Bodrenko.com
Bodrenko.org

Учебные дисциплины на сайте Bodrenko.org
Портабельные Windows-приложения на сайте Bodrenko.com
Теория игр . Аналитическая геометрия и линейная алгебра . Bodrenko.com Bodrenko.org

Математические методы исследования экономики

 

Лекция 7

 

Тема лекции 7: «Методические подходы к моделированию спроса населения»

 

Разделы лекции:

 

1. Функция полезности. Задача потребительского выбора.

2. Исследование модели потребительского выбора.

3. Общая модель потребительского выбора.

 

РАЗДЕЛ 1.  ФУНКЦИЯ ПОЛЕЗНОСТИ. ЗАДАЧА ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО ВЫБОРА.

 

В условиях рыночной системы управления производст­венной и сбытовой деятельностью предприятий и фирм в основе принятия хозяйственных решений лежит рыночная информация, а обоснованность решений проверяется рын­ком в ходе реализации товаров и услуг. При таком подходе начальным пунктом всего цикла предпринимательской деятельности становится изучение потребительского спроса. Уровень удовлетворения материальных потребностей об­щества (уровень потребления) можно выразить целевой функцией потребления (функцией полезности) U = U(X), где вектор переменных X≥ 0 включает разнообразные виды товаров и услуг. Ряд свойств этой функции удобно изучать, используя геометри­ческую интерпретацию уравнений U(X)=С, где С — ме­няющийся параметр, характеризующий значение (уровень) целевой функции потребления; в качестве величины С мо­жет выступать, например, доход или уровень материального благосостояния.

В пространстве потребительских благ каждому уравнению U(X)=С соответствует определенная поверхность равноцен­ных, или безразличных, наборов благ, которая называется поверхностью безразличия.

 

Для наглядности рассмотрим пространство двух благ, например, в виде двух агрегирован­ных групп товаров: продукты питания (x1) и непродовольст­венные товары, включая услуги (x2)- Тогда уровни целевой функции потребления можно изобразить на плоскости в ви­де кривых безразличия, соответствующих различным значе­ниям С.

 

Будем далее пользовать­ся термином «линии без­различия» вне зависимо­сти от размерности про­странства потребительских благ (количества групп товаров).

Из основных свойств целевой функции потребления U = U(X),   отметим следующие:

1) функция U = U(X) явля­ется возрастающей функ­цией всех своих аргумен­тов, т.е. увеличение потребления любого блага при неизмен­ном уровне потребления всех других благ увеличивает зна­чение данной функции. Поэтому более удаленная от начала координат кривая безразличия соответствует большему зна­чению целевой функции потребления, а сам процесс макси­мизации этой функции на некотором ограниченном множе­стве допустимых векторов X можно интерпретировать как нахождение допустимой точки, принадлежащей кривой безразличия, максимально удаленной от начала координат;

2) линии безразличия не могут пересекаться, т.е. через одну точку пространства благ (товаров, услуг) можно провести только одну поверхность безразличия. В противном случае один и тот же набор благ одновременно соответствовал бы нескольким разным уровням материального благосостояния;

3) линии безразличия имеют отрицательный наклон к каждой оси координат, при этом абсолютный наклон кривых уменьшается при движении в положительном направ­лении по каждой оси, т.е. линии безразличия являются выпуклыми кривыми.

Методы построения целевой функции потребления осно­ваны на обобщении опыта поведения потребителей и тен­денций покупательского спроса в зависимости от уровня благосостояния.

 

Перейдем к вопросу моделирования поведения потреби­телей в условиях товарно-денежных отношений на базе це­левой функции потребления. В основе модели поведения потребителей лежит гипотеза, что потребители, осуществляя выбор товаров при установленных ценах и имеющемся доходе, стремятся максимизировать уровень удовлетворения своих потребностей. На этой лекции мы рассмотрим модели  потребительского выбора.

 

Будем считать, что потребитель располагает  доходом  I, который он полностью тратит на приобретение благ (продуктов). Точнее говоря, величина I- это не доход, а расход данного потребителя. Потребитель решает статическую задачу, то есть в  модели не учитываются его межвременные предпочтения и  возможности делать или расходовать сбережения. Цены благ считаются заданными. Учитывая структуру цен, доход и собственные  предпочтения, потребитель приобретает определенные количества благ, и математическая модель такого его поведения называется моделью потребительского выбора. Вначале мы рассмотрим модель с двумя видами благ. Такая модель удобна прежде всего возможностью графической интерпретации, сохраняя при этом все принципиальные свойства общей модели.

