Основы математического моделирования

социально-экономических процессов

 

Лекция 3

Тема лекции: «Модели систем массового обслуживания»

1. Модели организационных структур управления (ОСУ).  

2. Системы и модели массового обслуживания. Классификация систем массового обслуживания (СМО).

3.Модели СМО. Показатели качества функционирования СМО.

 

1.      МОДЕЛИ ОРГАНИЗАЦИОННЫХ СТРУКТУР УПРАВЛЕНИЯ (ОСУ). 

 

Многие экономические задачи связаны с системами мас­сового обслуживания (СМО), т. е. с  такими системами, в кото­рых, с одной стороны, возникают массовые запросы (требо­вания) на выполнение каких-либо услуг, с другой — проис­ходит удовлетворение этих запросов.

 

СМО включает в себя следующие элементы: источник требований, входящий поток требований, очередь, обслуживающие устройства (каналы обслуживания), выходящий поток требований. Исследованием таких систем занимается теория массового обслуживания (ТМО).

 

Методами теории массового обслуживания (ТМО) могут быть решены многие задачи исследования процессов, происходящих в экономике. Так, в организации торговли эти методы позволяют определить оптимальное количество торговых то­ чек данного профиля, численность продавцов, частоту завоза товаров и другие параметры.  Другим характерным примером систем массового обслуживания могут служить склады или базы снабженческо-сбытовых организаций. И задача тео­рии массового обслуживания в данном случае сводится к тому, чтобы установить оптимальное соотношение между числом поступающих на базу требований на обслуживание и числом обслуживающих устройств, при котором суммар­ные расходы на обслуживание и убытки от простоя транс­порта были бы минимальными.  Теория массового обслужи­вания может найти применение и при расчете площади складских помещений, при этом складская площадь рас­сматривается как обслуживающее устройство, а  прибытие транспортных средств под выгрузку — как требование.

 

Модели теории массового обслуживания применяются также при решении ряда задач организации и нормирования труда, других социально-экономических проблем.  Переход к рынку требует от всех субъектов хозяйствования повышенной надежности и эффективности функционирования производств, гибкости и живучести в ответ на динамичные  изменения внешней деловой среды, снижения разновидностей рисков и потерь от запоздалых и некомпетентных  управленческих решений.

 

СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ (СМО) ЯВЛЯЮТСЯ МАТЕМАТИЧЕСКИМИ МОДЕЛЯМИ ОРГАНИЗАЦИОННЫХ СТРУКТУР УПРАВЛЕНИЯ (ОСУ).

 

ОРГАНИЗАЦИОННЫЕ СТРУКТУРЫ УПРАВЛЕНИЯ (ОСУ) призваны  оперативно отслеживать колебания рынка и принимать в зависимости от складывающихся ситуаций компетентные управленческие решения.

Поэтому становится понятным то внимание, которое уделяют субъекты рынка (транснациональные корпорации, промышленные предприятия, коммерческие банки, фирмы,  организации, малые предприятия и т.п.) выбору эффективно функционирующих организационных структур управления (ОСУ).

Взамен широко распространенных в 90-х  годах двадцатого столетия ОСУ  предприятий (иерархических, матричных, дуальных, параллельных и др.) сегодня в мире эффективно используются АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ ФОРМЫ МНОГОФУНКЦИОНАЛЬНЫХ СТРУКТУР, базирующихся на  принципах самоорганизации, адаптации, автономности отдельных подразделений с мягкими связями между ними.

 

Подобной структурой обладает множество передовых зарубежных фирм, в составе которых насчитывается множество рабочих групп с  сетевыми взаимоотношениями между ними. Популярными в последнее время считаются организации, ориентированные на минимизацию  потребления ресурсов, имеющие явно выраженную горизонтальную форму с координацией, осуществляемой не по иерархическому признаку, а самими рабочими группами,  организованными в сеть.

Альтернативными моделями, противостоящими моделям ОСУ, созданным на базе организационной логики и жесткого регулирования, являются нечеткие структуры без иерархических уровней и структурных подразделений, основанные на  координации личной ответственности и профилировании  самоуправляемых групп со следующими признаками:

 

а) наличием относительно независимых рабочих групп с участием  представителей различных подразделений, создаваемых для решения  определенных проектов и проблем, при широкой свободе действий и автономии в области координации задач и принятия решений;

б) ликвидацией жестких связей между подразделениями ОСУ с введением гибких взаимосвязей.

На аналогичных принципах базируется современная  концепция минимизированного по ресурсам производства: на подобных предприятиях в качестве организационных единиц используют рабочие группы с широкими полномочиями и большими  возможностями самоуправления с конечной целью, заключающейся в создании разумной гибкой организации труда, опирающейся на самостоятельно действующих исполнителей, а не на  синтезированные специалистами рациональные структуры;  сотрудниками оцениваются возникающие проблемы, определяются  возможности контактов со специалистами внутри и за пределами системы. Самоуправляемый персонал основной упор делает на самоорганизацию, заменяющую собой привнесенную извне (задаваемую сверху) жесткую упорядоченную структуру.

Крайним случаем такого подхода является создание  безорганизационной, постоянно «размороженной», структуры со  следующими свойствами:

-         широкое творческое обсуждение любых обрабатываемых процедур и поступающих извне сигналов без учета шаблонных решений и прошлого опыта;

-         автономная  работа членов групп с самостоятельной организацией временных взаимосвязей и производственных соглашений между  партнерами по мере необходимости для решения возникающих проблем.

