Bodrenko.com
Bodrenko.org

Учебные дисциплины на сайте Bodrenko.org
Портабельные Windows-приложения на сайте Bodrenko.com
Теория игр . Аналитическая геометрия и линейная алгебра . Bodrenko.com Bodrenko.org

Методы принятия управленческих решений

 

Лекция 2

 

Тема лекции: «Методы оптимизации для разработки и выбора управленческих решений в условиях определенности»

 

Разделы лекции:

 

  1. Оптимизационный анализ. Метод линейной оптимизации.
  2. Планирование и анализ проектов.
  3. Оптимальное управление запасами.

 

ЧТО ТАКОЕ ОПТИМИЗАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ?

 

В реальной жизни вряд ли может существовать «полная определенность». Однако, несмотря на то, что жизнь полна случайностей, сложна и неоднозначна, часто возникают ситуации, когда мы склонны игнорировать случайность. В некоторых ситуациях, случайные воздействия на интересующий нас процесс управления не учитываются потому, что они малы и несущественны. В других ситуациях, случайные факторы, которые могут оказать сильное и негативное влияние на нашу деятельность (поломки оборудования, катастрофы, социальные потрясения и т.п.), к счастью, происходят достаточно редко. Поэтому, если не считать мероприятий страхования от их последствий, мы также не склонны учитывать их в наших ежедневных планах. В условиях определенности лицо, принимающее решение, знает все о возможных состояниях сущности явлений, влияющих на решение, и знает, какое решение будет принято. Лицо, принимающее решение, просто выбирает стратегию, направление действий или проект, которые дадут максимальную отдачу. В общем случае выработка решений в условиях определенности направлена на поиск максимальной отдачи либо в виде максимизации выгоды (дохода, прибыли или полезности), либо минимизации затрат. Такой поиск называется оптимизационным анализом.

 

В ЧЕМ ЗАКЛЮЧАЕТСЯ СУЩНОСТЬ ПРЕДЕЛЬНОГО АНАЛИЗА?

 

Предельный анализ. В условиях определенности доходы и затраты будут известны для любого уровня производства и продаж. Задача состоит в том, чтобы найти их оптимальное соотношение, позволяющее максимизировать прибыль. Предельный анализ позволяет сделать это. В нем используются концепции предельных затрат и предельного дохода (рисунок 1).

 

На рисунке 1 представлены кривые дохода, затрат и прибыли, типичные для микроэкономической теории. На этом рисунке кривая общего дохода обозначена (TR), кривая общих затрат обозначена (TC).

 

Предельный доход (MR) определяется как дополнительный доход (изменение общего дохода), получаемый от продажи дополнительной единицы продукта. Графически он изображается с помощью касательной к кривой общего дохода (TR) для данного уровня производства Q и выражается через угловой коэффициент этой касательной в точке Q.

 

Предельные затраты (MC) определяются как дополнительные затраты (изменение величины общих затрат) на приобретение или производство дополнительной единицы продукции. Графически предельные затраты (MC) изображаются с помощью касательной к кривой общих затрат (TC) для данного уровня производства Q и выражаются через угловой коэффициент этой касательной в точке Q.

 

На рисунке 1 проиллюстрировано также следующее.

 

  1. При уровнях производства Q1 и Q4  значение TR в точности равно значению ТС, так что прибыль равна нулю. Графически это изображается тем,  что в точках Q1 и Q4 кривые (TR) и (TC) пересекаются.
  2. Объем производства меньше Q1 или больше Q4 ведет к убыткам (т.е. характеризуется отрицательной прибылью).  Графически это выражается тем, что на интервалах Q < Q1  и Q > Q4 кривая прибыли расположена под осью абсцисс.

 

 Рисунок 1. Концепции предельных затрат и предельного дохода.

  1. При уровнях производства Q, больших Q1 и меньших Q4 – прибыль положительная.
  1. Графически это выражается тем, что на интервале (Q1, Q4) кривая прибыли расположена над осью абсцисс.

 

  1. Предельный анализ показывает, что до тех пор, пока предельный доход MR превышает предельные затраты МС, производство и продажа дополнительной единицы продукции будут повышать прибыль. Прибыль, соответственно, максимизируется при таком уровне производства, при котором предельный доход равен предельным затратам (MR = МС). Графически это выражается тем, что  в искомой точке Q (точке максимума) касательные к кривым общего дохода (TR)  и общих затрат (TC)  в точке Q параллельны (имеют равные угловые коэффициенты).

  

  1. На рисунке 1 равенство MR = МС верно при Q = Q3. При уровне производства Q3, если в точке Q3 мы проведем одну касательную для кривой (ТС), а другую – для кривой (TR), то мы увидим, что они будут параллельны. То есть угловые коэффициенты обеих касательных в точке Q3 к этим кривым  будут равны между собой. Это означает, что при уровне производства, равном Q3 , MR = МС. При таком уровне производства касательная к графику функции прибыли будет параллельна оси абсцисс, то есть в этой точке угловой коэффициент касательной равен нулю. То есть  предельная прибыль в точке Q3 будет равна нулю.
  1.  

В ЧЕМ СОСТОИТ ОСНОВНАЯ ИДЕЯ ПРИРОСТНОГО АНАЛИЗА ПРИБЫЛИ?

 

Приростной анализ прибыли. Приростной анализ прибыли оперирует с любыми и всеми изменениями в доходах, затратах и прибылях, явившимися следствием определенного решения. Таким образом, концепция приростного анализа охватывает изменения,  как самих функций, так и их значений. Основное правило решения состоит в том, чтобы принять любое предложение, повышающее прибыль, или отвергнуть любое предложение, ее уменьшающее.

В КАКИХ СЛУЧАЯХ ПРИМЕНЯЕТСЯ МЕТОД ЛИНЕЙНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ?

 

Планирование – это одна из основных функций менеджмента. С помощью моделей линейной оптимизации рассматриваются задачи, целью которых является составление оптимальных планов. Их использование во многих практически важных задачах, связанных с принятием решений, оказалось высокоэффективным, в связи с чем,  они получили довольно широкое распространение. Речь может идти об оптимальных планах производства, продаж, закупок, перевозок, об оптимальном финансовом планировании, оптимальной организации рекламной кампании или об оптимальном плане инвестиционного портфеля фирмы. К числу наиболее известных задач линейного программирования относятся:

  1. Задачи о распределении ограниченных ресурсов (задачи оптимального планирования);
  2. Задачи об оптимальной корзине продуктов (задачи о диете, задачи оптимального смешения);
  3. Задачи оптимального раскроя (материалов, заготовок);
  4. Транспортные задачи;
  5. Задачи о назначениях;
  6. Задачи оптимизации финансовых потоков;
  7. Задачи оптимизации графиков платежей.

 

ЧТО ТАКОЕ ЦЕЛЕВАЯ ФУНКЦИЯ?

 

При постановке любой задачи оптимизации необходимо, прежде всего, определить количественную характеристику цели, которую мы хотим достичь в процессе оптимизации – целевую функцию. Это может быть максимум прибыли или минимум издержек (в денежном, временном или каком-либо другом выражении). Целевая функция показывает, почему одно рассматриваемое решение лучше или хуже другого. Целевая функция зависит от величин, называемых переменными решения. Эти величины, мы должны изменять, разыскивая оптимальное решение.

 

В ЧЕМ СОСТОИТ ЦЕЛЬ ОПТИМИЗАЦИИ?

 

Цель оптимизации найти такие значения переменных решения, при которых целевая функция достигает максимума или минимума (в зависимости от цели, которой мы ходим достичь в процессе оптимизации, например, достичь максимума прибыли или минимума издержек).

ЧЕМ МОГУТ ОПРЕДЕЛЯТЬСЯ ОГРАНИЧЕНИЯ НА ПЕРЕМЕННЫЕ РЕШЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ?

 

Любая оптимизация всегда проводится при наличии некоторых ограничений – условий, ограничивающих изменения переменных решения при поиске максимума или минимума целевой функции. Эти ограничения могут диктоваться следующими факторами:

 

1)     вторичными целями (например, минимизируя риск инвестиционного портфеля, мы одновременно хотим добиться ожидаемой прибыли не хуже заданной),

1)

2)     ограниченностью ресурсов, находящихся в нашем распоряжении (денежных, временных, материальных), а также

2)

3)     установленными «правилами игры» (среди которых могут быть рыночные ограничения, нормативные акты, лимитирующие ту или иную характеристику или любые требования субъекта, принимающего решения).

3)

КАКОЙ ВИД ИМЕЕТ ЦЕЛЕВАЯ ФУНКЦИЯ В МОДЕЛЯХ ЛИНЕЙНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ?

 

Линейное оптимизация имеет дело с моделями, в которых целевая функция линейно зависит от переменных решения, и ограничения представляют собой линейные уравнения или неравенства относительно переменных решения.

Фактически, это означает, что целевая функция Z и ограничения могут представлять собой только суммы произведений постоянных коэффициентов на переменные решения в первой степени, т.е. выражения типа

Z (x1, x2, …, xn) = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn ,

 

где x1, x2, …, xn – переменные,  c1, c2, …, cn – некоторые постоянные коэффициенты.

 

КАКИЕ ТИПИЧНЫЕ ЗАДАЧИ МОЖНО РЕШИТЬ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА ЛИНЕЙНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ?

 

Линейное программирование как метод решения проблем было создано для помощи менеджерам в принятии решений. Типичные задачи, решаемые этим методом, следующие.

1. Производитель продукции желает подготовить график производства и политику запасов, которые должны удовлетворить запросы будущих периодов. В идеале график и политика запасов должны обеспечить запросы при одновременной минимизации издержек на производство и запасы.

2. Финансовый аналитик должен выбрать портфель инвестиций из различных альтернатив капиталовложений и облигаций. Аналитик желает получить максимальный доход от инвестиций.

3. Менеджер по маркетингу желает определить оптимальное распределение фиксированного бюджета рекламы между альтернативными рекламными средствами, такими как радио, телевидение, газеты и журналы, так, чтобы был достигнут максимальный рекламный эффект.