Рассмотрим потребительские наборы из двух благ.  Потребительский набор (для краткости набор) - это вектор с координатами (x1; x2), координата х1 которого равна количеству единиц первого блага, а координата x2 равна количеству единиц второго блага. Выбор потребителя (индивидуума) характеризуется отношением предпочтения, суть которого состоит в следующем. Считается, что потребитель про каждые 2 набора может сказать, что либо один из них более желателен, чем другой, либо потребитель не видит между ними разницы. Отношение предпочтения транзитивно, т.е. если  набор A=(a1; a2) предпочтительнее набора B=(b1; b2), а набор B=(b1; b2) предпочтительнее набора C=(c1; c2), то набор А предпочтительнее набора С.

На множестве потребительских наборов {(x1;x2)}  определена  функция u1,x2) (называемая функцией полезности потребителя),  значение u(x1, x2) которой на потребительском наборе (х1;x2) равно  потребительской оценке индивидуума для этого набора.

Потребительскую оценку u(x1, x2) набора (х1;x2)  принято называть уровнем (или степенью) удовлетворения потребностей индивидуума, если он приобретает или потребляет данный набор (х1;x2). Каждый  потребитель имеет, вообще говоря, свою функцию полезности. Если набор А предпочтительнее набора В, то u(A)>u(B).

 

Функция полезности удовлетворяет следующим свойствам:

(1) Возрастание потребления одного продукта при постоянном потреблении другого продукта ведет к росту потребительской  оценки, т.е.

если ẋ1>x1, то u(1,x2) > u(x1, x2);

если ẋ2>x2, то u(x1, 2) > u(x1, x2).

(1′) Пустьu(x1, x2)/∂x1 ≡u′1 > 0, u(x1, x2)/∂x2 ≡u′2 > 0.

Из свойства (1′) следует свойство (1).

Первые частные производные функции u1,x2) называются предельными полезностями продуктов: u′1 называется предельной полезностью первого продукта, u′2 - предельная полезность второго продукта. Для  предельных полезностей первого и второго продуктов используется  также символика M1u1,x2), M2 u1,x2).

2) Предельная полезность каждого продукта уменьшается, если объем его потребления растет (это свойство предельной полезности называется законом убывания предельной полезности).

(2′) Пусть 2u(x1, x2)/∂x1∂x1 ≡u′′11 < 0, 2u(x1, x2)/∂x2∂x2u′′22 < 0.

Из свойства (2′) следует свойство (2).

3) Предельная полезность каждого продукта увеличивается, если растет количество другого продукта. В этом случае продукт,  количество которого фиксировано, оказывается относительно  дефицитным. Поэтому дополнительная его единица приобретает большую ценность и может быть потреблена более эффективно.

 

ЗАМЕЧАНИЕ. Данное  свойство не столь очевидно, как свойства (1) и (2), и справедливо не для всех благ. Если блага могут полностью замещать друг друга в потреблении, то свойство (3) не выполняется. Предположение (3) вводится не всегда, но оно гарантирует выпуклость вниз линий безразличия.

(3′) Пусть 2u(x1, x2)/∂x1∂x2 ≡u′′12=∂2u(x1, x2)/∂x2∂x1 ≡u′′21> 0.

Из свойства (3′) следует свойство (3).

В учебной и монографической литературе понятие предельной полезности толкуется неоднозначно. Помимо приведенного выше определения предельной полезности первого (второго) продукта в виде частной производной u′1 (u′2) первого порядка, под предельной полезностью первого (второго) продукта понимают отношение  приращения функции полезности к приращению вызвавшего его  количества этого продукта. То есть

M1u1,x2) = (u(x1+ Δx1, x2)- u(x1, x2))/Δx1;

M2u1,x2) = (u(x1, x2+ Δx2)- u(x1, x2))/Δx2.

 

Наконец, предельной полезностью первого (второго) продукта называют следующую разность:

M1u1,x2) = u(x1+1, x2)- u(x1, x2);

 

соответственно, M2u1,x2) = u(x1, x2+1)- u(x1, x2);

или

M1u1,x2) = u(x1-1, x2)- u(x1, x2);

 

соответственно,

 

M2u1,x2) = u(x1, x2-1)- u(x1, x2).

