МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ПСИХОЛОГИИ

 

Лекция 1.

Тема лекции: «Методы описательной статистики в психологии»

1. Понятие измерения.  Измерительные шкалы.

2. Генеральная совокупность и выборка. Методы агрегирования данных.

3. Числовые характеристики распределений данных.  Первичные описательные статистики выборки.

1. ПОНЯТИЕ ИЗМЕРЕНИЯ. ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ШКАЛЫ.

 

1.1.Психологическое измерение.

 

В своей работе психолог часто сталкивается с необходимостью измерения индивидуально-психологических особенностей, таких, как, например, креативность, импульсивность,  тревожность, агрессивность и др. Для этого в психодиагностике разрабатываются специальные измерительные процедуры, в том числе и тесты. Помимо этого, в психологии широко используются экспериментальные методы и модели исследования психических феноменов в познавательной и личностной сферах. 

 

ПСИХОЛОГИЧЕСКОЕ ИЗМЕРЕНИЕ МОЖЕТ БЫТЬ САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИМ МЕТОДОМ, НО МОЖЕТ ВЫСТУПАТЬ И КАК КОМПОНЕНТ ЦЕЛОСТНОЙ ПРОЦЕДУРЫ ЭКСПЕРИМЕНТА.

 

Как самостоятельный метод, измерение служит для выявления индивидуальных различий поведения субъекта и отражения им окружающего мира, а также для исследования адекватности отражения (традиционная задача психофизики) и структуры индивидуального опыта.

 

Измерение включается в контекст эксперимента как метод регистрации состояния объекта исследования и соответственно изменения этого состояния в ответ на экспериментальное воздействие.

 

Исследования, проводимые по плану временных проб, зачастую сводятся лишь к измерениям особенностей поведения испытуемых через различные промежутки времени. Время в этом случае понимается как единственная переменная, воздействующая на объект.

На основе теории измерения строятся психологические тесты.

 

Тест — сокращенная по времени и упрощенная процедура психологического измерения, применяемая для решения практических (иногда, исследовательских) задач.

 

В чем заключается суть психологического измерения?

 

В ПСИХОЛОГИИ РАЗЛИЧАЮТ ТРИ ОСНОВНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ ПСИХОЛОГИЧЕСКОГО ИЗМЕРЕНИЯ.

 

Основанием для различения этих процедур измерения является объект измерения.

 

1. Во-первых, психолог может измерять особенности поведения людей для того, чтобы определить, чем один человек отличается от другого с точки зрения выраженности тех или иных свойств, наличия того или иного психического состояния или для отнесения его к определенному типу личности. Психолог, измеряя особенности поведения, определяет сходства или различия людей. Психологическое измерение становится измерением испытуемых.

 

2. Во-вторых, исследователь может использовать измерение как задачу испытуемого, в ходе выполнения которой последний измеряет (классифицирует, ранжирует, оценивает и т.п.) внешние объекты: других людей, стимулы или предметы внешнего мира, собственные состояния. Часто процедура измерения  оказывается измерением стимулов. Здесь понятие «стимул» используется в широком смысле, а не в узкопсихофизическом или поведенческом. Здесь под стимулом понимается любой шкалируемый объект.

 

3. В-третьих, существует процедура так называемого совместного измерения (или совместного шкалирования) стимулов и людей. При этом предполагается, что «стимулы» и «испытуемые» могут быть расположены на одной оси. Поведение испытуемого рассматривается как проявление взаимодействия личности и ситуации. Подобная процедура применяется при тестировании знаний и задач по Кумбсу, Гуттману или Рашу.

 

Внешне процедура психологического измерения ничем не отличается от процедуры психологического эксперимента.

 

Более того, в психологической исследовательской практике понятия «измерение» и «эксперимент» часто используются как синонимы.

 

Однако при проведении психологического эксперимента нас интересуют причинные связи между переменными, а результатом психологического измерения является всего лишь отнесение испытуемого либо оцениваемого им объекта к тому или иному классу, точке шкалы или пространству признаков.

 

В строгом смысле слова психологическим измерением можно назвать лишь измерение поведения испытуемых, т. е. измерение в первом значении этого понятия.

 

Психологическое измерение стимулов является задачей, которую выполняет не экспериментатор, а испытуемый в ходе обычного психологического (точнее — психофизического) эксперимента.

 

В этом случае измерение используется только как методический прием наряду с другими методами психологического исследования; испытуемый же «играет роль» измерительного прибора. Поскольку результаты такого рода «измерений» интерпретируются на основе той же модели измерений, а обрабатываются с применением тех же математических процедур, что и результаты измерения поведения испытуемых, то в психологии принято употреблять понятие «психологическое измерение» в двух различных смыслах.

 

Процедура психологического измерения состоит из ряда этапов, аналогичных этапам экспериментального исследования.

 

Основой психологических измерений является математическая теория измерений — раздел психологии, интенсивно развивающийся параллельно и в тесном взаимодействии с развитием процедур психологического измерения. Сегодня это — крупнейший раздел математической психологии.

 

1.2.Измерительные шкалы (шкалы Стивенса).

 

С математической точки зрения, измерением называется операция установления взаимно однозначного соответствия множества объектов и символов (как частный случай — чисел). Символы (в частности, числа) приписываются вещам по определенным правилам.

Правила, на основании которых числа приписываются объектам, определяют шкалу измерения.

Измерительная шкала — основное понятие, введенное в психологию в 1950 г. С. С. Стивенсом; его трактовка шкалы и сегодня используется в научной литературе. Поэтому измерительные шкалы еще называются шкалами Стивенса по имени ученого-психолога, который их предложил.   

 

Итак, приписывание чисел объектам создает шкалу. Создание шкалы возможно, поскольку существует изоморфизм формальных систем и систем действий, производимых над реальными объектами.

Числовая система является множеством элементов с реализованными на нем отношениями и служит моделью для множества измеряемых объектов.

 

Различают несколько типов таких систем и соответственно несколько типов шкал.

