Bodrenko.com
Bodrenko.org

Учебные дисциплины на сайте Bodrenko.org
Портабельные Windows-приложения на сайте Bodrenko.com
"Геометрические методы математической физики" Компьютерные науки Математика и информатика Векторный и тензорный анализ Теория игр Аналитическая геометрия и линейная алгебра Римановы многообразия Элементы вариационного исцисления Дифференциальная геометрия и топология "Геометрия подмногообразий" Дополнительные главы дифференциальной геометрии "Диффиренциальные уравнения на многообразиях" "Дифференциальная геометрия и топология кривых" Bodrenko.com Bodrenko.org

Bodrenko.org

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУ ВПО «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

Кафедра  фундаментальной информатики и оптимального управления

Бодренко И.И., к. ф. м.-н., доцент

 

 

 

 

 

Учебно-методический комплекс по дисциплине

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

                                                                                                                     

 

 

Специальность: 010100  Математика

 

 

Утверждено

Рекомендовано

Ученым советом факультета

Протокол №_

«____»_____________ 200_г.

кафедрой  ______________________

Протокол №_

«____»____________ 200_г.

Декан факультета__________

Лосев А.Г.      

Зав. кафедрой____________________

Воронин А.А.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Волгоград 2009 г.

 

 

Автор-составитель:

Бодренко И.И.,  к. ф. м.-н.,  доцент 

 

 

Учебно-методический комплекс по дисциплине «Аналитическая геометрия» 

составлен в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальности 010100  Математика

 

Дисциплина входит в федеральный компонент цикла  математических и естественнонаучных  дисциплин и является обязательной для изучения.

 

 

__________________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 


 

СОДЕРЖАНИЕ

 

Стр.

1.     Рабочая программа учебной дисциплины

4

2.     Методические рекомендации по изучению дисциплины для студентов

2.1.         Советы по планированию и организации времени, необходимого на изучение дисциплины.

2.2.         Описание последовательности действий студента по изучению дисциплины.

2.3.         Рекомендации по использованию материалов учебно-методического комплекса и по работе     с литературой.

2.4.         Советы по подготовке к экзамену и разъяснения по поводу работы с тестовой системой курса, по выполнению домашних заданий.

15             

 

 

 

16

 

16

 

 

17

 

 

18

3.     Учебно-методические материалы (УММ)

3.1.         Лекции

3.2.         Практические занятия: план проведения занятий; списки типовых задач по каждой теме, рекомендуемые сборники задач по каждой теме.

3.3.         Методические указания для преподавателей, ведущих практические занятия.

4.     Словарь терминов

5.     Формы текущего, промежуточного, рубежного и итогового контроля:

5.1.         Контрольные вопросы по каждой теме.

5.2.         Варианты контрольных работ, тесты.

19

19

22

 

 

 

25

25

 

27

27

30

6.     Балльно-рейтинговая система оценки успеваемости студентов по дисциплине

60

 

 

 

 

 

 

 

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

ГОУ ВПО "ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ"

ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ 

КАФЕДРА ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ИНФОРМАТИКИ И

ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ




 
    УТВЕРЖДЕНО                                                          УТВЕРЖДАЮ
   Ученым советом                                                    Декан факультета
     факультета
Протокол №        от                                                 _____________ А.Г. Лосев
"______ " ___________  2008 г.                              "______ " ___________  2008 г.
 
 




Программа учебной дисциплины
"АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"
по направлению подготовки бакалавров
"Математика".
Факультет математики и информационных технологий.




 
 
Составитель рабочей программы:
 
Доцент кафедры ФИОУ, к.ф.м.н., доцент   Бодренко И.И. _____________
 






Волгоград  2008 г.

I. Аннотация.


Рабочая программа составлена на основании государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по курсу "Аналитическая геометрия" и учебного плана по специальности "Математика" ВолГУ.

I.1. ЦЕЛЬ ПРЕПОДАВАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ.

Преподавание курса "Аналитическая геометрия" формирует у студентов правильные представления об основных понятиях аналитической геометрии, вводит в аналитические методы исследования основных геометрических элементов и фигур, знакомит с методами векторной и линейной алгебры при решении геометрических задач, готовит к восприятию многомерных векторных и евклидовых пространств.

I.2. ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ.

Студент должен знать следующие понятия: свободные векторы и операции над ними (сложение и умножение на число), линейная зависимость векторов и ее геометрический смысл, базисы и координаты, скалярное произведение векторов, переход от одного базиса к другому, определение ориентации, ориентированный объем параллелепипеда, векторное и смешанное произведения векторов, понятие прямой линии и плоскости, системы координат, переход от одной системы координат к другой, уравнение прямой линии на плоскости и плоскости в пространстве, взаимное расположение прямых на плоскости и плоскостей в пространстве, уравнение прямой в пространстве. Линии второго порядка, приведение уравнений линий второго порядка к каноническому виду, директориальное и оптическое свойства эллипса, гиперболы и параболы, пересечение линии второго порядка с прямой, касательные, асимптоты и сопряженные диаметры, главные направления и главные диаметры, оси симметрии. Аффинные преобразования, определение и свойства аффинных преобразований, определение и свойства изометрических преобразований,  классификация движений плоскости. Поверхности второго порядка:  эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды, цилиндры, конусы, конические сечения. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида. Проективная плоскость: пополненная плоскость и связка, однородные координаты, проективные системы координат, проективная классификация линий второго порядка.

Студент должен знать основные понятия и определения аналитической геометрии:  понятие вектора, линейной зависимости и линейной независимости векторов,  определение скалярного, векторного и смешанного произведений векторов, понятие  прямой линии и плоскости в пространстве, линии второго порядка, поверхности второго порядка; определение аффинных и изометрических преобразований, свойства аффинных преобразования плоскости и пространства; понятие проективного пространства, проективной плоскости, определение однородных и проективных координат. Уметь доказывать основные теоремы курса.

I.3. ВЗАИМОСВЯЗЬ УЧЕБНЫХ ДИСЦИПЛИН.

Понятия аналитической геометрии и аналитические методы исследования пронизывают все фундаментальные общематематические курсы, являясь базисом, без привлечения которого немыслимо изложение любого математического курса. Методы аналитической геометрии непосредственно и опосредованно проникли во многие разделы математического естествознания: математическую экономику, математическую экологию, и приобрели универсальное значение.

Методика формирования результирующей оценки:
Выполнение каждой письменной контрольной работы оценивается от 0 до 12 баллов.
Выполнение студентом заданий на каждом практическом занятии оценивается от 0 до 2 баллов.
Рейтинговая оценка работы студента в семестре равна сумме баллов за 3 контрольные работы и практические занятия, и может достичь 72 баллов. Студент, набравший в результате текущего семестрового контроля менее 20 баллов, к экзамену  не допускается; ему выставляется итоговая пятибалльная оценка "неудовлетворительно".
Экзамен  по дисциплине проводится в письменном виде. Экзаменационный билет содержит 5 пунктов, содержащих как теоретические вопросы, так и задачи. Ответ студента на каждый пункт билета оценивается от 0 до 8 баллов.
Итоговая рейтинговая оценка знаний студента равна сумме баллов, полученных в течение семестра за выполнение контрольных работ, и до 40 баллов, полученных за письменную экзаменационную работу в конце семестра (но не более 100 баллов).
Итоговая пятибалльная оценка по дисциплине определяется в соответствии со следующей схемой: если количество баллов не меньше 91, то выставляется оценка "отлично", иначе, если количество баллов не меньше 71, то выставляется оценка "хорошо", иначе, если количество баллов не меньше 60, то выставляется оценка "удовлетворительно".