Из контекста обычно бывает ясно, о каком конкретно  толковании предельной полезности M1u1,x2) (M2u1,x2)) идет речь.

ЧТО ТАКОЕ ЛИНИЯ БЕЗРАЗЛИЧИЯ?

 

Линия, соединяющая потребительские наборы (x1;x2), имеющие один и тот же уровень удовлетворения потребностей индивидуума, называется линией безразличия. Линия безразличия есть не что иное, как линия уровня функции полезности.

 

ЧТО ТАКОЕ КАРТА ЛИНИЙ БЕЗРАЗЛИЧИЯ?

 

Множество линий  безразличия называется картой линий безразличия. На рисунке 1 показан фрагмент карты линий безразличия. Линии безразличия,  соответствующие разным уровням удовлетворения потребностей, не  касаются и не пересекаются.

 

Рисунок 1. Фрагмент карты линий безразличия.

 

Если линия безразличия 3 расположена выше и правее («северо-восточнее») линии безразличия 2, то τ3>τ2. Верно и обратное. Иными словами чем «северо-восточнее»  расположена линия безразличия, тем большему уровню удовлетворения  потребности она соответствует.

Условия (1)-(3) означают, что линия безразличия убывает (является нисходящей) и строго выпукла к началу координат (к точке 0=(0;0). Чтобы пояснить это, рассмотрим дифференциал (главную  линейную часть приращения) функции u(x1, x2). Если двигаться вдоль  линии уровня, то приращение функции u(x1, x2) равно нулю, и,  следовательно, можно считать равной нулю и его главную линейную часть. Дифференциал функции полезности записывается  следующим образом:

(du(x1, x2)= u′1dx1+ u′2dx2=0) (dx2/dx1= - u′1/u′2 < 0). (1)

Итак, функция x2(x1), то есть зависимость х2 от х1, вдоль кривой безразличия, является убывающей, поскольку производная ее  отрицательна. Вторая производная функции x2(x1) выглядит следующим образом:

d(dx2/dx1)/dx1= -(u′′11u′2 - u′1u′′21)/(u′2∙u′2)>0      (2)

Ее положительность вытекает из свойств (1)-(3); следовательно, кривые безразличия выпуклы вниз.

 

Рассмотрим фиксированную линию безразличия . Пусть  потребительский набор (x1;x2) принадлежит линии безразличия : (x1;x2)Î .

 

При выполнении ряда естественных предположений (непрерывность первых частных производных u′1, u′2 и u′2≠0, справедлива, как уже было показано, следующая формула:

dx2/dx1= - u′1/u′2  (3)

Имеем приближенное равенство (см. рисунок 2):

 

Рисунок 2. Линия безразличия.

dx2/dx1= -tgφ≈ -tgα=Δx2/Δx1. (4)

 

Из (3) и (4) следует важное приближенное равенство:

-Δx2/Δx1≈ u′1/u′2   (5)

Отношение (-Δx2/Δx1) показывает, на сколько должен индивидуум увеличить (уменьшить) потребление второго продукта, если он  уменьшил (увеличил) потребление первого продукта на одну единицу без изменения уровня удовлетворения своих потребностей (Это обстоятельство геометрически интерпретируется так: точки (x1;x2) и (x1+Δx1;x2+Δx2) принадлежат одной и той же линии безразличия (см. рисунок 2). Поэтому дробь (-Δx2/Δx1) принято называть нормой замены  первого продукта вторым на потребительском наборе (x1;x2), а производную (-dx2/dx1) (которая равна предельному значению дроби (-Δx2/Δx1)  при Δx1→0) - предельной нормой замены первого продукта вторым.

Примером функции полезности u(x1, x2) может служить функция

u(x1, x2) =a1∙ln(x1-ẋ1)+ a2∙ln(x2-ẋ2),   (6)

где а1>0, a2>0, x1> 1≥0, x2> ẋ2≥0.

