Bodrenko.com
Bodrenko.org

Учебные дисциплины на сайте Bodrenko.org
Портабельные Windows-приложения на сайте Bodrenko.com
"Геометрические методы математической физики" Компьютерные науки Математика и информатика Векторный и тензорный анализ Теория игр Аналитическая геометрия и линейная алгебра Римановы многообразия Элементы вариационного исцисления Дифференциальная геометрия и топология "Геометрия подмногообразий" Дополнительные главы дифференциальной геометрии "Диффиренциальные уравнения на многообразиях" "Дифференциальная геометрия и топология кривых" Bodrenko.com Bodrenko.org

Bodrenko.org

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУ ВПО «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

Кафедра ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ИНФОРМАТИКИ И ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

                 Бодренко Андрей Иванович, кандидат физико-математических наук, доцент  

 

 

 

 

 

Учебно-методический комплекс по дисциплине

 

                                      Аналитическая геометрия и линейная алгебра

                                                                  (название)   

 

 

Специальность: 010700 Физика, 010800 Радиофизика и электроника, 010708 Биохимическая физика

 

Утверждено

Рекомендовано

Ученым советом факультета

Протокол №_

«____»_____________ 200_г.

кафедрой  ______________________

Протокол №_

«____»____________ 200_г.

Декан факультета__________

Яцышен  В.В.      

Зав. кафедрой____________________

Воронин А.А.

 

 

 

 

 

 

 

Волгоград 2009 г.

 

 

 

Автор-составитель:

Ф.и.о., ученая степень, ученое звание, должность

Бодренко Андрей Иванович, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры ФИОУ

Учебно-методический комплекс__ Аналитическая геометрия и линейная алгебра

                                              

составлен в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальности 010700 Физика, 010800 Радиофизика и электроника, 010708 Биохимическая Физика.

Дисциплина входит в федеральный компонент цикла  математических и естественнонаучных дисциплин и  является обязательной для изучения.

 

__________________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 СОДЕРЖАНИЕ

 

Стр.

1.     Рабочая программа учебной дисциплины

4

2.     Методические рекомендации по изучению дисциплины для студентов

2.1.         Советы по планированию и организации времени, необходимого на изучение дисциплины.

2.2.         Описание последовательности действий студента по изучению дисциплины.

2.3.         Рекомендации по использованию материалов учебно-методического комплекса и по работе     с литературой.

2.4.         Советы по подготовке к экзамену и разъяснения по поводу работы с тестовой системой курса, по выполнению домашних заданий.

14            

 

16

 

 

17

 

 

 

17

 

 

18

3.     Учебно-методические материалы (УММ)

3.1.         Лекции

3.2.         Практические занятия: план проведения занятий; списки типовых задач по каждой теме, рекомендуемые сборники задач по каждой теме.

3.3.         Методические указания для преподавателей, ведущих практические занятия.

4.     Словарь терминов

5.     Формы текущего, промежуточного, рубежного и итогового контроля:

5.1.         Контрольные вопросы по каждой теме.

5.2.         Варианты контрольных работ, тесты.

19

19

 

 

20

 

22

22

 

27

27

30

6.     Балльно-рейтинговая система оценки успеваемости студентов по дисциплине

50

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рабочая программа учебной дисциплины

I. Аннотация.
Рабочая программа составлена на основании государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по курсу "Аналитическая геометрия и линейная алгебра" и учебного плана по специальности "Физика"  ВолГУ.

Преподавание курса "Аналитическая геометрия и линейная алгебра" имеет целью формирование у студентов правильных представлений об основных понятиях аналитической геометрии и линейной алгебры, введение в аналитические методы исследования основных геометрических элементов и фигур, применение методов векторной и линейной алгебры в геометрических задачах. Подготовка к восприятию многомерных векторных и евклидовых пространств.

Студент должен знать следующие понятия и свойства: понятие вектора, операции сложения векторов и умножения вектора на число, понятие линейной зависимости векторов и ее геометрический смысл, определение координат вектора, определение и свойства скалярного произведения векторов, векторного и смешанного произведения векторов, понятия прямой линии и плоскости, системы координат, переход от одной системы координат к другой, уравнение прямой линии на плоскости и плоскости в пространстве, взаимное расположение прямых на плоскости и плоскостей в пространстве, уравнение прямой в пространстве. Линии второго порядка, приведение уравнений линий второго порядка к каноническому виду, директориальное свойство эллипса, гиперболы и параболы. Поверхности второго порядка, эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды, цилиндры, конические сечения, прямолинейные образующие. Матрица. Определитель. Свойства определителя. Разложение определителя по строке или столбцу. Вычисление определителя. Обратная матрица. Ранг матрицы. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Однородная и неоднородная системы. Метод Гаусса решения общей системы линейных уравнений. Критерий совместности. Теорема Кронекера --- Капелли. Линейное пространство. Координаты вектора. Подпространства линейного пространства. Преобразование координат. Изоморфизм линейных пространств. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Сопряженный оператор. Самосопряженный оператор. Приведение матрицы самосопряженного оператора к диагональному виду. Билинейные функции и квадратичные формы в евклидовом пространстве.

Студент должен понимать основные определения аналитической геометрии и линейной алгебры: вектор, линейная зависимость, скалярное, векторное и смешанное произведение, прямая линия и плоскость в пространстве, линии второго порядка, поверхности второго порядка, матрица, определитель, обратная матрица, ранг матрицы, метод Гаусса решения общей системы линейных уравнений, линейные операторы, матрица линейного оператора, собственные значения и собственные векторы линейного оператора, билинейные функции и квадратичные формы в евклидовом пространстве. Уметь доказывать основные теоремы курса.



Понятия аналитической геометрии и линейной алгебры , алгебраические и аналитические методы исследования непосредственно и опосредованно проникли во многие разделы естествознания, пронизывают все фундаментальные общематематические курсы, являясь базисом, без привлечения которого немыслимо изложение любого физического курса. Методы аналитической геометрии и линейной алгебры имеют универсальное значение.


Методика формирования результирующей оценки:
Выполнение каждой письменной контрольной работы оценивается от 0 до 12 баллов.
Выполнение студентом заданий на каждом практическом занятии оценивается от 0 до 4 баллов.
Рейтинговая оценка работы студента в семестре равна сумме баллов за 3 контрольные работы и практические занятия, и может достичь 72 баллов. Студент, набравший в результате текущего семестрового контроля менее 20 баллов, к экзамену не допускается; ему выставляется итоговая пятибалльная оценка "неудовлетворительно".
Экзамен по дисциплине проводится в письменном виде. Экзаменационный билет содержит 5 пунктов, содержащих как теоретические вопросы, так и задачи. Ответ студента на каждый пункт билета оценивается от 0 до 8 баллов.
Итоговая рейтинговая оценка знаний студента равна сумме баллов, полученных в течение семестра за выполнение контрольных работ, и до 40 баллов, полученных за письменную экзаменационную работу в конце семестра (но не более 100 баллов).
Итоговая пятибалльная оценка по дисциплине определяется в соответствии со следующей схемой: если количество баллов не меньше 91, то выставляется оценка "отлично", иначе, если количество баллов не меньше 71, то выставляется оценка "хорошо", иначе, если количество баллов не меньше 60, то выставляется оценка "удовлетворительно".

В первом семестре студенты сдают экзамен, во втором семестре студенты сдают экзамен.

II. CОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ.


1. Объем дисциплины и виды учебной работы.

