Критерий замкнутого множества.

 

6.5. Подпространство. Индуцированная топология.  

 

6.6. Метрические пространства.

 

6.7. Метрическая топология.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.      БАЛЛЬНО-РЕЙТИНГОВАЯ СИСТЕМА ОЦЕНКИ УСПЕВАЕМОСТИ СТУДЕНТОВ

Методика формирования результирующей оценки опирается на Положение о балльно-рейтинговой системе оценки успеваемости студентов. Контроль текущей работы студентов в семестре осуществляется по результатам выполнения ими в течение семестра трех контрольных работ и текущей аттестации.

Выполнение каждой письменной контрольной работы оценивается от 0 до 12 баллов. Выполнение студентом заданий на каждом практическом занятии оценивается от 0 до 2 баллов. 

Рейтинговая оценка работы студента в каждом семестре равна сумме баллов за 3 контрольные работы и практические занятия, и может достичь 72 баллов. Студент, набравший в результате текущего семестрового контроля менее 20 баллов, к экзамену  не допускается; ему выставляется итоговая пятибалльная оценка "неудовлетворительно".

Экзамен  по дисциплине проводится в письменном виде. Экзаменационный билет содержит 5 пунктов, содержащих как теоретические вопросы, так и задачи. Ответ студента на каждый пункт билета оценивается от 0 до 8 баллов.

Итоговая рейтинговая оценка знаний студента равна сумме баллов, полученных в течение семестра за выполнение контрольных работ и заданий, и до 40 баллов, полученных за письменную экзаменационную работу в конце семестра (но не более 100 баллов).

Итоговая пятибалльная оценка по дисциплине определяется в соответствии со следующей схемой: если количество баллов не меньше 91, то выставляется оценка "отлично", иначе, если количество баллов не меньше 71, то выставляется оценка "хорошо", иначе, если количество баллов не меньше 60, то выставляется оценка "удовлетворительно".

В  семестре студенты сдают экзамен.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

77