4. Компания имеет универсальные магазины в ряде городов. С учетом запросов потребителей на её продукцию компания желает определить, какой магазин и какое количество продукции должен поставить потребителям, чтобы при этом транспортные расходы были минимальными.

В ЧЕМ ЗАКЛЮЧАЮТСЯ ОСОБЕННОСТИ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ?

 

  1. Во всех приведенных выше примерах задач линейной оптимизации ставится целью минимизация или максимизация некоторой количественной величины.
  2. Второй особенностью этих задач является то, что в них заданы определенные ограничения: минимизация издержек, но при полном удовлетворении запросов, максимизация эффективности рекламы при фиксированном рекламном бюджете и т.д.

ПРИМЕР ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА ЛИНЕЙНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ (ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНИРОВАНИЯ ПРОИЗВОДСТВА).

 

Компания, специализирующаяся на производстве и поставке оборудования для гольфа, решила выйти на рынок со стандартными (средними) и улучшенными (более дорогими) сумками. Дистрибьютору компании очень понравились новые продукты, и он согласился купить все, что она сумеет произвести в ближайшие три месяца. Требуется определить, сколько средних и дорогих сумок надо произвести, чтобы получить максимальную прибыль.

Производство сумок включает следующие этапы:

1. Кройка и окраска материала.

2. Шитье.

3. Финишная отделка.

4. Контроль и упаковка.

Руководитель производственного участка определил затраты времени (в часах) на каждую операцию по обоим видам сумок (рисунок 2).

 

Продукт

Кройка и окраска

Шитье

Финишная отделка

Контроль и упаковка

Стандартная сумка

7/10

1/2

1

1/10

Улучшенная сумка

1

5/6

2/3

1/4

Рисунок 2. Затраты времени на операции.

 

Финансовая группа определила, что с учетом всех издержек одна стандартная сумка даст 10 долларов прибыли, а одна улучшенная – 9 долларов. Руководитель производственного участка установил, что с учетом имеющихся людей и оборудования в течение трех месяцев производственные возможности будут составлять 630 часов на кройку и окрашивание, 600 часов на шитье, 708 часов на финишную отделку и 135 часов на контроль и упаковку.

 

1)     Определение целевой функции (функции цели).

 

Если обозначить число стандартных сумок X1 и число улучшенных сумок X2 , то суммарная прибыль Z может быть выражена следующей формулой:

Z = 10X1 + 9X2 ,

где X1 и X2 являются переменными решения, а Z носит название функции цели (целевой функции).

Цель компании заключается в максимизации прибыли, что может быть выражено так:

max Z = max (10X1 + 9X2).

Однако допустимыми решениями этой задачи могут быть только те, которые удовлетворяют всем ограничениям. Оптимальным решением для нас является частное допустимое решение, которое дает максимальную прибыль.

2)  Задание ограничений.

Общее производственное время, необходимое на операцию «кройка и окраска», определится с учетом данных из таблицы (рисунок 2) по следующей формуле:

 

7/10 X1 + 1∙X2.

А поскольку располагаемое в течение трех месяцев общее время на эти операции составляет 630 часов, то должно выполняться условие

 

7/10 X1 + 1∙X2 £ 630.

Ограничение, связанное с операцией шитья, может быть выражено аналогично в виде

1/2 X1 + 5/6 X2 £ 600.

Ограничение, связанное с финишной отделкой:

1 ∙ X1 + 2/3 X2 £ 708.

И, наконец, ограничение, связанное с контролем и упаковкой:

1/10 X1 + 1/4 X2 £ 135.

Имеются ли ещё какие-либо ограничения? Очевидно, что нельзя произвести отрицательное число сумок, и поэтому X 1 ≥ 0, X 2 ≥ 0.

 

Таким образом, математическая формулировка задачи будет выглядеть так:

Функция цели:

Z =  (10 X1 + 9 X2) → max;

при следующих ограничениях:

7/10 X1 + 1∙X2 £ 630,

1/2 X1 + 5/6 X2 £ 600,

1 ∙ X1 + 2/3 X2 £ 708,

1/10 X1 + 1/4 X2 £ 135,

 X 1 ≥ 0, X 2 ≥ 0.

 

Необходимо найти такое частное решение (X1, X2), которое удовлетворяет всем ограничениям, и в то же время дает значение функции цели либо максимальное, либо, по меньшей мере, равное другим допустимым решениям. Характерным для этой математической модели является то, что функция цели и все функции ограничений являются линейными функциями переменных (X1, X2). То есть мы имеем задачу линейного программирования.

 

ПОЧЕМУ МОДЕЛИ ЛИНЕЙНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ СТОЛЬ ВАЖНЫ?

Это связано с тем, что очень много важных для практики проблем, относящихся к самым разным сферам деятельности, могут быть проанализированы с помощью моделей линейного программирования; существуют эффективные и универсальные алгоритмы решения задач линейной оптимизации, реализованные в общедоступном программном обеспечении; методы анализа моделей линейной оптимизации позволяют не просто получить оптимальное решение, но и дают информацию о том, как может изменяться это решение при изменении параметров модели. Именно эта информация, позволяющая получить ответы на вопросы типа «что – если», представляет особую ценность для лица, принимающего решение.

 

Конечно, для практики могут быть важны модели с нелинейными соотношениями между переменными вида:

C X1 X2 , c1 X12 , c X1 /X2 , C1X1  и т.п. Однако в отличие от моделей линейной оптимизации, не существует универсального алгоритма, который бы во всех случаях гарантированно приводил к искомому оптимуму. Поэтому для проведения нелинейной оптимизации требуется уделить больше внимания деталям алгоритма и его реализации, чем обычно может уделить менеджер. Исключением является нелинейная оптимизация, в которой целевая функция имеет квадратичный характер.  С другой стороны, собственно концепция условной оптимизации, достаточно хорошо может быть проиллюстрирована на примерах линейной (и целочисленной) оптимизации. В настоящее время на рынке представлено достаточно много программных продуктов для решения задач линейного программирования. Менеджеру необходимо уметь сформулировать функцию цели, задать ограничения и впоследствии проанализировать результат решения. Для решения задач линейной оптимизации можно использовать, например, надстройку к программе электронных таблиц MS Excel, которая называется «Поиск решения».

 

ЧТО ТАКОЕ «ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА»?

 

Представление о том, что такое транспортная задача, у специалиста по исследованию операций и у менеджера отдела логистики очень сильно отличаются. С точки зрения менеджера, транспортные задачи – это любые задачи, связанные оптимизацией перевозок. С точки зрения специалиста по исследованию операций, транспортная задача – это специальный вид задачи линейной оптимизации, для которой, в силу ее формулировки и в виду очень специальных ограничений, существуют исключительно эффективные алгоритмы решения. В этот тип попадают и такие реальные задачи, в которых ничего никуда не перевозится.

 

Классическая транспортная задача имеет целью минимизацию транспортных издержек при перевозках однотипных грузов от нескольких поставщиков (с различных складов), расположенных в разных местах, к нескольким потребителям. При этом  в транспортной задаче, принимают в расчет только переменные транспортные издержки, т.е. считают, что суммарные издержки пропорциональны количеству перевезенных единиц груза.

ПОСТАНОВКА ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ.

 

При постановке транспортной задачи необходимо,  прежде всего,  задать таблицу транспортных издержек для перевозок единицы груза (c ij) (рисунок 3) от i-го поставщика к j-му потребителю. Эта таблица имеет m строк (по числу поставщиков) и n столбцов (по числу потребителей).

Таблица перевозок (xij) имеет те же размеры (m ´ n) и содержит переменные решения. Необходимо также задать запасы поставщиков, готовые к вывозу (на рисунке 3 – это столбец Si),  и величины заказов потребителей (на рисунке 3 – это строка Dj).

В транспортной задаче предполагается, что необходимо вывести запасы каждого i-го поставщика и удовлетворить заказ каждого j-го потребителя. Это возможно только если сумма запасов всех поставщиков равна сумме заказов всех потребителей. Это важнейшее условие применимости тех самых эффективных алгоритмов, о которых мы упомянули, -  условие сбалансированности. Ограничения транспортной задачи имеют очень простой вид: сумма переменных решения вдоль каждой i-ой строки должна быть равна запасу поставщика Si , а сумма переменных решения вдоль каждого j-го столбца должна быть равна заказу соответствующего потребителя Dj .

Наконец, чтобы получить целевую функцию (суммарные издержки), необходимо рассмотреть суммы произведений каждой строки таблицы транспортных издержек на соответствующую строку таблицы перевозок и сложить их, суммируя по i от 1 до m. Это и даст двойную сумму, показанную на рисунке 3. При этом номер источника (поставщика), 1£ i £m, номер пункта назначения (потребителя), 1£ j £ n.

 

 

Рисунок 3. Транспортная задача.

 

Если задача сбалансирована и нет никаких других ограничений, кроме упомянутых выше,  то  надстройка «Поиск решения» использует эффективный алгоритм решения для этой задачи.  Причем, если запасы и заказы выражены целыми числами, то и переменные решения xij при применении надстройки MS Excel  «Поиск решения» получатся целыми, даже если не требовать этого специально. Кроме того, гарантировано, что количество ненулевых перевозок xij не будет превышать m+n-1, т.е. количество «игроков» (поставщиков и потребителей) минус 1.

 

В ЧЕМ СОСТОИТ ЗАДАЧА О НАЗНАЧЕНИЯХ?

Задача о назначениях – это модель для количественного анализа ситуаций, когда менеджер должен назначить рабочих для выполнения различных производственных операций, распределить ряд производственных заданий по различным машинам (которые могут эти задания выполнить с различной эффективностью), или решить, какого торгового агента в какую область послать для продвижения продукции фирмы. Это распределение или назначение должно быть сделано либо из соображений наибольшей эффективности, либо из соображений наименьших затрат.