N п/п

Вид учебной работы

Всего часов

1.

Аудиторные занятия (всего)

144

1.1

Лекции

72

1.2.

Практические занятия

72

2.

Самостоятельная работа (всего)

42

3.

Общая трудоемкость дисциплины

186

4.

Вид итогового контроля

Экзамен



2. Тематический план дисциплины.

Номер темы

Тематика лекций и практических занятий

Лекции(часов)

Практ. занятия (часов)

1.

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.

10

10

2.

МЕТОД КООРДИНАТ.

2

2

3.

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ.

6

6

4.

ПЛОСКОСТЬ.

6

6

5.

ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.

6

6

6.

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

10

10

7.

ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

4

4

8.

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.

8

8

9.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

6

6

10.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.

16

16

 

Всего часов

72

72



3. Содержание лекций и практических занятий.

3.1. Содержание лекций.

Номер темы

Название темы, наименование вопросов, изучаемых на лекциях

Кол - во часов

Практи- ческие работы

Методи- ческие указания

Форма контроля

1

2

3

4

5

6

1.

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.

10

10

V.3 - 5

К.р., экз.

1.1.

Направленные отрезки. Вектор.

1

1.1

 

 

1.2.

Сложение векторов. Вычитание векторов. Умножение вектора на число.

1

1.1

 

 

1.3.

Угол между двумя векторами. Проекция вектора на ось.

1

1.1

 

 

1.4.

Скалярное умножение двух векторов. Векторное умножение двух векторов.

1

1.2

 

 

1.5.

Смешанное умножение трех векторов.

1

1.3

 

 

1.6.

Координаты вектора и точки на прямой. Координаты вектора и точки на плоскости.

1

1.1

 

 

1.7.

Координаты вектора и точки в пространстве.

1

1.1

 

 

1.8.

Действия над векторами, заданными прямоугольными координатами.

1

1.1

 

 

1.9.

Двойное векторное умножение трех векторов.

1

1.3

 

 

1.10.

Скалярные и векторные величины в естествознании и математике.

1

1.3

 

 

2.

МЕТОД КООРДИНАТ.

4

2

V.3 - 5

К.р., экз.

2.1.

Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Полярно-сферические и полярно-цилиндрические системы координат.

2

2.1

 

 

2.2.

Плоская линия и ее уравнение. Поверхность и ее уравнение. Уравнения линии в пространстве. Поверхность вращения.

1

 

 

 

2.3.

Преобразования координат. Сжатие плоскости и пространства.

1

 

 

 

3.

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ.

4

6

V.3 - 5

К.р., экз.

3.1.

Прямая линия как линия первого порядка. Геометрический смысл знака трехчлена Ax+By+C . Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

1

3.1

 

 

3.2.

Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение прямой в отрезках. Нормальное уравнение прямой.

1

3.1

 

 

3.3.

Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

1

3.1

 

 

3.4.

Взаимное расположение двух прямых. Расстояние от точки до прямой. Пучок прямых.

1

3.2

Кр.

 

4.

ПЛОСКОСТЬ.

6

6

V.3 - 5

К.р., экз.

4.1.

Общее уравнение плоскости. Исследование общего уравнения плоскости.

2

4.1

 

 

4.2.

Геометрический смысл знака выражения Ax+By+Cz+D . Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.

2

4.1

 

 

4.3.

Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Взаимное расположение трех плоскостей. Пучок плоскостей.

2

4.2

 

 

5.

ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.

6

6

V.3 - 5

К.р., экз.

5.1.

Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Задание прямой двумя общими уравнениями.

2

5.1

 

 

5.2.

Углы между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой в пространстве.

2

5.2

 

 

5.3.

Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

2

5.3

 

 

6.

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

10

10

V.3 - 5

К.р., экз.

6.1.

Каноническое уравнение эллипса. Свойства.

2

6.1

 

 

6.2.

Каноническое уравнение гиперболы. Свойства.

2

6.2

 

 

6.3.

Каноническое уравнение параболы. Свойства.

2

6.3

 

 

6.4.

Общее уравнение линий второго порядка. Центр линии второго порядка.

1

 

 

 

6.5.

Исследование общего уравнения линий второго порядка, имеющих единственный центр.

1

 

 

 

6.6.

Исследование общего уравнения линий второго порядка, не имеющих центра.

1

 

 

 

6.7.

Исследование общего уравнения линий второго порядка, имеющих бесконечное множество центров.

1

 

 

 

7.

ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

4

4

V.3 - 5

К.р., экз.

7.1.

Сфера и ее простейшее уравнение. Цилиндрические поверхности. Конические поверхности.

1

7.1

 

 

7.2.

Эллипсоид вращения. Эллипсоид и его простейшее уравнение.

1

7.1

 

 

7.3.

Гиперболоиды вращения. Однополостный гиперболоид и его простейшее уравнение. Двуполостный гиперболоид и его простейшее уравнение.

1

7.1

 

 

7.4.

Параболоид вращения. Эллиптический параболоид и его простейшее уравнение. Гиперболический параболоид и его простейшее уравнение.

1

7.1

 

 

8.

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.

8

8

V. 3-5

Экз., к.р.

8.1.

Матрица.Операции над матрицами, свойства. Умножение матриц, свойства.

2

8.1

 

 

8.2.

Определитель. Свойства определителя. Транспозиции, теорема о транспозиции. Перестановки, свойства. Подстановки, свойства. Вычисление определителя по правилу "треугольников". Вычисление определителя с помощью элементарных преобразований над строками и столбцами.

2

8.1

 

 

8.3.

Миноры, свойства. Алгебраические дополнения, свойства. Формула выражения алгебраического дополнения через минор. Свойства определителя. Разложение определителя по строке или столбцу. Вычисление определителя.

2

8.1

 

 

8.4.

Обратная матрица, свойства. Ранг матрицы, свойства. Теорема о ранге матрицы.

2

8.1

 

 

9.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

5

5

V. 3-5

Экз., к.р.

9.1.

Система n линейных уравнений с n неизвестными. Однородная и неоднородная системы. Решение по правилу Крамера. Решение с помощью обратной матрицы.

2

9.1

 

 

9.2.

Метод Гаусса решения общей системы линейных уравнений (СЛУ). Критерий совместности. Теорема Кронекера --- Капелли. Фундаментальные решения однородной СЛУ, свойства. Решения неоднородной СЛУ и однородной СЛУ, свойства.

3

9.1

 

 

10.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.

15

15

V.3-5

Экз., к.р.

10.1.

Линейное пространство. Координаты вектора. Подпространства линейного пространства. Сумма и пересечение подпространств, прямая сумма подпространств, свойства. Теорема о размерности прямой суммы подпространств. Линейная оболочка, теорема о размерности линейной оболочки системы векторов.

2

10.1

 

 

10.2.

Преобразование координат вектора при переходе к другому базису. Изоморфизм линейных пространств, необходимое и достаточное условие изоморфизма конечномерных линейных пространств.

2

 

 

 

10.3.

Линейные операторы, свойства, примеры. Обратный линейный оператор. Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.

2

10.2

 

 

10.4.

Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Вычисление собственных значений, характеристическое уравнение. Теорема о линейной независимости системы собственных векторов, соответствующих попарно различным собственным значениям. Теорема о базисе линейного пространства, состоящего из собственных векторов. Собственное подпространство.

2

10.3

 

 

10.5.

Евклидово пространство, примеры. Скалярное произведение, свойства. Построение ортонормированного базиса. Изоморфизм евклидовых пространств, необходимое и достаточное условие изоморфизма конечномерных евклидовых пространств.