-

Заметим, что чрезмерное увлечение одной системной функцией — гибкостью, при полном игнорировании прочих функций — интеграции, идентификации, учета и контроля, всегда опасно для устойчиво функционирующих систем, так как трудно обеспечить успешную координацию в рамках данной организации без высокой квалификации сотрудников, их способности к обучению и совершенствованию, к установлению эффективных контактов и координации.

При подобной форме организации основное внимание должно уделяться созданию условий для максимального  использования интеллекта человеческих ресурсов и повышения их  квалификации, выделению высококвалифицированных  специалистов — системщиков, увязывающих действия членов  организации для достижения конечной цели. При этом в сфере  системной координации существует вероятность возможных срывов, конфликтов и негативных последствий, так как ориентация на способность персонала к самоорганизации и самокоординации носит слишком общий характер. Хотя высокая компетентность, инициатива и сила воли каждого работника и влияет на  жизнеспособность любой децентрализованной организации, но в  целом они не могут заменить регулирующей функции целой  организационной структуры.

Сегодня в мире интенсивно развивается новое направление синтеза ОСУ как обучающихся систем, характеризующихся  следующими характерными особенностями:

 

а) привлечением  высококвалифицированных экспертов-специалистов к процессам восприятия и накопления информации, а также к обучению и расширению способностей персонала;

 

б) постоянным  изменением в процессе функционирования, расширением своих  способностей взаимодействия с окружающей деловой средой и  быстрой адаптацией к постоянно меняющимся внешним и  внутренним условиям;

 

в) широким распространением открытых  компьютерных сетей, охватывающих не только отдельные  организации, предприятия или их конгломераты, но и целые крупные регионы и даже совокупности стран (ЕЭС, СВИФТ и др.), что обусловливает новые возможности организации и повышения эффективности работы предприятий и отраслей в масштабах всей страны и даже всего мира.

Считается, что ОСУ должна создаваться на принципах  многофункциональности и многоаспектности, позволяющих  эффективно контролировать сложные рынки и распределять  имеющиеся ресурсы. Из анализа мирового опыта функционирования ОСУ в условиях рынка применительно к российской экономике и ее субъектам хозяйствования можно выделить следующие  рекомендации:

1) иерархическую ОСУ можно сохранять и применять с  минимумом риска для предприятия, если высшее руководство фирмы способно выступать в качестве координаторов проблем, а их подчиненные — в качестве «маленьких предпринимателей»; при этом предпринимательская инициатива и ответственность перемещаются с верхних в нижние эшелоны фирменной власти при исполнении иерархами действительно координаторских функций;

2) матричную ОСУ можно сохранять, если в фирме  отсутствует механическое дублирование служебных инстанций и  существует органичная сетевая структура с оптимальной  коммуникацией;

3) дуальную ОСУ следует применять при ясности и  контролируемости как ключевых связей между основными и  сопутствующими структурами, так и прозрачности функций самой  системы сопутствующих вторичных структур, причем они должны быть многофункциональными и многоцелевыми (типа «учебных центров»), а не специализированными, ориентированными лишь на собственные потребности;

4) параллельную ОСУ следует применять при сформированной конструктивной конкурентной культуре, сотрудничестве  партнеров на базе доверия, терпимости, готовности разрешать  конфликты, а в острых ситуациях иметь нейтральную «третейскую»  инстанцию.

При наличии средних предприятий, состоящих из слабо  интегрированных функциональных подразделений, на вторичные структуры можно возложить решение интеграционных проблем, но эффект от реализации этого механизма получится при  осознании руководством подразделений создания структурной  надстройки как средства поддержки их собственной позиции, а не как угрозу для их существования.

Развитие на стыке кибернетики, вычислительных сетей,  менеджмента и социальной психологии направления Groupware (США), связанного с электронными информационными системами, локальными диалоговыми сетями и средствами их  поддержки, обеспечивает распределенную работу больших  коллективов людей в режиме прямого доступа, позволяя хранить в  машинной памяти огромный объем информации (любую деловую, производственно-техническую и прочую документацию,  совещания, переговоры организации и даже обычные разговоры ее сотрудников, а также всю предысторию и опыт работы),  используя ее при необходимости для корректировки структуры,  функций, задач, стратегии и тактики управления в деятельности  конкретной организации. Такой подход по-новому раскрывает  понятие обучающейся организации, обеспечивает проведение  аналогий между процессами, протекающими в живых и в  диалоговых компьютерных системах.

Если обучение и память обусловливают выживание живых систем, то аналогично организационное обучение и память влияют на эффективность деятельности любой организации при изменении деловой внешней среды. Обучение, как живых, так и организационных систем обязательно ведет к структурным  изменениям. Организационно правильно построенная  компьютерная сеть может вызывать качественный сдвиг в улучшении  корпоративной деятельности. Гибкость и широта функциональных возможностей рабочих групп, реализующих управление  проектами при минимуме затрат на координацию их работы,  обусловливают рост и качество исполнения крупных задач, стоящих  перед фирмами, необходимость оптимизации функциональных подразделений и организационных структур в целом, изменения связей между функциональными единицами в зависимости от складывающихся ситуаций.