В первом семестре студенты сдают экзамен, во втором семестре студенты сдают экзамен.

II. СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ.


1. Объем дисциплины и виды учебной работы.

N п/п

Вид учебной работы

Всего часов

1.

Аудиторные занятия (всего)

144

1.1

Лекции

72

1.2.

Практические занятия

72

2.

Самостоятельная работа (всего)

96

3.

Общая трудоемкость дисциплины

240

4.

Вид итогового контроля

Экзамен



2. Тематический план дисциплины.

Номер темы

Тематика лекций и практических занятий

Лекции(часов)

Практ. занятия (часов)

 

 

 

 

1.

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.

20

20

2.

ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ.

16

24

3.

ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ.

20

20

4.

ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.

8

6

5.

ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.

8

2

 

Всего часов

72

72



3. Содержание лекций и практических занятий.

3.1. Содержание лекций.

Номер темы

Название темы, наименование вопросов, изучаемых на лекциях

Кол - во часов

Лаб. работы

Метод. указания

Форма контроля

1

2

3

4

5

6

1.

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.

20

20

V.3 - 5

К.р., экз.

1.1.

Понятие вектора, линейные операции над векторами. Векторное пространство. Примеры.

2

1.1

 

 

1.2.

Линейная зависимость и независимость векторов, коллинеарность,  компланарность. Свойства линейной зависимости. Теорема о линейной зависимости.

2

1.2

 

 

1.3.

Базисы. Теорема о числе векторов в базисах конечномерного пространства. Размерность. Примеры.

2

 

 

 

1.4.

Координаты вектора, суммы векторов, произведения вектора на число. Однозначная определенность координат.

2

 

 

 

1.5.

Полярно-сферические и полярно-цилиндрические системы координат.

2

2.1

 

 

1.6.

Скалярное произведение векторов, свойства. Евклидово векторное пространство. Неравенство Коши-Буняковского.

2

1.3

 

 

1.7.

Понятие об ориентации пространства. Векторное произведение, свойства (геометрический смысл, признак коллинеарности векторов, антикоммутативность, линейность).

2

1.4

 

 

1.8.

Смешанное произведение. Ориентированный  объем параллелепипеда. Свойства.

2

 

 

 

1.9.

Скалярное произведение двух векторов и его выражение в прямоугольных координатах.

2

 

 

 

1.10.

Выражение векторного произведения через координаты сомножителей в ортонормированном базисе.

1

2.2

Кр.

 

1.11.

Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей.

1

 

 

 

2.

ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ.

16

24

V.3 -5

К.р., экз.

2.1.

Аффинное пространство. Аффинная система координат. Прямая в аффинном пространстве.

1

3.1

 

 

2.2.

Прямая на плоскости, различные виды ее уравнений, переход от одного вида уравнения к другому. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

2

3.2, 3.3

 

 

2.3.

Плоскость, различные виды ее уравнений: векторное параметрическое, координатные параметрические, общее уравнение, уравнение плоскости, проходящей через три неколлинеарные точки. Переход от одного вида уравнения к другому.

2

4.1

 

 

2.4.

Взаимное расположение двух плоскостей.

1

4.2

 

 

2.5.

Прямая в пространстве. Различные ее уравнения. Прямая как пересечение двух плоскостей, нахождение направляющего вектора и начальной точки.

2

4.5

 

 

2.6.

Взаимное расположение прямой и плоскости.

1

4.3

 

 

2.7.

Взаимное расположение двух прямых.

1

4.6

 

 

2.8.

Уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку, ей не принадлежащую; через две параллельные прямые; через две пересекающиеся прямые.

1

4.1

 

 

2.9.

Прямая на евклидовой плоскости. Нормальный вектор. Расстояние от точки до прямой на плоскости.

1

3.4

 

 

2.10.

Плоскость в евклидовом пространстве. Нормальный вектор плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между двумя параллельными плоскостями.

1

4.4

 

 

2.11.

Расстояние от точки до прямой в пространстве.

1

4.7

 

 

2.12.

Расстояние между двумя прямыми в пространстве. Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым.

2

4.7

 

 

3.

ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ

20

20

V. 3-5

Экз., к.р.

3.1.

Плоская линия и ее уравнение. Уравнения поверхностей и линий в пространстве. Вывод уравнения поверхности вращения. Алгебраические линии и поверхности.

1

 

 

 

3.2.

Каноническое уравнение эллипса. Свойства.

2

5.1

 

 

3.3.

Каноническое уравнение гиперболы. Свойства.

2

5.1

 

 

3.4.

Каноническое уравнение параболы. Свойства.

1

5.1

 

 

3.5.

Взаимное расположение прямой и линии второго порядка. Асимптотические направления.

2

5.3

 

 

3.6.

Центр симметрии линий второго порядка.

2

5.3

 

 

3.7.

Типы кривых, определяемых уравнением второй степени с двумя неизвестными (приведение к каноническому виду).

2

5.3

 

 

3.8.

Диаметры. Взаимно сопряженные направления.

2

5.2

 

 

3.9.

Поверхности вращения второго порядка. Цилиндрические поверхности второго порядка.

1

 

 

 

3.10.

Сжатие пространства к плоскости. Канонические уравнения поверхностей второго порядка.

1

 

 

 

3.11.

Эллипсоиды и их плоские сечения. Однополостный и двуполостный гиперболоиды и их плоские сечения. Эллиптический и гиперболический параболоиды и их плоские сечения.

2

5.4

 

 

3.12.

Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида.

2

5.4

 

 

4.

ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.

8

6

V. 3-5

Э.

4.1.

Переход от одной системы координат к другой. Ортогональные матрицы как матрицы перехода от одной прямоугольной системы координат к другой прямоугольной системе координат.

2

 

 

 

4.2.

Преобразование плоскости. Примеры. Линейные отображения плоскостей, свойства.

2

6.1, 6.2

 

 

4.3.

Аффинные преобразования, свойства.

2

6.1

 

 

4.4.

Изометрии (движения или ортогональные преобразования). Собственные и несобственные движения.

2

6.2

 

 

5.

ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

8

2

V. 3-5

Э.

5.1.

Центральная проекция. Бесконечно удаленные элементы евклидова пространства. Проективное пространство.

2

 

 

 

5.2.

Интерпретация проективной прямой и проективной плоскости в связке прямых. Однородные координаты точки на проективной прямой и проективной плоскости.

2

7.1

 

 

5.3.

Проективные системы координат. Проективно-аффинные преобразования.

2

7.1

 

 

5.4.

Проективная классификация линий второго порядка.

2

 

 

 


Примечание: программа первого семестра соответствует 1, 2 темам.

3.2. Содержание практических занятий.

Номер

 

Объем,

практи-

Наименование практической работы

час

ческой работы

 

 

1

2

3

1.

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.

16

1.1.

Понятие вектора, линейные операции над векторами.