2

 

 

 

10.6.

Сопряженный оператор, теорема о существовании сопряженного оператора. Самосопряженный оператор. Теорема о приведении матрицы самосопряженного оператора к диагональному виду.

3

10.4

 

 

10.7.

Билинейные функции и квадратичные формы в евклидовом пространстве, свойства.

2

10.5

 

 


Примечание: программа первого семестра соответствует 1.-7. темам.


3.2. Содержание практических занятий.

Номер

 

Объем,

практи- ческой

Наименование практической работы

час

работы

 

 

1

2

3

1.

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.

10

1.1.

Линейные операции над векторами.

2

1.2.

Скалярное умножение двух векторов. Векторное умножение двух векторов.

4

1.3.

Смешанное умножение трех векторов.

4

2.

МЕТОД КООРДИНАТ.

2

2.1.

Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Полярно-сферические и полярно-цилиндрические системы координат.

2

3.

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ.

6

3.1.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение прямой в отрезках. Нормальное уравнение прямой.

2

3.2.

Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Взаимное расположение двух прямых. Расстояние от точки до прямой.

4

4.

ПЛОСКОСТЬ.

6

4.1.

Общее уравнение плоскости. Исследование общего уравнения плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.

4

4.2.

Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Взаимное расположение трех плоскостей. Пучок плоскостей.

2

5.

ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.

6

5.1.

Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Задание прямой двумя общими уравнениями.

2

5.2.

Углы между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой в пространстве.

2

5.3.

Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

2

6.

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

10

6.1.

Каноническое уравнение эллипса. Свойства.

4

6.2.

Каноническое уравнение гиперболы. Свойства.

4

6.3.

Каноническое уравнение параболы. Свойства.

2

7.

ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

4

7.1.

Сфера и ее простейшее уравнение. Цилиндрические поверхности. Конические поверхности. Эллипсоид вращения. Эллипсоид и его простейшее уравнение. Гиперболоиды вращения. Однополостный гиперболоид и его простейшее уравнение. Двуполостный гиперболоид и его простейшее уравнение. Параболоид вращения. Эллиптический параболоид и его простейшее уравнение. Гиперболический параболоид и его простейшее уравнение.

2

8.

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.

8

8.1.

Матрица. Определитель. Свойства определителя. Разложение определителя по строке или столбцу. Вычисление определителя. Обратная матрица. Ранг матрицы.

8

9.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

6

9.1.

Метод Гаусса решения общей системы линейных уравнений. Правило Крамера. Критерий совместности. Теорема Кронекера --- Капелли.

6

10.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.

16

10.1.

Линейное пространство. Координаты вектора. Подпространства линейного пространства.

2

10.2.

Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.

4

10.3.

Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.

4

10.4.

Сопряженный оператор. Самосопряженный оператор. Приведение матрицы самосопряженного оператора к диагональному виду.

2

10.5.

Билинейные функции и квадратичные формы в евклидовом пространстве.

4


Примечание: программа первого семестра соответствует 1.-7. темам.


III. Программа экзамена.


1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.
1.1. Вектор.
1.2. Сложение векторов. Вычитание векторов. Умножение вектора на число.
1.3. Угол между двумя векторами. Проекция вектора на ось.
1.4. Скалярное умножение двух векторов, свойства. Векторное умножение двух векторов, свойства.
1.5. Смешанное умножение трех векторов, свойства.
1.6. Координаты вектора и точки на плоскости.
1.7. Координаты вектора и точки в пространстве.
1.8. Действия над векторами, заданными координатами.
2. МЕТОД КООРДИНАТ.
2.1. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Полярно-сферические и полярно-цилиндрические системы координат.
2.2. Плоская линия и ее уравнение. Поверхность и ее уравнение. Уравнения линии в пространстве. Поверхность вращения.
2.3. Преобразования координат. Сжатие плоскости и пространства.
3. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ.
3.1. Прямая линия как линия первого порядка. Геометрический смысл знака трехчлена Ax+By+C. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
3.2. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение прямой в отрезках. Нормальное уравнение прямой.
3.3. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
3.4. Взаимное расположение двух прямых. Расстояние от точки до прямой.
4. ПЛОСКОСТЬ.
4.1. Общее уравнение плоскости. Исследование общего уравнения плоскости.
4.2. Геометрический смысл знака выражения Ax+By+Cz+D. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.
4.3. Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
5. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.
5.1. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Задание прямой двумя общими уравнениями плоскостей.
5.2. Углы между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой в пространстве.
5.3. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
6. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
6.1. Каноническое уравнение эллипса. Свойства.
6.2. Каноническое уравнение гиперболы. Свойства.
6.3. Каноническое уравнение параболы. Свойства.
6.4. Общее уравнение линий второго порядка. Центр линии второго порядка.
6.5. Исследование общего уравнения линий второго порядка, имеющих единственный центр.
6.6. Исследование общего уравнения линий второго порядка, не имеющих центра.
6.7. Исследование общего уравнения линий второго порядка, имеющих бесконечное множество центров.
7. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
7.1. Сфера и ее простейшее уравнение. Цилиндрические поверхности, свойства. Конические поверхности, свойства.
7.2. Эллипсоид вращения, свойства. Эллипсоид и его простейшее уравнение.
7.3. Гиперболоиды вращения, свойства. Однополостный гиперболоид и его простейшее уравнение. Двуполостный гиперболоид и его простейшее уравнение.
7.4. Параболоид вращения, свойства. Эллиптический параболоид и его простейшее уравнение. Гиперболический параболоид и его простейшее уравнение.

8. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.
8.1. Матрица. Операции над матрицами, свойства. Умножение матриц, свойства.
8.2. Определитель. Транспозиции, теорема о транспозиции. Перестановки, свойства. Подстановки, свойства. Вычисление определителя по правилу "треугольников". Вычисление определителя с помощью элементарных преобразований над строками и столбцами. Миноры, свойства. Алгебраические дополнения, свойства. Формула выражения алгебраического дополнения через минор. Свойства определителя.
8.3. Разложение определителя по строке или столбцу. Вычисление определителя.
8.4. Обратная матрица, свойства. Ранг матрицы, свойства.
9. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
9.1. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Однородная и неоднородная системы линейных уравнений. Решение по правилу Крамера. Решение с помощью обратной матрицы.
9.2. Метод Гаусса решения общей системы линейных уравнений. Критерий совместности. Теорема Кронекера --- Капелли.
10. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.
10.1. Линейное пространство. Координаты вектора. Подпространства линейного пространства.
10.2. Преобразование координат. Изоморфизм линейных пространств.
10.3. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
10.4. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
10.5. Евклидово пространство.
10.6. Сопряженный оператор. Самосопряженный оператор. Приведение матрицы самосопряженного оператора к диагональному виду.
10.7. Билинейные функции и квадратичные формы в евклидовом пространстве.
Примечание: программа экзамена первого семестра соответствует 1.-7. темам программы.

IV. Учебно-методическое обеспечение.
Лекции и практические занятия в основном рассчитаны на применение учебных пособий [1-2], методических рекомендаций [1-3], и электронных методических рекомендаций [1].
Наш вариант изложения дисциплины имеет своей целью удобство ее приложений в других дисциплинах курса обучения. Другие варианты изложения и дополнительные результаты могут быть получены студентами из книг, приведенных в списке литературы.
В лекциях обсуждаются решения всех задач, включаемых в контрольные работы и экзаменационные билеты.