 

Операции, а именно — способы измерения объектов, задают тип шкалы.

 

Шкала в свою очередь характеризуется видом преобразований, которые могут быть отнесены к результатам измерения.

 

Если не соблюдать это правило, то структура шкалы нарушится, а данные измерения нельзя будет осмысленно интерпретировать.

 

ТИП ШКАЛЫ ОДНОЗНАЧНО ОПРЕДЕЛЯЕТ СОВОКУПНОСТЬ СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ, КОТОРЫЕ МОГУТ БЫТЬ ПРИМЕНЕНЫ ДЛЯ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ ИЗМЕРЕНИЯ.

 

Шкала (лат. scala — лестница) в буквальном значении есть измерительный инструмент.

П. Суппес и Дж. Зинес  дали классическое определение шкалы:

«Пусть A — эмпирическая система с отношениями (ЭСО),

R — полная числовая система с отношениями (ЧСО),

 f — функция, которая гомоморфно отображает А в подсистему R (если в области нет двух разных объектов с одинаковой мерой, то f  является изоморфизмом).

Шкалой назовем упорядоченную тройку объектов  <A; R; f>».

 

Обычно в качестве числовой системы R выбирается система действительных чисел или ее подсистема (например, множество натуральных чисел N).

 

Множество A — это совокупность измеряемых объектов с системой отношений, определенной на этом множестве.

 

Отображение f — правило приписывания каждому объекту определенного числа.

В настоящее время определение П. Суппеса и Дж. Зинеса уточнено следующим образом.

 

1)      Во-первых, в определение шкалы вводится группа G — группа допустимых преобразований.

 

2)      Во-вторых, в качестве множества R можно выбрать не только  числовую систему, но и  любую формальную знаковую систему, которая может быть поставлена в соответствие эмпирической системе  A с помощью гомоморфизма f: A → R.  

 

Таким образом, шкалой называется  упорядоченная четверка объектов <A; R; f; G>.

 

Согласно современным представлениям, внутренней характеристикой шкалы выступает именно группа допустимых преобразований G, а f является лишь привязкой шкалы к конкретной ситуации измерения.

 

В настоящее время под измерением понимается конструирование любой функции, которая изоморфно отображает эмпирическую структуру в символическую структуру. И совсем не обязательно такой символической структурой должна быть числовая (как это уже отмечено выше). Это может быть любая структура, с помощью которой можно измерить характеристики объектов, заменив их другими, более удобными в обращении символами (в том числе, и числами).

 

В самом широком смысле слова измерение определяется как приписывание чисел объектам или событиям, которое осуществляется по определенным правилам. Эти правила должны устанавливать соответствие между некоторыми свойствами рассматриваемых объектов, с одной стороны, и множеством чисел — с другой стороны.

Другими словами, измерение является операцией, посредством которой экспериментальным данным придается форма связного числового сообщения. Информация, представленная в числовой форме, может быть изучена с помощью математических методов.

Исследование экспериментальных данных математическими методами позволяет находить скрытые ранее свойства объектов или событий, получать научно обоснованные выводы. 

Любой вид измерения в естественных науках предполагает наличие единиц измерения. В естественных науках существуют стандартные единицы измерения: метр, градус, герц, ампер и т.д.

Психологические переменные за некоторым исключением не имеют собственных измерительных единиц. В большинстве случаев значение психологического признака определяется с помощью специальных измерительных шкал.

 

В психологии шкалы разделяют на количественные (метрические)  и качественные (неметрические).

 

Согласно С. С. Стивенсу (1951 г.) существует четыре типа измерительных шкал (или способов измерения).

 

ОСНОВНЫЕ ЧЕТЫРЕ ТИПА ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ШКАЛ СЛЕДУЮЩИЕ:

 

1) номинативная шкала (синонимы: номинальная шкала, шкала наименований);

2)порядковая шкала (синонимы: ординарная шкала, ранговая шкала, шкала порядка);

3) интервальная шкала (синоним: шкала интервалов);

4) шкала равных отношений (синоним: шкала отношений).

 

Измерения с помощью первых двух измерительных шкал считаются качественными, эти шкалы называют неметрическими; измерения с помощью 3-й и 4-й измерительных шкал считаются количественными, а эти шкалы называют метрическими.

 

Отметим, что ряд специалистов кроме основных типов измерительных шкал, выделяют также абсолютную шкалу и шкалу разностей.

 

Рассмотрим особенности каждого основного типа измерительных шкал.

 

1.      НОМИНАТИВНАЯ ШКАЛА

 

Шкала наименований (номинативная шкала) получается путем присвоения «имен» объектам. При этом нужно разделить множество объектов на непересекающиеся подмножества.

Иными словами, объекты сравниваются друг с другом, и определяется их эквивалентность—неэквивалентность. В результате данной процедуры образуется совокупность классов эквивалентности. Объекты, принадлежащие к одному классу, эквивалентны друг другу и отличны от объектов, относящихся к другим классам. Эквивалентным объектам присваиваются одинаковые имена.

 

ОПЕРАЦИЯ СРАВНЕНИЯ ЯВЛЯЕТСЯ ПЕРВИЧНОЙ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ЛЮБОЙ ШКАЛЫ.

 

Для построения измерительной шкалы нужно, чтобы объект X был равен или эквивалентен сам себе: X = X для всех значений X.

 

1)      То есть  на множестве измеряемых объектов должно быть реализовано отношение рефлексивности.

 

Для психологических объектов, например испытуемых или психических образов, это отношение реализуемо, если абстрагироваться от времени. Но поскольку операции попарного (в частности) сравнения множества всех объектов эмпирически реализуются не одновременно, то в ходе эмпирического измерения даже это простейшее условие не выполняется. Следует запомнить: любая шкала есть идеализация, модель реальности, даже такая простейшая, как шкала наименований.

 

Кроме отношения рефлексивности, на множестве измеряемых объектов должны быть, также, реализованы:

2)      отношение симметричности:   R (X = Y) ® R (Y = X) и

3)      отношение транзитивности R (X = Y, Y = Z) ® R (X = Z).