Качество реструктуризации в живых и организационных  системах определяется совокупностью унаследованного и  приобретенного поведения, эффективностью обучения и памяти,  организации инфраструктур, обеспечивающих совершенствование взаимосвязей и диалогов между людьми. Повышение скорости обучения и эффективности памяти организации зависит от способа управления  взаимоотношениями и диалогами между людьми. Сегодня коммуникации — это координация действий, а не передача информации.  Организационные инфраструктуры должны расширять возможности  формирования и поддержки диалогов между людьми независимо от их традиций, культуры и др. Пример тому организация и  распространение сети Internet и ей подобных.

Учет специфики моделей разновидностей СМО в практической деятельности субъектов рынка позволяет:

 

- провести более глубокий анализ особенностей функционирования сложных систем, оценить их качество и эффективность с получением конкретных количественных оценок;

 

- вскрыть имеющиеся резервы и возможности по оптимизации  протекающих процессов, экономии финансовых и прочих ресурсов,  снижению рисков в условиях неопределенности деловой внешней и внутренней среды.

 

Рассмотрим эти вопросы подробнее.

2. СИСТЕМЫ И МОДЕЛИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ (СМО).

 

Теория массового обслуживания опирается на теорию вероятностей и математическую статистику. Первоначальное развитие теории массового обслуживания связано с именем датского уче­ного А. К. Эрланга (1878—1929), с его трудами в области проекти­рования и эксплуатации телефонных станций.

Теория массового обслуживания  – область прикладной мате­матики, занимающаяся анализом процессов в системах произ­водства, обслуживания, управления, в которых однородные события повторяются многократно, например, на предприятиях бытового обслуживания; в системах приема, переработки и пере­дачи информации; автоматических линиях производства и др.

Большой вклад в развитие этой теории внесли российские математики А. Я. Хинчин, Б. В. Гнеденко, А. Н. Колмогоров, Е. С. Вентцель и др.

Предметом теории массового обслуживания является установ­ление зависимостей между характером потока заявок, числом ка­налов обслуживания, производительностью отдельного канала и эффективным обслуживанием с целью нахождения наилучших путей управления этими процессами. Задачи теории массового обслуживания носят оптимизационный характер и в конечном итоге включают экономический аспект по определению такого варианта системы, при котором будет обеспечен минимум сум­марных затрат от ожидания обслуживания, потерь времени и ре­сурсов на обслуживание и от простоев каналов обслуживания.

Задачи организации массового обслуживания возникают практически во всех сферах человеческой деятельности, напри­мер обслуживание продавцами покупателей в магазинах, обслу­живание посетителей на предприятиях общественного питания, обслуживание клиентов на предприятиях бытового обслужива­ния, обеспечение телефонных разговоров на телефонной стан­ции, оказание медицинской помощи больным в поликлинике и т.д. Во всех приведенных примерах возникает необходимость в удовлетворении запросов большого числа потребителей.

Перечисленные задачи можно успешно решать с помощью методов и моделей специально созданной для этих целей теории массового обслуживания (ТМО). В этой теории поясняется, что обслуживать необходимо кого-либо или что-либо, что определяется понятием «заявка (требование) на обслуживание», а опера­ции обслуживания выполняются кем-либо или чем-либо, назы­ваемыми каналами (узлами) обслуживания.

Заявки в силу массовости поступления на обслуживание об­разуют потоки, которые до выполнения операций обслужива­ния называются входящими, а после возможного ожидания начала обслуживания, т.е. простоя в очереди, образуют потоки об­служивания в каналах, а затем формируется выходящий поток заявок. В целом совокупность элементов входящего потока за­явок, очереди, каналов обслуживания и выходящего потока за­явок образует простейшую систему массового обслуживания — СМО.

 

Одним из параметров входного потока заявок является интенсивность входящего потока заявок  λ;

 

К параметрам каналов обслуживания заявок относятся:  интенсивность обслуживания μ, число каналов обслуживания n.  

 

Параметрами очереди являются:  максимальное число мест в очереди L_max;   дисциплина очереди D («первым пришел – первым ушел» (FIFO); «последним пришел – первым ушел» (LIFO); с приоритетами; случайный выбор из очереди).

 

 

Процедура обслуживания считается завершенной, когда заяв­ка на обслуживание покидает систему. Продолжительность ин­тервала времени, требуемого для реализации процедуры обслу­живания, зависит в основном от характера запроса заявки на об­служивание, состояния самой обслуживающей системы и канала обслуживания.

Действительно, например, продолжительность пребывания покупателя в супермаркете зависит, с одной стороны, от личностных качеств покупателя, его запросов, от ассортимента товаров, который он собирается приобрести, а с другой — от формы организации об­служивания и обслуживающего персонала, что может значитель­но повлиять на время пребывания покупателя в супермаркете и интенсивность обслуживания.

 

Под обслуживанием заявок мы будем понимать процесс удовле­творения потребности. Обслуживание имеет различный характер по своей природе. Однако во всех примерах поступившие заявки нуждаются в обслуживании со стороны какого-либо устройства.

В некоторых случаях обслуживание производится одним челове­ком (обслуживание покупателя одним продавцом), в некоторых — группой людей (обслуживание клиента в  ресторане), а в некоторых случаях — техническими устройст­вами (продажа газированной воды, бутербродов автоматами).