 

 

 

 

 

В течение семестра на практических занятиях проводится 3 контрольные работы. Расчетная продолжительность каждой контрольной работы не превышает 2 часа. Задания для контрольных работ (без разбиения на варианты) содержатся в электронных методических указаниях [1] и также доступны студентам без ограничений.

V. ЛИТЕРАТУРА.

V.1. ЛИТЕРАТУРА.

1. Моденов М.П., Пархоменко П.С. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1976, 332 с.
2. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1987, 254 с.
3. Александров П.С. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1967, 588 с.
4. Постников М.М. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1987.
5. Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Изд-во МГУ, 1990, 328 с.

V.2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ.



1. Бодренко И.И. "Аналитическая геометрия. Сборник задач. Ч.1". 1998 г. 36 с.
2. Фонд контрольных заданий по курсу "Аналитическая геометрия и линейная алгебра". (Электронные методические указания. Составитель -- Бодренко А.И.)
3. Программа экзамена по курсу "Аналитическая геометрия и линейная алгебра". (Электронные методические указания. Составитель -- Бодренко А.И.)




Программа учебной дисциплины утверждена сроком на 4 года на заседании кафедры фундаментальной информатики и оптимального управления                                                  29 августа 2008 г., протокол N 1.

Заведующий кафедрой ______________________ А.А. Воронин

2. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ ДЛЯ СТУДЕНТОВ

            Дисциплина “Аналитическая геометрия и линейная алгебра” состоит из двух частей. Аналитическая геометрия является одним из разделов геометрии. Основные понятия аналитической геометрии – точки, прямые, плоскости, линии и поверхности второго порядка. В аналитической геометрии основными средствами исследования простейших геометрических образов служат метод координат и методы элементарной алгебры. Методы аналитической геометрии широко применяются в различных разделах математики, механики, физики и других науках.

            Пусть на плоскости с данной декартовой прямоугольной системой координат OXY задана некоторая линия L. С помощью понятия координат точек на плоскости вводится понятие уравнения линии L как соотношения F (x, y) = 0, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты каждой точки, не лежащей на этой линии.

            В аналитической геометрии на плоскости систематически изучаются свойства алгебраических линий первого и второго порядков. Выясняется, что на плоскости алгебраическими линиями первого порядка, т.е. линиями, определенными уравнениями вида Ax+By+C = 0,  являются прямые и только они. Линии второго порядка на плоскости определяются уравнениями вида Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F = 0. Основной метод исследования и классификации этих линий заключается в подборе такой декартовой прямоугольной системы координат, в которой уравнении данной линии имеет наиболее простой, т.е. канонический вид, и в последующем исследовании этого канонического уравнения. В аналитической геометрии на плоскости подробно изучаются геометрические свойства эллипса, гиперболы и параболы.

            В аналитической геометрии в пространстве исследуются алгебраические поверхности первого и второго порядков. Алгебраическими поверхностями первого порядка являются плоскости и только они. В аналитической геометрии в пространстве вводятся декартова прямоугольная система координат OXYZ.  Каждая плоскость определяется алгебраическим уравнением первой степени Ax+By+Cz+D = 0. Поверхности второго порядка определяются уравнениями вида Ax2+By2+Cz2+2Dxy+2Exz+2Fyz +2Gx+2Hy+2Mz+N = 0. Основной метод изучения и классификации этих поверхностей состоит в подборе такой декартовой прямоугольной системы координат, в которой уравнение поверхности имеет наиболее простой вид, и в дальнейшем исследовании этого канонического уравнения.

            В аналитической геометрии изучаются свойства аффинных преобразований. При аффинных преобразованиях плоскости каждая прямая переходит в прямую, пересекающиеся прямые аффинное преобразование переводит в пересекающиеся, параллельные – в параллельные. Аффинные преобразования пространства переводят плоскости в плоскости, прямые в прямые; при этом, пересекающиеся плоскости переходят в пересекающиеся, параллельные – в параллельные. Сохраняется взаимное расположение двух прямых в пространстве: параллельные прямые переходят в параллельные, пересекающиеся – в пересекающиеся, скрещивающиеся – в скрещивающиеся.  При аффинном преобразовании множество векторов плоскости (пространства) взаимно однозначно отображается на множество векторов плоскости (пространства) и это преобразование является линейным. 

            Основные понятия линейной алгебры: Матрица. Определитель. Свойства определителя. Разложение определителя по строке или столбцу. Вычисление определителя. Обратная матрица. Ранг матрицы. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Однородная и неоднородная системы. Метод Гаусса решения общей системы линейных уравнений. Критерий совместности. Теорема Кронекера --- Капелли. Линейное пространство. Координаты вектора. Подпространства линейного пространства. Преобразование координат. Изоморфизм линейных пространств. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Сопряженный оператор. Самосопряженный оператор. Приведение матрицы самосопряженного оператора к диагональному виду. Билинейные функции и квадратичные формы в евклидовом пространстве.

Студент должен понимать основные определения аналитической геометрии и линейной алгебры: вектор, линейная зависимость, скалярное, векторное и смешанное произведение, прямая линия и плоскость в пространстве, линии второго порядка, поверхности второго порядка, матрица, определитель, обратная матрица, ранг матрицы, метод Гаусса решения общей системы линейных уравнений, линейные операторы, матрица линейного оператора, собственные значения и собственные векторы линейного оператора, билинейные функции и квадратичные формы в евклидовом пространстве. Уметь доказывать основные теоремы курса.

Понятия аналитической геометрии и линейной алгебры , алгебраические и аналитические методы исследования непосредственно и опосредованно проникли во многие разделы естествознания, пронизывают все фундаментальные общематематические курсы, являясь базисом, без привлечения которого немыслимо изложение любого физического курса. Методы аналитической геометрии и линейной алгебры имеют универсальное значение.

           

2.1.  Советы по планированию и организации времени, необходимого для изучения дисциплины.

При изучении дисциплины «Аналитическая геометрия и линейная алгебра» необходимо работать с теоретическим материалом, излагаемым на лекциях, решать задачи на практических занятиях, систематически и последовательно на протяжении всего семестра.  Планирование и организация времени, необходимого для изучения дисциплины «Аналитическая геометрия и линейная алгебра», должны проводиться в соответствии с  установленными объемом и видами учебной работы.

 

Разъяснения по поводу работы с тестовой системой курса, по выполнению домашних заданий.

 

Лекции и практические занятия в основном рассчитаны на применение учебных пособий [1-2], методических рекомендаций [1-3], и электронных методических рекомендаций [1].
Наш вариант изложения дисциплины имеет своей целью удобство ее приложений в других дисциплинах курса обучения. Другие варианты изложения и дополнительные результаты могут быть получены студентами из книг, приведенных в списке литературы.
В лекциях обсуждаются решения всех задач, включаемых в контрольные работы и экзаменационные билеты.

В течение семестра на практических занятиях проводится 3 контрольные работы. Расчетная продолжительность каждой контрольной работы не превышает 2 часа. Задания для контрольных работ (без разбиения на варианты) содержатся в электронных методических указаниях [1] и также доступны студентам без ограничений.

 

 

 

 

2.2. Описание последовательности действия студента при  изучении дисциплины.

Изучение дисциплины «Аналитическая геометрия и линейная алгебра» проводится в соответствии со следующим тематическим планом.

            Тематический план изучения дисциплины «Аналитическая геометрия и линейная алгебра».

