Bodrenko.com
Bodrenko.org

Учебные дисциплины на сайте Bodrenko.org
Портабельные Windows-приложения на сайте Bodrenko.com
"Геометрические методы математической физики" Компьютерные науки Математика и информатика Векторный и тензорный анализ Теория игр Аналитическая геометрия и линейная алгебра Римановы многообразия Элементы вариационного исцисления Дифференциальная геометрия и топология "Геометрия подмногообразий" Дополнительные главы дифференциальной геометрии "Диффиренциальные уравнения на многообразиях" "Дифференциальная геометрия и топология кривых" Bodrenko.com Bodrenko.org

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО ДИСЦИПЛИНЕ
"АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА"


1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.
1.1. Направленные отрезки. Вектор.
1.2. Сложение векторов. Вычитание векторов. Умножение вектора на число.
1.3. Угол между двумя векторами. Проекция вектора на ось.
1.4. Скалярное умножение двух векторов. Векторное умножение двух векторов.
1.5. Смешанное умножение трех векторов.
1.6. Координаты вектора и точки на прямой. Координаты вектора и точки на плоскости.
1.7. Координаты вектора и точки в пространстве.
1.8. Действия над векторами, заданными прямоугольными координатами.
1.9. Двойное векторное умножение трех векторов.
1.10. Скалярные и векторные величины в естествознании и математике.
2. МЕТОД КООРДИНАТ.
2.1. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Полярно-сферические и полярно-цилиндрические системы координат.
2.2. Плоская линия и ее уравнение. Поверхность и ее уравнение. Уравнения линии в пространстве. Поверхность вращения.
2.3. Преобразования координат. Сжатие плоскости и пространства.
3. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ.
3.1. Прямая линия как линия первого порядка. Геометрический смысл знака трехчлена Ax+By+C . Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
3.2. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение прямой в отрезках. Нормальное уравнение прямой.
3.3. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
3.4. Взаимное расположение двух прямых. Расстояние от точки до прямой. Пучок прямых.
4. ПЛОСКОСТЬ.
4.1. Общее уравнение плоскости. Исследование общего уравнения плоскости.
4.2. Геометрический смысл знака выражения Ax+By+Cz+D. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.
4.3. Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Взаимное расположение трех плоскостей. Пучок плоскостей.
5. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.
5.1. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Задание прямой двумя общими уравнениями.
5.2. Углы между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой в пространстве.
5.3. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
6. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
6.1. Каноническое уравнение эллипса. Свойства.
6.2. Каноническое уравнение гиперболы. Свойства.
6.3. Каноническое уравнение параболы. Свойства.
6.4. Общее уравнение линий второго порядка. Центр линии второго порядка.
6.5. Исследование общего уравнения линий второго порядка, имеющих единственный центр.
6.6. Исследование общего уравнения линий второго порядка, не имеющих центра.
6.7. Исследование общего уравнения линий второго порядка, имеющих бесконечное множество центров.
7. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
7.1. Сфера и ее простейшее уравнение. Цилиндрические поверхности. Конические поверхности.
7.2. Эллипсоид вращения. Эллипсоид и его простейшее уравнение.
7.3. Гиперболоиды вращения. Однополостный гиперболоид и его простейшее уравнение. Двуполостный гиперболоид и его простейшее уравнение.
7.4. Параболоид вращения. Эллиптический параболоид и его простейшее уравнение. Гиперболический параболоид и его простейшее уравнение.
8. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.
8.1. Матрица.
8.2. Определитель. Свойства определителя.
8.3. Разложение определителя по строке или столбцу. Вычисление определителя.
8.4. Обратная матрица. Ранг матрицы.
9. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
9.1. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Однородная и неоднородная системы.
9.2. Метод Гаусса решения общей системы линейных уравнений. Критерий совместности. Теорема Кронекера --- Капелли.
10. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.
10.1. Линейное пространство. Координаты вектора. Подпространства линейного пространства.
10.2. Преобразование координат. Изоморфизм линейных пространств.
10.3. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
10.4. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
10.5. Евклидово пространство.
10.6. Сопряженный оператор. Самосопряженный оператор. Приведение матрицы самосопряженного оператора к диагональному виду.
10.7. Билинейные функции и квадратичные формы в евклидовом пространстве.
ЛИТЕРАТУРА

1. Моденов М.П., Пархоменко П.С. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1976, 332 с.
2. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1987, 254 с.
3. Александров П.С. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1967, 588 с.
4. Постников М.М. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1987.
5. Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Изд-во МГУ, 1990, 328 с.