2

 

Задачи: 1-22 [1], 748-779 [2]

 

1.2.

Линейная зависимость векторов, базис, координаты вектора.

2

 

Задачи: 23-44 [1], 780-794 [2]

 

1.3.

Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

2

 

Задачи: 131-154 [1], 795-838 [2]

 

1.4.

Ориентация пространства. Векторное и смешанное произведение.

2

 

Задачи: 175-212 [1], 839-878 [2].

 

2.

МЕТОД КООРДИНАТ

4

2.1.

Преобразование координат. Полярные координаты.

2

 

Задачи: 114-130 [1], 26-43, 127-145 [2].

 

2.2.

Деление отрезка в данном отношении. Площадь треугольника.

2

 

Задачи: 80-113 [1], 86-126 [2].

 

3.

ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ.

8

3.1.

Общее уравнение прямой, уравнение прямой c угловым коэффициентом. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых.

2

 

Задачи: 363-380 [1], 210-248 [2].

 

3.2.

Угол между двумя прямыми. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

2

 

Задачи: 381-395, 416-449 [1], 253-284 [2].

 

3.3.

Неполные уравнения прямой. Уравнение прямой "в отрезках".

2

 

Задачи: 285-308 [2].

 

3.4.

Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.

2

 

Задачи: 450-477 [1], 309-352 [2].

 

4.

ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.

16

4.1.

Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор.

2

 

Задачи: 491-523 [1], 913-939 [2].

 

4.2.

Неполные уравнения плоскостей, уравнение плоскости "в отрезках".

2

 

Задачи: 940-955 [2].

 

4.3.

Перпендикулярность прямых и плоскостей, угол между прямой и плоскостью.

4

 

Задачи: 524-544, 567-602 [1]

 

4.4.

Нормальное уравнение плоскости, расстояние от точки до плоскости.

2

 

Задачи: 603-609 [1], 956-981 [2].

 

4.5.

Прямая как линия пересечения двух плоскостей.

2

 

Задачи: 982-1006 [2].

 

4.6.

Канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. Взаимное расположение двух прямых в пространстве, угол между прямыми.

2

 

Задачи:1007-1028 [2].

 

4.7.

Расстояние от точки до прямой, между двумя прямыми в пространстве.

2

 

Задачи: 1029-1031, 1062-1064, 1083 [2].

 

5.

ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

20

5.1.

Геометрические свойства эллипса, гиперболы и параболы.

6

 

Задачи: 444-514, 515-582, 583-625 [2].

 

5.2.

Диаметры линий второго порядка.

2

 

Задачи: 643-664 [2].

 

5.3.

Упрощение уравнений линий второго порядка.

8

 

Задачи: 665-700 [2].

 

5.4.

Поверхности второго порядка.

4

 

Задачи: 1172-1203 [2].

 

6.

ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

6

6.1.

Свойства аффинных преобразований

4

 

Задачи: 814-859 [3].

 

6.2.

Свойства изометрических преобразований.

2

 

Задачи: 803-813 [3].

 

7.

ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ

2

7.1.

Проективная прямая и проективная плоскость.

2

 

Задачи: 912-1041 [3].

 


Примечание: программа первого семестра соответствует 1 – 4 темам.



III. Программа экзамена.

1.    ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.
1.1.  Понятие вектора, линейные операции над векторами. Векторное
пространство. Примеры.
1.2.  Линейная зависимость и независимость векторов, коллинеарность,
       компланарность. Свойства линейной зависимости. Теорема о линейной
       зависимости.
1.3.  Базисы. Теорема о числе векторов в базисах конечномерного
       пространства. Размерность. Примеры.
1.4.  Координаты вектора, суммы векторов, произведения вектора на число.
       Однозначная определенность координат.
1.5.  Полярно-сферические и полярно-цилиндрические системы координат.
1.6.  Скалярное произведение векторов, свойства. Евклидово векторное
       пространство. Неравенство Коши-Буняковского.
1.7.  Понятие об ориентации пространства. Векторное произведение, свойства
       (геометрический смысл, признак  коллинеарности векторов),
       антикоммутативность,  линейность).
1.8. Смешанное произведение. Ориентированный объем  параллелепипеда.
       Свойства.
1.9.  Скалярное произведение двух векторов и его выражение в прямоугольных
       координатах.
1.10. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей в
       ортонормированном базисе.
1.11. Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей.
 
2.    ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ.
2.1.  Аффинное пространство. Аффинная система координат. Прямая в аффинном
       пространстве.
2.2.  Прямая на плоскости, различные виды ее уравнений, переход от одного
       к другому. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
2.3.  Плоскость, различные виды ее уравнений: векторное параметрическое,
       координатные параметрические, общее уравнение, уравнение плоскости,
       проходящей через три неколлинеарные точки. Переход от одного уравнения
       к другому.
2.4.  Взаимное расположение двух плоскостей.
2.5.  Прямая в пространстве. Различные ее уравнения. Прямая как линия пересечения
двух плоскостей, нахождение направляющего вектора и начальной точки.
2.6.  Взаимное расположение прямой и плоскости.
2.7.  Взаимное расположение двух прямых.
2.8.  Уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку, ей не
       принадлежащую; через две параллельные прямые;
       через две пересекающиеся прямые.
2.9.  Прямая на евклидовой плоскости. Нормальный вектор. Расстояние от точки
       до прямой на плоскости.
2.10. Плоскость в евклидовом пространстве .Нормальный вектор плоскости.
       Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между двумя параллельными
       плоскостями.
2.11. Расстояние от точки до прямой в пространстве.
2.12. Расстояние между двумя прямыми в пространстве. Общий перпендикуляр
       к двум скрещивающимся прямым.
 
3.    ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ.
3.1.  Плоская линия и ее уравнение. Уравнения поверхностей и линий в
       пространстве. Вывод уравнения поверхности вращения.
       Алгебраические линии и поверхности.
3.2.  Каноническое уравнение эллипса. Свойства.
3.3.  Каноническое уравнение гиперболы. Свойства.
3.4.  Каноническое уравнение параболы. Свойства.
3.5.  Взаимное расположение прямой и линии второго порядка. Асимптотические
       направления.
3.6.  Центр симметрии линий второго порядка.
3.7.  Типы кривых, определяемых уравнением второй степени с двумя неизвестными
       (приведение к каноническому виду).
3.8. Диаметры. Взаимно сопряженные направления.
3.9. Поверхности вращения второго порядка. Цилиндрические поверхности
      второго порядка.
3.10. Сжатие пространства к плоскости. Канонические уравнения поверхностей
       второго порядка.
3.11. Эллипсоиды и их плоские сечения. Однополостный и двуполостный
       гиперболоиды и их плоские сечения. Эллиптический и гиперболический
       параболоиды и их плоские сечения.
3.12. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида и гиперболического
       параболоида.
 
4.    ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.
4.1.  Переход от одной системы координат к другой.
       Ортогональные матрицы как матрицы перехода от одной прямоугольной
       системы координат к другой прямоугольной системе координат.
4.2.  Преобразование плоскости. Примеры. Линейные отображения плоскостей,
       свойства.
4.3.  Аффинные преобразования, свойства.
4.4.  Изометрии (движения или ортогональные преобразования). Собственные и
       несобственные движения.
 
