Bodrenko.com
Bodrenko.org

Учебные дисциплины на сайте Bodrenko.org
Портабельные Windows-приложения на сайте Bodrenko.com
Теория игр . Аналитическая геометрия и линейная алгебра . Bodrenko.com Bodrenko.org

Математические методы исследования экономики

 

Лекция 4

 

Тема лекции 4:  «Эластичность и ее применение в экономическом анализе»

 

Разделы лекции:

 

1. Эластичность функции и ее геометрический смысл.

2. Свойства эластичности и эластичность элементарных функций.

3. Применение эластичности в экономическом анализе.

 

РАЗДЕЛ 1. ЭЛАСТИЧНОСТЬ ФУНКЦИИ И ЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ.

 

ЧТО ТАКОЕ ЭЛАСТИЧНОСТЬ ФУНКЦИИ?

 

Важнейшим направлением применения дифференциального исчисления в экономике является введение с его помощью понятия эластичности. Коэффициент эластичности показывает  относительное изменение исследуемого экономического показателя под  действием единичного относительного изменения экономического  фактора, от которого он зависит при неизменных остальных влияющих на него факторах.

 

Пусть величина y зависит от x, и эта зависимость описывается функцией y = f (x). Изменение независимой переменной x (dх)  приводит в силу функциональной зависимости к изменению  переменной у (dу). Встает вопрос, как измерить чувствительность  зависимой переменной y к изменению x. Одним из показателей  реагирования одной переменной на изменение другой служит производная y = f’(x), характеризующая скорость изменения функции с изменением аргумента х. Однако в экономике этот показатель неудобен тем, что он зависит от выбора единиц измерения.

 

ПРИМЕР. Например, если мы рассмотрим функцию спроса на сахар Q от его цены (Р), то увидим, что значение производной при каждой цене P (измеряемой в рублях) зависит от того, измеряется ли спрос на сахар в килограммах или, например,  в центнерах. В первом случае производная измеряется в кг/руб., во втором - в ц/руб., соответственно ее значение при одном и том же  значении цены будет различным в зависимости от единиц  измерения величины спроса. Поэтому для измерения чувствительности изменения функции к изменению аргумента в экономике изучают связь не абсолютных изменений переменных x и y (то есть связь dх и dу), а их относительных или процентных изменений.

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эластичностью функции у= f(x) называется предел отношения относительных изменений переменных y и x.

 

Если эластичность изменения переменной y при изменении  переменной x обозначить Еx(y), то, используя определение  производной, получаем: Еx (у) = Mf/Af, где Mf- маржинальное значение функции f в точке х, Af- среднее значение функции f в точке х.

 

Эту эластичность  называют также предельной или точечной эластичностью.

 

Т.е. эластичность может быть выражена в виде отношения  предельной (Mf) и средней (Аf) величин.

 

Так как d(lny) = dy/y, а d(lnx) =dx/x, то эластичность можно представить в форме «логарифмической производной»: Еx(у)=d(ln y)/d(ln x).

 

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЭЛАСТИЧНОСТИ.

 

Подобно производной, эластичность имеет простую геометрическую интерпретацию.

 

Рассмотрим убывающую функцию у =f(x) (рисунок 1):

 

Рисунок 1. График убывающей функции y=f(x).

 

Найдем эластичность этой функции в произвольной точке С с координатами (х,y). Для этого проведем касательную АВ к функции  y = f(x) в точке С. Из треугольника АСХ находим:

 

|AX| = |CX|/tgα.

 

Т.к. производная функции у = f(x) в точке С равна tg(180 - α), то tgα = -f(x).

 

Точка C имеет координаты (x; f(x)), тогда |CX|= f(x).  Следовательно, AX=-f(x)/f′(x). Из подобия треугольников СВУ и СAX следует, что |СВ|/|CA| = |CY|/|AХ|.

 

Учитывая, что |CY| = x, находим: |СВ|/|CA| = |CY|/||= - f'(x)∙x/f(x) = - Ex(y) .

 

Таким образом, Ex(y) = - |CB|/|CA|.