С математической точки зрения, задача о назначениях – это частный случай транспортной задачи, в которой число поставщиков (например, число рабочих или, иначе, поставщиков рабочей силы) в точности равно числу потребителей («работ», различных технологических операций). Поэтому таблица «транспортных издержек» (аналогом которых может выступать любая мера эффективности выполнения той или иной операции данным работником) должна быть квадратной. Кроме того, в задаче о назначениях от каждого поставщика к каждому потребителю поставляется только одна единица «груза» (например, только одного рабочего можно назначить для выполнения данной работы), или ни одной. Поэтому каждый из  имеющихся «запасов» и каждый из имеющихся «заказов» равны 1. Понятно, что все переменные решения в задаче о назначениях могут принимать только значения 1 или 0. На первый взгляд, это похоже на задачи целочисленной линейной оптимизации. Однако, в силу упомянутых выше особенностей структуры ограничений транспортной задачи, явно требовать целочисленности переменных решения (их равенства только нулю или единице) не требуется. Такие значения получаются при решении автоматически. При этом, разумеется, «транспортные» алгоритмы решения гораздо более эффективны, чем алгоритмы решения задач целочисленного линейной оптимизации.

Задача о назначениях так же может быть несбалансированной, если количество рабочих (претендентов на работы) не равно количеству работ. Так же, как и в случае транспортной задачи, это осложнение разрешается добавлением дополнительного столбца и строки (фиктивной работы, если претендентов больше, чем работ, или фиктивного рабочего, если наоборот). Подробнее  задача о назначениях описана в учебном пособии [3].

ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ЛОГИСТИКИ И ЦЕПОЧЕК ПОСТАВОК.

Задачи, возникающие в деятельности отдела логистики часто гораздо сложнее и разнообразнее, чем простая транспортная задача, хотя последняя очень часто может входить в них как составная часть. Всякий раз, когда это возможно, нужно стремиться использовать правила решения транспортной задачи, описанной выше. Даже если решаемая задача «не вполне транспортная», практика показывает, что выполнение этих правил способствует повышению эффективности решения. Однако нужно иметь в виду, что любое дополнительное ограничение сверх описанных выше ограничений транспортной задачи, заставляет надстройку «Поиск решения» отказаться от специфических «транспортных» алгоритмов и решать задачу общим симплекс-методом. Это, в свою очередь, означает, что переменные решения (объемы перевозок) могут оказаться нецелыми, а их количество будет превышать число поставщиков плюс число потребителей минус 1. В этом случае, неизбежно введение требования целочисленности переменных решения, что сильно усложняет задачи логистики.

 

Смысл симплекс-метода можно проиллюстрировать такой аналогией. Предположим, что мы находимся в горном массиве и нам необходимо найти самую высокую гору. Выявить ее снизу невозможно. Можно подниматься на все горы подряд, пока не найдешь самую высокую. Но это долго. Однако понятно, что, поднявшись на одну из ближайших гор, кажущуюся наиболее высокой, мы сможем относительно легко исключить все горы, которые ниже этой. С определенной вероятностью мы сможем определить одну из наиболее высоких гор. Поднявшись на нее, мы, вероятно, сумеем выделить и самую высокую гору.

 

Нередко, алгоритмы решения логистических задач, вообще не имеют ничего общего с транспортной задачей. Например, популярная практическая задача о выборе оптимального маршрута объезда нескольких клиентов сводится к весьма сложной задаче целочисленной линейной оптимизации. Аналогично, задачи о выборе оптимального поставщика или задачи о назначениях с дополнительными условиями потребуют явного введения условия целочисленности.

 

РАЗДЕЛ 2. ПЛАНИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ ПРОЕКТОВ.

 

КАКОЙ СМЫСЛ ИМЕЕТ ТЕРМИН «ПРОЕКТ»?

 

Под проектом понимают совокупность операций (заданий, работ), которые нужно выполнить для достижения поставленной цели в ограниченное время при ограниченных материальных, людских и финансовых ресурсах. Как комплекс операций (работ) можно рассматривать и строительство некоторого здания, корабля, самолета или любого другого сложного объекта или разработку проекта этого  сооружения и даже процесс построения плана разработки проекта — в  общем, всякую задачу, для выполнения которой необходимо  осуществить большое число разнообразных работ. Проблемы, для решения которых могут быть использованы сетевые методы  планирования и управления, встречаются постоянно, начиная от  деятельности отдельных людей и кончая проектами, в реализации которых участвуют сотни организаций и десятки тысяч человек (например, создание крупного территориально-производственного комплекса). Сложные проекты могут содержать тысячи различных операций, требующие различных затрат времени и ресурсов. Некоторые операции должны следовать одна за другой в строгой последовательности, другие – могут выполняться независимо и параллельно. Отсрочка начала работ или задержка их завершения для некоторых операций может и не привести к удлинению проекта в целом, в то время как для других операций такие задержки критически влияют на срок выполнения проекта. Поэтому планирование, мониторинг и управление сложным проектом, правильное распределение ресурсов, выявление и концентрация внимания менеджера на «критических» операциях, определяющих срок завершение проекта в целом, очень затруднительно без специальных методик и инструментов количественного анализа, а также без специальных программных средств.

ЧТО ТАКОЕ «МЕТОД СЕТЕВОГО ПЛАНИРОВАНИЯ»?

Сетевое планирование является одним из важнейших инструментов менеджмента, который используется в процессе разработки, принятия и реализации сложных решений. Германский промышленный стандарт DIN 69900 определяет сетевое планирование как все приемы для анализа, описания, планирования процессов и управления ими на основе теории графов, при которых могут быть учтены время, издержки, ресурсы и другие влияющие параметры.

 

Метод сетевого планирования – это широко распространенный  метод исследования задачи планирования и управления на основе сетевых моделей. Этот метод предназначен для формирования  календарного плана реализации комплексов операций и принятия эффективных решений в процессе его реализации.

 

КАКИЕ ОСНОВНЫЕ СОСТАВНЫЕ ЧАСТИ ВКЛЮЧАЕТ СЕТЕВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ?

 

Сетевое планирование и управление (СПУ) состоит из структурного и календарного планирования и оперативного управления.

 

Структурное планирование заключается в разбиении проекта на этапы и работы, оценки их длительности, определении последовательности их выполнения. Результатом структурного планирования является сетевой график работ (сетевая модель), который используется для оптимизации проекта по длительности.

 

Календарное планирование заключается в составлении временной диаграммы работ и распределении между работами трудовых ресурсов (исполнителей). Результатом календарного планирования является диаграмма Ганта, графически отображающая периоды выполнения работ на оси времени. На этом этапе может выполняться оптимизация ресурсов и бюджета проекта.

 

Оперативное управление состоит в регулярном сопоставлении фактического графика работ с плановым. Результатом серьезных отклонений является принятие решений об изменении первоначального структурного или календарного плана.

 

КАКОВЫ ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ И ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СЕТЕВОГО ПЛАНИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ?

 

Работы по использованию и развитию СПУ ведутся с середины 20-го столетия и  получили широкое распро­странение в нашей стране и за рубежом; уже накоплен большой опыт и сложилась своя ис­тория. Первоначально методология СПУ была разработана в 1956 г. специалистами фирм «Дюпон» и «Ремингтон Ред» М. Уолкером и Д. Келли для проекта по модернизации заводов фирмы «Дюпон». Впечатляющим результатом ее использования является проектирование корпорацией «Локхид» ракетной системы «Поларис» для оснащения подводных лодок ВМС США. В результате применения методов сетевого планирования работы были выполнены на два года раньше намеченного срока. При разработке ракетного вооружения «Поларис» в США был разработан метод PERT.

 

В конце 50-х годов двадцатого столетия в США была разработана система CRM — метод критического пути — для управления строительны­ми работами. В России работы по применению методов и моделей СПУ начались с 1961 г. В процессе развития методов СПУ появились различные це­левые системы: ПУСК – планирование и управление созданием корабля; СУР — система управления разработками; АСОР — авто­матизированная система организации работ; ЦПК — централизо­ванное планирование и контроль и др. Одним из примеров успешного применения методов СПУ в России является использование данного метода при восстановлении храма Христа Спасителя в Москве.

 

С 1956 года разработано множество вариантов сетевого планирования, которые обычно объединяют в три группы: метод критического пути (английская аббревиатура Critical Path Method, т.е. метод критического пути), метод PERT (Program Evaluation and Review Technique,  метод анализа и обзора проекта) и метод Метра-потенциал (MPM).

Наряду с тремя перечисленными выше сетевыми методами CPM, MPM и PERT,  в мире получили распространение также следующие их варианты и комбинации:

LESS – Least Cost Estimating and Scheduling;

CPS – Critical Path Scheduling;

CPPS – Critical Path Planning and Scheduling;

RAMPS – Ressource Allocation and Multi-Project Scheduling;

PCS – Project Control System.

Рассмотрение PERT, включающего в анализ вероятностные аспекты, связанные с неопределенностью в длительностях отдельных стадий проекта, мы перенесем в следующую лекцию 3 «Приемы разработки и выбора управленческих решений в условиях риска и неопределенности». На этой лекции мы сконцентрируемся на проблемах, связанных с методом критического пути CPM , предполагающего анализ проекта в условиях, когда длительности различных стадий проекта четко определены.

 

КАКИЕ ПРЕИМУЩЕСТВА ИМЕЮТ МЕТОДЫ СЕТЕВОГО ПЛАНИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ (СПУ)?

 

Преимущества методов сетевого планирования и управления (СПУ) заключаются в следующем.  Методология сетевого планирования и управления:

 

а) концентрирует внимание руководителей на небольшом числе работ и исполнителей;

б) устанавливает четкую взаимосвязь между исполнителями, обеспечивая тесное организационное единство;

в) позволяет в любой момент времени получать исчерпы­вающую информацию о проекте;

г) обеспечивает непрерывность управления ходом работ, своевременность принятия решений, оперативность вмешатель­ства;

д) позволяет рационально маневрировать выделенными ре­сурсами;

е) дает большую экономию времени, средств, энергии, мате­риалов и т.д.;

ж) дисциплинирует исполнителей, создается объективная картина качества работ, доступная каждому;

з) является теоретической основой автоматизированного управления проектами.

 

АВТОМАТИЗИРОВАННОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРОЕКТАМИ.