Номер темы

Тематика лекций и практических занятий

Лекции(часов)

Практ. занятия (часов)

1.

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.

10

10

2.

МЕТОД КООРДИНАТ.

2

2

3.

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ.

6

6

4.

ПЛОСКОСТЬ.

6

6

5.

ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.

6

6

6.

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

10

10

7.

ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

4

4

8.

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.

8

8

9.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

6

6

10.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.

16

16

 

Всего часов

72

72

 

После изучения теоретических вопросов по теме каждой лекции и решения задач  необходимо определить наиболее трудные для понимания вопросы и нерешенные задачи. В случае если ответы на вопросы не удается получить самостоятельно, целесообразно проконсультироваться с преподавателем.

 
2. 3.  Рекомендации по использованию материалов учебно-методического комплекса и по работе с литературой.

               Программа первого семестра по дисциплине «Аналитическая геометрия и линейная алгебра» соответствует 1, 2 темам, программа второго семестра – 3, 4, 5 темам. Лекции и практические занятия в основном рассчитаны на применение учебных пособий [1-6], методических рекомендаций [1-3], и электронных методических рекомендаций [1]. Наш вариант изложения дисциплины имеет своей целью удобство ее приложений в других дисциплинах курса обучения. Другие варианты изложения и дополнительные результаты могут быть получены студентами из книг, приведенных в списке литературы.  На лекциях обсуждаются решения всех задач, включаемых в контрольные работы и экзаменационные билеты.  В течение каждого семестра на занятиях проводятся 3 контрольные работы. Расчетная продолжительность каждой контрольной работы не превышает 2 часа. Задания для контрольных работ (без разбиения на варианты) содержатся в электронных методических указаниях [1] и также доступны студентам без ограничений.
               Материалы учебно-методического комплекса целесообразно использовать в течение всего периода изучения дисциплины. Изучение теоретических вопросов, излагаемых на лекциях, необходимо сопровождать изучением соответствующих разделов в предлагаемой литературе. Необходимый минимум теоретического материала и типовые задачи по изучаемым в дисциплине «Аналитическая геометрия и линейная алгебра» вопросам содержатся в следующих учебниках и сборниках задач. 

 

1. Моденов М.П., Пархоменко П.С. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1976, 332 с.
2. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1987, 254 с.
3. Александров П.С. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1967, 588 с.
4. Постников М.М. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1987.
5. Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Изд-во МГУ, 1990, 328 с.

При подготовке к контрольным работам и экзамену целесообразно также использовать  следующие  учебно-методические материалы.


1. Бодренко И.И. "Аналитическая геометрия. Сборник задач. Ч.1". 1998 г. 36 с.
2. Фонд контрольных заданий по курсу "Аналитическая геометрия и линейная алгебра". (Электронные методические указания. Составитель -- Бодренко А.И.)
3. Программа экзамена по курсу "Аналитическая геометрия и линейная алгебра". (Электронные методические указания. Составитель -- Бодренко А.И.)


2. 4.  Советы по подготовке к экзамену  и разъяснения по поводу работы с тестовой системой курса, по выполнению домашних заданий.

 

В течение каждого семестра на занятиях проводятся 3 контрольные работы. Расчетная продолжительность каждой контрольной работы не превышает 2 часа. Задания для контрольных работ (без разбиения на варианты) содержатся в электронных методических указаниях [1] и также доступны студентам без ограничений.
Выполнение каждой письменной контрольной работы оценивается от 0 до 12 баллов. Выполнение студентом заданий на каждом практическом занятии оценивается от 0 до 2 баллов.  Домашние задания следует выполнять в наиболее полном объеме и в срок.

            Рейтинговая оценка работы студента в семестре равна сумме баллов за 3 контрольные работы и практические занятия, и может достичь 72 баллов. Студент, набравший в результате текущего семестрового контроля менее 20 баллов, к экзамену  не допускается; ему выставляется итоговая пятибалльная оценка "неудовлетворительно".

Экзамен  по дисциплине проводится в письменном виде. Экзаменационный билет содержит 5 пунктов, содержащих как теоретические вопросы, так и задачи. Ответ студента на каждый пункт билета оценивается от 0 до 8 баллов.

Сложные разделы дисциплины должны быть тщательно проработаны и при необходимость вынесены на предэкзаменационную консультацию.

Итоговая рейтинговая оценка знаний студента равна сумме баллов, полученных в течение семестра за выполнение контрольных работ, и до 40 баллов, полученных за письменную экзаменационную работу в конце семестра (но не более 100 баллов).

Итоговая пятибалльная оценка по дисциплине определяется в соответствии со следующей схемой: если количество баллов не меньше 91, то выставляется оценка "отлично", иначе, если количество баллов не меньше 71, то выставляется оценка "хорошо", иначе, если количество баллов не меньше 60, то выставляется оценка "удовлетворительно".

В первом семестре студенты сдают экзамен, во втором семестре студенты сдают экзамен.
3. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ

3.1. ЛЕКЦИИ

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.
1.1. Вектор.
1.2. Сложение векторов. Вычитание векторов. Умножение вектора на число.
1.3. Угол между двумя векторами. Проекция вектора на ось.
1.4. Скалярное умножение двух векторов, свойства. Векторное умножение двух векторов, свойства.
1.5. Смешанное умножение трех векторов, свойства.
1.6. Координаты вектора и точки на плоскости.
1.7. Координаты вектора и точки в пространстве.
1.8. Действия над векторами, заданными координатами.
2. МЕТОД КООРДИНАТ.
2.1. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Полярно-сферические и полярно-цилиндрические системы координат.
2.2. Плоская линия и ее уравнение. Поверхность и ее уравнение. Уравнения линии в пространстве. Поверхность вращения.
2.3. Преобразования координат. Сжатие плоскости и пространства.
3. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ.
3.1. Прямая линия как линия первого порядка. Геометрический смысл знака трехчлена Ax+By+C. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
3.2. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение прямой в отрезках. Нормальное уравнение прямой.
3.3. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
3.4. Взаимное расположение двух прямых. Расстояние от точки до прямой.
4. ПЛОСКОСТЬ.
4.1. Общее уравнение плоскости. Исследование общего уравнения плоскости.
4.2. Геометрический смысл знака выражения Ax+By+Cz+D. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.
4.3. Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
5. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.
5.1. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Задание прямой двумя общими уравнениями плоскостей.
5.2. Углы между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой в пространстве.
5.3. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
6. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
6.1. Каноническое уравнение эллипса. Свойства.
6.2. Каноническое уравнение гиперболы. Свойства.
6.3. Каноническое уравнение параболы. Свойства.
6.4. Общее уравнение линий второго порядка. Центр линии второго порядка.
6.5. Исследование общего уравнения линий второго порядка, имеющих единственный центр.
6.6. Исследование общего уравнения линий второго порядка, не имеющих центра.
6.7. Исследование общего уравнения линий второго порядка, имеющих бесконечное множество центров.
7. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
7.1. Сфера и ее простейшее уравнение. Цилиндрические поверхности, свойства. Конические поверхности, свойства.
7.2. Эллипсоид вращения, свойства. Эллипсоид и его простейшее уравнение.
7.3. Гиперболоиды вращения, свойства. Однополостный гиперболоид и его простейшее уравнение. Двуполостный гиперболоид и его простейшее уравнение.
7.4. Параболоид вращения, свойства. Эллиптический параболоид и его простейшее уравнение. Гиперболический параболоид и его простейшее уравнение.

8. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.
8.1. Матрица. Операции над матрицами, свойства. Умножение матриц, свойства.
8.2. Определитель. Транспозиции, теорема о транспозиции. Перестановки, свойства. Подстановки, свойства. Вычисление определителя по правилу "треугольников". Вычисление определителя с помощью элементарных преобразований над строками и столбцами. Миноры, свойства. Алгебраические дополнения, свойства. Формула выражения алгебраического дополнения через минор. Свойства определителя.
8.3. Разложение определителя по строке или столбцу. Вычисление определителя.
8.4. Обратная матрица, свойства. Ранг матрицы, свойства.
9. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
9.1. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Однородная и неоднородная системы линейных уравнений. Решение по правилу Крамера. Решение с помощью обратной матрицы.
9.2. Метод Гаусса решения общей системы линейных уравнений. Критерий совместности. Теорема Кронекера --- Капелли.
10. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.
10.1. Линейное пространство. Координаты вектора. Подпространства линейного пространства.
10.2. Преобразование координат. Изоморфизм линейных пространств.
10.3. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
10.4. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
10.5. Евклидово пространство.
10.6. Сопряженный оператор. Самосопряженный оператор. Приведение матрицы самосопряженного оператора к диагональному виду.
10.7. Билинейные функции и квадратичные формы в евклидовом пространстве.

3. 2. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ



Номер

 

Объем,

практи- ческой

Наименование практической работы

час

работы

 

 

1

2

3

1.

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.

10

1.1.

Линейные операции над векторами.

2

1.2.

Скалярное умножение двух векторов. Векторное умножение двух векторов.

4

1.3.

Смешанное умножение трех векторов.

4

2.

МЕТОД КООРДИНАТ.

2

2.1.

Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Полярно-сферические и полярно-цилиндрические системы координат.

2

3.

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ.

6

3.1.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение прямой в отрезках. Нормальное уравнение прямой.

2

3.2.

Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Взаимное расположение двух прямых. Расстояние от точки до прямой.

4

4.

ПЛОСКОСТЬ.

6

4.1.

Общее уравнение плоскости. Исследование общего уравнения плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.

4

4.2.

Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Взаимное расположение трех плоскостей. Пучок плоскостей.

2

5.

ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.

6

5.1.

Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Задание прямой двумя общими уравнениями.

2

5.2.

Углы между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой в пространстве.

2

5.3.

Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

2

6.

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

10

6.1.

Каноническое уравнение эллипса. Свойства.

4

6.2.

Каноническое уравнение гиперболы. Свойства.

4

6.3.

Каноническое уравнение параболы. Свойства.

2

7.

ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

4

7.1.

Сфера и ее простейшее уравнение. Цилиндрические поверхности. Конические поверхности. Эллипсоид вращения. Эллипсоид и его простейшее уравнение. Гиперболоиды вращения. Однополостный гиперболоид и его простейшее уравнение. Двуполостный гиперболоид и его простейшее уравнение. Параболоид вращения. Эллиптический параболоид и его простейшее уравнение. Гиперболический параболоид и его простейшее уравнение.

2

8.

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.

8

8.1.

Матрица. Определитель. Свойства определителя. Разложение определителя по строке или столбцу. Вычисление определителя. Обратная матрица. Ранг матрицы.

8

9.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

6

9.1.

Метод Гаусса решения общей системы линейных уравнений. Правило Крамера. Критерий совместности. Теорема Кронекера --- Капелли.

6

10.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.

16

10.1.

Линейное пространство. Координаты вектора. Подпространства линейного пространства.

2

10.2.

Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.

4

10.3.

Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.

4

10.4.

Сопряженный оператор. Самосопряженный оператор. Приведение матрицы самосопряженного оператора к диагональному виду.

2

10.5.

Билинейные функции и квадратичные формы в евклидовом пространстве.

4

 

 

3.3. Методические указания для преподавателей, ведущих практические занятия.

           

            В соответствии с общими правилами необходимо проводить практические  занятия в строгом соответствии с планом, уделять должное внимание текущему контролю знаний студентов, контрольные работы проводить в запланированные сроки, представлять необходимую отчетность по модулям рабочей программы. Особое внимание уделять наиболее трудным для понимания вопросам, контролировать выполнение домашних заданий.

 

                                    4.  СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ

 

Аффинная система координат                    – см. [5], т. 1, с. 358

Аффинное пространство                             – см. [5], т. 1, с. 362

 

Базис                                                               – см. [5], т. 1, с. 633

ортонормированный                                                – см. [1], т. 1, с. 633

 

Вектор геометрический                               – см. [5], т. 1, с. 632

-         свободный                                         – см. [5], т. 1, с. 632

Векторное пространство                              – см. [5], т. 1, с. 633, с. 642

Векторы коллинеарные                               – см. [5], т. 1, с. 632

компланарные                                         – см. [5], т. 1, с. 632

, линейная комбинация                          – см. [5], т. 1, с. 633

линейно зависимые                                – см. [5], т. 1, с. 633

линейно независимые                            – см. [5], т. 1, с. 633

ортогональные                                        – см. [5], т. 1, с. 634

равные                                                      – см. [5], т. 1, с. 632

 

Гипербола                                                      – см. [5], т. 1, с. 987

Гиперболоид двуполостный                       – см. [5], т. 1, с. 1000

-         однополостный                                 – см. [5], т. 1, с. 1000

 

Движение                                                      – см. [5], т. 2, с. 20

Декартовы прямоугольные координаты    – см. [5], т. 1, с. 634

Диаметр                                                         – см. [5], т. 2, с. 127

 

Конические сечения                                     – см. [5], т. 2, с. 1034

Конус действительный                                – см. [5], т. 4, с. 344

-         мнимый                                              – см. [5], т. 4, с. 344

Координаты вектора                                    – см. [5], т. 1, с. 633

Косинусы направляющие                            – см. [5], т. 1, с. 634

 

Линейные операции над векторами           – см. [5], т. 1, с. 632

-         , сумма векторов                               – см. [5], т. 1, с. 632

-         , произведение вектора на число    – см. [5], т. 1, с. 633

Линия второго порядка                                – см. [5], т. 3, с. 387

-         , инварианты                                     – см. [5], т. 3, с. 388

-         нецентральная                                   – см. [5], т. 3, с. 388

-         центральная                                       – см. [5], т. 3, с. 388

 

Модуль вектора                                             – см. [5], т. 1, с. 632

 

Однородные координаты                            – см. [5], т. 3, с. 1180

 

Парабола                                                        – см. [5], т. 4, с. 191                          

Параболоид                                                   – см. [5], т. 4, с. 201

-         гиперболический                              – см. [5], т. 1, с. 992

-         эллиптический                                  – см. [5], т. 5 с. 993

Плоскость                                                      – см. [5], т. 4, с. 318

-         , нормальный вектор                        – см. [5], т. 4, с. 319

Поверхность второго порядка                     – см. [5], т. 4, с. 343

-         центральная                                       – см. [5], т. 4, с. 344

-         нецентральная                                   – см. [5], т. 4, с. 344

Преобразование аффинное                          – см. [5], т. 1, с. 361

-         линейное                                            – см. [5], т. 3, с. 350

-         ортогональное                                   – см. [5], т. 4, с. 87    

Проективная классификация

линий второго порядка                                – см. [5], т. 3, с. 389

Проективная плоскость                               – см. [5], т. 4, с. 664

Проективное пространство                         – см. [5], т. 4, с. 679  

Проективные координаты                           – см. [5], т. 4, с. 680  

Произведение векторное                             – см. [5], т. 1, с. 635, с. 642