Действительно, имеем

u′1 = a1/(x1-ẋ1)>0,  u′2=a2/(x2-ẋ2)>0,

 

u′′11 =-a1/(x1-1)2<0,  u′′22 =-a2/(x2-2)2<0,  

 

Таким образом, выполнены свойства (1′) и (2′)  функции  полезности u(x1, x2). Свойство (3′ не выполнено, так как смешанные вторые частные производные функции u(x1, x2) равны нулю.

В ЧЕМ ЗАКЛЮЧАЕТСЯ ЗАДАЧА ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО ВЫБОРА?

 

Задача потребительского выбора (задача рационального  поведения потребителя на рынке) заключается в выборе такого  потребительского набора (x01, x02), который максимизирует его функцию  полезности при заданном бюджетном ограничении.

 

ЧТО ОЗНАЧАЕТ БЮДЖЕТНОЕ ОГРАНИЧЕНИЕ?

 

Бюджетное ограничение означает, что денежные расходы на  продукты не могут превышать денежного дохода, т.е. p1∙x1+p2∙x2 ≤ I, где p1 и p2 - рыночные цены одной единицы первого и второго  продуктов,  соответственно, а I - доход индивидуума, который он готов потратить на приобретение первого и второго продуктов. Величины p1, p2, I заданы.

Формально задача потребительского выбора имеет вид:

u(x1, x2) →max

при следующих условиях (7):

 

p1∙x1+p2∙x2 ≤ I, x1≥0, x2≥0. (7)

Допустимое множество (то есть множество наборов благ,  доступных для потребителя) представляет собой треугольник, ограниченный осями координат и бюджетной прямой (см. рисунок 3). На этом множестве требуется найти точку, принадлежащую линии безразличия с максимальным уровнем полезности. Поиск этой точки можно интерпретировать графически как последовательный переход на линии все более высокого уровня полезности (вправо-вверх) до тех пор, пока эти линии еще имеют общие точки с допустимым  множеством.

Рисунок 3. Задача потребительского выбора.

 

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО ВЫБОРА И ЕГО СВОЙСТВА.

Набор (x01;x02), который является решением задачи  потребительского выбора, принято называть оптимальным для потребителя, или локальным рыночным равновесием потребителя.

РАЗДЕЛ 2. ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО ВЫБОРА.

 

Вначале остановимся на некоторых важных свойствах задачи  потребительского выбора.

 

СВОЙСТВА ЗАДАЧИ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО ВЫБОРА.

 

1. Во-первых, решение задачи (x01;x02) сохраняется при любом монотонном (то есть сохраняющем порядок  значений) преобразовании функции полезности u(x1, x2). Поскольку значение u(x01, x02) было максимальным на всем допустимом множестве, оно остается таковым и после монотонного преобразования  функции полезности (допустимое множество, определяемое бюджетным ограничением, остается неизменным). Таким монотонным  преобразованием может быть умножение функции полезности на  некоторое положительное число, возведение ее в положительную степень, логарифмирование по основанию, большему единицы. Отметим, что свойство (1) должно присутствовать у любой функции полезности; свойства (2) и (3) могут при ее монотонных преобразованиях  теряться или приобретаться.

 

ПРИМЕР. Рассмотрим функцию полезности  u(x1, x2)=√х1∙√x2.

 

Последнее важно для иллюстрации того факта, что если функция полезности в задаче потребительского  выбора не обладает свойствами (2) или (3), это вовсе не означает, что данная задача не может описывать реальное поведение потребителя.

2. Во-вторых, решение задачи потребительского выбора не  изменится, если все цены и доход увеличиваются (уменьшаются) в одно и то же число раз λ. Это равнозначно умножению на положительное число λ обеих частей бюджетного ограничения p1∙x1+p2∙x2 ≤ I, что дает неравенство, эквивалентное исходному. Поскольку ни цены, ни доход I не  входят в функцию полезности, задача остается той же, что и  первоначально. В приведенной постановке задача потребительского выбора  является задачей нелинейного программирования.

3. В-третьих, если на каком-то потребительском наборе (x1, x2) бюджетное ограничение  p1∙x1+p2∙x2 ≤ I будет выполняться в виде строгого неравенства, то мы можем увеличить потребление какого-либо из продуктов и тем самым увеличить функцию полезности.  Следовательно, набор (x01; x02), максимизирующий функцию полезности,  должен обращать бюджетное ограничение в равенство, т.е. p1∙x01+p2∙x02 = I.

