Топология. Дифференциал гладкого отображения. Определение топологического пространства. Понятие дифференцируемого многообразия. Карты и атласы. Локальные координаты. Дифференцируемая структура. База топологии. Критерий базы. Касательное пространство. Открытые множества, окрестности
Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии
Портабельные Windows-приложения на сайте Bodrenko.com
"Геометрические методы математической физики" Компьютерные науки Математика и информатика Векторный и тензорный анализ Теория игр Аналитическая геометрия и линейная алгебра Римановы многообразия Элементы вариационного исцисления Дифференциальная геометрия и топология "Геометрия подмногообразий" Дополнительные главы дифференциальной геометрии "Дифференциальные уравнения на многообразиях" "Дифференциальная геометрия и топология кривых" Bodrenko.com Bodrenko.org
ДИСЦИПЛИНА "ТОПОЛОГИЯ"
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ N 1
1. Дифференциал гладкого отображения. Свойства.
2. Пусть X --- множество, состоящее не менее чем из двух элементов. Найти все подмножества X , связные в дискретной топологии.
3. Определение топологического пространства. Примеры.
ДИСЦИПЛИНА "ТОПОЛОГИЯ"
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ N 2
1. Понятие дифференцируемого многообразия. Карты и атласы. Локальные координаты. Дифференцируемая структура. Примеры.
2. Пусть X --- множество, состоящее не менее чем из двух элементов. Найти все подмножества X , связные в тривиальной топологии.
3. База топологии. Критерий базы. Примеры.
ДИСЦИПЛИНА "ТОПОЛОГИЯ"
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ N 3
1. Касательный вектор к многообразию. Касательное пространство.
2. Докажите, что окружность S_1 в R_2 --- связное множество.
3. Открытые множества, окрестности. Критерий открытого множества.
ДИСЦИПЛИНА "ТОПОЛОГИЯ"
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ N 4
1. Определение топологического пространства. Примеры топологических пространств. База топологии. Критерий базы.
2. Доказать, что отображение f : X\longrightarrow Y непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз каждого замкнутого множества замкнут.
3. Непрерывные отображения топологических пространств. Свойства непрерывных отображений.
ДИСЦИПЛИНА "ТОПОЛОГИЯ"
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ N 5
1. Окрестности. Критерий открытого множества.
2. Пусть f : X\longrightarrow Y --- непрерывное отображение "на" и X связно. Докажите, что Y связно.
3. Гомеоморфизм. Гомеоморфные пространства.
ДИСЦИПЛИНА "ТОПОЛОГИЯ"
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ N 6
1. Подпространство топологического пространства. Индуцированная топология.
2. Докажите, что в метрическом топологическом пространстве любое одноточечное множество замкнуто.
3. Подпространства топологического пространства. Индуцированная топология.
ДИСЦИПЛИНА "ТОПОЛОГИЯ"
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ N 7
1. Топология в метрическом пространстве.
2. Пусть A и B связны и A\bigcap \overline B \ne \emptyset . Докажите, что A\bigcup B связно.
3.
ДИСЦИПЛИНА "ТОПОЛОГИЯ"
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ N 8
1. Определение фактортопологии. Примеры факторпространств.
2. Докажите, что компактное подмножество хаусдорфова пространства замкнуто.
3. Топология в метрическом пространстве. Метрическая топология.
ДИСЦИПЛИНА "ТОПОЛОГИЯ"
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ N 9
1. Замкнутые множества в топологическом пространстве. Предельные точки. Критерий замкнутого множества.
2. Докажите, что подпространство хаусдорфова пространства хаусдорфово.
3. Аксиомы отделимости. Хаусдорфовость метрического пространства.
ДИСЦИПЛИНА "ТОПОЛОГИЯ"
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ N 10
1. Структура замыкания множества.
2. Пусть X и Y --- гомеоморфные топологические пространства. Докажите, что X связно тогда и только тогда, когда Y связно.
3. Непрерывные отображения метрических пространств.
ДИСЦИПЛИНА "ТОПОЛОГИЯ"
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ N 11
1. Непрерывные отображения топологических пространств. Непрерывность в точке.