-         двойное векторное                           – см. [5], т. 4, с. 635

-         скалярное векторов                          – см. [5], т. 1, с. 634

-         смешанное векторов                         – см. [5], т. 1, с. 635

Прямая                                                           – см. [5], т. 4, с. 722

-         , нормальный вектор                        – см. [5], т. 4, с. 722

Пучок прямых                                               – см. [5], т. 4, с. 771

-         плоскостей                                         – см. [5], т. 4, с. 771

 

Тройка векторов правая                               – см. [5], т. 1, с. 634

-         левая                                                   – см. [5], т. 1, с. 634

 

Угол между векторами                                 – см. [5], т. 1, с. 634

Уравнения линий второго порядка            – см. [5], т. 3, с. 387

-         поверхностей второго порядка       – см. [5], т. 4, с. 343   

 

Центр             линии                                                             – см. [5], т. 3, с. 388

Цилиндр                                                        – см. [5], т. 4, с. 344

-         гиперболический                              – см. [5], т. 1, с. 992

-         параболический                                – см. [5], т. 4, с. 195

-         эллиптический                                  – см. [5], т. 5, с. 993

 

Эллипс                                                           – см. [5], т. 5, с. 977

Эллипсоид                                                     – см. [5], т. 5, с. 978

-         мнимый                                              – см. [5], т. 5, с. 978

 

 

 

 

ЛИТЕРАТУРА

 

            [1] Постников М.М.  Лекции по геометрии. Семестр I. Аналитическая геометрия.: Учебн. пособие для вузов. 2-е издание.,  М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1986. - 416 с.           [2] Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1987, 254 с.

            [3] Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. Учебн. пособие.  М.: ФИЗМАТЛИТ. 2001. 496 с.

            [4] Бахвалов С.В., Моденов М.П., Пархоменко П.С. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. Лит. 1964.  440 с.

            [5] Математическая энциклопедия. Т. 1 – 5.  М. Издательство «Советская энциклопедия» 1977 – 1985. Т. 1 – 5.

 

 

 

Словарь терминов. Часть 2.                   

 

 Собственный вектор матрицы А   это   вектор такой, что:1); 2) существует такое , что, т.е. ,

Собственное число или собственное значение матрицы А   это   , соответствующее собственному вектору матрицы А, т.е. удовлетворяющее условию.

Коллинеарные вектора   это   вектора, лежащие на параллельных прямых (или на одной и той же прямой).

Собственное подпространство , отвечающее собственному значению   это   совокупность всех собственных векторов матрицы А, отвечающих данному собственному значению , т.е. множество решений системы .

Характеристический многочлен матрицы А   это   - многочлен n-ой степени от , равный . Характеристическое уравнение   это   уравнение =0 относительно неизвестной .

Корни характеристического уравнения   это   те значения , для которых, или .

Размерность собственного подпространства, отвечающего данному   это   число векторов в фундаментальной системе решений системы уравнений.

Скалярное произведение векторов и в пространстве   это   скалярная функция двух векторных аргументов, определенная по правилу, где , - компоненты векторов ,;i=1, 2,…,n.

Ортогональные векторы и   это   векторы, скалярное произведение которых равно нулю: .

Ортонормированный базис в пространстве   это   такой базис пространства , что .

Процесс ортогонализации линейно независимой системы векторов   это   построение такой ортогональной системы векторов , линейная оболочка которых совпадает с линейной оболочкой и ; ,k = 2, 3,…,m.

Определитель det A матрицы второго порядка А  это   - число, соответствующее матрице А и вычисляемое по правилу .

Ортогональная матрица   это   квадратная матрица порядка n, столбцы которой образуют ортонормированный базис в.

Симметричная матрица   это   квадратная матрица, элементы которой, симметричные относительно главной диагонали, равны, т.е. ; .

Квадратичная форма   это   скалярная функция векторного аргумента – многочлен второй степени от координат вектора , не содержащий первых и нулевых степеней координат, т.е. , причем, .

Матричная запись квадратичной формы   это   представление квадратичной формы в виде , где А симметричная матрица порядка n.

Симметричная матрица   это   квадратная матрица, элементы которой, симметричные относительно главной диагонали, равны .

Единичная матрица E   это   квадратная матрица, на главной диагонали которой стоят единицы, а остальные элементы равны нулю: .

Коэффициенты квадратичной формы   это   числа , равные элементам матрицы А, i=1, 2,…, n; j=1, 2,…,n.

Канонический вид квадратичной формы   это   представление квадратичной формы в виде суммы квадратов.

Ранг квадратичной формы   это   ранг матрицы квадратичной формы А; он равен числу ненулевых собственных значений матрицы А, или числу ненулевых коэффициентов в кононическом виде квадратичной формы.

Закон инерции   это   сохранение числа положительных, отрицательных и нулевых коэффициентов в каноническом виде, не зависимо, от способа приведения квадратичной формы к сумме квадратов.

Невырожденная квадратичная форма   это   квадратичная форма, матрица которой невырождена.

Положительно определенная квадратичная форма   это   такая квадратичная форма , что для всех имеем .

Неотрицательно определенная квадратичная форма   это   такая квадратичная форма, что для всех векторов .

Угловые миноры матрицы  это   миноры где .

Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичный формы   это   необходимое и достаточное условие положительной определенности формы, состоящее в том, что все угловые миноры матрицы А должны быть строго положительны.

Линейное пространство V   это   множество V элементов (векторов) произвольной природы, в котором определены операции сложения векторов и умножения на скаляр, подчиняющиеся определенным аксиомам.

Пространство   это   совокупность функций, непрерывных на отрезке (а, b) с обычными операциями сложения функций (поточечное) и умножением на число.

Матрица перехода от базиса к базису   это   квадратная матрица , порядка n, столбцами которой являются координаты нового базиса по старому : , .

Евклидово пространство Е   это   линейное пространство, в котором введено скалярное произведение , причем – скалярная функция двух векторных аргументов подчиняется законам: 1) ; 2) , для всякого x, и равенство возможно только в случае ; 3) , для любых векторов и любых чисел.

Линейный оператор А в линейном пространстве V   это   правило, по которому каждому вектору ставится в соответствие некоторый определенный вектор y, , причем , для всяких векторов x,y и чисел .

Образ вектора относительно преобразования А   это   вектор , полученный из вектора под действием оператора А.

Матрица А линейного оператора (преобразования) А в базисе   это   квадратная матрица, элементы которой определяются из соотношения , (j = 1, 2, …, n).

Подобные матрицы А и В   это   квадратные матрицы порядка n, для которых существует такая невырожденная матрица P, что,Оператор А*, сопряженный к оператору А   это   такой линейный оператор А*, для которого выполняется соотношение для любых .

Матрица В сопряженного оператора А* в ортонормированном базисе   это   матрица, транспонированная к матрице А, где А – матрица оператора А в ортонормированном базисе, т.е. .

Самосопряженный оператор   это   оператор А в евклидовом линейном пространстве, который совпадает со своим сопряженным, А=А*.

Матрица самосопряженного оператора   это   симметричная матрица в любом ортонормированном базисе, т.е. .

Ортонормированный собственный базис самосопряженного оператора   это   ортонормированный базис из собственных векторов симметричной матрицы самосопряженного оператора; такой базис всегда существует и в нем матрица оператора имеет диагональный вид.