Сделаем одно важное замечание. В данном случае точки пересечения касательной к графику функции y=f(x) c осями координат OX и OY(точки A и B) лежат на касательной по разные стороны от точки касания C.

 

ВЫВОД.

Геометрически эластичность убывающей функции y=f(x) равна взятому со знаком «минус» отношению расстояний по касательной от точки касания С с координатами (х,f(x)) до пересечения этой касательной с осями координат ОY (точка пересечения B) и ОX (точка пересечения A), соответственно.

 

В случае выпуклой и вогнутой возрастающих функций (рисунок 2 и рисунок 3) эластичность по абсолютной величине также будет равна отношению |CB|/|CA|, а знак эластичности будет определяться взаимным расположением отрезков |СВ| и |СА| на касательной.

 

Рисунок 2. График возрастающей выпуклой функции y=f(x).

 

 

Рисунок 3. График возрастающей вогнутой функции y=f(x).

 

Если точки А и B лежат по одну сторону от точки С на касательной, как на рисунках 2, 3, то в формуле надо выбрать знак «+». Если А и В лежат по разные стороны, от точки  С, как на первом рисунке, то в формуле надо выбрать знак «–».

 

Отметим также, что эластичность функции, изображенной на рисунке 2, больше единицы (так как СВ > СА), а на рисунке 3 — меньше единицы (так как СВ < СА).

 

ДИСКРЕТНЫЙ СЛУЧАЙ.

 

В дискретном случае, а также при приближенном определении эластичности по дискретному набору данных, определение эластичности уже не столь однозначно, как в непрерывном случае, поскольку в относительном изменении sx = dx/x = (x2- x1)/x не ясно, что брать в качестве x: первоначальное значение (x = x1), конечное  значение (х = x2) или среднее значение x = (x1+x2)/2.

 

В зависимости от этого выбора различают:

 

КОНЕЧНУЮ (ПРОЦЕНТНУЮ) ЭЛАСТИЧНОСТЬ:

 

Ex(y) = ((y2-y1)/y1)/((x2 — x1)/x1),

 

СРЕДНЮЮ (ДУГОВУЮ) ЭЛАСТИЧНОСТЬ:

 

Ex(y) = (2(y2-y1)/(y1+ y2))/((2(x2 — x1)/(x1+x2)),

 

а также ЛОГАРИФМИЧЕСКУЮ ЭЛАСТИЧНОСТЬ:

 

Ex(y)= Δ ln y/Δlnx = ln(y2/y1)/ln(x2/x1).

 

Все эти выражения мало отличаются друг от друга при небольших относительных (процентных) изменениях величин х к y. Отметим, что для всех эластичностей используется один и тот же символ Ex(y), ибо из контекста бывает ясно, о какой эластичности идёт речь.

 

РАЗДЕЛ 2. СВОЙСТВА ЭЛАСТИЧНОСТИ И ЭЛАСТИЧНОСТЬ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ.

 

СВОЙСТВА ЭЛАСТИЧНОСТИ:

 

1. Эластичность - безразмерная величина, значение которой не зависит от того, в каких единицах измерены величины у и х.

 

Еax (by) = Еx(у).

 

Действительно, по определению эластичности функции находим:

 

Еax (by) =(d(by)/d(ax))∙(ax/by)=(bd(y)/ad(x))∙(ax/by)=(d(y)/d(x))∙(x/y)=Еx(у).

 

2. Эластичности взаимно обратных функций - взаимно обратные  величины:

 

Еx(у) = 1/Еy(x).

 

Действительно, мы имеем:

 

Еx(у) =(dy/dx)∙(x/y)=(1/(dx/dy))∙(1/(y/x))=1/((dx/dy)∙(y/x))=1/Ey(x).

 

Например, эластичность величины спроса по цене обратна  эластичности цены по величине спроса:

 

Ep(Q) = 1/EQ(P).

 

3. Эластичность произведения двух функций u(х) и v(x),  зависящих от одного и того же аргумента x, равна сумме эластичностей:

 

Ex(u∙v) = Еx(u) + Еx(v).