 

Но на множестве результатов психологических экспериментов эти условия могут нарушаться.

Кроме того, многократное повторение эксперимента (накопление статистики) приводит к «перемешиванию» состава классов: в лучшем случае мы можем получить оценку, указывающую на вероятность принадлежности объекта к классу.

Таким образом, нет оснований говорить о шкале наименований (номинативной шкале, или шкале строгой классификации) как о простейшей шкале, начальном уровне измерения в психологии.

Существуют более «примитивные» (с эмпирической, но не с математической точки зрения) виды шкал: шкалы, основанные на отношениях толерантности; шкалы «размытой» классификации и т.п.

 

О шкале наименований можно говорить в том случае, когда эмпирические объекты просто «помечаются» числом. В этом случае мы учитываем только одно свойство чисел: то, что это разные символы. В номинативной шкале остальные свойства чисел не учитываются. Например, такие операции, как упорядочивание чисел, сложение, вычитание, деление, в номинативной шкале не имеют смысла. 

Вообще говоря, вместо чисел при использовании шкалы наименований необходимо применять другие символы, поскольку для числовой шкалы (например, для множества натуральных чисел) определены арифметические и другие операции.

 

Итак, если объекты в каком-то отношении эквивалентны, то мы имеем право отнести их к одному классу.

Главное, как говорил С. Стивенc, не приписывать один и тот же символ разным классам или разные символы одному и тому же классу.

 

В основе номинативной шкалы (неметрической) лежит измерительная процедура — номинальное измерение, которая обычно не ассоциируется с изменением.

Используя определенное правило, объекты группируют по различным классам так, чтобы внутри класса они были идентичны по измеряемому свойству.

 

ПРИМЕРЫ.

1.      «пол»: 1 — мужской, 0 — женский.

 

2.      «предпочтение домашних животных»: 1 — собаки, 2 — кошки; 3 — морские свинки; 0 — никакие.

В случае, когда одному испытуемому присвоена 1, другому 2, третьему 3,  то в данном случае нельзя сказать, что 1 < 2, или  2 < 3. Можно лишь утверждать, что 1 ≠ 2, 2 ≠ 3 и т.д.  Номинативная шкала определяет только, что у этих испытуемых разные предпочтения: первый предпочитает собак, второй кошек, а третий — морских свинок.

 

3.  Психологи очень часто применяют шкалу наименований в исследованиях. «Объективные» измерительные процедуры при диагностике личности приводят к типологизации: отнесению конкретной личности к тому или иному типу. Примером такой типологии являются классические темпераменты: холерик, сангвиник, меланхолик и флегматик.  В этом случае мы может получить следующий пример группировки объектов по номинативной шкале:

«темперамент»:

 а) - сангвиник, б) - флегматик, в) - холерик, г) – меланхолик.

В «субъективной» психологии измерения используются также для классификации. Примеры: сортировка объектов по Гарднеру, метод константных стимулов в психофизике и т.д.

Символы, которые присваивают объектам в номинативной шкале, являются условными, их можно заменять один на другой. Операции с этими символам не имеют смысла. 

 

Самая простая номинативная шкала называется дихотомической. При измерениях по дихотомической шкале измеряемые признаки кодируют двумя символами, например: 0, 1; а), б) и т.п. Можно использовать любые два символа, отличающиеся друг от друга.

 

Признак, измеренный по дихотомической шкале, называется альтернативным. Примеры альтернативных признаков.

1.      этот человек — «экстраверт», а этот человек — «интроверт»;

2.      этот человек умеет водить машину, а этот человек — не умеет.

 

ПРИМЕР ИЗМЕРЕНИЯ ПО ДИХОТОМИЧЕСКОЙ ШКАЛЕ.

При исследовании группы из 30-и школьников признак «полная семья» проявился у 23 школьников из 30.  Поэтому каждому из 23-х школьников, у которых проявился признак «полная семья», можно поставить в  соответствие цифру 1, каждому из остальных 7-и школьников — цифру 0, соответствующую признаку «неполная семья». 

 

Во всех перечисленных случаях все измеряемые объекты по дихотомической шкале  разбиваются на два непересекающихся класса. Психолог может подсчитать количество объектов, принадлежащих каждому из этих двух классов. 

 
В номинативной шкале можно подсчитать частоту встречаемости признака. То есть число объектов (явлений  и т.п.), попавших в данных класс и обладающих данным свойством.

 

Единица измерения, которой мы оперируем в номинативной шкале — это количество наблюдений (испытуемых, свойств и т. п.).

 

Общее число наблюдений принимается  за 100 %. Тогда мы может подсчитать процентный состав испытуемых (респондентов) в каждом классе. Кроме того, мы может найти группу, в которой число испытуемых (респондентов) наибольшее. Эта группа носит название моды.

 

Исследователь, пользующийся шкалой наименований, может применять следующие инвариантные статистики: относительные частоты, моду, корреляции случайных событий, критерий c². К данным, полученным в номинативной шкале, можно применять следующие статистические методы: критерий Макнамары, критерий «хи-квадрат», угловое преобразование Фишера «φ» и коэффициент корелляции «φ».

 

2.ПОРЯДКОВАЯ ШКАЛА

 

Порядковая шкала (шкала порядка) образуется, если на множестве реализовано  бинарное отношение — отношение порядка (отношение нестрого частичного порядка: «больше или равно» и «меньше или равно»).

Построение шкалы порядка — процедура более сложная, чем создание шкалы наименований. На шкале порядка объект может находиться между двумя другими, причем, выполняется свойство транзитивности отношения порядка.   Например, если а ≥ b и  b≥ с, то а ≥ с.

 

КЛАССЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ, ВЫДЕЛЕННЫЕ ПРИ ПОМОЩИ ШКАЛЫ НАИМЕНОВАНИЙ, МОГУТ БЫТЬ УПОРЯДОЧЕНЫ В ШКАЛЕ ПОРЯДКА ПО НЕКОТОРОМУ ОСНОВАНИЮ.