5.    ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.
5.1.  Центральная проекция. Бесконечно удаленные элементы
евклидова пространства. Проективное пространство.
5.2.  Интерпретация проективной прямой и проективной
плоскости  в связке прямых.
Однородные координаты точки на проективной прямой
и проективной плоскости.
5.3.  Проективные системы координат. Проективно-аффинные преобразования.
5.4. Проективная классификация линий второго порядка.


Примечание: программа экзамена первого семестра соответствует 1,2 темам.



IV. Учебно-методическое обеспечение.
Лекции и практические занятия в основном рассчитаны на применение учебных пособий [1-6], методических рекомендаций [1-3], и электронных методических рекомендаций [1].
               Наш вариант изложения дисциплины имеет своей целью удобство ее приложений в других дисциплинах курса обучения. Другие варианты изложения и дополнительные результаты могут быть получены студентами из книг, приведенных в списке литературы. На лекциях обсуждаются решения всех задач, включаемых в контрольные работы и экзаменационные билеты. В течение семестра на занятиях проводится 3 контрольные работы. Расчетная продолжительность каждой контрольной работы не превышает 2 часа. Задания для контрольных работ (без разбиения на варианты) содержатся в электронных методических указаниях [1] и также доступны студентам без ограничений.

V. ЛИТЕРАТУРА.
V.1. ЛИТЕРАТУРА.

1. Моденов М.П., Пархоменко П.С. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1978, 332 с.
2. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1987, 254 с.
3. Бахвалов С.В., Моденов М.П., Пархоменко П.С. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1964, 332 с.
4. Александров П.С. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1967, 588 с.
5. Постников М.М. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1987.
6. Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Изд-во МГУ, 1990, 328 с.

V.2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

1. Бодренко И.И. "Аналитическая геометрия. Сборник задач. Ч.1". 1998 г. 36 с.
2. Фонд контрольных заданий по курсу "Аналитическая геометрия". (Электронные методические указания. Составитель -- Бодренко И.И.)
3. Программа экзамена по курсу "Аналитическая геометрия". (Электронные методические указания. Составитель -- Бодренко И.И.)


 



Программа учебной дисциплины утверждена сроком на 4 года

на заседании кафедры  фундаментальной информатики и оптимального управления
                                      2008 г., протокол N 1. 

Заведующий кафедрой ______________________ А.А. Воронин


 

 

2. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ ДЛЯ СТУДЕНТОВ

            Аналитическая геометрия является одним из разделов геометрии. Основные понятия аналитической геометрии – точки, прямые, плоскости, линии и поверхности второго порядка. В аналитической геометрии основными средствами исследования простейших геометрических образов служат метод координат и методы элементарной алгебры. Методы аналитической геометрии широко применяются в различных разделах математики, механики, физики и других науках.

            Пусть на плоскости с данной декартовой прямоугольной системой координат OXY задана некоторая линия L. С помощью понятия координат точек на плоскости вводится понятие уравнения линии L как соотношения F (x, y) = 0, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты каждой точки, не лежащей на этой линии.

            В аналитической геометрии на плоскости систематически изучаются свойства алгебраических линий первого и второго порядков. Выясняется, что на плоскости алгебраическими линиями первого порядка, т.е. линиями, определенными уравнениями вида Ax+By+C = 0,  являются прямые и только они. Линии второго порядка на плоскости определяются уравнениями вида Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F = 0. Основной метод исследования и классификации этих линий заключается в подборе такой декартовой прямоугольной системы координат, в которой уравнении данной линии имеет наиболее простой, т.е. канонический вид, и в последующем исследовании этого канонического уравнения. В аналитической геометрии на плоскости подробно изучаются геометрические свойства эллипса, гиперболы и параболы.

            В аналитической геометрии в пространстве исследуются алгебраические поверхности первого и второго порядков. Алгебраическими поверхностями первого порядка являются плоскости и только они. В аналитической геометрии в пространстве вводятся декартова прямоугольная система координат OXYZ.  Каждая плоскость определяется алгебраическим уравнением первой степени Ax+By+Cz+D = 0. Поверхности второго порядка определяются уравнениями вида Ax2+By2+Cz2+2Dxy+2Exz+2Fyz +2Gx+2Hy+2Mz+N = 0. Основной метод изучения и классификации этих поверхностей состоит в подборе такой декартовой прямоугольной системы координат, в которой уравнение поверхности имеет наиболее простой вид, и в дальнейшем исследовании этого канонического уравнения.

            В аналитической геометрии изучаются свойства аффинных преобразований. При аффинных преобразованиях плоскости каждая прямая переходит в прямую, пересекающиеся прямые аффинное преобразование переводит в пересекающиеся, параллельные – в параллельные. Аффинные преобразования пространства переводят плоскости в плоскости, прямые в прямые; при этом, пересекающиеся плоскости переходят в пересекающиеся, параллельные – в параллельные. Сохраняется взаимное расположение двух прямых в пространстве: параллельные прямые переходят в параллельные, пересекающиеся – в пересекающиеся, скрещивающиеся – в скрещивающиеся.  При аффинном преобразовании множество векторов плоскости (пространства) взаимно однозначно отображается на множество векторов плоскости (пространства) и это преобразование является линейным. 

            Понятия аналитической геометрии и аналитические методы исследования пронизывают все фундаментальные общематематические курсы, являясь базисом, без привлечения которого немыслимо изложение любого математического курса. Методы аналитической геометрии непосредственно и опосредованно проникли во многие разделы математического естествознания: математическую экономику, математическую экологию, и приобрели универсальное значение.
           

2.1.  Советы по планированию и организации времени, необходимого для изучения дисциплины.

При изучении дисциплины «Аналитическая геометрия» необходимо работать с теоретическим материалом, излагаемым на лекциях, решать задачи на практических занятиях, систематически и последовательно на протяжении всего семестра.  Планирование и организация времени, необходимого для изучения дисциплины «Аналитическая геометрия», должны проводиться в соответствии со следующими установленными объемом и видами учебной работы.

Объем дисциплины и виды учебной работы.

N п/п

Вид учебной работы

Всего часов

1.

Аудиторные занятия (всего)

144

1.1

Лекции

72

1.2.

Практические занятия

72

2.

Самостоятельная работа (всего)

96

3.

Общая трудоемкость дисциплины

240

4.

Вид итогового контроля

Экзамен

 

2.2. Описание последовательности действия студента при  изучении дисциплины.

Изучение дисциплины «Аналитическая геометрия» проводится в соответствии со следующим тематическим планом.

            Тематический план изучения дисциплины «Аналитическая геометрия».

Номер темы

Тематика лекций и практических занятий

Лекции (часов)

Практические  занятия (часов)

 

 

 

 

1.

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.

20

20

2.

ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ.

16

24

3.

ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ.

20

20

4.

ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.

8

6

5.

ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.

8

2

 

Всего часов

72

72

            После изучения теоретических вопросов по теме каждой лекции и решения задач  необходимо определить наиболее трудные для понимания вопросы и нерешенные задачи. В случае если ответы на вопросы не удается получить самостоятельно, целесообразно проконсультироваться с преподавателем.

 
2. 3.  Рекомендации по использованию материалов учебно-методического комплекса и по работе с литературой.