2. Докажите, что отрезок [a, b] в R связен.
3. Евклидово пространство R_n . Евклидова метрика.
ДИСЦИПЛИНА "ТОПОЛОГИЯ"
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ N 12
1. Понятие связности топологического пространства. Сохранение связности при непрерывных отображениях.
2. Докажите, что сфера S_2 в R_3 является гладким многообразием.
3. Непрерывные отображения евклидовых пространств.
ДИСЦИПЛИНА "ТОПОЛОГИЯ"
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ N 13
1. Понятие линейно связного топологического пространства. Связность линейно связного пространства.
2. Пусть тор T_2 в R_3 образован вращением окружности вокруг оси (стандартное вложение). Докажите, что координаты x, y, z --- гладкие функции на торе.
3. Диск и сфера в евклидовом пространстве.
ДИСЦИПЛИНА "ТОПОЛОГИЯ"
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ N 14
1. Связные компоненты топологического пространства.
2. Пусть тор T_2 в R_3 образован вращением окружности вокруг оси (стандартное вложение). Отображение f : T_2\longrightarrow S_2 сопоставляет каждой точке p\in T_2 вектор единичной длины, нормальный к тору T_2 в точке p . Докажите, что f --- гладкое отображение.
3. Предельные точки множества. Критерий замкнутого множества.
ДИСЦИПЛИНА "ТОПОЛОГИЯ"
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ N 15
1. Аксиомы отделимости топологического пространства. Аксиома Хаусдорфа в метрическом пространстве.
2. Докажите, что любые два интервала прямой R гомеоморфны.
3. Внутренность множества. Граница.
ДИСЦИПЛИНА "ТОПОЛОГИЯ"
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ N 16
1. Понятие компактного пространства. Свойство бесконечных множеств компактного пространства.
2. Докажите, что график гладкой функции x_ n+1 = f(x_1, ..., x_n) является гладким многообразием.
3. Замыкание множества, структура замыкания.
ДИСЦИПЛИНА "ТОПОЛОГИЯ"
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ N 17
1. Отображения компактных пространств. Гомеоморфизм.
2. Показать, что на сфере S_n в R_n+1 нельзя ввести атлас, состоящий из одной карты.
3. Операции над множествами в метрическом пространстве.
ДИСЦИПЛИНА "ТОПОЛОГИЯ"
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ N 18
1. Гладкие функции на многообразии. Корректность определения.
2. Докажите, что в хаусдорфовом пространстве любое одноточечное множество замкнуто.
3. Шар и сфера в произвольном метрическом пространстве.
ДИСЦИПЛИНА "ТОПОЛОГИЯ"
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ N 19
1. Гладкие отображения. Диффеоморфизм. Корректность определения.
2. Пусть X --- топологическое пространство. Докажите, что если множество A в X связно, то множество B такое, что A в B в \overline A , также связно.
3. Непрерывность отображения в точке. Эквивалентные определения непрерывности.
ДИСЦИПЛИНА "ТОПОЛОГИЯ"
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ N 20
1. Ранг гладкого отображения.
2. Найдите число различных топологий на множестве трех элементов.
3. Понятие связности топологического пространства. Связность отрезка на вещественной прямой.
ДИСЦИПЛИНА "ТОПОЛОГИЯ"
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ N 21
1. Подмногообразия.
2. Пусть на X задана топология конечных дополнений. Покажите, что любое подмножество X компактно.
3. Свойства связных пространств.
ДИСЦИПЛИНА "ТОПОЛОГИЯ"
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ N 22
1. Римановы многообразия. Поле градиента.
2. Покажите, что топологическое пространство является T_1 -пространством тогда и только тогда, когда любое его одноточечное множество замкнуто.
3. Пути и линейно связные пространства.
ДИСЦИПЛИНА "ТОПОЛОГИЯ"
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ N 23
1. Векторные и тензорные поля на многообразии.
2. Проверьте, что если топологическое пространство имеет конечное число связных компонент, то они открыты.
3. Компоненты связности.