 

Различают шкалу строгого порядка (отношение строгого порядка: «больше» и «меньше»)  и шкалу слабого порядка (отношение частичного порядка: «больше или равно» и «меньше или равно»).

 

В первом случае на элементах множества реализуются отношения «больше» и «меньше», а во втором — «больше или равно» и «меньше или равно».

 

Шкала порядка сохраняет свои свойства при изотонических преобразованиях. Все функции, которые не имеют максимума (монотонные), отвечают этой группе преобразований.

 

Если измеряемым объектам присваивать натуральные числа, то значения измеренных величин можно заменять квадратами, логарифмами, нормализовать и т.д. При таких преобразованиях значений величин, определенных по шкале порядка, место объектов на шкале не изменяется, т.е. не происходит инверсий.

 

Еще С. Стивенс высказывал мнение, что результаты большинства психологических измерений в лучшем случае соответствуют лишь шкалам порядка.

Шкалы порядка широко используются в психологии познавательных процессов, экспериментальной психосемантике, социальной психологии: ранжирование, оценивание, в том числе педагогическое, дают порядковые шкалы. Классическим примером использования порядковых шкал является тестирование личностных черт, а также способностей. Большинство же специалистов в области тестирования интеллекта полагают, что процедура измерения этого свойства позволяет использовать интервальную шкалу и даже шкалу отношений.

Как бы то ни было, шкала порядка позволяет ввести линейную упорядоченность объектов на некоторой оси признака. Тем самым вводится важнейшее понятие — измеряемое свойство (или линейное свойство). В то время как шкала наименований использует «вырожденный» вариант интерпретации понятия «свойство»: «точечное» свойство (свойство есть — свойства нет).

 

Переходным вариантом шкалы порядка можно считать дихотомическую классификацию, проводимую по принципу «есть свойство — нет свойства».

Если у объекта свойство есть, то объекту приписывается число 1, если у объекта свойства нет, то объекту приписывается число 0, при этом 1 > 0.

 

Типичный и хорошо известный всем пример порядковой шкалы — школьные оценки от 5 до 1 балла. Еще пример — судейство в телевизионной игре КВН, который также представляет собой вариант ранжирования.

 

ЧИСЛОВЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ПОРЯДКОВОЙ ШКАЛЫ НЕЛЬЗЯ СКЛАДЫВАТЬ, ВЫЧИТАТЬ, ДЕЛИТЬ И УМНОЖАТЬ.

 

 

ПРИМЕР.

Требуется закодировать уровень агрессивности по пяти градациям: самый низкий, низкий, средний, высокий, самый высокий (рис.1).

 

 

 

Градация	Код	Градация	Код	Градация	Код	Градация	Код
Самый низкий	1	Самый низкий	99	Самый низкий	1	Самый низкий	10
Низкий	2	Низкий	77	Низкий	25	Низкий	15
Средний	3	Средний	44	Средний	39	Средний	20
Высокий	4	Высокий	33	Высокий	59	Высокий	25
Самый высокий	5	Самый высокий	11	Самый высокий	99	Самый высокий	30

Рис 1. Кодирование уровней агрессивности по пяти градациям.

 

Каждая из предложенных кодировок является правильной, так как сохраняется отношение порядка. Первая кодировка является наиболее естественной, привычной, и поэтому более предпочтительной. Пример показывает, что интервалы в ранговой шкале не равны между собой. Например, для второй градации разность рангов по абсолютной величине равна: |99 – 77|  = 22, |77 — 44| = 33, |44 — 33| = 11, |33 — 11| = 22. 

 

Другими словами, при измерении в шкале порядка (ранговой шкале) из всех свойств чисел учитывается только то, что они разные и одно число больше другого. 

 

В порядковой шкале должно быть не меньше трех классов (групп). Например, низкий, средний, высокий. Так, чтобы можно было расставить измеренные признаки по порядку (проранжировать). Чем больше число классов разбиений всей экспериментальной совокупности, тем шире возможности статистической обработки полученных данных и проверки статистических гипотез.

 

ПРИМЕР.

Четверым бегунам присвоены ранги в зависимости от того, кто достиг финиша раньше, при этом ранг 1 присвоен самому быстрому бегуну (рис. 2).

 

Бегун	Ранг
A	1
B	2
C	3
D	4

Рис. 2. Пример ранжирования по порядковой шкале.

 

Основываясь только на этих данных, мы может судить о том, кто раньше прибежал, а кто – позже. Но мы не можем судить, насколько каждый из них прибежал быстрее или медленнее другого. Поскольку бегун A мог быть тренированным спортсменом, который пробежал дистанцию в два раза быстрее, чем бегуны  B, C и D, пробежавшие дистанцию с минимальным отрывом друг от друга.  

 

При ранжировании группы из N испытуемых (каждому испытуемому приписывается ранг от  1 до K в зависимости от выраженности свойства) должно соблюдаться следующее правило ранжирования: если у двух и более испытуемых свойство выражено одинаково, то каждому из них присваивается  средний ранг. Например, если двое испытуемых в группе показали самый высокий одинаковый результат, то им присваивается средний ранг: 1,5 = (1+2)/2, если трое – то средний ранг будет равен 2 = (1+2+3)/3 и т.д. 

 

В СООТВЕТСТВИИ С ПРАВИЛОМ РАНЖИРОВАНИЯ СУММА ВСЕХ ПРИСВОЕННЫХ РАНГОВ (СВЯЗАННЫХ И НЕСВЯЗАННЫХ) ДЛЯ ГРУППЫ ЧИСЛЕННОСТЬЮ N ДОЛЖНА БЫТЬ РАВНА N(N+1)/2, ВНЕ ЗАВИСИМОСТИ ОТ НАЛИЧИЯ ИЛИ ОТСУТСТВИЯ СВЯЗЕЙ В РАНГАХ.