Графически это означает, что решение (x01; x02) задачи  потребительского выбора должно лежать на бюджетной прямой (см. рисунок 3), которую удобнее всего провести через точки пересечения с осями координат (0; I/p2), (I/p1; 0), где весь доход тратится на один продукт.

 

Мы также будем считать, что в оптимальной точке (x01; x02) условия {x1≥0, x2≥0} выполняются автоматически, вытекая из свойств функции u(x1, x2). Как правило, это действительно так. В то же время, если условия неотрицательности переменных не включать в явном виде в условие задачи, то она становится существенно проще с математической точки зрения.

ВЫВОД. Итак, задачу потребительского выбора можно заменить задачей следующей задачей на условный экстремум (ибо решение (x01; x02) этих двух задач одно и то же):

u(x1, x2) →max

при условии:

 

p1∙x1+p2∙x2  = I. (8)

 

Для решения этой задачи на условный экстремум применим  метод Лагранжа.

Выписываем функцию Лагранжа

L(x1, x2, λ) = u(x1, x2) + λ(p1∙x1+p2∙x2 – I).

Находим ее первые частные производные по переменным х1, x2 и λ:

 

∂L(x1, x2, λ)/∂x1=u′1 + λ∙p1, ∂L(x1, x2, λ)/∂x2=u′2 + λ∙p2, ∂L(x1, x2, λ)/∂λ= (p1∙x1+p2∙x2 – I).

И  приравниваем эти частные производные к нулю:

∂L(x1, x2, λ)/∂x1=0, ∂L(x1, x2, λ)/∂x2= 0, ∂L(x1, x2, λ)/∂λ=0.

 

Исключив из полученной системы трех уравнений с тремя  неизвестными неизвестную λ, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными x1 и x2:

 

u′1/u′2=p1/p2,  p1∙x1+p2∙x2 = I.

Решение (x01; x02) этой системы есть «укороченная» критическая точка функции Лагранжа. Можно строго доказать, что  «укороченная» критическая точка (x01; x02) функции Лагранжа обязательно есть решение задачи потребительского выбора (за исключением так  называемых угловых решений, которые здесь не рассматриваются).

Подставив решение (x01; x02) в левую часть равенства u′1(x1, x2)/u′2(x1,x2)=p1/p2, получим, что в точке (x01; x02) локального рыночного равновесия индивидуума отношение

 

u′1(x01, x02)/u′2(x01,x02)

 

предельных полезностей u′1(x01, x02) и u′2(x01,x02)  продуктов x1 и x2 равно отношению рыночных цен p1 и p2 на эти продукты:

u′1(x01, x02)/u′2(x01,x02)=p1/p2.  (10)

В связи с тем, что отношение u′1(x01, x02)/u′2(x01,x02) равно предельной норме замены первого продукта вторым в точке локального рыночного  равновесия (x01; x02), из (10) следует, что эта предельная норма равна отношению рыночных цен p1/p2 на продукты.

 

Приведенный результат играет важную роль в экономической теории.

Геометрически решение (x01; x02) можно интерпретировать как  точку касания линии безразличия функции полезности u(x1, x2)  с бюджетной прямой p1∙x1+p2∙x2 = I (см. рисунок 3). Это определяется тем, что отношение

(dx2/dx1= - u′1/u′2)  показывает тангенс угла наклона линии  уровня функции полезности, а отношение (-p1/p2) представляет тангенс угла наклона бюджетной прямой. Поскольку в точке  потребительского выбора (или локального рыночного равновесия) они равны, в этой точке происходит касание данных двух линий.

Из (5) и (10) следует, что

-Δx02/Δx01≈ p1/p2. (11)

То есть отношение (со знаком минус) конечных (относительно  небольших) изменений Δx02 и Δx01 объемов продуктов в локальном рыночном равновесии (x01; x02)  приближенно равно отношению  p1/p2 рыночных цен р1 и p2 на продукты.

Равенство (11) позволяет давать приближенные оценки  отношению рыночных цен, если известны конечные изменения объемов продуктов относительно потребительского набора, приобретенного потребителем, т. е. набора, который естественно следует толковать в качестве оптимального для потребителя.

Координаты x01 и x02  решения (x01; x02)   задачи потребительского выбора есть функции параметров p1, p2 и I. То есть

 

x01 = x01(p1, p2, I); x02 = x02(p1, p2, I).    

