Bodrenko.com
Bodrenko.org

Учебные дисциплины на сайте Bodrenko.org
Портабельные Windows-приложения на сайте Bodrenko.com
"Геометрические методы математической физики" Компьютерные науки Математика и информатика Векторный и тензорный анализ Теория игр Аналитическая геометрия и линейная алгебра Римановы многообразия Элементы вариационного исцисления Дифференциальная геометрия и топология "Геометрия подмногообразий" Дополнительные главы дифференциальной геометрии "Диффиренциальные уравнения на многообразиях" "Дифференциальная геометрия и топология кривых" Bodrenko.com Bodrenko.org

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
дисциплины "ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ"



Факультет Математический
Специальность МОАИС
Курс 1
Семестр 2
Всего аудиторных занятий, час. 68
Лекции, час 34
Лабораторные занятия, час. 34
Практические занятия, час.
СРС, всего часов по учебному плану 72
ОргСРС, час. 40
Экзамен 1
Зачет 1
Контрольная работа 1








2011

Рабочая программа составлена на основании государственного стандарта высшего профессионального образования по курсу "Геометрия и топология" и учебного плана по специальности "МОАИС"



Составитель рабочей программы
к.ф.м.н., доц. И.И.Бодренко

I. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

I.1. ЦЕЛЬ ПРЕПОДАВАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ. Цель преподавания курса "Геометрия и топология" --- формирование у студентов правильных представлений об основных понятиях геометрии и топологии, введение в методы исследований кривых и поверхностей, подготовка к дальнейшему изучению разделов современной геометрии, введение в топологические методы исследования, теорию топологических пространств и дифференцируемых многообразий.

I.2. ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ.

Студент должен знать понятия кривой, кривизны и кручения, основную теорему теории кривых; понятия поверхности и ее характеристик, первой и второй квадратичных форм, гауссовой и средней кривизн; основные уравнения теории поверхностей; понятия топологического пространства, топологических свойств, топологической эквивалентности; понятия дифференцируемого многообразия, функции на многообразии, касательного пространства, касательного отображения, ранга отображения.

Студент должен понимать основные определения дифференциальной геометрии и топологии, разбираться в доказательствах основных теорем курса.

I.3. ВЗАИМОСВЯЗЬ УЧЕБНЫХ ДИСЦИПЛИН.

Понятия геометрии и топологии взаимосвязаны с фундаментальными общематематическими курсами: математическим анализом, механикой, курсом дифференциальных уравнений, функциональным анализом. При изложение курса "Геометрия и топология" используются понятия следующих дисциплин учебного плана по специальности "математика": математический анализ, алгебра, линейная алгебра и геометрия, аналитическая геометрия, дифференциальные уравнения. Методы дифференциальной геометрии и топологии проникли во многие разделы математического естествознания: математическую экономику, математическую экологию, и приобрели универсальное значение. II. CОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ "ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ"


Номер темы Название темы, наименование вопросов, изучаемых на лекциях Кол - во часов Лабора- торные работы Методи- ческие указания Форма контроля
1 2 3 4 5 6
1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ КРИВЫХ. 8 8 Ш.3, 4 К.р., зач.
1.1. Понятие кривой. Плоские кривые, задаваемые параметрически, пространственные кривые. Гладкие и регулярные кривые, касательная к кривой. 2 1.1
1.2. Длина дуги кривой, определение и основные свойства. 2 1.2
1.3. Соприкасающаяся плоскость, главная нормаль и бинормаль кривой. Трехгранник Френе. 2 1.3
1.4. Формулы Френе, кривизна и кручение кривой, вид кривой вблизи данной точки. 2 1.4
2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ. 9 9 Ш.3, 4 К.р., зач.
2.1. Понятие поверхности. Гладкие и регулярные поверхности, касательная плоскость к поверхности. 1 2.1
2.2. Первая квадратичная форма поверхности, длина кривой на поверхности, угол между кривыми на поверхности. 1 2.2
2.3. Вторая квадратичная форма, кривизна кривой на поверхности, главные кривизны, линии кривизны, теорема Родрига, формула Эйлера, асимптотические направления, асимптотические линии, средняя и гауссова кривизна. 5 2.3
2.4. Основные уравнения теории поверхностей. 2
Номер темы Название темы, наименование вопросов, изучаемых на лекциях Кол - во часов Лабора- торные работы Методи- ческие указания Форма контроля
1 2 3 4 5 6
3. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ. 11 9 Ш.3, 4 К.р., экз.
3.1. Топологические пространства. Операции над открытыми и замкнутыми множествами. Окрестности, предельные точки. Базы, предбазы. Первая и вторая аксиомы счетности. 4 1.1
3.2. Метрические пространства. Открытые и замкнутые множества. Непрерывные отображения метрических и топологических пространств. Свойства. Гомеоморфизмы. Открытые и замкнутые отображения. 2 1.2
3.3. Связность, критерий связности. Свойства связных множеств. Компоненты связности. 2 1.3
3.4. Аксиомы отделимости: хаусдорфность, регулярность, нормальность. Компактные пространства. Непрерывные функции на компактах. Непрерывные отображения компактных пространств. 3 1.4
4. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ. ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ТОПОЛОГИИ. 6 8 Ш.3, 4 К.р., экз.
4.1. Понятие дифференцируемого многообразия. Карты и атласы. Локальные координаты. Дифференцируемая структура. 2 2.1
4.2. Гладкие функции на многообразии.Разбиение единицы. Гладкие отображения.Диффеоморфизм. Ранг гладкого отображения. 2 2.2
4.3. Касательный вектор к многообразию. Дифференциал гладкого отображения. Свойства касательного отображения. 2 2.3
III. УЧЕБНО--МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ДИСЦИПЛИНЫ