               Программа первого семестра по дисциплине «Аналитическая геометрия» соответствует 1, 2 темам, программа второго семестра – 3, 4, 5 темам. Лекции и практические занятия в основном рассчитаны на применение учебных пособий [1-6], методических рекомендаций [1-3], и электронных методических рекомендаций [1]. Наш вариант изложения дисциплины имеет своей целью удобство ее приложений в других дисциплинах курса обучения. Другие варианты изложения и дополнительные результаты могут быть получены студентами из книг, приведенных в списке литературы.  На лекциях обсуждаются решения всех задач, включаемых в контрольные работы и экзаменационные билеты.  В течение каждого семестра на занятиях проводятся 3 контрольные работы. Расчетная продолжительность каждой контрольной работы не превышает 2 часа. Задания для контрольных работ (без разбиения на варианты) содержатся в электронных методических указаниях [1] и также доступны студентам без ограничений.
               Материалы учебно-методического комплекса целесообразно использовать в течение всего периода изучения дисциплины. Изучение теоретических вопросов, излагаемых на лекциях, необходимо сопровождать изучением соответствующих разделов в предлагаемой литературе. Необходимый минимум теоретического материала и типовые задачи по изучаемым в дисциплине «Аналитическая геометрия» вопросам содержатся в следующих учебниках и сборниках задач. 

 

1. Моденов М.П., Пархоменко П.С. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1978, 332 с.
2. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1987, 254 с.
3. Бахвалов С.В., Моденов М.П., Пархоменко П.С. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1964, 332 с.
4. Александров П.С. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1967, 588 с.
5. Постников М.М. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1987.
6. Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Изд-во МГУ, 1990, 328 с.

 

               При подготовке к контрольным работам и экзамену целесообразно также использовать  следующие  учебно-методические материалы.

1. Бодренко И.И. "Аналитическая геометрия. Сборник задач. Ч.1". 1998 г. 36 с.
2. Фонд контрольных заданий по курсу "Аналитическая геометрия". (Электронные методические указания. Составитель -- Бодренко И.И.)
3. Программа экзамена по курсу "Аналитическая геометрия". (Электронные методические указания. Составитель -- Бодренко И.И.).

 

 


2. 4.  Советы по подготовке к экзамену  и разъяснения по поводу работы с тестовой системой курса, по выполнению домашних заданий.

 

В течение каждого семестра на занятиях проводятся 3 контрольные работы. Расчетная продолжительность каждой контрольной работы не превышает 2 часа. Задания для контрольных работ (без разбиения на варианты) содержатся в электронных методических указаниях [1] и также доступны студентам без ограничений.
Выполнение каждой письменной контрольной работы оценивается от 0 до 12 баллов. Выполнение студентом заданий на каждом практическом занятии оценивается от 0 до 2 баллов.  Домашние задания следует выполнять в наиболее полном объеме и в срок.

            Рейтинговая оценка работы студента в семестре равна сумме баллов за 3 контрольные работы и практические занятия, и может достичь 72 баллов. Студент, набравший в результате текущего семестрового контроля менее 20 баллов, к экзамену  не допускается; ему выставляется итоговая пятибалльная оценка "неудовлетворительно".

Экзамен  по дисциплине проводится в письменном виде. Экзаменационный билет содержит 5 пунктов, содержащих как теоретические вопросы, так и задачи. Ответ студента на каждый пункт билета оценивается от 0 до 8 баллов.

Сложные разделы дисциплины должны быть тщательно проработаны и при необходимость вынесены на предэкзаменационную консультацию.

Итоговая рейтинговая оценка знаний студента равна сумме баллов, полученных в течение семестра за выполнение контрольных работ, и до 40 баллов, полученных за письменную экзаменационную работу в конце семестра (но не более 100 баллов).

Итоговая пятибалльная оценка по дисциплине определяется в соответствии со следующей схемой: если количество баллов не меньше 91, то выставляется оценка "отлично", иначе, если количество баллов не меньше 71, то выставляется оценка "хорошо", иначе, если количество баллов не меньше 60, то выставляется оценка "удовлетворительно".

В первом семестре студенты сдают экзамен, во втором семестре студенты сдают экзамен.


 

 

           

 

 

 

 

 

 

3. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ

3.1. ЛЕКЦИИ

ТЕМА 1.  ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.

            Лекция 1. Векторы, свободный вектор. Линейные операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Векторное пространство. Примеры.

            Лекция 2. Линейная зависимость и независимость векторов. Геометрический смысл линейной зависимости: коллинеарные векторы, компланарные векторы. Свойства линейной зависимости. Теорема о линейной зависимости.

            Лекция 3. Базисы. Теорема о числе векторов в базисах конечномерного пространства. Размерность. Примеры.

            Лекция 4. Координаты вектора, однозначная определенность координат вектора в данном базисе.  Координаты суммы векторов и произведения вектора на число. 

            Лекция 5. Длина вектора и угол между векторами. Скалярное произведение векторов, свойства. Евклидово векторное пространство. Неравенство Коши-Буняковского. Ортогональные векторы. Ортонормированные базисы.

            Лекция 6. Понятие об ориентации пространства. Правые и левые тройки векторов. Векторное произведение векторов, свойства (геометрический смысл векторного произведения, признак коллинеарности векторов, антикоммутативность векторного произведения, линейность).

            Лекция 7. Смешанное произведение векторов. Ориентированный объем параллелепипеда. Свойства смешанного произведения векторов (геометрический смысл смешанного произведения, однородность, признак компланарности трех векторов, линейность смешанного произведения).

            Лекция 8. Декартовы прямоугольные координаты.  Выражение скалярного произведения векторов через координаты сомножителей в ортонормированном базисе. Вычисление длины вектора и угла между векторами.

            Лекция 9. Выражение векторного произведения векторов через координаты сомножителей в ортонормированном базисе. Выражение смешанного произведения векторов через координаты сомножителей в ортонормированном базисе.

            Лекция 10. Специальные системы координат в пространстве: полярно-сферическая и полярно-цилиндрическая системы координат.

ТЕМА 2. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ.

            Лекция 11. Аффинное пространство. Аффинная система координат. Прямая в аффинном пространстве, параметрические уравнения прямой. Прямая на плоскости, различные виды ее уравнений (каноническое уравнение прямой на плоскости, общее уравнение прямой на плоскости, уравнение прямой с угловым коэффициентом, уравнение прямой, проходящей через две точки, уравнение прямой «в отрезках»), переход от одного вида уравнения прямой к другому. Неполные уравнения прямой.

            Лекция 12. Прямая на евклидовой плоскости. Нормальный вектор прямой. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Расстояние между параллельными прямыми. Угол между прямыми. Условие перпендикулярности двух прямых. Разделение плоскости прямой.

            Лекция 13. Плоскость, различные виды ее уравнений(параметрические уравнения плоскости, общее уравнение плоскости, уравнение плоскости, проходящей через три неколлинеарные точки, уравнение плоскости «в отрезках»). Переход от одного вида уравнения плоскости к другому. Неполные уравнения плоскости.

            Лекция 14. Плоскость в евклидовом пространстве. Нормальный вектор плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между двумя параллельными плоскостями.