Совокупность средств, которые осуществляют обслуживание за­явок, называется каналом обслуживания.

Если каналы обслуживания способны удовлетворить одина­ковые заявки, то каналы обслуживания называются однородны­ми.

 

Совокупность однородных каналов обслуживания называет­ся обслуживающей системой.

В систему массового обслуживания поступает большое коли­чество заявок в случайные моменты времени, длительность обслу­живания которых также является случайной величиной. Последо­вательное поступление заявок в систему обслуживания называет­ся входящим потоком заявок, а последовательность заявок, покидающих систему обслуживания, — выходящим потоком.

Если максимальная длина очереди L_max = 0 , то СМО является системой без очередей.

 

Если L_max = N₀,   где N₀>0 – некоторое положительное число, то СМО является системой с ограниченной очередью.

 

Если L_max → ∞, то СМО является системой с бесконечной очередью.

 

 

Случайный характер распределения длительности выполне­ния операций обслуживания,   наряду со случайным характером поступления требований на обслуживание,  приводит к тому, что в каналах обслуживания протекает случайный процесс, который может быть назван (по аналогии с входным потоком заявок) потоком обслуживания заявок или просто потоком обслуживания.

Заметим, что заявки, поступающие в систему обслуживания, могут покинуть ее и будучи не обслуженными. Например, если покупатель не найдет в магазине нужный товар, то он покидает магазин, будучи не обслуженным. Покупатель может покинуть магазин также, если нужный товар имеется, но большая очередь, а покупатель не располагает временем.

Теория массового обслуживания занимается изучением про­цессов, связанных с массовым обслуживанием, разработкой ме­тодов решения типичных задач массового обслуживания.

При исследовании эффективности работы системы обслужи­вания важную роль играют различные способы расположения в системе каналов обслуживания.

При параллельном расположении каналов обслуживания тре­бование может быть обслужено любым свободным каналом.

Примером такой системы обслуживания является расчетный узел в магазинах самообслуживания, где число каналов обслужи­вания совпадает с числом кассиров-контролеров.

На практике часто обслуживание одной заявки осуществля­ется последовательно несколькими каналами обслуживания.

При этом очередной канал обслуживания начинает работу по обслуживанию заявки после того, как предыдущий канал закончил свою работу. В таких системах процесс обслуживания носит многофазовый характер, обслуживание заявки одним каналом называется фазой обслуживания. Например, если в магазине са­мообслуживания имеются отделы с продавцами, то покупатели сначала обслуживаются продавцами, а потом уже кассирами-контролерами.

Организация системы обслуживания зависит от воли челове­ка. Под качеством функционирования системы в теории массо­вого обслуживания понимают не то, насколько хорошо выполне­но обслуживание, а то, насколько полно загружена система об­служивания, не простаивают ли каналы обслуживания, не образуется ли очередь.

 

Работу системы обслуживания характеризуют такие показате­ли, как время ожидания начала обслуживания, длина очереди, возможность получения отказа в обслуживании, возможность простоя каналов обслуживания, стоимость обслуживания и в ко­нечном итоге удовлетворение качеством обслуживания.

 

Чтобы улучшить качество функционирования системы об­служивания, необходимо определить, каким образом распреде­лить поступающие заявки между каналами обслуживания, какое количество каналов обслуживания необходимо иметь, как распо­ложить или сгруппировать каналы обслуживания или обслужива­ющие аппараты для улучшения показателей. Для решения перечисленных задач существует эффек­тивный метод моделирования, включающий и объединяющий достижения разных наук, в том числе математики.

 

Потоки событий.

Переходы СМО из одного состояния в другое происходят под воздействием вполне определенных событий — поступле­ния заявок и их обслуживания. Последовательность появления событий, следующих одно за другим в случайные моменты вре­мени, формирует так называемый поток событий.

 

Примерами таких потоков являются потоки различной природы — потоки товаров, денег, документов; транспортные потоки; потоки клиентов, покупателей; потоки телефонных звонков, переговоров и др. По­ведение системы обычно определяется не одним, а сразу не­сколькими потоками событий. Например, обслуживание поку­пателей в магазине определяется потоком покупателей и пото­ком обслуживания; в этих потоках случайными являются моменты появления покупателей, время ожидания в очереди и время, затрачиваемое на обслуживание каждого покупателя.

При этом основной характерной чертой потоков является веро­ятностное распределение времени между соседними события­ми. Существуют различные потоки, которые отличаются свои­ми характеристиками.

Поток событий называется регулярным, если в нем события следуют одно за другим через заранее заданные и строго опреде­ленные промежутки времени. Такой поток является идеальным и очень редко встречается на практике. Чаще встречаются нерегу­лярные потоки, не обладающие свойством регулярности.

Поток событий называется стационарным, если вероятность попадания любого числа событий на промежуток времени зави­сит только от длины этого промежутка и не зависит от того, как далеко расположен этот промежуток от начала отсчета времени.

То есть стационарным называется поток, для которого математическое ожидание числа требований, поступающих в систему в единицу времени (обозначим λ), не меняется во времени. Таким образом, вероятность поступления в систему определен­ного количества требований в течение заданного промежутка времени ∆t зависит от его величины и не зависит от начала его отсчета на оси времени.