 

Докажем это свойство, пользуясь формулой для вычисления дифференциала произведения двух функций, зависящих от одного и того же аргумента x:

 

Ex(u∙v)=(d(uv)/dx)∙(x/(u∙v))=((vdu+udv)/dx)∙(x/(u∙v))=((vdu)/dx)∙(x/(u∙v))+((udv)/dx)∙(x/(u∙v))=

=(du/dx)∙(x/u) + (dv/dx)∙(x/v) = Еx(u) + Еx(v).

 

4. Эластичность частного двух функций u(х) и v(x), зависящих от одного и того же аргумента x, равна разности эластичностей:

 

Ex(u/v) = Еx(u)  -  Еx(v).

 

Докажем это свойство, пользуясь формулой для вычисления дифференциала частного двух функций, зависящих от одного и того же аргумента x:

 

Ex(u/v) = ((d(u/v))/dx)∙(x/(u/v))= ((duvdvu)/vv))/dx)∙(x/(u/v))= ((duv)/vv))/dx)∙(x/(u/v)) – (dvu)/vv))/dx)∙(x/(u/v))= (du/(vdx))∙((vx)/u)) –  ((dvu)/(vvdx))∙((vx)/u)= (du/dx)∙(x/u) –  (dv/(vdx))∙x= Еx(u)  -  Еx(v).

 

5. Эластичность суммы двух функций u(х) и v(x) может быть найдена по формуле:

 

Ex(u + v) = (uЕx(u) + vЕx(v))/(u + v).

 

ЭЛАСТИЧНОСТИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ:

 

1. Эластичность степенной функции у = Xa постоянна и равна показателю степени а: Ex(xa)  = а.

 

Действительно,

 

Ex(xa)=(d(xa)/dx)∙(x/(xa))=a∙((xa-1)∙(1/xa-1))=a.

 

2. Эластичность показательной функции y = Ax  пропорциональна x:

Ex (Ax) = x ln(A).

 

Пользуясь формулой для вычисления производной показательной функции, находим:

 

 Ex (Ax)= Ax ∙ln A∙(x/ Ax) = x ln A.

 

3. Эластичность линейной функции y = ax + b равна:

 

Еx(ах+b) = ax/(ax+b).

 

Мы имеем:

 

Еx(ах+b)= a∙(x/(ax+b))= ax/(ax+b).

 

Если график линейной функции y=ax+b имеет отрицательный угловой коэффициент (a<0), то эластичность функции меняется от нуля в точке ym пересечения прямой y=ax+b с координатной осью OY до «минус бесконечности»  (- ∞) в точке  пересечения прямой y=ax+b с координатной осью OX, проходя через значение (-1) в средней точке. Таким образом, хотя прямая имеет постоянный наклон, ее эластичность зависит не только от наклона, но и от того, в какой точке x мы ее находим (рисунок 4).

 

Рисунок 4. Эластичность линейной функции.

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция с бесконечной эластичностью во всех точках называется совершенно эластичной, с нулевой эластичностью во всех точках - совершенно неэластичной.

 

РАЗДЕЛ 3. ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛАСТИЧНОСТИ В ЭКОНОМИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ.

 

КАКИЕ ВИДЫ ЭЛАСТИЧНОСТЕЙ СУШЕСТВУЮТ В ЭКОНОМИКЕ?

 

ЭЛАСТИЧНОСТЬ СПРОСА ПО ЦЕНЕ (ПРЯМАЯ):

 

Ep(q)= (dq/dp)(p/q)

 

Эта эластичность показывает относительное изменение (выраженное в  процентах) величины спроса на какое-либо благо при изменении цены  этого блага на один процент и характеризующая чувствительность потребителей к изменению цен на продукцию. Если ценовая эластичность спроса по абсолютной величине больше единицы, то спрос называют эластичным (совершенно эластичным при бесконечно  большой величине эластичности спроса). Если ценовая эластичность  спроса по абсолютной величине меньше единицы, то спрос называют  неэластичным (совершенно неэластичным при нулевой  эластичности спроса). И, наконец, если ценовая эластичность спроса по абсолютной величине равна единице, то говорят о спросе с единичной эластичностью.

 

ЭЛАСТИЧНОСТЬ СПРОСА ПО ДОХОДУ:

 

EI(q) = (dq/dI)(I/q) .