 

Для интерпретации данных, полученных посредством порядковой шкалы, можно использовать более широкий спектр статистических мер (в дополнение к тем, которые допустимы для шкалы наименований). В качестве характеристики центральной тенденции можно использовать медиану, а в качестве характеристики разброса — процентили. Для установления связи двух измерений допустима порядковая корреляция. Можно вычислить коэффициент ранговой корреляции t - Кэнделла и   коэффициент ранговой корреляции r - Спирмена.

 

3. ИНТЕРВАЛЬНАЯ ШКАЛА

 

Шкала интервалов является первой метрической шкалой. Собственно, начиная с нее, имеет смысл говорить об измерениях в узком смысле этого слова — о введении меры на множестве объектов. Шкала интервалов определяет величину различий между объектами в проявлении свойства. С помощью шкалы интервалов можно сравнивать два объекта. При этом выясняют, насколько более или менее выражено определенное свойство у одного объекта, чем у другого.

Шкала интервалов очень часто используется исследователями. Классическим примером применения этой шкалы в физике является измерение температуры по Цельсию. Шкала интервалов имеет масштабную единицу, но положение нуля на ней произвольно, поэтому нет смысла говорить о том, во сколько раз больше или меньше утренняя температура воздуха, измеренная шкалой Цельсия, чем дневная.

 

ПРИМЕР.

Если вчера дневная температура воздуха была +10⁰ С, а сегодня  + 5⁰ С. То не имеет смысла говорить о том, что вчера днем было в два раза теплее, чем сегодня.

 

В шкале интервалов каждое из возможных значений измеренных величин отстоит от ближайшего к нему значения на равном расстоянии.

 

Главное понятие этой шкалы – интервал, который можно определить как долю или часть измеряемого свойства между двумя соседними позициями на шкале.

 

Размер интервала – величина фиксированная и постоянная на всех участках шкалы.

Для измерения посредством шкалы интервалов устанавливаются специальные единицы измерения. В психологии - это стены и стенайны.

 

ПРИ РАБОТЕ С ИНТЕРВАЛЬНОЙ ШКАЛОЙ ИЗМЕРЯЕМОМУ СВОЙСТВУ ИЛИ ПРЕДМЕТУ ПРИПИСЫВАЕТСЯ ЧИСЛО, РАВНОЕ КОЛИЧЕСТВУ ЕДИНИЦ ИЗМЕРЕНИЯ, ЭКВИВАЛЕНТНОЕ КОЛИЧЕСТВУ ИМЕЮЩЕГОСЯ СВОЙСТВА.

 

Важной особенностью шкалы интервалов является то, что в нее нет естественной точки отсчета (нуль условен  и не указывает на отсутствие измеряемого свойства).

 

В психологии часто используется семантический дифференциал Ч.Осгуда, который является примером измерения по интервальной шкале различных психологических особенностей личности, социальных установок, ценностных ориентаций, субъективно-личностного смысла, различных аспектов самооценки и т.п.

Метод семантического дифференциала был введен Чарльзом Осгудом в 1952 году.

Ч. Осгуд обосновал использование трех базисных оценочных семибальных шкал:

 

«оценка»: хороший   3   2   1   0   -1   - 2   -3  плохой;

 

«сила»: сильный         3   2  1  0  -1  -2  -3        слабый; 

 

«активность»: активный 3 2 1 0 -1 -2 -3 пассивный.  

Только измерение по строго стандартизированной тестовой методике, при условии того, что распределение значений в репрезентативной выборке достаточно близко к нормальному распределению,  можно считать измерением по интервальной шкале.

 

Значения интервальной шкалы инвариантны относительно группы аффинных преобразований прямой. То есть мы имеем право изменять масштаб шкалы, умножая каждое из ее значений на константу, и производить ее сдвиг относительно произвольно выбранной точки на любое расстояние вправо или влево (прибавлять или отнимать константу).

Интервальная шкала позволяет применять практически всю параметрическую статистику для анализа данных, полученных с ее помощью. Помимо медианы и моды для характеристики центральной тенденции используется среднее арифметическое, а для оценки разброса — дисперсия. Можно вычислять коэффициенты асимметрии и эксцесса и другие параметры распределения. Для оценки величины статистической связи между переменными применяется коэффициент линейной корреляции Пирсона и т.д.

 

Большинство специалистов по теории психологических измерений полагают, что тесты измеряют психические свойства с помощью шкалы интервалов. Прежде всего, это касается тестов интеллекта и достижений. Численные значения одного теста можно переводить в численные значения другого теста с помощью линейного преобразования: x' = ах + b.

Ряд авторов полагает, что относить тесты интеллекта к шкалам интервалов нет оснований.

 

Во-первых, каждый тест имеет «нуль» — любой индивид может получить минимальный балл, если не решит ни одной задачи в отведенное время.

 

Во-вторых, тест имеет максимум шкалы — балл, который испытуемый может получить, решив все задачи за минимальное время.

 

В-третьих, разница между отдельными значениями шкалы неодинакова. По крайней мере, нет никаких теоретических и эмпирических оснований утверждать, что 100 и 120 баллов по шкале IQ отличаются на столько же, на сколько 80 и 100 баллов.

 

Скорее всего, шкала любого теста интеллекта является комбинированной шкалой, с естественным минимумом и/или максимумом, но порядковой. Однако эти соображения не мешают тестологам рассматривать шкалу IQ как интервальную, преобразуя «сырые» значения в шкальные с помощью известной процедуры «нормализации» шкалы.

 

4.ШКАЛА РАВНЫХ ОТНОШЕНИЙ

 

Шкала отношений — наиболее часто используемая в физике шка­ла. По крайней мере, идеалом измерительной процедуры является получение таких данных о выраженности свойств объектов, когда можно сказать, во сколько раз один объект больше или меньше другого.

Это возможно лишь тогда, когда помимо определения равенства, рангового по­рядка, равенства интервалов известно равенство отношений. Шкала отношений от­личается от шкалы интервалов тем, что на ней определено положение «естествен­ного нуля». Классический пример — шкала температур Кельвина.