  

Полученные функции называются функциями спроса на первый и второй продукты. Важным свойством функций спроса является их однородность нулевой степени относительно цен и дохода, т.е. значения функций спроса инвариантны по отношению к  пропорциональным изменениям цен и дохода.

То есть выполняются равенства

 

x01(α∙p1,α∙p2, α∙I)= x01(p1, p2, I);

 

x02(α∙p1,α∙p2, α∙I)= x02(p1, p2, I);

 

для любого числа α>0. Это означает, что если все цены и доход изменятся в одно и то же число раз, величина спроса на продукт (первый или второй - безразлично) останется неизменной.

ПРИМЕР ЗАДАЧИ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО ВЫБОРА.

Решим одну простую задачу потребительского выбора с двумя благами. Пусть неизвестные количества этих благ равны x1 и x2, а их рыночные цены р1 и р2:

U(x1, x2) = x1x2 → (max),

p1∙x1+p2∙x2 ≤ I, x1≥0, x2≥0. (12)

Как мы выяснили, бюджетное ограничение в оптимальной точке должно выполняться как равенство, и, поскольку оба блага  жизненно необходимы (полезность равна нулю, если одно из них  отсутствует), требования неотрицательности переменных будут  выполнены автоматически. Следовательно, решаемая задача  математического программирования превращается в классическую задачу на условный экстремум. Записав необходимые условия экстремума  (согласно которым, отношения предельных полезностей благ должны равняться отношениям их рыночных цен, а бюджетное ограничение выполняется как равенство), получаем систему уравнений:

x2/x1=p1/p2, p1∙x1+p2∙x2 = I.

  

Первое условие означает, что в рассматриваемой задаче  количества денег, затрачиваемые на оба блага, должны быть одинаковыми, то есть x1∙p1=x2∙p2.  Это вытекает из равенства «весов», или  показателей степени у переменных х1 и x2 в функции полезности. Итак,

 

x1∙p1=x2∙p2=I/2.

 

И функции спроса приобретают вид:

 

x1=I/(2p1), x2=I/(2p2).

Итак, расход на каждое благо составляет половину общего  дохода потребителя, и чтобы найти необходимое количество каждого блага, следует разделить расходуемую на него сумму на его цену.

Для этой простой модели мы могли бы найти решение без  использования метода множителей Лагранжа, выражая х2 через x1 из бюджетного ограничения, подставляя это выражение в функцию полезности (которая становится полиномом второй степени от  одной переменной) и находя максимум полученной квадратичной  функции. Проделайте это как самостоятельное упражнение, получив те же самые функции спроса. Для более сложных случаев, некоторые из которых будут рассмотрены в следующей лекции, решить задачу элементарными методами сложно, и требуются методы  дифференциального исчисления (например, тот же метод множителей Лагранжа) или математического программирования.

Случай потребительских наборов (х1,..., хn) из n продуктов  принципиально не отличается от случая двух продуктов, но технически несколько сложнее. Этот случай мы отдельно не рассматриваем.

РАЗДЕЛ 3. ОБЩАЯ МОДЕЛЬ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО ВЫБОРА.

В предыдущем разделе рассмотрена типовая модель  потребительского выбора с двумя товарами и ее решение с помощью метода множителей Лагранжа. Сейчас мы рассмотрим свойства задачи  потребительского выбора с произвольным числом товаров и целевой функцией общего вида, а затем перейдем к некоторым конкретным задачам.

Пусть задана целевая функция предпочтения потребителя u1, х2,..., хn), где xi - количество i-го блага, вектор цен {pi}=(p1, p2, …, pn) и доход I. Записав бюджетное ограничение и ограничения на неотрицательность неизвестных, получаем задачу

u) max (14)

при условиях

рх≤I, х≥0 (здесь x= (х1, х2,..., хn) р=( p1, p2, …, pn), px=p1x1+.. +pnxn).

Будем, как и ранее, считать, что неотрицательность переменных обеспечивается свойствами целевой функции и бюджетного  ограничения. В этом случае можно записать функцию Лагранжа и  исследовать ее на безусловный экстремум.

Функция Лагранжа L(x,λ) = u(x) + λ(px -I).