 

Методы сетевого планирования и управления являются теоретической  основой технологий автоматизированного управления проектами.

 

В настоящее время системы управления проектами составляют отдельный сектор программного обеспечения (ПО). Появление подобных систем способствовало преобразованию искусства управления проектами в науку, в которой имеются четкие стандарты, методы и технологии.

 

  1. Стандарт, разработанный Институтом управления проектами (Project Management Institute) принят в качестве национального стандарта в США (стандарт ANSI).
  2. Стандарт по качеству в управлении проектами ISO 10006.

 

Отметим некоторые наиболее популярные системы управления проектами, теоретическим фундаментом которых являются методология сетевого планирования и управления (СПУ).

 

  1. Управление проектами в среде Microsoft Оffice Projectкомплексное решении корпорации Microsoft по управлению корпоративными проектами, которое позволяет управлять проектами любой сложности.

 

  1. Spider Project Professional     пакет управления проектами, спроектированный и разработанный с учетом практического опыта, потребностей, особенностей и приоритетов российского рынка.

 

  1. Программные продукты компании Primavera Inc:

 

Primavera Project Planner Professional – профессиональная версия, предназначенная для автоматизации процессов управления проектами в соответствии с требованиями PMI (Project Management Institute) и стандартами ISO. В первую очередь этот пакет предназначен для использования в составе корпоративной информационной системы, хотя вполне может работать и автономно, помогая решать задачи календарно-сетевого планирования, определения критического пути, выравнивания ресурсов, и других задач моделирования проектов, групп проектов, портфелей и программ.

 

Sure Track Project  Manager – этот пакет ориентирован на контроль выполнения небольших проектов или фрагментов крупных проектов.  Данный пакет может работать как самостоятельно, так и совместно с Project Planner в корпоративной системе управления проектами.

 

  1. Open Plan – этот пакет  обеспечивает полномасштабное мультипроектное управление и планирование по методу критического пути и оптимизацию использования ресурсов в масштабах предприятия. Этот пакет может эффективно использоваться на всех уровнях контроля и управления проектами – от высшего руководства и менеджеров проектов, до начальников функциональных подразделений и рядовых исполнителей. Open Plan позволяет руководителям разного уровня выполнять следующие функции: создавать оперативные планы проектов с учетом различных ограничений; определять уровень приоритетности проектов; задавать относительную степень важности проектов для распределения ресурсов; минимизировать риски; проводить анализ хода выполнения работ.

 

КАКОВЫ ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ СОЗДАНИЯ КОМПЬЮТЕРНОЙ МОДЕЛИ ПРОЕКТА?

 

Для создания компьютерной модели проекта с использованием одной из упомянутых систем, необходимо пройти следующие этапы.

 

  1. Создать иерархическую структуру работ (укрупненно описать проект).
  2. Задать, какие составляющие стоимости будут использованы для финансового анализа и управления проектом.
  3. Составить перечень операций (работ, задач) проекта и задать их характеристики.
  4. Составить перечень ресурсов проекта и задать их характеристики.
  5. Задать взаимосвязи (ограничения на порядок исполнения) операций проекта.
  6. Назначить ресурсы на исполнение операций проекта.
  7. Назначить стоимости операциям, ресурсам и назначениям проекта.
  8. Задать ограничения на финансирование, поставки, сроки исполнения операций.
  9. Составить расписание исполнения работ проекта с учетом всех ограничений.
  10. Оптимизировать состав используемых ресурсов.
  11. Определить бюджет и распределение во времени плановых затрат проекта.
  12. Определить и промоделировать риски и неопределенности.
  13. Определить необходимые резервы, стоимости и потребности в материалах для исполнения запланированных показателей с заданной надежностью.
  14. Представить плановую информацию руководству и исполнителям.

 

В процессе исполнения проекта эти автоматизированные системы позволяют:

 

- вести учет;

- анализировать отклонения исполнения от запланированного;

- прогнозировать будущие параметры проекта;

- моделировать управленческие воздействия;

- вести архивы проекта.

 

ЧТО ТАКОЕ «СЕТЕВАЯ МОДЕЛЬ»?

 

Объектом управления в системах сетевого планирования и управления являются коллективы исполнителей, располагающих определенными ресурсами и выполняющих определенный комплекс операций, который призван обеспечить достижение намеченной цели, например, разработку нового изделия, строительства объекта и т.п. Основой СПУ является сетевая модель (СМ), в которой моделируется совокупность взаимосвязанных работ и событий, отображающих процесс достижения определенной цели.  

 

Сетевой моделью называется экономико-математическая модель, отражающая комплекс работ (операций) и событий, связанных с реализацией некоторого проекта (научно-исследовательского, производственного и др.), в их логической и технологической  последовательности и связи.  

 

Сетевая модель может быть представлена в виде графика или таблицы. Математический аппарат сетевых моделей базируется  на теории графов.

 

Анализ сетевой модели, представленной в графической или табличной (матричной) форме, позволяет, во-первых, более четко выявить взаимосвязи этапов реализации проекта и, во-вторых, определить наиболее оптимальный порядок выполнения этих этапов в целях, например,  сокращения сроков выполнения всего комплекса работ. Таким образом, методы сетевого моделирования относятся к методам принятия оптимальных решений. Более наглядное представление о содержании работ в целом и в деталях дает построение сетевой модели комплекса работ.

 

ЧТО ТАКОЕ «СЕТЕВОЙ ГРАФИК»?

 

Основой сетевой модели проекта (комплекса операций) является сетевой график (или просто сеть), который дает наглядное представление о проекте. Сеть состоит из  множества вершин (узлов) и множества ребер (дуг, звеньев),  соединяющих различные пары вершин. На каждом ребре (дуге, звене) может быть задано определенное направление (ориентация). На сетевом графике  вершины сети изображаются кружками, а ребра — линиями, их  соединяющими. Таким образом, сетевой график представляет собой граф вида «сеть».

 

На рисунке 4  графически представлена сетевая модель (СМ), состоящая из 11 событий и  16 работ, продолжительность выполнения которых указана над работами.

 

 

Овал: 8Овал: 3                    1

Овал: 9
 

 


                      5                                               3                         4               6

Овал: 10
 


Овал: 5Овал: 21Овал: 11222Овал: 1            6                4                                      9                                             9

 

 


                    3              6                                               3                     5

Овал: 43 Овал: 7
 


7

 


                                 4                    0              

Овал: 641
 

 

 

 


Рисунок 4. Графическое представление сетевой модели (СМ).

 

 

КАКИЕ ОСНОВНЫЕ ДОСТОИНСТВА ИМЕЕТ СЕТЕВОЙ ГРАФИК?

 

Сетевой график может рассматриваться как наиболее точный плановый инструмент, особенно полезный при больших и сложных проектах. Он имеет следующие основные достоинства:

1. Составление сетевого графика вынуждает всех участников проекта внимательно продумать его ход, заблаговременно провести необходимые согласования и принять соответствующие решения. Это играет большую роль особенно в тех случаях, когда в выполнении проекта участвуют различные фирмы или разные подразделения одной фирмы.

2. За счет графического представления работ сетевой график дает прекрасный обзор проекта и позволяет наглядно фиксировать его плановое течение.

3. Вышеназванные достоинства облегчают контроль полноты планирования.

ЧТО ТАКОЕ «СЕТЕВАЯ МАТРИЦА»?

 

Эффективным инструментом в управлении проектом являются так называемые сетевые матрицы, которые представляют собой более высокий уровень научной разработки традиционных сетевых графиков. Сетевая матрица представляет собой графическое изображение процесса выполнения проекта, где все работы (управленческие и производственные) показаны в определенной технологической последовательности и необходимой взаимосвязи и зависимости. Сетевая матрица совмещается с календарно-масштабной сеткой времени. Строки матрицы указывают ступень управления, структурное подразделение или должностное лицо, выполняющее ту или иную работу; столбцы – этап и отдельные операции процесса управления проектом, протекающие во времени.  Для примера на рисунке 5 показан фрагмент сетевой матрицы разделения административных задач управления.

Рисунок 5. Фрагмент сетевой матрицы.

КАКОВЫ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СЕТЕВОЙ МОДЕЛИ?

 

Основные понятия сетевой модели: событие, работа и путь.

              

ПОНЯТИЕ «РАБОТА».

 

Работа характеризует материальное действие, требующее использования ресурсов, или логическое, требующее лишь взаимосвязи событий.

 

Германский промышленный стандарт DIN 69900 определяет работу как действие с фиксированным началом и фиксированным концом, которое дополнительно характеризуется тем, что после ее начала она выполняется без перерыва до конца.

Зависимости между отдельными работами могут быть вызваны разнообразными причинами, например:

- технической необходимостью,

- технологическими требованиями,

- ограниченностью ресурсов,

- законодательным регулированием,

- требованиями властей,

- организационными соображениями,

- необходимостью обустройства строительной площадки,

- решением руководства предприятия,

- требованиями работодателя,

- финансовыми соображениями.

Некоторые из этих причин почти не поддаются управлению, другие же в определенных рамках могут быть изменены либо путем переговоров, либо за счет дополнительных затрат. Эта проблема может быть актуальной с самого начала проекта, когда в результате планирования выясняется, что полученные в результате расчета сроки неприемлемы. Она может стать актуальной и по ходу проекта, когда необходимо скомпенсировать накопившееся отставание от плановых сроков. Распространенной ошибкой при планировании времени является то, что численность работников планируется исходя из 100% бюджета рабочего времени, хотя известно, что значительную часть времени они могут быть заняты делами, не относящимися к проекту.

Некоторые работы могут выполняться параллельно, но некоторые могут начинаться и выполняться только после полного или частичного завершения других работ. Поэтому перед непосредственным планированием времени на основе структурного плана проекта разрабатывают план процесса выполнения проекта, который отражает упомянутые взаимозависимости. Этот план, который может быть представлен в виде графа или таблицы, содержит информацию о том, какие работы связаны между собой и как их следует располагать во времени с учетом таких зависимостей. Для этого сначала на основе структурного плана проекта (СПП) все работы (рабочие пакеты) заносятся в таблицу работ. Затем каждая работа анализируется на предмет ее зависимости от других работ, и эти работы отмечаются в таблице как «предшествующие» или «последующие».