            Лекция 15. Прямая в пространстве. Различные виды ее уравнений (параметрические уравнения, канонические уравнения прямой в пространстве). Прямая как линия пересечения двух плоскостей, нахождение направляющего вектора прямой и начальной точки. Уравнения плоскости: проходящей через прямую и точку, ей не принадлежащую; через две параллельные прямые; через две пересекающиеся прямые.

            Лекция 16. Угол между плоскостями. Условие перпендикулярности двух плоскостей. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Условие перпендикулярности прямой и плоскости. 

            Лекция 17.  Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между прямыми в пространстве. Разделение пространства плоскостью.     

            Лекция 18. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Расстояние между двумя прямыми в пространстве. Уравнения общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых в пространстве.

ТЕМА 3. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ.

            Лекция 19. Плоская линия и ее уравнение. Уравнения поверхностей и линий в пространстве. Вывод уравнения поверхности вращения. Алгебраические линии и поверхности. Парабола. Каноническое уравнение параболы. Директориальное и оптическое свойства параболы.

            Лекция 20. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса. Фокальное, директориальное и оптическое свойства эллипса.

            Лекция 21. Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы. Фокальное, директориальное и оптическое свойства гиперболы.

            Лекция 22. Алгебраические линии второго порядка. Общее уравнение линии второго порядка. Линии второго порядка эллиптического, гиперболического и параболического типов. Примеры. Инварианты линии второго порядка. Взаимное расположение прямой и линии второго порядка. Прямые асимптотического направления. Асимптоты.  Прямые неасимптотического направления. Касательные.

            Лекция 23. Центр симметрии линий второго порядка.  Центральные и нецентральные линии второго порядка.

            Лекция 24. Особые и неособые направления. Свойства. Взаимно сопряженные направления. Самосопряженные направления. Диаметры линии второго порядка. Свойства.

            Лекция 25. Упрощение уравнения центральной линии второго порядка. Упрощение уравнения нецентральной линии второго порядка. Классификация линий второго порядка.

            Лекция 26. Поверхности вращения второго порядка. Сжатие пространства к плоскости. Эллипсоиды и их плоские сечения.  Однополостный и двуполостный гиперболоиды и их плоские сечения. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида.

            Лекция 27. Эллиптический и гиперболический параболоиды и их плоские сечения. Свойства прямолинейных образующих гиперболического параболоида.

            Лекция 28. Цилиндрические поверхности второго порядка. Конические поверхности второго порядка. Формулировка теоремы классификации поверхностей второго порядка.

ТЕМА 4. ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.

            Лекция 29. Переход от одной системы координат к другой. Ортогональные матрицы. Формулы преобразования координат векторов.

            Лекция 30. Линейные отображения плоскостей. Примеры. Выражение линейного отображения в координатах. Свойства линейных отображений плоскостей. 

            Лекция 31. Аффинные преобразования плоскости. Примеры. Свойства.

            Лекция 32. Ортогональные преобразования. Движения плоскости. Собственные и несобственные движения.

ТЕМА 5.  ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. 

            Лекция 33. Центральная проекция. Бесконечно удаленные элементы евклидова пространства. Проективное пространство.

            Лекция 34. Интерпретация проективной прямой и проективной плоскости в связке прямых. Однородные координаты точки на проективной прямой и проективной плоскости.

            Лекция 35. Проективные системы координат. Проективно-аффинные преобразования.

            Лекция 36. Проективная классификация линий второго порядка.

 

3. 2. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ


ТЕМА 1.  ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.

  1. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости. Преобразование координат. Полярные координаты. Задачи: № 26 – 85 [2].
  2. Деление отрезка в данном отношении. Площадь треугольника. Задачи № 86 – 126 [2].
  3. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве. Расстояние между точками. Деление отрезка в данном отношении. Задачи: № 719 – 747 [2].
  4. Векторы, свободный вектор. Линейные операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Задачи:  № 748 – 775 [2].
  5. Линейная зависимость и независимость векторов. Геометрический смысл линейной зависимости: коллинеарные векторы, компланарные векторы. Свойства линейной зависимости. Базисы. Задачи: № 776 – 794 [2].
  6.  Длина вектора и угол между векторами. Скалярное произведение векторов. Задачи: № 795 – 838 [2].
  7. Векторное произведение векторов.  Задачи: № 839 – 864 [2].
  8. Смешанное произведение векторов. Задачи: № 885 – 878 [2].

ТЕМА 2. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ.

  1. Прямая на плоскости, различные виды ее уравнений (каноническое уравнение прямой на плоскости, общее уравнение прямой на плоскости, уравнение прямой с угловым коэффициентом, уравнение прямой, проходящей через две точки, уравнение прямой «в отрезках»), переход от одного вида уравнения прямой к другому. Неполные уравнения прямой. Задачи: № 210 – 221, 285 – 308 [2].
  2. Прямая на евклидовой плоскости. Нормальный вектор прямой. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Угол между прямыми. Условие перпендикулярности двух прямых. Задачи: № 222 – 284 [2].
  3. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Расстояние между параллельными прямыми. Разделение плоскости прямой. Задачи: № 309 – 352 [2].
  4. Плоскость, различные виды ее уравнений (параметрические уравнения плоскости, общее уравнение плоскости, уравнение плоскости, проходящей через три неколлинеарные точки, уравнение плоскости «в отрезках»). Переход от одного вида уравнения плоскости к другому. Неполные уравнения плоскости. Задачи: № 940 – 952 [2].
  5. Плоскость в евклидовом пространстве. Нормальный вектор плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей.
  6. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между двумя параллельными плоскостями. Задачи: № 956 – 973 [2].
  7. Прямая в пространстве. Различные виды ее уравнений (параметрические уравнения, канонические уравнения прямой в пространстве). Прямая как линия пересечения двух плоскостей, нахождение направляющего вектора прямой и начальной точки. Уравнения плоскости: проходящей через прямую и точку, ей не принадлежащую; через две параллельные прямые; через две пересекающиеся прямые. Задачи: № 982 – 1006, 1007 - 1021 [2].
  8. Угол между плоскостями. Условие перпендикулярности двух плоскостей. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Условие перпендикулярности прямой и плоскости. Задачи: № 982 – 1006, 1007 - 1021 [2].
  9. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Разделение пространства плоскостью.             Задачи: № 974 – 981, 1026 – 1029, 1007 - 1021 [2].
  10. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Расстояние между двумя прямыми в пространстве. Уравнения общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых в пространстве. Задачи: № 1029 – 1031, 1062 – 1064, 1083 [2].

ТЕМА 3. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ.