В психологии шкалы отношений практически не применяются. Одним из исклю­чений являются шкалы оценки компетентности, основанные на модели Раша (о ней пойдет речь позже). Действительно, вполне можно представить уровень «нулевой» осведомленности испытуемого в какой-то области знаний (например, знание авто­ром этого учебника эскимосского языка) или же «нулевой» уровень владения ка­ким-либо навыком. Авторы стохастической теории теста доказывают, что, введя еди­ную шкалу «трудности задачи — способности испытуемого», можно измерить, во сколько раз одна задача труднее другой или же один испытуемый компетентнее дру­гого.

Значения шкалы отношений инвариантны относительно преобразования вида:

х' = ах.

Значения шкалы можно умножать на константу. К ним применимы любые стати­стические меры.

Измерения массы, времени реакции и выполнения тестового задания — таковы области применения шкалы отношений.

 

2. ГЕНЕРАЛЬНАЯ СОВОКУПНОСТЬ И ВЫБОРКА. МЕТОДЫ АГРЕГИРОВАНИЯ ДАННЫХ.

 

2.1.              ПОНЯТИЕ ВЫБОРКИ.

Всякая большая (конечная и ли бесконечная) совокупность испытуемых (например, совокупность всех студентов – психологов 2 курса) называется популяцией, а совокупность их результатов — генеральной совокупностью. Психологические характеристики обычно изучают путем обследования выборки — ограниченного числа испытуемых, результаты которых образуют выборочную совокупность.

 

ТАКИМ ОБРАЗОМ, ВЫБОРКА — ЭТО ЧАСТЬ (ПОДМНОЖЕСТВО) ПОПУЛЯЦИИ, А ВЫБОРОЧНАЯ СОВОКУПНОСТЬ — ПОДМНОЖЕСТВО ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ.

 

Число элементов популяции (выборки), генеральной  (выборочной) совокупности называется объемом. Генеральные числовые характеристики, вычисляемые на основании изучения популяции, характеризуют всю популяцию в целом и являются детерминированными величинами (при многократном измерении их значения остаются постоянными в пределах точности измерения); они представляют собой параметры θ совокупности.  Для выборок те же числовые характеристики — статистические оценки параметров θ* (статистики) — являются случайными величинами. Они всегда в большей или меньшей степени отличаются от генеральных характеристик — значений параметров по причинам, связанным с неоднородностью выборок и индивидуальными различиями испытуемых.

 

Выборка должна удовлетворять следующим свойствам.

1.      Это группа объектов, доступная для изучения. Объем выборки определяется задачами и возможностями наблюдения и эксперимента.

2.      Это часть генеральной совокупности.

3.      Это группа, отобранная случайным образом так, чтобы любой объект генеральной совокупности имел одинаковую вероятность попасть в выборку.

 

Основное свойство   выборки – репрезентативность. Это способность выборки характеризовать соответствующую генеральную совокупность с достаточной надежностью и определенной точностью.

 

Ошибки репрезентативности могут возникать в двух случаях.

1.Рассматривается малая выборка, то есть выборка имеет недостаточный объем.

2. Параметры (свойства) выборки не совпадают с параметрами (свойствами) генеральной совокупности.

 

2.2. ПОНЯТИЕ ПЕРЕМЕННОЙ ВЕЛИЧИНЫ.

 

Переменная – это количественно измеряемое свойство или признак, принимающий различные значения.

 

Значения переменных могут измеряться непрерывно или дискретно.

 

В большинстве психофизиологических исследований измеряемые величины, в принципе, непрерывны, и точность их измерения зависит от точности измерительного прибора (устройства).

 

В большинстве психодиагностических процедур измеряемые величины принимают дискретные значения. Измеряемый параметр чаще всего принимает целочисленные значения (например, количество положительных и отрицательных ответов, число правильно решенных задач  и т.п.).

 

Операции с переменными включают в себя протоколирование, табулирование, ранжирование данных, построение распределений частот признака, определение квантилей, мер центральной тенденции, мер изменчивости (вариабельности) и другие.

 

Протоколирование данных. Отмечаются фамилия, имя, отчество (если есть) испытуемого, пол, возраст, дата исследования, время исследования (при необходимости), условия опыта и т.д.

 

Табулирование данных. Данные сводятся в таблицу следующего вида.

 

       

№ п/п	Фамилия, имя, отчество	Другие данные (если необходимо)	Показатель измеряемого признака
1.	Иванов Иван Иванович		X1
2.	Петров Петр Петрович		X2
…	…		…
N	Иванова Мария Ивановна		XN

 

Ранжирование данных. Данные выстраиваются в общий ряд по исследуемому признаку следующим образом: X₁ ≤ X₂… ≤ X_N или наоборот: X₁ ≥ X₂ ≥ … ≥ XN;   где N – объем выборки.

 

Построение распределения частот измеряемого признака.  Для измеренных данных строится следующая таблица.

 

i	1	2	…	N-1	N
Xi
mi

 

В первой строке – номер переменной в ранжированном ряду, во второй строке – значение переменной, в третьей строке – частота встречаемости (число одинаковых значений переменной).

 

Построение распределения сгруппированных частот. Для построения такого распределения необходимо:

- выбрать интервал (диапазон) каждого ранга;  

- определить границы каждого ранга;

- подсчитать частоты встречаемости признака, соответствующие каждому рангу.

 

Ранг IQ	1	2	3	…	7
Границы	71 ÷ 80	81 ÷ 90	91÷ 100	…	131÷140
Среднее	75	85	95	…	135
Частоты	14	26	49	…	2

Обычно для построения распределения сгруппированных частот используют 12 – 15 рангов.

 

3. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ДАННЫХ.  ПЕРВИЧНЫЕ ОПИСАТЕЛЬНЫЕ СТАТИСТИКИ ВЫБОРКИ.

Методами статистической обработки результатов экспери­мента называются математические приемы, формулы, способы количественных расчетов, с помощью которых показатели, по­лучаемые в ходе эксперимента, можно обобщать, приводить в си­стему, выявляя скрытые в них закономерности. Речь идет о та­ких закономерностях статистического характера, которые су­ществуют между изучаемыми в эксперименте переменными ве­личинами.