Объем действий или операций, объединяемых понятием «работа» обычно соразмеряют со связанным с ним риском (как в отношении времени, так и в отношении затрат). Так как риск большой работы трудно оценить и еще труднее с ним управляться, каждому руководителю проекта следует стремиться к тому, чтобы раздробить работы до определенного уровня. Этот уровень определяется степенью обзорности работ. При этом риск оказывается достаточно хорошо просчитываемым. Далее лица, ответственные за выполнение работы, должны позаботиться об этих рисках с помощью соответствующих предупредительных мер.

Определить все взаимосвязи в объемных и сложных проектах возможно только при систематическом подходе к их определению. На практике используются два основных метода.

Наиболее употребительным является способ, в котором начинают с конца проекта и идут шаг за шагом к его началу. Для каждой конкретной работы определяют все предшествующие действия (работы), которые должны быть завершены, чтобы можно было приступить к выполнению данной работы. Другой, менее употребительный способ заключается в том, что начинают с первой от старта проекта работы и определяют все последующие работы, к которым можно приступать.

Следующей задачей является оценка длительности каждой работы. Для этого вначале выбирается некоторая практичная для данного проекта единица времени (дни, часы, недели и т.д.). Надежность оценки времени чрезвычайно важна для дальнейшего планирования времени. Поэтому относиться к этому делу надо серьезно и при необходимости для страховки привлекать к оценке экспертов или тех лиц, которые впоследствии будут отвечать за соблюдение этих сроков. По поводу того, определять оптимистичные, пессимистичные или средние сроки, существуют различные мнения. Это зависит,  прежде всего,  от конкретного проекта.

В качестве следующего шага для каждой работы определяется время ее раннего начала (РН) и время раннего окончания (РК). Это выполняется прямым счетом, начиная с момента старта проекта. Если ряд работ могут стартовать одновременно без предшествующих работ, то начинают с одной из этих работ. Работы, которые требуют завершения одной или более предшествующих работ, могут стартовать не ранее завершения самой поздней из них.

После определения ранних времен начала и окончания каждой работы нужно рассчитать самые поздние моменты, когда работа должна быть начата или, соответственно, закончена. Определение этих времен – позднего начала (ПН) и позднего окончания (ПК) – производится обратным счетом либо от определенного прямым счетом времени раннего окончания проекта, либо от заданного договором допустимого предельного срока окончания работ.

Поздний момент окончания работы (ПК) является одновременно поздним сроком начала последующей работы, иными словами, работа должна закончиться не позднее чем должна начаться последующая за ней работа, а при многих последующих работах не позднее чем должна начаться самая ранняя из них.

КАКИЕ ПОДХОДЫ ПРИМЕНЯЮТСЯ ПРИ ПЛАНИРОВАНИИ ВРЕМЕНИ ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТ?

При известной продолжительности работ проекта и заданной дате его старта последовательным расчетом может быть определено время его завершения. Такой подход называют прогрессивным планированием времени. Аналогично при заданной дате завершения проекта обратным расчетом может быть определена самая поздняя дата, когда необходимо приступить к выполнению проекта. Этот подход носит название регрессивного планирования времени. Если расчет показывает, что в заданные сроки выполнения проекта уложиться не удается, то необходимо либо согласовать с заказчиком перенос срока завершения проекта, либо найти альтернативные решения, которые позволили бы выполнить работу за более короткие сроки. Планирование времени выполнения проекта осложняется тем обстоятельством, что многие работы связаны с выполнением других работ.

 

При графическом представлении работа изображается стрелкой, которая соединяет два события. Она обозначается парой заключенных в скобки чисел (i,j), где i — номер события, из которого работа выходит, а j — номер события, в которое она входит. Работа не может начаться раньше, чем свершится событие, из которого она выходит.

 

Каждая работа имеет определенную продолжительность t (i,j). Например, запись t (2,5) = 4 означает, что работа (2,5) имеет продолжительность 4 единицы (например, время выполнения – 4 дня).

 

К работам относятся также  такие процессы, которые не требуют ни ресурсов, ни времени выполнения. Они заключаются в установлении логической взаимосвязи работ и показывают, что одна из них непосредственно зависит от другой; такие работы называются фиктивными и на графике изображаются пунктирными стрелками (см. рисунок 4,  работа (6,7)).

ПОНЯТИЕ «СОБЫТИЕ».

 

Событиями называются результаты выполнения одной  или нескольких работ. События не имеют протяженности во  времени.

 

СОБЫТИЕ СВЕРШАЕТСЯ В ТОТ МОМЕНТ, КОГДА ОКАНЧИВАЕТСЯ ПОСЛЕДНЯЯ ИЗ РАБОТ, ВХОДЯЩАЯ В НЕГО.

 

События обозначаются одним числом и при графическом представлении СМ изображаются кружком (или иной геометрической фигурой), внутри которого проставляется его порядковый номер (i = 1, 2, ..., N).

 

В сетевой модели (СМ) имеется начальное событие  (с номером 1), из которого работы только выходят, и конечное  событие (с номером N), в которое работы только входят.

ПОНЯТИЕ «ПУТЬ».

 

Путь это цепочка следующих друг за другом работ, соединяющих начальную и конечную вершины.

 

Например, в  приведенной выше сетевой модели (рисунок  4) путями являются:

L1 = (1, 2, 3, 8, 10, 11), L2 = (1, 2, 5,10, 11) и др.

 

Продолжительность пути определяется суммой продолжительностей составляющих его работ.

 

КАКОЙ ПУТЬ НАЗЫВАЕТСЯ КРИТИЧЕСКИМ?

 

Путь, имеющий максимальную длину, называют критическим и обозначают Lкр, а его продолжительность — tкр.

 

КАКИЕ РАБОТЫ НАЗЫВАЮТСЯ КРИТИЧЕСКИМИ?

 

Работы, принадлежащие критическому пути, называются  критическими.  Их несвоевременное выполнение ведет к срыву сроков всего комплекса работ.

КАКИЕ ОСНОВНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ ПРЕДЪЯВЛЯЮТ К СЕТЕВЫМ МОДЕЛЯМ?

Перед расчетом сетевой модели (СМ)  следует убедиться, что она удовлетворяет следующим основным  требованиям.

 

1. События правильно пронумерованы, то есть для каждой  работы (i,j) выполняется неравенство i < j. При  невыполнении этого требования необходимо использовать алгоритм перенумерации событий, который заключается в следующем:

- нумерация событий начинается с исходного события, которому присваивается № 1;

- из исходного события вычеркивают все исходящие из него работы (стрелки), и на оставшейся сети находят событие, в которое не входит ни одна работа, ему и присваивают № 2;

- затем вычеркивают работы, выходящие из события № 2, и вновь находят событие, в которое не входит ни одна работа, и ему присваивают № 3, и так продолжается до завершающего события, номер которого должен быть равен количеству событий в сетевом графике;

- если при очередном вычеркивании работ одновременно  несколько событий не имеют входящих в них работ, то их нумеруют очередными номерами в произвольном порядке.

2. Отсутствуют тупиковые события (кроме завершающего), то есть такие, за которыми не следует хотя бы одна работа;

3. Отсутствуют события (за исключением исходного), которым не предшествует хотя бы одна работа;

4. Отсутствуют циклы, т. е. замкнутые пути, соединяющие  событие с ним же самим.

 

При невыполнении указанных выше требований бессмысленно приступать к вычислениям характеристик событий, работ и критического пути.

 

ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕТЕВЫХ МОДЕЛЕЙ.

 

Сетевые модели (СМ)  имеют ряд характеристик, которые позволяют определить степень напряженности выполнения отдельных работ, а также всего их комплекса и принять решение о перераспределении ресурсов. 

 

КАКИЕ ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ  РАСЧИТЫВАЮТ ДЛЯ СОБЫТИЙ?

 

1)     Для событий рассчитывают три характеристики: ранний и поздний сроки совершения события, а  также его резерв.

1)

Ранний срок tр (j) свершения j-го события определяется величиной наиболее длительного отрезка пути от исходного до рассматриваемого события, причем 

tр. (1) = 0, tр. (N) = tкр = t(Lкр):

tр. (j) = max i {tр. (i)+t (i,j)}; j=2, …, N.         (1)

 

Поздний срок tп. (i) свершения  i-го события характеризует самый поздний допустимый срок, к которому должно совершиться  событие, не вызывая при этом срыва срока свершения конечного события:

tп. (i) =  min j {tп. (j)     t (i, j)};  i= 2, …, N – 1. (2)

 

Этот показатель определяется «обратным ходом», начиная  с завершающего события, с учетом соотношения tп. (N) = tр. (N).

Все события, за исключением событий, принадлежащих критическому пути, имеют резерв R(i)> 0:

R(i) = tп. (i) – tр. (i).              (3)

 

Для событий, принадлежащих критическому пути, резерв равен нулю.

 

Резерв события показывает, на какой предельно допустимый срок можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения всего комплекса работ.

КАКИЕ ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОПРЕДЕЛЯЮТ ДЛЯ РАБОТ?

 

2)     Для всех работ (i,j) на основе ранних и поздних сроков свершения всех событий можно определить следующие показатели.

2)

Ранний срок начала работы (i,j):      tр.н. (i,j) =  tр. (i);                             (4)

 

Ранний срок окончания работы (i,j):   tр.о.  (i,j) =  tр. (i) + t (i,j);              (5)

 

Поздний срок окончания работы (i,j):      tп.о. (i,j) =  tп. (j);                     (6)

 

Поздний срок начала работы (i,j):   tп.н.  (i,j) =  tп. (j) – t (i,j);                  (7)

 

Полный резерв времени работы (i,j):  Rп. (i,j) = tп. (j) – tр. (i)  – t(i,j);        (8)

 

Независимый резерв времени  работы (i,j):

Rн. (i,j)  = max{0; tр. (j) – tп. (i) – t(i,j)} =  max {0; Rп. (i,j) – R(i) – R(j)}. (9)

 

Полный резерв времени работы (i,j) – это максимальное время, на которое можно отсрочить начало или увеличить время выполнения работы t(i,j)без изменения общего срока выполнения всего комплекса работ. 