  1. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса. Фокальное, директориальное и оптическое свойства эллипса. Задачи: № 444 – 503 [2].
  2.  Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы. Фокальное, директориальное и оптическое свойства гиперболы. Задачи: № 515 – 573 [2].
  3. Парабола. Каноническое уравнение параболы. Директориальное и оптическое свойства параболы. Задачи: № 583 – 627 [2].
  4. Центр симметрии линий второго порядка.  Центральные и нецентральные линии второго порядка. Задачи: № 665 – 669 [2].
  5. Взаимное расположение прямой и линии второго порядка. Прямые асимптотического направления. Асимптоты.  Прямые неасимптотического направления. Касательные. Задачи: № 670 – 672 [2].
  6. Особые и неособые направления. Свойства. Взаимно сопряженные направления. Самосопряженные направления. Диаметры линии второго порядка. Задачи: № 643 – 663 [2].
  7. Упрощение уравнения центральной линии второго порядка. Задачи: № 673 – 688 [2].
  8. Упрощение уравнения нецентральной линии второго порядка. Задачи: № 689 – 700 [2].
  9.  Эллипсоиды и их плоские сечения.  Однополостный и двуполостный гиперболоиды и их плоские сечения. Эллиптический и гиперболический параболоиды и их плоские сечения. Задачи: № 1154 – 1180 [2].
  10.  Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида. Свойства прямолинейных образующих гиперболического параболоида. Задачи: № 1181 – 1185 [2].
  11. Цилиндрические поверхности второго порядка. Конические поверхности второго порядка. Задачи: № 1186 – 1203 [2].

ТЕМА 4. ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.

  1. Линейные отображения плоскостей. Примеры. Выражение линейного отображения в координатах. Свойства линейных отображений плоскостей. Задачи: № 127 – 141 [2].
  2. Аффинные преобразования плоскости. Свойства. № 12.37 – 12.62 [3].
  3.  Ортогональные преобразования. Движения плоскости. Собственные и несобственные движения. № 12.63 – 12.89 [3].

ТЕМА 5.  ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. 

  1. Центральная проекция. Бесконечно удаленные элементы евклидова пространства. Проективное пространство. Задачи: № 1883 – 1886 [4].
  2.  Интерпретация проективной прямой и проективной плоскости в связке прямых. Однородные координаты точки на проективной прямой и проективной плоскости. Задачи: № 1887 – 1889 [4].
  3. Проективные системы координат. Проективно-аффинные преобразования. Задачи: № 1890 – 1894 [4].
  4. Проективная классификация линий второго порядка. Задачи: № 1885 – 1901 [4].

 

           

 

 

 

 

 

            3.3. Методические указания для преподавателей, ведущих практические занятия.

           

            В соответствии с общими правилами необходимо проводить практические  занятия в строгом соответствии с планом, уделять должное внимание текущему контролю знаний студентов, контрольные работы проводить в запланированные сроки, представлять необходимую отчетность по модулям рабочей программы. Особое внимание уделять наиболее трудным для понимания вопросам, контролировать выполнение домашних заданий.

 

                                    4.  СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ

 

Аффинная система координат                    – см. [5], т. 1, с. 358

Аффинное пространство                             – см. [5], т. 1, с. 362

 

Базис                                                               – см. [5], т. 1, с. 633

ортонормированный                                                – см. [1], т. 1, с. 633

 

Вектор геометрический                               – см. [5], т. 1, с. 632

-         свободный                                         – см. [5], т. 1, с. 632

Векторное пространство                              – см. [5], т. 1, с. 633, с. 642

Векторы коллинеарные                               – см. [5], т. 1, с. 632

компланарные                                         – см. [5], т. 1, с. 632

, линейная комбинация                          – см. [5], т. 1, с. 633

линейно зависимые                                – см. [5], т. 1, с. 633

линейно независимые                            – см. [5], т. 1, с. 633

ортогональные                                        – см. [5], т. 1, с. 634

равные                                                      – см. [5], т. 1, с. 632

 

Гипербола                                                      – см. [5], т. 1, с. 987

Гиперболоид двуполостный                       – см. [5], т. 1, с. 1000

-         однополостный                                 – см. [5], т. 1, с. 1000

 

Движение                                                      – см. [5], т. 2, с. 20

Декартовы прямоугольные координаты    – см. [5], т. 1, с. 634

Диаметр                                                         – см. [5], т. 2, с. 127

 

Конические сечения                                     – см. [5], т. 2, с. 1034

Конус действительный                                – см. [5], т. 4, с. 344

-         мнимый                                              – см. [5], т. 4, с. 344

Координаты вектора                                    – см. [5], т. 1, с. 633

Косинусы направляющие                            – см. [5], т. 1, с. 634

 

Линейные операции над векторами           – см. [5], т. 1, с. 632

-         , сумма векторов                               – см. [5], т. 1, с. 632

-         , произведение вектора на число    – см. [5], т. 1, с. 633

Линия второго порядка                                – см. [5], т. 3, с. 387

-         , инварианты                                     – см. [5], т. 3, с. 388

-         нецентральная                                   – см. [5], т. 3, с. 388

-         центральная                                       – см. [5], т. 3, с. 388

 

Модуль вектора                                             – см. [5], т. 1, с. 632

 

Однородные координаты                            – см. [5], т. 3, с. 1180

 

Парабола                                                        – см. [5], т. 4, с. 191                          

Параболоид                                                   – см. [5], т. 4, с. 201

-         гиперболический                              – см. [5], т. 1, с. 992

-         эллиптический                                  – см. [5], т. 5 с. 993

Плоскость                                                      – см. [5], т. 4, с. 318

-         , нормальный вектор                        – см. [5], т. 4, с. 319

Поверхность второго порядка                     – см. [5], т. 4, с. 343

-         центральная                                       – см. [5], т. 4, с. 344

-         нецентральная                                   – см. [5], т. 4, с. 344

Преобразование аффинное                          – см. [5], т. 1, с. 361

-         линейное                                            – см. [5], т. 3, с. 350

-         ортогональное                                   – см. [5], т. 4, с. 87    

Проективная классификация

линий второго порядка                                – см. [5], т. 3, с. 389

Проективная плоскость                               – см. [5], т. 4, с. 664

Проективное пространство                         – см. [5], т. 4, с. 679  

Проективные координаты                           – см. [5], т. 4, с. 680  

Произведение векторное                             – см. [5], т. 1, с. 635, с. 642

-         двойное векторное                           – см. [5], т. 4, с. 635

-         скалярное векторов                          – см. [5], т. 1, с. 634

-         смешанное векторов                         – см. [5], т. 1, с. 635

Прямая                                                           – см. [5], т. 4, с. 722

-         , нормальный вектор                        – см. [5], т. 4, с. 722

Пучок прямых                                               – см. [5], т. 4, с. 771

-         плоскостей                                         – см. [5], т. 4, с. 771

 

Тройка векторов правая                               – см. [5], т. 1, с. 634

-         левая                                                   – см. [5], т. 1, с. 634

 

Угол между векторами                                 – см. [5], т. 1, с. 634

Уравнения линий второго порядка            – см. [5], т. 3, с. 387

-         поверхностей второго порядка       – см. [5], т. 4, с. 343   

 

Центр             линии                                                             – см. [5], т. 3, с. 388

Цилиндр                                                        – см. [5], т. 4, с. 344

-         гиперболический                              – см. [5], т. 1, с. 992

-         параболический                                – см. [5], т. 4, с. 195

-         эллиптический                                  – см. [5], т. 5, с. 993

 

Эллипс                                                           – см. [5], т. 5, с. 977

Эллипсоид                                                     – см. [5], т. 5, с. 978

-         мнимый                                              – см. [5], т. 5, с. 978

 

 

 

 

ЛИТЕРАТУРА

 

            [1] Постников М.М.  Лекции по геометрии. Семестр I. Аналитическая геометрия.: Учебн. пособие для вузов. 2-е издание.,  М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1986. - 416 с.           [2] Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1987, 254 с.