 

  1. ФОРМЫ ТЕКУЩЕГО,  ПРОМЕЖУТОЧНОГО, РУБЕЖНОГО И ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ

 

5.1.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО КАЖДОЙ ТЕМЕ

 

 

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.
1.1. Вектор.
1.2. Сложение векторов. Вычитание векторов. Умножение вектора на число.
1.3. Угол между двумя векторами. Проекция вектора на ось.
1.4. Скалярное умножение двух векторов, свойства. Векторное умножение двух векторов, свойства.
1.5. Смешанное умножение трех векторов, свойства.
1.6. Координаты вектора и точки на плоскости.
1.7. Координаты вектора и точки в пространстве.
1.8. Действия над векторами, заданными координатами.
2. МЕТОД КООРДИНАТ.
2.1. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Полярно-сферические и полярно-цилиндрические системы координат.
2.2. Плоская линия и ее уравнение. Поверхность и ее уравнение. Уравнения линии в пространстве. Поверхность вращения.
2.3. Преобразования координат. Сжатие плоскости и пространства.
3. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ.
3.1. Прямая линия как линия первого порядка. Геометрический смысл знака трехчлена Ax+By+C. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
3.2. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение прямой в отрезках. Нормальное уравнение прямой.
3.3. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
3.4. Взаимное расположение двух прямых. Расстояние от точки до прямой.
4. ПЛОСКОСТЬ.
4.1. Общее уравнение плоскости. Исследование общего уравнения плоскости.
4.2. Геометрический смысл знака выражения Ax+By+Cz+D. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.
4.3. Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
5. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.
5.1. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Задание прямой двумя общими уравнениями плоскостей.
5.2. Углы между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой в пространстве.
5.3. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
6. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
6.1. Каноническое уравнение эллипса. Свойства.
6.2. Каноническое уравнение гиперболы. Свойства.
6.3. Каноническое уравнение параболы. Свойства.
6.4. Общее уравнение линий второго порядка. Центр линии второго порядка.
6.5. Исследование общего уравнения линий второго порядка, имеющих единственный центр.
6.6. Исследование общего уравнения линий второго порядка, не имеющих центра.
6.7. Исследование общего уравнения линий второго порядка, имеющих бесконечное множество центров.
7. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
7.1. Сфера и ее простейшее уравнение. Цилиндрические поверхности, свойства. Конические поверхности, свойства.
7.2. Эллипсоид вращения, свойства. Эллипсоид и его простейшее уравнение.
7.3. Гиперболоиды вращения, свойства. Однополостный гиперболоид и его простейшее уравнение. Двуполостный гиперболоид и его простейшее уравнение.
7.4. Параболоид вращения, свойства. Эллиптический параболоид и его простейшее уравнение. Гиперболический параболоид и его простейшее уравнение.

8. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.
8.1. Матрица. Операции над матрицами, свойства. Умножение матриц, свойства.
8.2. Определитель. Транспозиции, теорема о транспозиции. Перестановки, свойства. Подстановки, свойства. Вычисление определителя по правилу "треугольников". Вычисление определителя с помощью элементарных преобразований над строками и столбцами. Миноры, свойства. Алгебраические дополнения, свойства. Формула выражения алгебраического дополнения через минор. Свойства определителя.
8.3. Разложение определителя по строке или столбцу. Вычисление определителя.
8.4. Обратная матрица, свойства. Ранг матрицы, свойства.
9. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
9.1. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Однородная и неоднородная системы линейных уравнений. Решение по правилу Крамера. Решение с помощью обратной матрицы.
9.2. Метод Гаусса решения общей системы линейных уравнений. Критерий совместности. Теорема Кронекера --- Капелли.
10. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.
10.1. Линейное пространство. Координаты вектора. Подпространства линейного пространства.
10.2. Преобразование координат. Изоморфизм линейных пространств.
10.3. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
10.4. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
10.5. Евклидово пространство.
10.6. Сопряженный оператор. Самосопряженный оператор. Приведение матрицы самосопряженного оператора к диагональному виду.
10.7. Билинейные функции и квадратичные формы в евклидовом пространстве.

                                                                           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольные работы, тесты.

Формы текущего, промежуточного, рубежного и итогового контроля:

Варианты контрольных работ, тесты;

Часть 1.

  1. Вершины треугольника АВС имеют координаты А (1,1,1), В (2,2,0), С (2,3,3). Проекция  стороны  на  равна

  1. Все элементы матрицы 3-го порядка А увеличили в 3 раза, тогда определитель новой матрицы

увеличился в 27 раз

  1. Дано уравнение гиперболы  . Расстояние между вершинами гиперболы равно

6

  1. Дано уравнение кривой второго порядка  . Ее каноническое уравнение и тип кривой

 , гипербола

  1. Дано уравнение кривой второго порядка  . Ее каноническое уравнение и тип кривой

 , окружность

  1. Дано уравнение кривой второго порядка  . Ее каноническое уравнение и тип кривой

 , эллипс

  1. Дано уравнение кривой второго порядка  . Ее каноническое уравнение и тип кривой

 , окружность

  1. Через точку (0, 2, 1) проходит

прямая

  1. Через точку (1, 1, 2) проходит

прямая

  1. Через точку (1, 2, 4) проходит

прямая

  1. Через точку (1, 4, 3) проходит

прямая

  1. Через точку (-3, 1, 5) проходит

плоскость x + 3y + z - 5 = 0

 

 

 

Часть 2.

  1. Даны матрицы А и В: , Матрица при, равном:



  1. Даны матрицы А и В: , Матрицы А и В взаимно обратные при , равном:



  1. Даны матрицы Матрица АВВА равна:



  1. Даны матрицы Пусть С = АВ, тогда матрица равна:



  1. В системе уравнений  зависимыми (несвободными) переменными являются

  1. В системе уравнений  свободными (независимыми) можно считать переменные

  1. В системе уравнений  свободными переменными являются

  1. Определитель  равен

 –2

  1. Определитель  равен

 0

  1. Определитель  равен   –12
  2. Произведение  матрицы  на вектор  равно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  1. Балльно-рейтинговая система оценки успеваемости студентов по дисциплине

Методика формирования результирующей оценки:             
Выполнение каждой письменной контрольной работы оценивается от 0 до 12 баллов.
Выполнение студентом заданий на каждом практическом занятии оценивается от 0 до 4 баллов.
Рейтинговая оценка работы студента в семестре равна сумме баллов за 3 контрольные работы и практические занятия, и может достичь 72 баллов. Студент, набравший в результате текущего семестрового контроля менее 20 баллов, к экзамену не допускается; ему выставляется итоговая пятибалльная оценка "неудовлетворительно".
Экзамен по дисциплине проводится в письменном виде. Экзаменационный билет содержит 5 пунктов, содержащих как теоретические вопросы, так и задачи. Ответ студента на каждый пункт билета оценивается от 0 до 8 баллов.
Итоговая рейтинговая оценка знаний студента равна сумме баллов, полученных в течение семестра за выполнение контрольных работ, и до 40 баллов, полученных за письменную экзаменационную работу в конце семестра (но не более 100 баллов).
Итоговая пятибалльная оценка по дисциплине определяется в соответствии со следующей схемой: если количество баллов не меньше 91, то выставляется оценка "отлично", иначе, если количество баллов не меньше 71, то выставляется оценка "хорошо", иначе, если количество баллов не меньше 60, то выставляется оценка "удовлетворительно".

В первом семестре студенты сдают экзамен, во втором семестре студенты сдают экзамен.