 

Эластичность спроса по доходу характеризует  относительное изменение (в процентах)   величины спроса на какое-либо благо при изменении дохода  потребителей этого блага на один процент. Положительная эластичность спроса  по доходу характеризует нормальные (качественные) товары, а  отрицательная величина - малоценные (некачественные) товары.  Так, высокий положительный коэффициент спроса по доходу в  отрасли указывает, что ее вклад в экономический рост больше, чем  доля в структуре экономики, и она имеет шансы на расширение и  процветание в будущем. Наоборот, если коэффициент эластичности спроса на продукцию отрасли по доходу имеет небольшое  положительное или отрицательное значение, то ее может ожидать застой и перспектива сокращения производства.

 

ПЕРЕКРЕСТНАЯ ЭЛАСТИЧНОСТЬ СПРОСА ПО ЦЕНЕ:

 

Epj(qi)=(dqi/qi)/(dpj/pj).

 

Перекрестная эластичность спроса по цене характеризует относительное изменение (в процентах) величины спроса qi на одно благо при изменении цены pj на другое благо (замещающее или дополняющее его в потреблении) на один  процент. Положительный знак перекрестной эластичности спроса по цене свидетельствует о замещаемости благ, а отрицательный — о дополняемости благ.

 

ЦЕНОВАЯ ЭЛАСТИЧНОСТЬ РЕСУРСОВ:

 

Epi(Ri)=(dRi/Ri)/(dpi/pi).

 

Ценовая эластичность ресурсов характеризует относительное изменение (в процентах)  величины спроса Ri на какой-либо ресурс (например, труд) при изменении цены pi этого ресурса (соответственно, заработной платы) на один  процент.

 

ЭЛАСТИЧНОСТЬ ЗАМЕЩЕНИЯ ОДНОГО РЕСУРСА ДРУГИМ:

 

ERj(Ri)=(dRi/Ri)/(dRj/Rj).

 

Эластичность замещения одного ресурса другим характеризует необходимое изменение (в процентах) величины одного ресурса Rj (например, капитала) при изменении количества другого ресурса Ri (например, труда) на один процент с тем, чтобы выпуск при этом не изменился.

 

КАКОВЫ ФАКТОРЫ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ЭЛАСТИЧНОСТЬ СПРОСА?

 

1. ЗАМЕЩАЕМОСТЬ БЛАГА В ПОТРЕБЛЕНИИ.

 

Эластичность спроса по цене тем выше, чем выше замещаемость блага. Замещаемость блага обычно характеризуется наличием и количеством заместителей, а также степенью агрегированности блага. Чем больше у потребителей возможностей заместить потребление данного блага потреблением других благ, тем выше эластичность спроса на это благо. Степень агрегированности блага определяется широтой определения данного блага, тем какое количество   разнородных благ входит в понятие данного блага. Например, благо  «молочные продукты» включает в себя молоко, кефир, ряженку, простоквашу и другие продукты. Чем выше степень агрегированности блага, тем меньше у него субститутов (и тем меньше у потребителей возможностей заместить потребление данного блага потреблением других благ), и тем ниже эластичность спроса на это благо.

 

Например, эластичность спроса на моющие средства ниже, чем на стиральный порошок, а эластичность спроса на мыло вообще ниже, чем эластичность спроса на мыло конкретной марки.

 

Правильное определение степени агрегированности блага (с целью определения его эластичности) особенно важно при определения ценовой и налоговой политики.  Так, например, введение в 80-е  годы прошлого века 6% налога на бензин в Вашингтоне (округ Колумбия),  эластичность спроса на который по оценкам экономистов составлял  0.2, привело к 33% падению спроса (что соответствует эластичности 5.5) и через 2 месяца налог был отменен. Причина этого — «узкое»  определение бензина в штате Washington D.C., не включившее в себя бензин из соседних штатов Meriland и Virdginia, которым потребители и стали заменять подорожавший в Вашингтоне бензин.

 

2. УДЕЛЬНЫЙ ВЕС В ДОХОДЕ.