 

Стационарность потока означает независимость от времени его вероятностных характеристик; в частности, интенсивность тако­го потока есть среднее число событий в единицу времени и оста­ется величиной постоянной. На практике обычно потоки могут считаться стационарными только на некотором ограниченном промежутке времени. Обычно поток покупателей, например, в магазине существенно меняется в течение рабочего дня. Однако можно выделить определенные временные интервалы, внутри которых этот поток допустимо рассматривать как стационарный, имеющий постоянную интенсивность.

 

Отсутствие последействия означает, что число требова­ний, поступивших в систему до момента t, не определяет того, сколько требований поступит в систему за промежуток вре­мени от t до t+∆t.

 

Например, если на ткацком станке в данный момент произошел обрыв нити,  и он устранен ткачихой, то это не оп­ределяет, произойдет новый обрыв на данном станке в следующий момент или нет, тем более это не влияет на веро­ятность возникновения обрыва на других станках.

Поток событий называется потоком без последствия, если число событий, попадающих на один из произвольно выбран­ных промежутков времени, не зависит от числа событий, попавших на другой, также произвольно выбранный промежуток, при условии, что эти промежутки не пересекаются между собой.

 

В потоке без последствия события появляются в последовательные моменты времени независимо друг от друга. Например, поток покупателей, входящих в магазин, можно считать потоком без последствия потому, что причины, обусловившие приход каждо­го из них, не связаны с аналогичными причинами для других по­купателей.

Поток событий называется ординарным, если вероятность по­падания на очень малый отрезок времени сразу двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попа­дания только одного события.

 

Другими словами, ординарность потока означает практическую невозмож­ность одновременного поступления двух и более требований. Например, достаточно малой является вероятность того, что из группы станков, обслуживаемых бригадой ремонтников, одновременно выйдут из строя сразу несколько станков. В ординарном потоке события происходят поодиночке, а не по два (или более) сразу.

Если поток одновременно обладает свойствами стационарнос­ти, ординарности и отсутствием последствия, то такой поток назы­вается простейшим (или пуассоновским) потоком событий.

 

Мате­матическое описание воздействия такого потока на системы ока­зывается наиболее простым. Поэтому, в частности, простейший поток играет среди других существующих потоков особую роль.

 

Методы и модели, применяющиеся в теории массового обслуживания (ТМО), можно условно разделить на АНАЛИТИЧЕСКИЕ и ИМИТАЦИОННЫЕ.

Аналитические методы теории массового обслуживания позволяют получить характеристики системы как некото­рые функции параметров ее функционирования. Благодаря этому появляется возможность проводить качественный анализ влияния отдельных факторов на эффективность работы СМО.

 

Имитационные методы основаны на моделировании процес­сов массового обслуживания на ЭВМ и применяются, если невозможно применение аналитических моделей.

 

ДАЛЕЕ БУДЕМ РАССМАТРИВАТЬ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СМО.

В настоящее время теоретически наиболее разработаны и удобны в практических приложениях методы решения та­ких задач массового обслуживания, в которых входящий поток требований является простейшим (пуассоновским).

Для простейшего потока частота поступления требований в систему подчиняется закону Пуассона, т.е. вероятность по­ступления за время t ровно k требований задается формулой:

 

 

 

Важная характеристика СМО — время обслуживания требований в системе.

 

Время обслуживания одного требования является, как правило, случайной величиной и, следователь­но, может быть описано законом распределения.

 

Наибольшее распространение в теории и особенно в практических прило­жениях получил экспоненциальный закон распределения времени обслуживания. Функция распределения для этого закона имеет вид:

F(t) =  1 –   e^-μt,       (2)

т.е. вероятность того, что время обслуживания не превосхо­дит некоторой величины t, определяется формулой (2), где μ — параметр экспоненциального закона распределения времени обслуживания требований в системе. То есть  μ  - это величина, обратная среднему времени обслуживания t_o6.:

μ = 1/ t_o6.    (3)

 

Кроме понятия простейшего потока событий часто приходит­ся пользоваться понятиями потоков других типов.

 

Поток собы­тий называется потоком  Пальма, когда в этом потоке промежутки времени между последовательными событиями T1, T2, ..., Тn являются независимыми, одинаково распределенными, слу­чайными величинами, но в отличие от простейшего потока необязательно распределенными по показательному закону.

 

Про­стейший поток является частным случаем потока Пальма.

Важным частным случаем потока Пальма является так назы­ваемый поток Эрланга. Этот поток получается «прореживанием» простейшего потока. Такое «прореживание» производится путем отбора по определенному правилу событий из простейшего пото­ка. Например, условившись учитывать только каждое второе со­бытие из образующих простейший поток, мы получим поток Эрланга второго порядка. Если брать только каждое третье событие, то образуется поток Эрланга третьего порядка и т.д. Можно полу­чить потоки Эрланга любого k-го порядка. Очевидно, простей­ший поток есть поток Эрланга первого порядка.

КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ.

 

Любое исследование системы массового обслуживания (СМО) начи­нается с изучения того, что необходимо обслуживать, следова­тельно, с изучения входящего потока заявок и его характеристик.

 

1. В зависимости от условий ожидания начала обслуживания различают:

- СМО с потерями (отказами),

- СМО с ожиданием.