            [3] Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. Учебн. пособие.  М.: ФИЗМАТЛИТ. 2001. 496 с.

            [4] Бахвалов С.В., Моденов М.П., Пархоменко П.С. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. Лит. 1964.  440 с.

            [5] Математическая энциклопедия. Т. 1 – 5.  М. Издательство «Советская энциклопедия» 1977 – 1985. Т. 1 – 5.

 

 

 

  1. ФОРМЫ ТЕКУЩЕГО,  ПРОМЕЖУТОЧНОГО, РУБЕЖНОГО И ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ

 

 

 

5.1.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО КАЖДОЙ ТЕМЕ

 

                                              ТЕМА 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.
 
               1.1.  Понятие вектора, линейные операции над векторами. Векторное пространство. Примеры.
               1.2.  Линейная зависимость и независимость векторов, коллинеарность,      компланарность. Свойства линейной зависимости. Теорема о линейной зависимости.
               1.3.  Базисы. Теорема о числе векторов в базисах конечномерного     пространства. Размерность. Примеры.
               1.4.  Координаты вектора, суммы векторов, произведения вектора на число Однозначная определенность координат.
               1.5.  Полярно-сферические и полярно-цилиндрические системы координат.
               1.6.  Скалярное произведение векторов, свойства. Евклидово векторное  пространство. Неравенство Коши-Буняковского.
               1.7.  Понятие об ориентации пространства. Векторное произведение, свойства. (геометрический смысл, признак  коллинеарности векторов, антикоммутативность,  линейность).
               1.8. Смешанное произведение. Ориентированный объем  параллелепипеда. Свойства.
               1.9.  Скалярное произведение двух векторов и его выражение в прямоугольных       координатах.
               1.10. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей в       ортонормированном базисе.
               1.11. Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей.
 
                                              ТЕМА 2.  ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ.
 
               2.1.  Аффинное пространство. Аффинная система координат. Прямая в аффинном пространстве.
               2.2.  Прямая на плоскости, различные виды ее уравнений, переход от одного       к другому. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
               2.3.  Плоскость, различные виды ее уравнений: векторное параметрическое;       координатные параметрические; общее уравнение плоскости; уравнение плоскости,  проходящей через три неколлинеарные точки. Переход от одного вида уравнения  к другому.
               2.4.  Взаимное расположение двух плоскостей.
               2.5.  Прямая в пространстве. Различные ее уравнения. Прямая как линия пересечения двух плоскостей, нахождение направляющего вектора и начальной точки.
               2.6.  Взаимное расположение прямой и плоскости.
               2.7.  Взаимное расположение двух прямых.
               2.8.  Уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку, ей не       принадлежащую; через две параллельные прямые; через две пересекающиеся прямые.
               2.9.  Прямая на евклидовой плоскости. Нормальный вектор. Расстояние от точки до прямой на плоскости.
               2.10. Плоскость в евклидовом пространстве .Нормальный вектор плоскости.       Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между двумя параллельными       плоскостями.
               2.11. Расстояние от точки до прямой в пространстве.
               2.12. Расстояние между двумя прямыми в пространстве. Общий перпендикуляр       к двум скрещивающимся прямым.
 
                                              ТЕМА 3. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ.
 
               3.1.  Плоская линия и ее уравнение. Уравнения поверхностей и линий в       пространстве. Вывод уравнения поверхности вращения. Алгебраические линии и поверхности.
               3.2.  Каноническое уравнение эллипса. Свойства.
               3.3.  Каноническое уравнение гиперболы. Свойства.
               3.4.  Каноническое уравнение параболы. Свойства.
               3.5.  Взаимное расположение прямой и линии второго порядка. Асимптотические  направления.
               3.6.  Центр симметрии линий второго порядка.
               3.7.  Типы кривых, определяемых уравнением второй степени с двумя неизвестными (приведение к каноническому виду).
               3.8. Особые и неособые направления. Диаметры. Взаимно сопряженные направления.
               3.9. Поверхности вращения второго порядка. Цилиндрические поверхности      второго порядка.
               3.10. Сжатие пространства к плоскости. Канонические уравнения поверхностей       второго порядка.
               3.11. Эллипсоиды и их плоские сечения. Однополостный и двуполостный   гиперболоиды и их плоские сечения. Эллиптический и гиперболический  параболоиды и их плоские сечения.
               3.12. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида.
 
                               ТЕМА 4. ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.
 
               4.1.  Переход от одной системы координат к другой. Ортогональные матрицы как матрицы перехода от одной прямоугольной  системы координат к другой прямоугольной системе координат.
               4.2.  Преобразование плоскости. Примеры. Линейные отображения плоскостей,       свойства.
               4.3.  Аффинные преобразования, свойства.
               4.4.  Изометрии (движения или ортогональные преобразования). Собственные и       несобственные движения.
 
                               ТЕМА 5. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.
 
               5.1.  Центральная проекция. Бесконечно удаленные элементы евклидова пространства. Проективное пространство.
               5.2.  Интерпретация проективной прямой и проективной плоскости  в связке прямых. Однородные координаты точки на проективной прямой и проективной плоскости.
               5.3.  Проективные системы координат. Проективно-аффинные преобразования.
               5.4. Проективная классификация линий второго порядка.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  1. БАЛЛЬНО-РЕЙТИНГОВАЯ СИСТЕМА ОЦЕНКИ УСПЕВАЕМОСТИ СТУДЕНТОВ



Методика формирования результирующей оценки опирается на Положение о балльно-рейтинговой системе оценки успеваемости студентов ВолГУ. Контроль текущей работы студентов в семестре осуществляется по результатам выполнения ими в течение семестра трех контрольных работ и текущей аттестации.

Выполнение каждой письменной контрольной работы оценивается от 0 до 12 баллов. Выполнение студентом заданий на каждом практическом занятии оценивается от 0 до 2 баллов. 

Рейтинговая оценка работы студента в каждом семестре равна сумме баллов за 3 контрольные работы и практические занятия, и может достичь 72 баллов. Студент, набравший в результате текущего семестрового контроля менее 20 баллов, к экзамену  не допускается; ему выставляется итоговая пятибалльная оценка "неудовлетворительно".

Экзамен  по дисциплине проводится в письменном виде. Экзаменационный билет содержит 5 пунктов, содержащих как теоретические вопросы, так и задачи. Ответ студента на каждый пункт билета оценивается от 0 до 8 баллов.

Итоговая рейтинговая оценка знаний студента равна сумме баллов, полученных в течение семестра за выполнение контрольных работ и заданий, и до 40 баллов, полученных за письменную экзаменационную работу в конце семестра (но не более 100 баллов).

Итоговая пятибалльная оценка по дисциплине определяется в соответствии со следующей схемой: если количество баллов не меньше 91, то выставляется оценка "отлично", иначе, если количество баллов не меньше 71, то выставляется оценка "хорошо", иначе, если количество баллов не меньше 60, то выставляется оценка "удовлетворительно".

В первом семестре студенты сдают экзамен, во втором семестре студенты сдают экзамен.