 

Эластичность спроса по цене тем выше, чем выше удельный вес расходов на данное благо в доходе потребителя. Например, спрос потребителя на спички, практически не изменится, даже если их цена возрастет в несколько раз, что свидетельствует о его низкой эластичности.

 

3. СУБЪЕКТИВНАЯ НЕОБХОДИМОСТЬ.

 

Эластичность спроса по цене тем выше, чем ниже субъективная необходимость в данном благе. Обычно считают, что спрос на  предметы роскоши более эластичен, чем спрос на предметы первой  необходимости. Это не совсем правильно, поскольку решающим  фактором здесь является именно субъективная необходимость в данном благе, которая на отдельные предметы роскоши может в силу моды, традиций или других причин может быть достаточно высокой и  приводить к низкой эластичности спроса на него. Примером этому служит спрос на цветы 8 марта или 1 сентября.

 

4. ФАКТОР ВРЕМЕНИ.

 

Эластичность спроса по цене обычно выше, чем больше промежуток времени. Другими словами, долгосрочная эластичность спроса предполагается выше, чем краткосрочная эластичность. Это обычно обосновывается тем, что за долгосрочный промежуток времени  потребители могут изменить привычки и найти больше заменителей данному благу. Однако, при этом не учитывается формирование запаса и время износа блага, оказывающие существенное влияние на решения потребителей и действующие иногда в сторону понижения  эластичности с течением времени, особенно для товаров длительного  пользования, а также товаров первой необходимости в периоды резкого повышения цен. Например, запасы круп, макаронных изделий, консервов и других товаров, сделанные домашними хозяйствами в  России в декабре 1991 года до резкого повышения цен, привели к резкому сокращению спроса на эти товары в начале следующего года и, следовательно, большой краткосрочной эластичности спроса. С течением времени запасы стали истощаться и эластичность спроса на эти товары уменьшилась.

 

5. СВЯЗЬ ЭЛАСТИЧНОСТИ С ВЫРУЧКОЙ ПРОДАВЦОВ (РАСХОДАМИ ПОКУПАТЕЛЕЙ).

 

Эластичность выручки от продаж какого-либо блага тесно связана с эластичностью спроса на это благо. Используя формулу для выручки R=p∙q и формулу для эластичности произведения   функций, получаем:

 

Ep(R)= Ep(p) + Ep(q) = 1 +Ep(q) = 1 -| Ep(q) | ,

 

так как эластичность спроса по цене всегда отрицательна  (поскольку p′(q) < 0).

 

Из полученной формулы видно, что эластичность выручки по цене отрицательна (Ep(R) < 0) для товаров, спрос на которые  эластичен (|Ep(q)| > 1), и положительна (Ep(R) > 0) для товаров, спрос на которые неэластичен (|Ep(q)| < 1). Это означает, что если спрос  неэластичен, то изменение цены вызывает изменение выручки в том же направлении и продавцам выгодно повышать цену (что приводит к увеличению их выручки). Для эластичного спроса изменение выручки происходит в направлении, противоположном изменению цены и для повышения выручки продавцам выгодно понижать цену.

 

Аналогично, повышение налога на товар с эластичным спросом повлечет за собой сокращение дохода от налогообложения. При эластичном спросе выручка растет с увеличением   количества или уменьшением цены, а при неэластичном - падает. Например, доходы фермеров сократятся при хорошем урожае, поскольку эластичность спроса на сельскохозяйственную продукцию достаточно низка. Аналогично, повышение цен на государственных  предприятиях с целью увеличения поступлений в бюджет, например,   повышение цен на железнодорожные билеты, может привести к сокращению поступлений в бюджет, если спрос на соответствующий товар или услугу окажется эластичным.

 

СВЯЗЬ ЦЕНЫ И ПРЕДЕЛЬНЫХ ИЗДЕРЖЕК МОНОПОЛИСТА.