 

Необходимые условия экстремума - равенство нулю частных  производных:

L′i=u′i+λpi=0, i=1,... , n; L′λ=(px -I)=0.

 

 

Отсюда вытекает, что для всех i, j = 1,..., n, в точке x0 локального рыночного равновесия выполняется равенство

ui/uj =pi/pj,  (15)

которое получается после перенесения вторых слагаемых  необходимых условий в правую часть и делением i-го равенства на j-е.

Итак, в точке оптимума отношение предельных полезностей любых двух благ равно отношению их рыночных цен. Равенство (15)  можно переписать и в другой форме:

ui/pi =uj/pj.   (16)

Последнее означает, что дополнительная полезность,  приходящаяся на дополнительную единицу денежных затрат, в точке  оптимума одинакова по всем видам благ. Если бы это было не так, то по крайней мере одну денежную единицу можно было бы  перераспределить так, чтобы выросло благосостояние (значение функции полезности) потребителя. Если для некоторых i, j выполняется неравенство ui/pi =uj/pj,  , то некоторое количество денег можно было бы перераспределить от i-го блага к j-му, увеличив уровень благосостояния.

ЧТО ТАКОЕ ФУНКЦИЯ СПРОСА?

 

Функциями покупательского спроса (далее будем назы­вать их просто функциями спроса) называются функции, от­ражающие зависимость объема спроса на отдельные товары и услуги от комплекса факторов, влияющих на него. Такие функции применяются в аналитических моделях спроса и потребления и строятся на основе информации о структуре доходов населения, ценах на товары, составе семей и других факторах. Рассмотрим построение функций спроса в зави­симости от двух факторов — дохода и цен. Однофакторные функции спроса от дохода широко при­ меняются при анализе покупательского спроса. Соответствующие этим функциям кривые называются кри­выми Энгеля (по имени изучавшего их немецкого экономиста). Формы этих кривых для различных товаров могут быть раз­личны. Если спрос на данный товар возрастает примерно пропорционально доходу, то функция будет линейной. Такой характер имеет, например, спрос на одежду, фрукты и др.

Если по мере роста дохода спрос на данную группу товаров возрастает все более высокими темпами, то кривая Энгеля будет выпуклой. Так ведет себя спрос на предме­ты роскоши.

Если рост значений спроса, начиная с определенного мо­мента, по мере насыщения спроса отстает от роста дохода, то кривая Энгеля имеет вид вогнутой кривой. На­пример, такой характер имеет спрос на товары первой необ­ходимости.

 

Тот же принцип разграничения групп товаров по типам функций спроса от дохода использовал шведский эконо­мист Л. Торнквист, который предложил специальные виды функции спроса (функции Торнквиста) для трех групп то­варов: первой необходимости, второй необходимости, пред­метов роскоши.

 

МОДЕЛЬ Р.СТОУНА.

Выведем теперь функцию спроса для конкретной функции  потребительского предпочтения, называемой функцией Р.Стоуна. Эта функция имеет вид:

U(x)=Π{i=1,n}(xi-ai)αi    max. (17)

Здесь аi - минимально необходимое количество i-го блага,  которое приобретается в любом случае и не является предметом выбора. Для того чтобы набор {аi} мог быть полностью приобретен, необходимо, чтобы доход I был больше ∑{i=1,n} рiаi, - количества денег,  необходимого для покупки этого набора. Показатели степени αi>0 характеризуют относительную «ценность» благ для потребителя.

Добавив к целевой функции (17) бюджетные ограничения

{i=1,n} рixiI,  x1≥ 0, ..., xn ≥0,

 

получим задачу, называемую моделью Р.Стоуна. Приравняв нулю частные производные функции Лагранжа по переменным хi, получаем для всех i от 1 до n:

 

αi∙u(x)/(xi-ai) + λpi=0,  i=1, ..., n.

Откуда

xi = ai - αiu(x)/(λ∙pi). (18)

К этим условиям добавляется равенство ∑{i=1,n} рiаi =I, выполнение которого эквивалентно равенству нулю частной производной  функции Лагранжа по переменной λ. Умножив каждое i-е условие на λрi и просуммировав их по i, имеем

{i=1,niu(x) + λ{i=1,n}pixi - λ{i=1,n}piai = 0. (19)

Поскольку в точке оптимума бюджетное ограничение выполняется как равенство, заменим ∑{i=1,n}pixi на I. Получим

 

u(x)/λ = -(I-{i=1,n}piai)/({i=1,ni).