 

Другими словами, Rп. (i,j) показывает, на сколько можно увеличить время выполнения конкретной работы при условии,  что срок выполнения всего комплекса работ не изменится.

Независимый резерв времени работы (i,j) соответствует случаю, когда все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие — начинаются в ранние сроки. Использование этого резерва не влияет на величину резервов времени других работ.

КАКИМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ ХАРАКТЕРИЗУЕТСЯ ПУТЬ?

 

3)     Путь LП характеризуется двумя показателями — продолжительностью и резервом.

 

Продолжительность t(LП) пути LП определяется суммой продолжительностей составляющих его работ.

Полный резерв R(LП) времени пути LП определяется как разность между длинами критиче­ского и рассматриваемого путей:

R(LП)= t(Lкр) –  t(LП).

 

Из этого определения следует, что работы, лежащие на критическом пути, и сам критический путь имеют нулевой резерв времени.

 

Полный резерв R(LП) времени пути LП показывает,  на сколько могут быть увеличены продолжительности всех работ в сумме пути LП относительно критического пути. Другими словами, полный резерв времени пути показывает, на сколько может увеличиться продолжительность работ, составляющих данный путь, без изменения продолжительности общего срока выполнения всех работ.

ТАБЛИЦА РАСЧЕТА ОСНОВНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СЕТЕВОЙ МОДЕЛИ.

Предположим, что требуется проанализировать проект с точки зрения минимальных временных затрат на его выполнение. Для этого проект разбивают на отдельные работы, или действия, оценивают время, необходимое на проведение каждой из них, и записывают последовательность операций, показывающую, какие работы должны быть закончены, прежде чем начнутся другие. Затем вычерчивается диаграмма работ, на которой каждая работа изображается направленным ребром, и определяется критический путь, имеющий

наибольшую общую продолжительность. Он и определяет минимум временных затрат на выполнение проекта.

Рассмотрим табличный способ для расчета основных характеристик сетевой модели (СМ), которая представлена в графическом виде на рисунке 4. Результаты расчета приведены в таблице (рисунок 6).

Кпр

(i,j)

t(i,j)

tрн (i,j)=tр(i)

tро (i,j)

tпн (i,j)

tпо(i,j)=tп(j)

Rп

Rн

№1

№2

№3

№4

№5

№6

№7

№8

№9

0

(1,2)

6

0

6

0

6

0

0

1

(2,3)

5

6

11

12

17

6

0

1

(2,4)

3

6

9

6

9

0

0

1

(2,5)

4

6

10

11

15

5

5

1

(3,8)

1

11

12

17

18

6

0

1

(4,5)

6

9

15

9

15

0

0

1

(4,6)

4

9

13

17

21

8

0

1

(4,7)

7

9

16

14

21

5

0

2

(5,9)

3

15

18

17

20

3

0

2

(5,10)

9

15

24

15

24

0

0

1

(6,7)

0

13

13

21

21

8

0

1

(6,11)

5

13

18

28

33

5

0

2

(7,10)

3

16

19

21

24

5

0

1

(8,10)

6

12

18

18

24

6

0

1

(9,10)

4

18

22

20

24

2

0

4

(10,11)

9

24

33

24

33

0

0

Рисунок 6. Таблица расчета основных показателей сетевой модели.

 

Перечень работ и их продолжительность запишем во второй и третий столбцы таблицы.  При этом работы следует последовательно записывать во втором столбце: сначала записывают работы, начинающиеся с номера i=1, затем с номера i=2 и т.д.

В первом столбце таблицы поставим число Кпр, характеризующее  количество работ, непосредственно предшествующих событию, с которого начинается рассматриваемая работа. Для работ, начинающихся с номера «1», предшествующих работ нет. Для работы, начинающейся на номер «k», просматриваются все верхние строчки второго столбца таблицы и отыскиваются строки, оканчивающиеся на этот номер. Количество найденных работ записывается во все строчки, начинающиеся с номера «k».

Например, для работы (5,9) в первом столбце  поставим цифру 2, так как во втором столбце  на номер 5 оканчиваются две работы: (2,5) и (4,5).

Для заполнения четвертого столбца таблицы необходимо рассчитать ранние сроки начала работ tрн (i,j) = tр (i) по формуле (4).

 

Для заполнения пятого столбца таблицы необходимо рассчитать ранние сроки окончания работ tро (i,j) = tр (i) + t (i,j) по формуле (5).

 

1. Для работ, имеющих цифру «ноль» в первом столбце, в 4-м столбце также заносятся нули:

tрн (1,j) = tр (1) = 0. Затем по формуле (5) в 5-й столбец записываем сумму tро (1,j) = tрн (1,j) + t (1,j).

В нашем случае только одна работа (1,2) имеет цифру «ноль» в первом столбце. Для нее в 4-м столбце записываем цифру «0», в 5-м столбце записываем сумму: 0 +  t (1,2) = 0 + 6 = 6.

 

2. Для работ, начинающихся с номера 2, для заполнения 4-го столбца просматриваем уже заполненные строки в 5-м столбце, содержащие работы, оканчивающиеся  на номер 2;  среди них находят максимальное значение  max i {tрo (i,2)}; в силу формул (1) и (5) имеем:

t рн (2,j) = tр (2) =  max i {tрo (i,2)}.

То есть в соответствующие строки четвертого столбца  для всех работ, начинающихся на номер 2, переносим цифру 6, взятую из 5-го столбца (так как имеется единственная работа (1,2), которая оканчивается на номер 2, и для нее в 5-м столбце мы уже вычислили tро (1,2) = 6). Таким образом,

tрн (2,3) = 6;

tрн (2,4) = 6;

tрн (2,5) = 6.

Затем для этих работ заполняем соответствующие строки 5-го столбца:

tро (2,3) = tрн (2,3) + t (2,3) = 6 + 5 = 11;

tро (2,4) = tрн (2,4) + t (2,4) = 6 + 3 = 9;

tро (2,5) = tрн (2,5) + t (2,5) = 6 + 4 = 10.

 

То есть эти значения  в столбце 5 получаются в результате суммирования соответствующих значений, стоящих в столбцах 3 и 4, согласно формулам (4) и (5).

 

3. Для работ, начинающихся на номер 3, для заполнения 4-го столбца, просматриваем в 5-м столбце работы, оканчивающиеся на номер 3.  В нашем случае таких работ только одна — (2, 3), мы видим, что tро (2,3) = 11.  Поэтому в 4-м столбце для работ, начинающихся на номер 3, проставляем число 11. Работ, которые начинаются на номер 3, у нас только одна – (3,8). Таким образом,

tрн (3,8) = 11.

 

Соответственно, tро (3,8) = 11 +1 = 12.

 

4. Работ, которые начинаются на номер 4, у нас три: (4,5), (4,6) и (4,7).

Находим работы, которые оканчиваются на номер 4;  такая у нас одна – (2,4). Для нее в 5-м столбце уже вычислено значение tро (2,4) = 9. Поэтому, в силу формул (1), (4), (5) имеем:

 tрн (4,5) = 9;

tрн (4,6) = 9;

tрн (4,7) = 9.

 

Поэтому   в силу формул (4), (5) находим:

tро (4,5) = 9 + 6 = 15 ;

tро (4,6) = 9 + 4 = 13;

tро (4,7) = 9 + 7 = 16.

 

5. Рассматриваем работы, которые начинаются на номер 5: (5,9) и (5,10). 

Находим работы, которые оканчиваются на номер 5: (2,5) и (4,5). Для этих работ в 5-м столбце мы уже вычислили tро (2,5) = 10 и  tро (4,5) = 15. Выбираем среди этих чисел 10 и 15 максимальное, то есть 15 и записываем это число в 4-й столбец для работ (5,9) и (5,10):

tрн (5,9) = 15;

tрн (5,10) = 15.

 

 

Поэтому   в силу формул (4), (5) находим:

tро (5,9) = 15 + 3 = 18 ;

tро (5,10) = 15 + 9 = 24.

 

Аналогично, заполняем оставшиеся строчки в 4-м и 5-м столбцах для работ (6,7), (6,11), … (10, 11).  Этот процесс повторяем до тех пор, пока не будет за­полнена последняя строка в столбцах 4-м и 5-м таблицы.

Столбцы 7 и 6 заполняются «обратным ходом», т. е. снизу вверх.

 

Для этого мы просматриваем строки, оканчивающиеся на номер последнего события; затем из столбца 5 выбираем макси­мальное значение, которое записываем в столбец  7 по всем строкам, оканчивающимся на номер последнего события.

 

В нашем случае таких работ две (6,11) и (10, 11): tро (6,11) = 18, tро (10,11) = 33. Число 33 записываем в столбец 7 для всех работ, оканчивающихся на номер 11.  то есть для работы (10,11), согласно формуле tп (N) = tр (N).  Затем для этих строк находим значение в столбце 6 как разность между значениями из 7-го столбца и 3-го столбца согласно формулам (6), (7):

t пн (i, j) = =  tП (j) – t (i,j) =  tпо (i,j) – t (i,j).

В нашем случае: 

t пн (6,11) =  tпо (6,11) – t (6,11) = 33 – 9 = 24.

t пн (10,11) =  tпо (10,11) – t (10,11) = 33 – 5 = 28.

 

Далее просматриваются строки, оканчивающиеся на но­мер события, которое непосредственно предшествует завер­шающему событию, то есть строки, оканчивающиеся на номер 10.

 

Для определения значений в 7-м столбце для этих строк (работы (5,10), (7,10), (8,10), (9,10)) просматриваем все строчки в столбце 6, лежащие ниже и начинающиеся с номера 10. Среди них выбирается минимальное значение из столбца 6, которое переносится в столбец 7 по рассматриваемым  строкам.  В нашем случае она одна — (10,11), поэтому заносим во все строки указанных работ число  «24».  Процесс повторяется до тех пор, пока не будут заполнены все строки по столбцам 6 и 7.