III.1. ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ

Номер Объем,
лабораторной Наименование лабораторной работы час
работы
1 2 3
1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ КРИВЫХ. 8
1.1. Плоские кривые, задаваемые параметрически, пространственные кривые. Гладкие и регулярные кривые, касательная к кривой. 2
1.2. Вычисление длины дуги кривой, натуральный параметр. 2
1.3. Построение соприкасающейся плоскости, нахождение базиса Френе, построение трехгранника Френе. 2
1.4. Вычисление кривизны и кручения кривой. 2
2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 9
2.1. Составление уравнений поверхностей, нахождение касательной плоскости к поверхности. 2
2.2. Первая квадратичная форма поверхности: вычисление длины кривой на поверхности, угла между кривыми на поверхности. 2
2.3. Вычисление второй квадратичной формы, нахождение главных кривизн, линий кривизны, асимптотических направлений, асимптотических линий, средней и гауссовой кривизн. 5
3. ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ. 9
3.1. Введение топологии, базы. 1
3.2. Непрерывные отображения. Гомеоморфизмы. 2
3.3. Связность, критерий связности. Свойства связных множеств. 2
3.4. Компактные пространства. Непрерывные функции на компактах. Непрерывные отображения компактных пространств. 4
4. МНОГООБРАЗИЯ. 8
4.1. Карты, атласы. Структура дифференцируемого многообразия. 2
4.2. Дифференцируемые функции на многообразии. 2
4.3. Дифференцируемые отображения, ранг отображения. 4


III.2. ОРГАНИЗУЕМАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ

Форма Номер Срок выполнения Время, затрачиваемое на
ОргСРС семестра выполнение ОргСРС
Домашние задания 2 В течение семестра 40 часов


III.3. ЛИТЕРАТУРА


. Позняк Э. Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия. М.: Изд-во МГУ. 1990.
. Постников М. М. Гладкие многообразия. М.: Наука. 1987.
. Мищенко А.С., Соловьев Ю. П., Фоменко А.Т. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии. М.: Изд-во МГУ, 1981.
. Борисович Ю.Г. и др. Введение в топологию. - М.: Наука, 1980.

III.4. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ



. Бодренко И.И. "Дифференциальная геометрия. Сборник задач. Ч.1". Изд-во ВолГУ. 1999 г. 32 с.
. Фонд контрольных заданий по курсу "Геометрия и топология". (Варианты контрольных работ. Составитель -- Бодренко А.И.)
. Программа зачета по курсу "Геометрия и топология". (Электронные методические указания. Составитель -- Бодренко А.И.)
. Программа экзамена по курсу "Геометрия и топология". (Электронные методические указания. Составитель -- Бодренко А.И.)

IV. КОНТРОЛЬ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ


Виды занятий Формы контроля
Теоретические занятия Зачет, экзамен
Лабораторные работы Контрольная работа, зачет
ОргСРС Проверка домашних заданий


V. ПРОТОКОЛ СОГЛАСОВАНИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ


Наименование дисциплин, изучение которых опирается на данную дисциплину Наименование кафедры, с которой проводится согласование рабочей программы Предложения об изменениях в рабочей программе: подпись зав. кафедрой, с которой проводится согласование Принятое решение (протокол, дата)
Курсы по выбору, курсовые и дипломные работы




VI. ЛИСТ ИЗМЕНЕНИЙ И ДОПОЛНЕНИЙ, ВНЕСЕННЫХ В РАБОЧУЮ ПРОГРАММУ


Дополнения и изменения Номер протокола, дата пересмотра, подпись зав. кафедрой Дата утверждения и подпись декана