 

Мы знаем, что совершенно конкурентная фирма (т.е. фирма, функционирующая в условиях совершенной (чистой) конкуренции,  устанавливает цену на свою продукцию, равную предельным  издержкам: рс = МС. Монополист же назначает цену на свою  продукцию выше предельных издержек: рс = МС(1 + s), где s - надбавка к  издержкам, которая может составлять 10%, 20%, 30%,.... Возникает вопрос, как выбрать величину этой надбавки. При более детальном  рассмотрении этого вопроса оказывается, что величина надбавки тесно связана с эластичностью.  Действительно, записывая условие максимизации прибыли Π, как разницы между выручкой и издержками (Π = R- С):

 

Π'= R'- С'= MR- МС= 0,

 

вычислим предельную выручку:

 

MR≡R′(q) = (p(q)∙q)′ = p(q) +q∙p′(q)= p∙[1+ (q∙p′(q))/p] = p∙[1+ 1/ED] = p∙[1 - 1/|ED|],

 

и приравняем ее к предельным издержкам (MR = МС). Получим соотношение:

 

p = MC/(1 – 1/|ED|),

 

из которого следует, что надбавка к предельным издержкам в цене должна быть тем меньше, чем выше эластичность спроса.

 

Эта же формула позволяет объяснить, как происходит сегментация рынка монопольным производителем с целью дискриминации потребителей и получения от этого дополнительной прибыли. Обычно мы рассматриваем однородный рынок какой-либо продукции на котором все покупатели платят за единицу товара одну и ту же цену. Однако, если монополист может устойчиво разделить покупателей по какому-либо признаку на две или большее число групп, например, выделяя в отдельную группу студентов при покупке железнодорожных или авиабилетов, то ему выгоднее установить для различных групп различные цены и, таким образом,  сегментировать рынок. При этом суммарная выручка от продаж на двух рынках одного товара (или услуги) будет максимальна при равенстве  предельных доходов от каждого из рынков (в противном случае было бы выгодно перераспределить объем продаж в пользу рынка с большим предельным доходом).

 

Таким образом,

MR1= p1∙[1 - 1/|E1D|] = p2∙[1 - 1/|E2D|] = MR2.

 

Отсюда,

 

p1/p2= [1 - 1/|E2D|]/[1 - 1/|E1D|].

 

Следовательно, те покупатели, спрос которых на товар менее эластичен будут платить за него большую цену.

 

ЭЛАСТИЧНОСТЬ И НАЛОГОВАЯ ПОЛИТИКА.

 

Когда правительство вводит те или иные налоги на какие-либо товары оно должно иметь ответы на следующие вопросы: На какие  товары вводить налог?  С кого взимать налог - с производителей или потребителей?  Какова будет величина дополнительных поступлений в бюджет? На кого ляжет основное налоговое бремя? Если налог уже взимается, то стоит ли увеличивать налоговую ставку для покрытия дефицита бюджета?

 

Интуитивно казалось бы, что основное налоговое бремя ляжет на тех, с кого будут взимать налог и что чем больше будет  налоговая ставка, тем больше будут поступления от налогов в бюджет.  Более детальный экономический анализ показывает, что величина  налогового бремени определяется не формальными плательщиками  налога, а величинами эластичности спроса и предложения. Аналогично, увеличение налоговой ставки, эквивалентное увеличению цены, облагаемого налогом товара может привести как к увеличению налоговых поступлений в бюджет, так и к их уменьшению,  опять же в зависимости от эластичности.

 

Для того чтобы разобраться в этих вопросах, рассмотрим более детальную модель взимания налога, основанную на концепции спроса и предложения. Предположим, вначале что налог взимается с производителей, и для простоты будем считать, что налог с   единицы продукции t постоянен и не зависит от величины выпуска (это  не так, если налог определяется в процентах с выпуска или объема  продаж). В этом случае введение налога приводит к параллельному  сдвигу кривой предложения на величину налоговой ставки t.

Рисунок 5. Введение налога и эластичность.

 

Из этого рисунка 5 видно, что при введении налога рыночная цена товара повышается от рe до pc, которая теперь отличается от цены производителей pp на величину налога t, а объем продаж уменьшается от qe до qt. Суммарная величина налоговых поступлений в бюджет Т определяется как произведение налоговой ставки t на объем продаж qt.

T = t∙qt

 

Одновременно это же выражение определяет и величину налогового бремени, часть которого

 

Tc = qt∙(pc – pe)

 

падает на плечи потребителей, а другая часть

 

Tp = qt∙(pepp)

 

на производителей.