 

В СМО с отказами требования, поступающие в момент, когда все каналы обслуживания заняты, получают отказ и теряются. Классическим примером системы с отказами явля­ется телефонная станция. Если вызываемый абонент занят, то требование на соединение с ним получает отказ и теряется.

В СМО с ожиданием требование, застав все обслуживаю­щие каналы занятыми, становится в очередь и ожидает, пока не освободится один из обслуживающих каналов.

СМО, допускающие очередь, но с ограниченным числом требований в ней, называются системами с ограниченной длиной очереди.

СМО, допускающие очередь, но с ограниченным сроком пребывания каждого требования в ней, называются систе­мами с ограниченным временем ожидания.

2. По числу каналов обслуживания СМО делятся на

- одноканальные;

- многоканальные.

 

3. По месту нахождения источника требований

СМО делятся на:

- разомкнутые, когда источник требования находится вне системы;

- замкнутые, когда источник находится в самой системе.

 

Примером разомкнутой системы может служить мастерская по обслуживанию и ремонту бытовой техники. Здесь неисправные устройства  — это источник требований на их обслуживание, находятся вне самой системы, число требований можно считать неограни­ченным.

 

К замкнутым СМО относится, например, станочный участок, в котором станки являются источником неисправностей, и,  следовательно, источником требований на их обслу­живание, например, бригадой наладчиков.

Возможны и другие признаки классификации СМО, на­пример, по дисциплине обслуживания, однофазные и многофазные СМО и др.

3. МОДЕЛИ СМО. ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СМО.

 

Рассмотрим аналитические модели наиболее распростра­ненных СМО с ожиданием, т.е. таких СМО, в которых требо­вания, поступившие в момент, когда все обслуживающие ка­налы заняты, ставятся в очередь и обслуживаются по мере освобождения каналов.

ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СОСТОИТ В СЛЕДУЮЩЕМ.

 

Система имеет n обслуживающих каналов, каждый из которых может одновременно обслуживать только одно требование.

 

В систему поступает простейший (пуассоновский) поток требований с параметром λ.  

 

Если в момент поступления оче­редного требования в системе на обслуживании уже находится не меньше n требований (т.е. все каналы заняты), то это требование становится в очередь и ждет начала обслуживания.

 

Время обслуживания каждого требования t_об. — случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному за­кону распределения с параметром μ.

СМО С ОЖИДАНИЕМ МОЖНО РАЗБИТЬ НА ДВЕ БОЛЬШИЕ ГРУППЫ: ЗАМКНУТЫЕ И РАЗОМКНУТЫЕ.

 

К замкнутым относятся системы, в которых поступающий поток требований возникает в самой системе и ограничен.

 

Например, мастер, задачей кото­рого является наладка станков в цехе, должен периодически их обслуживать. Каждый налаженный станок становится потенциальным источником требований на накладку. В по­добных системах общее число циркулирующих требования конечно и чаще всего постоянно.

Если питающий источник обладает бесконечным числом требований, то системы называются разомкнутыми.

Приме­рами подобных систем могут служить магазины, кассы вокза­лов, портов и др. Для этих систем поступающий поток требо­ваний можно считать неограниченным.

Отмеченные особенности функционирования систем этих двух видов накладывают определенные условия на исполь­зуемый математический аппарат. Расчет характеристик работы СМО различного вида может быть проведен на основе расчета вероятностей состояний СМО (так называемые фор­мулы Эрланга).

1.      РАЗОМКНУТАЯ СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОЖИДАНИЕМ.

1.

Рассмотрим алгоритмы расчета показателей качества функционирования  разомкнутой СМО с ожиданием.

 

При изучении таких систем рассчитывают различные по­казатели эффективности обслуживающей системы. В каче­стве основных показателей могут быть вероятность того, что все каналы свободны или заняты, математическое ожидание длины очереди (средняя длина очереди), коэффициенты за­нятости и простоя каналов обслуживания и др.

Введем в рассмотрение параметр α = λ/μ. Заметим, что если выполняется неравенство α/n < 1, то очередь не может расти безгранично.

 

Это условие имеет следующий смысл: λ — среднее число требо­ваний, поступающих за единицу времени, 1/μ — среднее время обслуживания одним каналом одного требования, тогда α = λ ∙ (1/μ) — среднее число каналов, которое необходимо иметь, чтобы обслуживать в единицу времени все поступаю­щие требования. Тогда μ - среднее число требований, обслуживаемых одним каналом за единицу времени.  

 

 

Поэтому условие:  α/n < 1,  означает, что чис­ло обслуживающих каналов должно быть больше среднего числа каналов, необходимых для того, чтобы за единицу времени обслужить все поступившие требования.

 

ВАЖНЕЙ­ШИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАБОТЫ СМО (для разомкнутой системы массового обслуживания с ожиданием):

1. Вероятность P₀ того, что все обслуживающие каналы сво­бодны:

 

 

 

2. Вероятность P_k того, что занято ровно k обслуживающих каналов при условии, что общее число требований, находя­щихся на обслуживании, не превосходит числа обслуживающих аппаратов, то есть при 1 ≤k ≤n:

 

 

3. Вероятность P_k того, что в системе находится k требований в случае, когда их число больше числа обслуживающих каналов, то есть при k > n:

 

4. Вероятность Pn того, что все обслуживающие каналы заняты:

            

 

5. Среднее время ожидания требованием начала обслу­живания в системе:

 

6. Средняя длина очереди:

 

7. Среднее число свободных от обслуживания каналов:

 

8. Коэффициент простоя каналов:

 

9. Среднее число занятых обслуживанием каналов:

 

10. Коэффициент загрузки каналов

 

ПРИМЕР 1.