Отсюда имеем функцию спроса:

xi = ai – (αi∙(I - {j=1,n}pjaj))/(pi∙{j=1,nj)). (20)

Эту функцию легко проинтерпретировать и запомнить следующим образом. Вначале приобретается минимально необходимое  количество каждого блага аi. Затем рассчитывается сумма денег,  остающаяся после этого, которая распределяется пропорционально «весам» важности αi. Разделив количество денег на цену pi,  получаем дополнительно приобретаемое, сверх минимума, количество i-го блага и добавляем его к аi.

Модель Стоуна имеет различные частные случаи: например,  когда все аi =0, а все αi равны между собой, получаем

 

xi=1/(npi),

 

то есть доход делится на n равных частей и спрос на i-й товар  рассчитывается как частное от деления полученной суммы денег на его цену.

 

В данном случае мы видим, что спрос растет при росте дохода с эластичностью, равной единице, и уменьшается с ростом цены с эластичностью, равной минус единице. Тем самым каждый товар в этой модели является нормальным и ценным. Кроме того, спрос растет до бесконечности при бесконечном росте дохода - в этом смысле каждый товар является «предметом роскоши».

Для того чтобы описать более разнообразные формы поведения спроса на различные товары, модель должна включать другие, более сложные виды целевой функции предпочтения. Например, при  функции предпочтения

U(x1,x2) = x1a∙x2b-a (x1 + b-a)-b

(где а, b- параметры) функция спроса имеет вид:

 

x1=aI/(I+bp1)

(типичная функция спроса для предметов первой необходимости) и

 

x2 = (I(I+p1(b-a)))/(I+bp1)

 

(типичная функция спроса для предметов роскоши).

Кроме указанных функций, в аналитических моделях покупательского спроса используются также другие функ­ции: степенные, S-образные и другие. Важную роль в анализе изменения спроса при небольших изменениях дохода играют коэффициенты эластичности. Коэффициент эластичности спроса от дохода показывает от­носительное изменение спроса при изменении дохода (при прочих не изменяющихся факторах).Во многих экономико-математических моделях эластич­ность функций относят к проценту прироста независимой переменной. Таким образом, коэффициент эластичности спроса от дохода показывает, на сколько процентов изменит­ся спрос на товар при изменении дохода на 1%.

Коэффициенты эластичности спроса от дохода различны по величине для разных товаров, вплоть до отрицательных значений, когда с ростом доходов потребление уменьшается. Принято выделять четыре группы товаров в зависимости от коэффициента эластичности спроса на них от дохода:

- малоценные товары (Ei<0);

- товары с малой эластичностью (0<Еi<1);

- товары со средней эластичностью (Еi близки к единице);

- товары с высокой эластичностью (Еi>1).

К малоценным товарам, т.е. товарам с отрицательной эластичностью спроса от дохода, относятся такие, как хлеб, низкосортные товары. По результатам обследований, коэффициенты эластичности для основных продуктов питания нахо­дятся в интервале от 0,4 до 0,8, по одежде, тканям, обуви — в интервале от 1,1 до 1,3 и т.д. По мере увеличения дохода спрос перемещается с товаров первой и второй групп на това­ры третьей и четвертой групп, при этом потребление товаров первой группы по абсолютным размерам сокращается.

 

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.

 

[1] Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.М. Математические методы в экономике: Учебник. 2-е изд. - М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, Издательство «Дело и Сервис», 1999. — 368 с.

 

[2] Фомин Г. П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности: Учебник. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Финансы и статистика, 2005. — 616 с: ил.

 

[3] Шелобаев С. И. Математические методы и модели в экономике,  финансах, бизнесе: Учеб. пособие для вузов. — М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2001. - 367 с.

[4] Шикин Е. В., Чхартишвили А. Г. Математические методы и модели в управлении: Учеб. пособие. — 3-е изд. — М.: Дело, 2004. — 440 с. — (Серия «Классический университетский учебник»).

 

[5] Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для вузов/ В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш,  Д.М. Дайитбегов и др.; Под ред. В.В. Федосеева. — М.:  ЮНИТИ, 1999. - 391 с.