Значения в строках столбца 8 вычисляются как разности  между соответствующими значениями в строках столбцов 6 и 4 (или столбцов 7 и 5), согласно формуле (8), с учетом формул (7) и (6).

 

Столбец 9 проще получить, воспользовавшись формулой (9), учитывая (8).

Например,  Rн (2,5) = max {0; Rп(2,5) – R(2) – R(5)}. Вычисляем:

 

Rп(2,5) – R(2) – R(5) = Rп(2,5) – (tп (2) – tр (2)) – (tп (5) – tр (5)) = Rп(2,5) + tр (2) + tр (5) – tп (2)  - tп (5) = 5 + 6 + 15 – 6 – 15 = 5.

Тогда Rн (2,5) = max {0; Rп(2,5) – R(2) – R(5)}  = max {0, 5} = 5.                          

 

Аналогично рассчитываем остальные элементы столбца 9.

 

Учитывая, что нулевой резерв времени имеют только события и работы, которые принадлежат критическому пути, получаем, что критическим является путь

Lкp = (1,2,4,5,10,11), tкp = 33 дня.

НА ЧЕМ ОСНОВАНА ОПТИМИЗАЦИЯ СЕТЕВОЙ МОДЕЛИ?

 

Для оптимизации сетевой модели, выражающейся в перераспределении ресурсов с ненапряженных работ на критические для ускорения их выполнения, необходимо как можно

более точно оценить степень трудности своевременного выполнения всех работ, а также «цепочек» пути.

 

Более точным  инструментом решения этой задачи по сравнению с полным резервом является коэффициент напряженности, который  может быть вычислен одним из двух способов по приводимой  ниже формуле:

 

где t (Lmax) — длительность максимального из некритических путей, проходящих через работу  (i,j);

t`кр — продолжительность части критических работ, входящих в рассматриваемый путь Lmax.

Коэффициент напряженности Кн. (i,j)  изменяется от нуля до единицы, при этом чем он ближе к единице, тем сложнее выполнить данную работу (i,j) в установленный срок. Самыми напряженными являются работы критического пути, для которых он равен 1. 

 

В нашем примере  для работ критического пути (1,2), (2,4), (4,5),(5,10),(10,11) коэффициент напряженности Кн. = 1.

 

На основе этого коэффициента Кн. все работы сетевой модели могут быть разделены на три группы:

-  напряженные (Kн. (i,j) > 0,8);

-  подкритические (0,6 ≤  Kн. (i,j) ≤ 0,8);

- резервные (Kн. (i,j) < 0,6).

 

В результате перераспределения ресурсов, используя методы оптимизации, стараются максимально уменьшить общую продолжительность работ, что возможно при переводе всех работ в первую группу.

РАЗДЕЛ 3. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ.

 

В ЧЕМ ЗАКЛЮЧАЕТСЯ ОСНОВНАЯ ИДЕЯ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ?

 

Фундаментальный вопрос управления запасами, на первый взгляд, очень прост: Какова должна быть величина товарного запаса на складе, чтобы минимизировать издержки по управлению запасами и обеспечить достойный уровень обслуживания клиента? Он разделяется на две части:

 

  1. Как сделать издержки управления запасами минимальными при заданном (постоянном или непостоянном, но известном) спросе?
  2. Как оценить риск возникновения дефицита на складе с учетом случайных вариаций реального спроса? Сколько нужно платить за содержание необходимого резервного запаса для того, чтобы снизить риск возникновения дефицита до приемлемого уровня и обеспечить достойный уровень обслуживания клиентов?

Первая часть вопроса – из серии принятия решений в условиях полной определенности.  Вторая часть предусматривает детальный анализ характеристик случайного спроса; связанные с ней примеры и задачи, мы рассмотрим на следующей лекции 3 «Приемы разработки и выбора управленческих решений в условиях риска и неопределенности».

Важнейшая функция запасов состоит в том, что они играют роль буфера, смягчающего удары, испытываемые фирмой в результате нестабильных поставок сырья или товаров от поставщиков или сильных вариаций потребительского спроса на тот или иной продукт. В производственном процессе, запасы незавершенной продукции (полуфабрикатов) необходимы для обеспечения независимости различных производственных операций. Поддержание большого уровня запасов позволяет реже их восполнять, тратить меньше времени менеджеров на формирование заказа, его оформление, контроля доставки новой партии товара. Все это толкает менеджеров, непосредственно отвечающих за наличие запасов продукции на складах фирмы, увеличивать уровень этих запасов. При этом с запасами связаны специфические издержки хранения, размер которых может составлять от 20% до 40% в год от стоимости среднегодового уровня запаса, причем, что особенно существенно, большая их часть не проходит через бухгалтерию, как прямые затраты, а является, так называемыми, «упущенными возможностями». Несмотря на то, что их «сразу не видно», большие упущенные возможности, приводят фирму к банкротству так же быстро, как и большие прямые затраты.

Основная идея теории оптимального управления запасами состоит в том, чтобы разделить издержки на переменные и постоянные. Оказывается, что эти две группы издержек по-разному зависят от размера заказа и уровня запаса товара на складе. Ниже мы коротко рассмотрим природу этих издержек и пути их оптимизации.

КАКИЕ ИЗДЕРЖКИ ВКЛЮЧАЮТСЯ В ПЕРЕМЕННЫЕ ИЗДЕРЖКИ?

 

  1. Переменные издержки – издержки хранения.

Эти издержки должны быть прямо пропорциональны количеству единиц хранимых запасов и стоимости единицы запаса. Основную часть этих издержек составляют упущенные возможности при альтернативном использовании капитала, «замороженного» в запасах. Каждая область бизнеса характеризуется своей требуемой нормой доходности. Капитал, вложенный в этот бизнес, в среднем (по стране, региону, городу) должен давать определенный процент дохода ежегодно. Капитал, вложенный в запасы, такого процента не дает. Следовательно, неполученный процент – это издержка хранения. Если товар приобретен в кредит, то за этот кредит нужно платить проценты, что опять-таки составляет издержки хранения. При цивилизованном ведении бизнеса, товар должен быть застрахован и подлежит налогообложению. Страховка и налог на запас также составляет определенный процент от стоимости товара и также входит в издержки хранения.

 

Перечисленные издержки строго пропорциональны стоимости запасов. Поэтому их удобно задавать в расчете на единицу запаса в год. Разумеется, можно относить издержки хранения к любому временному интервалу (неделя, квартал, год). В практике торговых складов чаще в качестве базового временного интервала используется именно год. На производстве, это могут быть и другие, более короткие интервалы (неделя).

 

Если использовать для обозначения таких удельных издержек хранения большую букву H (от английского термина Holding cost), тогда суммарные предельные издержки хранения всегда будут пропорциональны количеству хранимых единиц запаса и времени хранения, а коэффициентом пропорциональности, как раз, будет H. Главное из чего надо исходить при решении включать те или иные складские затраты в величину H или не включать - это условие (хотя бы приблизительное) пропорциональности суммарных издержек хранения количеству хранимых единиц данного запаса и времени их хранения.

Например, в издержки хранения можно включить потери от распродажи «залежалого товара» по сниженным ценам. Правда, оценить вклад этих издержек в величину H сложнее, поскольку потери от снижения цены продаж «залежавшейся» части купленной партии, нужно распределить на всю партию (чтобы сохранилась пропорциональность издержек хранения количеству хранимых единиц запаса). Однако, при длительном ведении бизнеса, средний процент от стоимости купленной партии, соответствующий этому виду издержек может быть оценен более или менее определенно.

КАКИЕ ИЗДЕРЖКИ ВКЛЮЧАЮТСЯ В ПОСТОЯННЫЕ ИЗДЕРЖКИ?

 

  1. Постоянные издержки - издержки по запуску новой партии продукции - (производство) или затраты на формирование и оформление заказа - (торговля).

 

 Эти издержки не зависят от величины предполагаемой партии продукции (заказа). В торговле их чаще всего связывают, с оплатой труда менеджеров, «ведущих» этот заказ, с возможными затратами на сопровождение заказа сотрудником фирмы (контроль погрузки – разгрузки, ускорение прохождения оформления документов на таможне и т.п.), с офисными расходами при оформлении и размещении заявки поставщику на новый заказ и другими сопутствующими расходами.  В производстве этим постоянным издержкам соответствуют затраты на переналадку оборудования для выпуска данной партии продукции (устойчивый английский термин – Setup cost). Величину этих издержек, в расчете на один заказ (или на одну переналадку производственной линии) принято обозначать буквой S. Эти издержки постоянные в том смысле, что S не зависит от размера партии продукции данного наименования. Однако, чем больше размер заказа, тем реже приходится оплачивать расходы на его оформление, тем меньше затраты на оформление заказов (или на переналадку оборудования) за выбранный базовый период (год, неделя и т.п.).

При ведении бухгалтерского учета, в издержки хранения включают прямые расходы на содержание склада: амортизация здания (или аренда), оплата персонала, охрана и т.п. Хотя перечисленные издержки, несомненно, относятся к категории складских издержек, при анализе оптимизационных моделей управления запасами, их не следует включать ни в величину H , ни в величину S .

Дело в том, что все эти издержки являются интегральными. Они совершенно не зависят от размера закупленной и хранимой партии данного товара. Даже если склад пустой, фирма все равно несет эти издержки. Они не зависят от того, какие именно товары, и в каком количестве хранятся на складе.

Разумеется, если принято стратегическое решение существенно снизить размер товарных запасов, то для их хранения понадобится меньше складских площадей, и следовательно уменьшатся затраты на их содержание. Прямые складские издержки, таким образом, влияют на рентабельность торговой фирмы и должны учитываться при оценке эффективности работы склада. Они определяют решения, связанные с определением размеров складов, ассортимента продуктов, с которым должна работать фирма и т.п.Однако, такие решения принимается гораздо реже, чем решение о размере закупаемой партии продукции данного наименования, которое и является предметом рассмотрения оптимизационных моделей управления запасами. Размер склада и ассортимент продуктов в таких задачах не могут рассматриваться как переменные решения. Поэтому на результаты оптимизации уровней запасов и размеров заказа, указанные выше оказывают лишь косвенное влияние, и прямо в них фигурировать не могут.