 

Фирма по обслуживанию и  ремонту бытовой техники и электроники имеет филиал: мастерскую по ремонту мобильных телефонов, в которой работает n = 5 опытных мастеров. В среднем в течение рабочего дня от населения поступает в ремонт λ =10 мобильных телефонов. Общее число мобильных телефонов, находящихся в эксплуатации у населения, очень велико, и они независимо друг от друга в различное время выходят из строя. Поэтому есть основания считать, что поток заявок на ремонт ап­паратуры является случайным, пуассоновским. В свою оче­редь каждый мобильный телефон в зависимости от характера неисправ­ности также требует различного случайного времени на ре­монт. Время на проведение ремонта зависит во многом от серьезности полученного повреждения, квалификации мас­тера и множества других причин. Пусть статистика показа­ла, что время ремонта подчиняется экспоненциальному за­кону; при этом в среднем в течение рабочего дня каждый из мастеров успевает отремонтировать μ = 2,5 мобильных телефона.

Требуется оценить работу филиала фирмы по ремонту  ­бытовой техники и электроники, рассчитав ряд основных характеристик данной СМО.

 

За единицу времени принимаем 1 рабочий день (7 часов).

1. Определим параметр

α = λ / μ =  10/ 2,5 = 4.

Так как  α  <  n = 5, то можно сделать вывод: очередь не может расти безгранично.

 

2. Вероятность P₀ того, что все мастера свободны от ремонта аппаратуры, равна согласно (4):

P0 = (1 +  4 + 16/2 + 64/3! +  256/4! +  1024/5!(1- 4/5)) ^-1 = (77)^-1 ≈ 0,013.

3. Вероятность P5 того, что все мастера заняты ремонтом, находим по формуле (7) (Pn при n=5):

P5 = P0 ∙ 1024 /5! (1-4/5) = P0 ∙ 256 /6 ≈ 0,554.

 

Это означает, что 55,4% времени мастера полностью за­гружены работой.

4. Среднее время обслуживания (ремонта) одного аппарата согласно формуле (3):

t o6.  = 1/μ  = 7/2,5 = 2,8 ч./аппарат (важно: единица времени – 1 рабочий день, т. е. 7 часов).

5. В среднем время ожидания каждого неисправного мобильного телефона начала ремонта равно по формуле  (8):

tож.  = Pn/(μ (n-α)) = 0,554 ∙2,8/(5 - 4) =1,55 часа.

 

6. Очень важной характеристикой является средняя длина очереди, которая определяет необходимое место для хранения аппаратуры, требующей ремонта; находим ее по формуле (9):

Lоч.  = 4∙ P5/ (5-4) ≈  2,2  моб. телефона.

 

7. Определим среднее число мастеров, свободных от ра­боты, по формуле (10):

Ñ0 = P0 (5 + 16 + 24+ 64/3 + 32/3) = P0 ∙ 77 ≈ 1 мастер.

 

Таким образом, в среднем в течение рабочего дня ремонтом заняты четыре мастера из пяти.

 

2.      ЗАМКНУТАЯ СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ.  

 

Перейдем к рассмотрению алгоритмов расчета характери­стик функционирования замкнутых СМО.

 

Поскольку система замкнутая, то к постановке задачи следует добавить условие: поток поступающих требований ограничен, т.е. в системе обслуживания одновременно не может находиться больше m требований (m — число обслуживаемых объектов).

За критерий, характеризующий качество функциониро­вания рассматриваемой системы, выберем отношение средней длины очереди к наибольшему числу требований, находя­щихся одновременно в обслуживающей системе — коэффици­ент простоя обслуживаемого объекта.

 

В качестве другого критерия возьмем отношение среднего числа незанятых об­служивающих каналов к их общему числу — коэффициент простоя обслуживаемого канала.

Первый из названных критериев характеризует потери времени из-за ожидания начала обслуживания; второй по­казывает полноту загрузки обслуживающей системы.

Очевидно, что очередь может возникнуть, лишь когда число каналов обслуживания меньше наибольшего числа требований, нахо­дящихся одновременно в обслуживающей системе (n < m).

Приведем последовательность расчетов характеристик замкнутых СМО и необходимые формулы.

ПАРАМЕТРЫ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ.

 

1. Определим параметр α  = λ/μ — показатель загрузки системы, то есть математическое ожидание числа требований, поступающих в систему за время, равное средней длитель­ности обслуживания (1/μ = ṱo6.).

2. Вероятность P_k того, что занято k обслуживающих каналов при условии, что число требований, находящихся в системе, не превосходит числа обслуживающих каналов системы (то есть при m ≤ n):

 

3. Вероятность P_k того, что в системе находится k требований для случая, когда их число больше числа обслуживающих каналов (то есть при  k > n, при этом k ≤ m):

 

 

4. Вероятность P₀ того, что все обслуживающие каналы сво­бодны, определим, используя очевидное условие:

 

Тогда величина  P₀   будет равна:

 

5.  Среднее число M_оч. требований, ожидающих начала обслу­живания (средняя длина очереди):

Или с учетом формулы (15)

 

6. Коэффициент простоя обслуживаемого требования (объекта):

 

7. Среднее число M требований, находящихся в обслуживаю­щей системе, обслуживаемых и ожидающих обслуживания:

 

где для вычислений первой и второй суммы применяются формулы (14) и (15) соответственно.