Некоторые из методов математико-статистического анализа позволяют вычислять так называемые  элементарные матема­тические статистики, характеризующие выборочное распреде­ление данных, например? выборочное среднее, выборочная диспер­сия, мода, медиана и ряд других.

Иные методы математической статистики, например дисперсионный анализ, регрессионный ана­лиз, позволяют судить о динамике изменения отдельных статис­тик выборки. С помощью третьей группы методов, скажем, кор­реляционного анализа, факторного анализа, методов сравнения выборочных данных, можно достоверно судить о статистических связях, существующих между переменными величинами, кото­рые исследуют в данном эксперименте.

Все методы математико-статистического анализа условно де­лятся на первичные и вторичные.

Первичными называют мето­ды, с помощью которых можно получить показатели, непосред­ственно отражающие результаты производимых в эксперимен­те измерений.  Соответственно под первичными статистически­ми показателями имеются в виду те, которые применяются в са­мих психодиагностических методиках и являются итогом на­чальной статистической обработки результатов психодиагности­ки.

Вторичными называются методы статистической обработки, с помощью которых на базе первичных данных выявляют скры­тые в них статистические закономерности.

 

К первичным методам статистической обработки относят, на­пример, определение выборочной средней величины, выбороч­ной дисперсии, выборочной моды и выборочной медианы. В чис­ло вторичных методов обычно включают корреляционный ана­лиз, регрессионный анализ, методы сравнения первичных ста­тистик у двух или нескольких выборок.

 

Рассмотрим методы вычисления первичных описательных статистик выборки.

 

3.1. МЕРЫ ЦЕНТРАЛЬНОЙ ТЕНДЕНЦИИ.

 

МЕРА ЦЕНТРАЛЬНОЙ ТЕНДЕНЦИИ (CENTRAL TENDENCY) – ЭТО ЧИСЛО, ХАРАКТЕРИЗУЮЩЕЕ ВЫБОРКУ ПО УРОВНЮ ВЫРАЖЕННОСТИ ИЗМЕРЕННОГО ПРИЗНАКА.

 

Существуют три способа определения центральной тенденции, каждому из которых отвечает своя мера: мода, медиана, выборочное среднее.

 

Мода (Mode) – это такое ЗНАЧЕНИЕ ИЗ МНОЖЕСТВА ИЗМЕРЕНИЙ, которое встречается наиболее часто.  

 

Моде (или модальному интервалу признака) соответствует максимальный подъем графика распределения частот. Если график распределения частот имеет единственный  максимальный подъем (вершину), то такое распределение называется унимодальным.

 

ПРИМЕР.

Рассмотрим пример «предпочтение домашних животных». Предположим, что измерения проведены в группе из 10 респондентов. 

Пусть измеренный признак имеет следующие 10 значений: 1, 0, 2, 1, 0, 2, 2, 1, 3, 2.

 

Мода Mo = 2, как наиболее часто встречающееся значение признака (наибольшее число респондентов отдали предпочтение кошкам).

 

Когда все значения встречаются одинаково часто, то принято считать, что такое распределение не имеет моды.

 

ПРИМЕР.

При определении темперамента в группе из 12 испытуемых получены следующие измерения:

а), б), б), в), а), в), в), г), б), г), а), г).

Данное распределение не имеет моды, так как измерение показало, что среди 12 испытуемых трое являются  сангвиниками, трое - холериками,  трое – меланхоликами и  трое -  флегматиками.  То есть все значения измеренного признака «темперамент» встречаются в данной выборке одинаково часто.

 

Медиана (Median) – это такое  ЗНАЧЕНИЕ ПРИЗНАКА, которое делит упорядоченное (ранжированное) множество пополам.

 

Одна половина всех значений признака оказывается меньше медианы, а вторая половина значений – больше медианы.

 

1)    Первым шагом для определения медианы является упорядочивание (ранжирование) всех значений измеренного признака по возрастанию или убыванию.  

2)    Если выборка значений признака нечетная, то медиана – центральное значение признака; если выборка – четная, то медиана – точка, лежащая посредине между двумя центральными значениями.

 

ПРИМЕРЫ.

1. Пусть 9 человек имеют следующий ежемесячный доход:

10 тыс. руб., 10 тыс. руб.,   12 тыс. руб., 12 тыс. руб., 15 тыс. руб., 16 тыс. руб., 20 тыс. руб., 30 тыс. руб.,  50 тыс. руб.,

Медиана Me =  15 тыс. руб. – то есть центральному значению в упорядоченной выборке.

2. Пусть  9 человек имеют ежемесячный доход как в предыдущем примере, а доход 10-го составляет 70 тыс. руб. в месяц. Мы имеем четную выборку из 10 значений измеренного признака «ежемесячный доход». 

Тогда медиана будет равна: Me = (15 тыс. руб. + 16 тыс. руб.)/2 = 15, 5 тыс. руб.

То есть медиана в данном примере равна среднему значению  двух центральных значений.

  

Выборочное среднее (Mean)  (M_x – среднее арифметическое) определяется как сумма всех значений измеренного признака, деленная на количество суммируемых значений.

 

Если некоторый признак X измерен в группе из N испытуемых, и получены измеренные значения: x₁, x₂, …, x_N, то выборочное среднее M_x вычисляется по формуле:

  

 

ПРИМЕР.

Пусть для признака X – «ежемесячный доход» получены следующие значения в группе из 10 испытуемых:

10 тыс. руб., 10 тыс. руб.,   12 тыс. руб., 12 тыс. руб., 15 тыс. руб., 16 тыс. руб., 20 тыс. руб., 30 тыс. руб.,  50 тыс. руб., 70 тыс. руб.

Тогда выборочное среднее Mx = 24,5 тыс. руб.

То есть в данной группе 7 человек из 10-ти имеют ежемесячные доходы ниже выборочного среднего 24,5 тыс. руб.  