 

Нетрудно показать, что сумма этих частей равна налоговым  поступлениям в бюджет: Tc + Tp = T = qt∙(pcpp), а соотношение этих частей обратно пропорционально  соотношению эластичностей спроса и предложения.  Это соотношение следует из определений эластичностей спроса и предложения, отношение которых и дает искомое выражение:

 

Tc/Tp = (pc – pe)/(pe – pp) = -ES/ED.

 

Где выполняются соотношения:

 

 –ED= –[(qt – qe)/qe]/[(pc – pe)/pe];

 

ES=[(qt – qe)/qe]/[(pp – pe)/pe].

 

Анализируя его, мы видим что большее налоговое бремя падает на экономического агента с меньшей эластичностью, у которого меньше возможностей для ухода от налогового бремени. В  частности, если эластичность спроса равна нулю, то все налоговое бремя ляжет на плечи потребителей, так как независимо от величины налога (а следовательно, и от величины цены) потребители не изменят объема покупок. Если же спрос на какой-либо товар  характеризуется совершенной эластичностью, то в проигрыше оказываются производители, так как потребители уходят от налога, снижая величину спроса и переходя к потреблению товаров-субститутов. В этом случае все налоговое бремя падает на плечи производителей (рисунок  6):

 

 

Рисунок 6. Взимание налога с производителей.

 

Аналогично происходит и перераспределение налогового бремени в случае, когда налог формально взимается с потребителей. Например, оплачивая какую-либо покупку, покупатель платит по дополнительному чеку определенную сумму или процент от суммы покупки государству. В этом случае введение налога приводит к сдвигу кривой спроса влево:

 

Рисунок 7. Распределение налога между потребителями и производителями.

 

Сравнивая этот рисунок 7 с рисунком 6, описывающим ситуацию взимания налога с производителей, можно заметить, что распределение налогового бремени между потребителями и производителями происходит также, как и в предыдущем случае, и опять обратно пропорционально их эластичностям. Таким образом, формальные и фактические плательщики налога не совпадают. Независимо от того, кто является формальным плательщиком налога, фактическим плательщиком оказывается экономический агент с меньшей эластичностью, особенно если эластичности спроса и предложения сильно различаются. Рассматривая вопрос о влиянии величины налоговой ставки на величину налоговой выручки, нетрудно заметить, что эти величины связаны между собой примерно так же, как связаны выручка от продаж и цена товара. Рассуждая аналогично выводу связи выручки  и эластичности, можно получить формулу:

 

Et(T)=(t/T)∙(dT/dt)= 1 – [(t/pe)/(1/|ED|+1/ES)].

 

Из этой формулы видно, что налоговая выручка возрастает с увеличением налоговой ставки только до тех пор, пока доля ставки налога в цене товара меньше суммы обратных эластичностей спроса и предложения. Это дает возможность устанавливать высокие  ставки налогообложения (существенно превышающие цену товара) на товары, спрос на которые неэластичен (или предложение которых неэластично). Примером этому служат акцизы на винно-водочные и табачные изделия.

 

Таким образом, эластичность спроса важна при принятии ценовых решений производителями, бизнесменами, владельцами  стадионов, кинотеатров и других заведений, разработчиками государственной политики и другими экономическими субъектами.

 

 

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.

 

[1] Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.М. Математические методы в экономике: Учебник. 2-е изд. - М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, Издательство «Дело и Сервис», 1999. — 368 с.

 

[2] Фомин Г. П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности: Учебник. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Финансы и статистика, 2005. — 616 с: ил.

 

[3] Шелобаев С. И. Математические методы и модели в экономике,  финансах, бизнесе: Учеб. пособие для вузов. — М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2001. - 367 с.

[4] Шикин Е. В., Чхартишвили А. Г. Математические методы и модели в управлении: Учеб. пособие. — 3-е изд. — М.: Дело, 2004. — 440 с. — (Серия «Классический университетский учебник»).

 

[5] Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для вузов/ В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш,  Д.М. Дайитбегов и др.; Под ред. В.В. Федосеева. — М.:  ЮНИТИ, 1999. - 391 с.