 

8. Среднее число свободных обслуживающих каналов

где P_k вычисляется по формуле (14).

 

9. Коэффициент простоя обслуживающего канала

 

Рассмотрим пример расчета характеристик замкнутой СМО.

ПРИМЕР 2.

Рабочий обслуживает группу автоматов, состоя­щую из 3 станков. Поток поступающих требований на обслу­живание станков является пуассоновским  с параметром λ = 2 ст./ч.

Обслуживание одного станка занимает у рабочего в среднем 12 минут, а время обслуживания подчинено экспоненци­альному закону.

 

Тогда 1/μ = 0,2 ч./ст., т.е. μ = 5 ст./ч.,  Параметр α = λ/μ = 0,4.

Необходимо определить среднее число автоматов, ожи­дающих обслуживания, коэффициент простоя автомата, ко­эффициент простоя рабочего.

 

Обслуживающим каналом здесь является рабочий; так как станки обслуживает один рабочий, то n = 1. Общее число требований не может пре­взойти числа станков, т.е. m = 3.

Система может находиться в четырех различных состоя­ниях: 1) все станки работают; 2) один стоит и обслуживается рабочим, а два работают; 3) два стоят, один обслуживается, один ждет обслуживания; 4) три стоят, из них один обслу­живается, а два ждут очереди.

Для ответа на поставленные вопросы можно воспользо­ваться формулами (14) и (15).

 

P1 = P0∙ 6∙ 0,4/2 =  1,2 ∙ P0;

P2 = P0∙ 6∙ 0,4 ∙0,4 =  0,96 ∙ P0;

P3 = P0∙ 6∙ 0,4 ∙0,4 ∙ 0,4=  0,384 ∙ P0;

 

Сведем вычисления в таблицу (рис. 1).

k	k-n	Pk/P0	Pk	(k-n)Pk	kPk
0	-	1,0000	0,2822	-	0
1	0	1,2000	0,3386	0	0,3386
2	1	0,9600	0,2709	0,2709	0,5418
3	2	0,3840	0,1083	0,2166	0,3249
		∑Pk/P0 =  3,5440	∑Pk = 1,0000	∑ (k-n)Pk   = 0,4875	∑k Pk  =  1,2053

 

Рис. 1. Вычисление характеристик замкнутой СМО.

 

В этой таблице первым  вычисляется третий столбец,  т.е. отношения P_k/P₀ при k = 0,1,2,3.

 

Затем, суммируя величины по третьему столбцу и учитывая, что ∑ P_k = 1, получаем 1/P₀ = 3,544. Откуда Р₀ ≈ 0,2822.

 

 Умножая значения, стоящие в третьем столбце, на Р₀, получаем в соответствующих строках значения четвертого столбца.

 

Величина Р₀ = 0,2822, рав­ная вероятности того, что все автоматы работают, может быть истолкована как вероятность того, что рабочий свобо­ден. Получается, что в рассматриваемом случае рабочий будет свободен более 1/4 всего рабочего времени. Однако это не оз­начает, что «очередь» станков, ожидающих обслуживания, всегда будет отсутствовать. Математическое ожидание числа автоматов, стоящих в очереди, равно

Суммируя значения, стоящие в пятом столбце таблицы, получим среднюю длину очереди M_оч. = 0,4875. Следова­тельно, в среднем из трех станков 0,49 станка будет про­стаивать в ожидании, пока освободится рабочий.

Суммируя значения, стоящие в шестом столбце таблицы,  получим математическое ожи­дание числа простаивающих станков (ремонтируемых и ожидающих ремонта): М = 1,2053. То есть  в среднем 1,2 станка не будет выдавать продукцию.

 

Ко­эффициент простоя станка равен К_пр.об. = M_оч. /3  = 0,1625. То есть каждый станок простаивает примерно 0,16 часть рабо­чего времени в ожидании, пока рабочий освободится.

Коэффициент простоя рабочего в данном случае совпадает с P₀, так как n = 1 (все обслуживающие каналы свободны), поэтому

К_пр.кан. = N₀/n = 0,2822.

 

 

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

[1] Абчук В.А. Экономико-математические методы: Элементарная математика и логика. Методы исследования операций. – СПб.: Союз, 1999. – 320.

 

[2] Елтаренко Е.А. Исследование операций (системы массового обслуживания, теория игр, модели управления запасами). Учебное пособие. – М.: МИФИ, 2007.  – С. 157.

 

[3] Фомин Г. П. Математические методы и модели в коммерческой дея­тельности: Учебник. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Финан­сы и статистика, 2005. — 616 с: ил.

 

[4] Шелобаев С. И. Математические методы и модели в экономике,  финансах, бизнесе: Учеб. пособие для вузов. — М.: ЮНИТИ- ДАНА, 2001. - 367 с.

 

[5] Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для вузов/ В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш,  Д.М. Дайитбегов и др.; Под ред. В.В. Федосеева. — М.:  ЮНИТИ, 1999. - 391 с.