 

Заметим, что при рассмотрении транспортной задачи, мы считали, транспортные издержки переменными, поскольку считали,  что перевозка двух одинаковых контейнеров стоит в два раза больше, чем перевозка одного такого же контейнера. Однако если фирма использует большегрузные машины транспортной компании  для пополнения запасов товаров на складе, то при выполнении определенных ограничений на объем и вес груза, стоимость перевозки не зависит от содержимого груза. В этом случае, транспортная издержка может составить большую часть расходов S «по оформлению, размещению и доставке заказа». Если в транспортных расходах можно выделить постоянную и переменную части, то первую нужно включить в S , а вторую - в цену единицы товара (что скажется на издержках хранения H).

 

В ЧЕМ СОСТОИТ СУЩНОСТЬ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧНОГО РАЗМЕРА ЗАКАЗА?

 

Модель экономичного размера заказа –  это одна из первых моделей количественного менеджмента. Несмотря на простоту, она до сих пор остается вполне практическим инструментом (во всяком случае, полезным ориентиром) при управлении запасами.

Основные допущения и параметры этой модели следующие.

 

Модель отвечает на вопрос:

Какой должен быть размер заказа (и как часто его нужно делать) для данного вида товара («артикула»), чтобы минимизировать издержки его хранения, при условии, что:

1)     спрос на запас постоянен (не зависит от времени) и составляет D единиц в год;

1)

2)     закупочная цена единицы запаса постоянна (не зависит от размера закупаемой партии) и равна C;

2)

3)     издержки хранения единицы запаса в год равны H (или h%  от стоимости единицы запаса С);

3)

4)     стоимость оформления одного заказа (или стоимость переналадки оборудования для начала новой партии продукции) равна S .

4)

Хотя, допущения, сформулированные в первом и втором пунктах, являются сильным упрощением по сравнению с реальным бизнесом, мы сначала их примем, чтобы получить ответ на поставленный вопрос в виде простой формулы, которая может служить полезным ориентиром и в более реальных ситуациях. Затем эти упрощения можно отбросить и проанализировать более реальные ситуаций с помощью тех или иных вычислительных инструментов, например, MS Excel.

 

КАК ПРОИСХОДИТ ПОПОЛНЕНИЕ ТОВАРА ОДНОГО АРТИКУЛА НА СКЛАДЕ В МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧНОГО РАЗМЕРА ЗАКАЗА?

 

На рисунке 7,  показано как меняется в принятой модели товарный запас данного артикула.

Рисунок 7. Изменение товарного запаса со временем.

 

Если в начальный момент времени на склад приходит новая партия данного товара Q , то с течением времени его товарный запас уменьшается с постоянной скоростью на d единиц в день, и через некоторое время обращается в ноль. Однако, если заблаговременно сделать заявку на такую же по величине новую партию товара, и при этом «подгадать» так, чтобы она пришла как раз тогда, когда весь запас этого артикула на складе исчерпан, товарный запас снов подскочит до величины Q, снова будет уменьшаться с постоянной скоростью и т.д.

«Подгадать» очень не сложно. Если ежедневный спрос на данный товар d, а время выполнения заявки поставщиком L (от английского термина Lead time), то новую заявку нужно делать, очевидно, тогда, когда на складе осталось d ´ L единиц запаса данного артикула. Если каждый раз заказывать партию одного и того же размера, то при годовом спросе D нужно повторить этот цикл D/Q раз. Важно понять (и рисунок 7 это демонстрирует), что годовой спрос отнюдь не определяет размер закупаемой партии Q. Можно закупать редко и большими партиями, а можно часто и малыми. В сумме за отраженный на графике период и в первом и во втором случае закуплено одно и то же количество товара. Так, что за год и та, и другая стратегия удовлетворят потребность клиентов в этом товаре.

Однако оказывается, что складские издержки при этом будут разными. Действительно, средний уровень товарного запаса на складе в первом случае составляет 0,5 условных единиц, а во втором – 0,2 условные единицы (рисунок 7). Ясно, поэтому, что издержки хранения этого товара за год будут различны. В общем случае можно, очевидно, написать, что если закупается партия товара величиной Q , и этот запас линейно уменьшается до нуля, то его средний уровень равен Q/2. Тогда, годовые издержки хранения TH равны:

 

TH = HQ/2.

 

Ясно, что чем меньше заказываемая партия товара Q , тем меньше издержки хранения за год. При Q → 0, издержки хранения нулевые. Однако, чем меньше размер партии, тем чаще нужно делать заказ, и, следовательно, тем больше издержки, связанные с оформлением заказа. Нетрудно понять, что поскольку для удовлетворения годового спроса D на данный товар с помощью заказов по Q единиц необходимо D/Q заказов, годовые издержки на оформление заказов TS составят:

TS = DS/Q.

 

Соответственно, полные складские издержки за год составят:

 

T =   HQ/2 + DS/Q.

 

КАК ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ОПТИМАЛЬНЫЙ (ЭКОНОМИЧНЫЙ) РАЗМЕР ЗАКАЗА В МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧНОГО РАЗМЕРА ЗАКАЗА?

 

На рисунке 8 показан график зависимости полных складских издержек T от величины заказа Q. Также на рисунке 8 показано, как изменяются величины TH и TS. Видно, что первое слагаемое TH = HQ/2 в сумме T (издержки хранения за год) линейно растет с ростом величины заказа Q , в то время как второе слагаемое TS = DS/Q убывает обратно пропорционально Q. Понятно, что сумма T имеет минимум.  Величину заказа, соответствующего этому минимуму обозначают как EOQ (сокращение от английского термина Economic Order Quantity). Это и есть оптимальный (или экономичный) размер заказа, обеспечивающий минимум полных складских издержек.

 

Читатель, знакомый с началами математического анализа наверняка вспомнит, что необходимое условие минимума функции в данной точке – это равенство нулю ее первой производной. В данном случае речь идет о функции T (Q). Если взять от нее производную по Q и приравнять к нулю, то отсюда мы получим значение Q, соответствующее минимуму полных издержек T, т.е. значение EOQ. Нетрудно проверить, что

EOQ =  (2 DS/H)1/2.

 

Рисунок 8. Зависимость полных издержек от размеров заказа.

 

КАК ВЫЧИСЛЯЮСЯ ПОЛНЫЕ ИЗДЕРЖКИ ХРАНЕНИЯ  Tmin ПРИ ОПТИМАЛЬНОМ РАЗМЕРЕ ЗАКАЗА (EOQ)?

 

Подставив значение EOQ в выражение для годовых издержек хранения TH , оформления заказа TS и полных издержек T, получим

TH = TS =  (DSH/2)1/2,    Tmin.  = (2DSH)1/2.

 

Таким образом, при экономичном размере заказа годовые издержки хранения и оформления заказа равны друг другу, а полные издержки – в два раза больше.

 

КАК ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ОПТИМАЛЬНАЯ ЧАСТОТА ЗАКАЗА ДЛЯ ГРУППЫ ТОВАРОВ В МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧНОГО РАЗМЕРА ЗАКАЗА?

На оптовом складе обычно находятся товары многих тысяч наименований (артикулов). При этом от каждого из поставщиков фирма обычно получает много десятков (если не сотен) различных наименований товаров. Поставщиков всегда, несомненно, меньше, чем разных типов товаров на складе. Формула экономичного размера заказа требует оценить размер заказа (и, следовательно, оптимальный уровень запаса) каждого артикула отдельно. Однако, невозможно себе представить, что за каждым из нескольких десятков наименований товаров, которые фирма получает от данного поставщика, она будет посылать специальный транспорт. Да и поставщик, видимо, будет настаивать на том, чтобы в каждом заказе отгружать весь ассортимент товаров, которые фирма у него покупает. Таким образом, возникает необходимость объединять товары в группы (группируя их, например, по поставщикам, которые эти товары поставляют) и определять оптимальную частоту заказа целой группы товаров. Это легко сделать, используя ту же идею, что и в исходной модели экономичного размера заказа. Пусть имеется группа из k товаров, которые мы заказываем у данного поставщика (где 1£ i £k). Пусть годовая потребность каждого из них Di , а стоимость - Ci  (где 1£ i £k). Пусть, далее,  стоимость формирования, размещения и доставки заказа для всей группы товаров равна S. Если мы предполагаем, что нужно делать n заказов в год, то количество каждого товара в каждом заказе должно быть Di /n . Тогда издержки хранения TH и издержки заказа TS за год будут выражаться следующими формулами.

Годовые издержки хранения TH равны:

 

TH = ∑i=1,k( Di Si h%/2n),

 

где удельные издержки хранения h% – это проценты от стоимости единицы запаса  C при хранении этой единицы в течение года.

 

Годовые издержки заказа TS равны:

TS = nS.

 

 

Минимизируя сумму этих издержек T = TH + TS , легко получить, что оптимальная частота заказа группы товаров nоптим. равна:

nоптим.= (∑i=1,k( Di Si h%/2S))1/2.

 

 

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.

 

[1] Балдин К.В., Воробьев С.Н., Уткин В.Б. Управленческие решения: Учебник. – 2-е изд. –   М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К0», 2006, 496 с. 

 

[2] Дульзон А.А.  Разработка управленческих решений: Учебник. – Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2009. – 295 с.

 

[3] Зайцев М.Г., Варюхин С.Е. Методы оптимизации управления и принятия решений: примеры, задачи, кейсы: учебное пособие. 2-е изд., испр. М.: Издательство «Дело» АНХ, 2008 — 664 с.

 

[4] Трофимова Л.А., Трофимов В.В. Методы принятия управленческих решений: Учебное пособие. – СПб. : Изд-во СПбГУЭФ, 2012. – 101 с.

 

[5] Черноруцкий И.Г. Методы принятия решений. Учебное пособие. –  СПб.:  БХВ-Петербург, 2005. – 416 с.,  ил.