Bodrenko.com
Bodrenko.org

Учебные дисциплины на сайте Bodrenko.org
Портабельные Windows-приложения на сайте Bodrenko.com
"Геометрические методы математической физики" Компьютерные науки Математика и информатика Векторный и тензорный анализ Теория игр Аналитическая геометрия и линейная алгебра Римановы многообразия Элементы вариационного исцисления Дифференциальная геометрия и топология "Геометрия подмногообразий" Дополнительные главы дифференциальной геометрии "Диффиренциальные уравнения на многообразиях" "Дифференциальная геометрия и топология кривых" Bodrenko.com Bodrenko.org

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА
по дисциплине "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ "




1. Понятие вектора, линейные операции над векторами. Векторное просранство. Примеры.
2. Линейная зависимость и независимость векторов,коллинеарнось, компланарность. Свойства линейной зависимости. Теорема о линейной зависимости.
3. Базисы. Теорема о числе векторов в базисах конечномерного просранства. Размерность. Примеры.
4. Координаты вектора, суммы векторов, произведения вектора на число. Однозначная определенность координат.
5. Полярно-сферические и полярно-цилиндрические системы координат.
6. Скалярное произведение векторов, свойства. Евклидово векторное пространство. Неравенство Коши-Буняковского.
7. Понятие об ориентации пространства. Векторное произведение, свойства (геометрический смысл, признак коллинеарности векторов, антикоммутативность, линейность).
8. Смешанное произведение. Объем ориентированного параллелепипеда. Свойства.
9. Скалярное произведение двух векторов и его выражение в прямоугольных координатах.
10. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей в ортонормированном базисе.
11. Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей.
12. Аффинное пространство. Аффинная система координат. Прямая в аффинном пространстве.
13. Прямая на плоскости, различные виды ее уравнений, переход от одного к другому. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
14. Плоскость, различные виды ее уравнений: векторное параметрическое, координатные параметрические, общее уравнение, уравнение плоскости, проходящей через три неколлинеарные точки. Переход от одного уравнения к другому.
15. Взаимное расположение двух плоскостей.
16. Прямая в пространстве. Различные ее уравнения.Прямая как пересечение двух плоскостей, нахождение направляющего вектора и начальной точки.
17. Взаимное расположение прямой и плоскости.
18. Взаимное расположение двух прямых.
19. Уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку, ей не принадлежащую; через две параллельные прямые; через две пересекающиеся прямые.
20. Прямая на евклидовой плоскости. Нормальный вектор. Расстояние от точки до прямой на плоскости.
21. Плоскость в евклидовом пространстве.Нормальный вектор плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между двумя параллельными плоскостями.
22. Расстояние от точки до прямой в пространстве.
23. Расстояние между двумя прямыми в пространстве. Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым.
24. Плоская линия и ее уравнение. Уравнения поверхностей и линий в пространстве. Вывод уравнения поверхности вращения. Алгебраические линии и поверхности.
25. Каноническое уравнение эллипса. Свойства.
26. Каноническое уравнение гиперболы. Свойства.
27. Каноническое уравнение параболы. Свойства.
28. Взаимное расположение прямой и линии второго порядка. Асимптотические направления.
29. Центр симметрии линий второго порядка.
30. Типы кривых, определяемых уравнением второй степени с двумя неизвестными (приведение к каноническому виду).
31. Диаметры. Взаимно сопряженные направления.
32. Поверхности вращения второго порядка. Цилиндрические поверхности второго порядка.
33. Сжатие пространства к плоскости.Канонические уравнения поверхностей второго порядка.
34. Эллипсоиды и их плоские сечения. Однополостный и двуполостный гиперболоиды и их плоские сечения. Эллиптический и гиперболический параболоиды и их плоские сечения.
35. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида.
36. Перход от одной системы координат к другой. Ортогональные матрицы как матрицы перехода от одной прямоугольной системы координат к другой прямоугольной системе координат.
37. Преобразование плоскости. Примеры. Линейные отображения плоскостей, свойства.
38. Аффинные пробразования, свойства.
39. Изометрии (движения или ортогональные преобразования). Собственные и несобственные движения.
ЛИТЕРАТУРА



1. Моденов М.П., Пархоменко П.С. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1976, 332 с.
2. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1987, 254 с.
3. Александров П.С. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1967, 588 с.
4. Постников М.М. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1987.