3.2. Квантили (меры положения).

 

КВАНТИЛЬ – ЭТО ТОЧКА НА ЧИСЛОВОЙ ОСИ ИЗМЕРЕННОГО ПРИЗНАКА, КОТОРАЯ ДЕЛИТ ВСЮ СОВОКУПНОСТЬ ЗНАЧЕНИЙ ПРИЗНАКА НА ДВЕ ГРУППЫ С ИЗВЕСТНЫМ СООТНОШЕНИЕМ ИХ ЧИСЛЕННОСТИ.

 

Примером квантиля является медиана. Другими примерами квантилей являются квартили и процентили.

 

Квартили (Quartiles) – это три точки значения признака, которые делят все упорядоченное (по возрастанию) множество значений измеренного признака на 4 равные по численности части.

 

Процентили (Percentiles) –  это 99 точек значений признака, которые деля все упорядоченное (по возрастанию) множество значений признака на 100 равных по численности частей.

 

Процентили и квартили используют для определения частоты встречаемости тех или иных значений (или интервалов) измеренного признака, или для выделения подгрупп и отдельных испытуемых, наиболее типичных или нетипичных для данного множества наблюдений. 

 

Среднее геометрическое значение выборки. Эта мера используется для описания центральной тенденции при прогрессивно возрастающих квантилях.

Среднее геометрическое значение Xg вычисляется по формуле:

Xg = (x₁ x₂ … x_N)^1/N.

 

Среднее гармоническое значение выборки. Среднее гармоническое значение X_h вычисляется по формуле:

X_h = N/(1/x₁ + 1/x₂ + … + 1/x_N)

Обратное среднее гармоническое значение выборки. Для вычисления обратного среднего гармонического X_hr выборки объема N используется формула:

 

X_hr = 1/X_h = (1/x₁ + 1/x₂ + … + 1/x_N)/N.

 3.3. МЕРЫ ИЗМЕНЧИВОСТИ.

 

МЕРЫ ИЗМЕНЧИВОСТИ (DISPERSION) ПРИМЕНЯЮТСЯ В ПСИХОЛОГИИ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО ВЫРАЖЕНИЯ ВЕЛИЧИНЫ МЕЖИНДИВИДУАЛЬНОЙ ВАРИАЦИИ ПРИЗНАКА.

 

Размах (Range)  – это разность между максимальным и минимальным значениями измеренного признака:

 

R = x_max – x_min.

В предыдущем примере размах выборки значений ежемесячных доходов для группы из 10-ти испытуемых составил 60 тыс. руб. = 70 тыс. руб. – 10 тыс. руб.

 

Для метрических данных используется дисперсия (вариация).

 

Дисперсия (Variation) – это мера изменчивости для метрических данных, пропорциональная сумме квадратов измеренных значений от их выборочного среднего:

 

  – формула для вычисления теоретической дисперсии.

 

Эмпирическая (выборочная дисперсия) вычисляется по следующей формуле:

 

 

ПРИМЕР.

Вычислим  выборочную  (эмпирическую) дисперсию для следующей выборки N=7 (рис. 3).

 

№	xi	xi  – Mx	(xi – Mx)2
1	2	2– 4= -2	4
2	4	4-4=0	0
3	7	7-4=3	9
4	2	2-4=-2	4
5	1	1-4=-3	9
6	6	6-4=2	4
7	6	6-4=2	4

Рис. 3. Таблица значений выборки.

 

M_x = (2+4+7+2+1+6+6)/7 = 28/7 = 4;  D_x = (4+0+9+4+9+4+4)/6 = 34/6 = 17/3.

 

Среднеквадратическое (стандартное) отклонение σ_x равно положительному значению квадратного корня из выборочной (эмпирической) дисперсии D_x:

 

В условиях предыдущего примера среднеквадратическое отклонение равно:

σ_x =  (17/3)^1/2.

 

3.4. СТАНДАРТИЗАЦИЯ ДАННЫХ.

 

Стандартизация (z-преобразование) данных – это перевод измерений в стандартную шкалу (Z-шкалу). С выборочным средним Mz = 0 и выборочной дисперсией Dz = 1.

 

Сначала для выборки значений x₁, x₂, …, x_N вычисляют выборочное среднее M_x и среднеквадратическое (стандартное) отклонение σ_x. Затем все значения x_i преобразуют в значения z_i по формуле:

 

Асимметрия (Skewness) – степень отклонения графика распределения частот от симметричного вида относительно среднего значения.

 

Показатель асимметрии AS вычисляется по формуле:

 

 

Для симметричного распределения As = 0. Чем больше отклонение As от нуля, тем больше асимметрия.

 

Эксцесс (Kurtosis) – это мера плосковершинности или остроконечности графика распределения измеренного признака.

 

Показатель эксцесса Es вычисляется по формуле:

 

Островершинное распределение характеризуется положительным эксцессом (ES >0), а плосковершинное – отрицательным эксцессом (-3< Es<0).

Средневзвешенное (нормальное) распределение имеет нулевой эксцесс (Es = 0).

 

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

[1] Дружинин В. Н. Экспериментальная психология — СПб: Издательство «Питер», 2000.

— 320 с.: ил. — (Серия «Учебник нового века»).

[2] Ермолаев О. Ю. Математическая статистика для психологов. Учебник. - 2-е изд., испр. М.: МПСИ: Флинта, 2003. - 336 с. - (Библиотека психолога).

[3] Лупандин В.И. Математические методы в психологии. Учебное пособие для студентов-психологов. Изд. 2-е испр. и доп. Екатеринбург, Изд-во Гуманитарного университета, 1997. – 119 с. 

[4] Наследов А.Д. Математические методы психологического исследования. Анализ и интерпретация данных. Учебное пособие. - Спб.: Речь, 2004. - 392 с.

[5] Немов Р.С. Психология. В трех книгах. Книга 3. Психодиагностика. Введение в научное психологическое исследование с элементами математической статистики. - 4-е изд. -  М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2008. – 640 с.