Bodrenko.com
Bodrenko.org

Учебные дисциплины на сайте Bodrenko.org
Портабельные Windows-приложения на сайте Bodrenko.com
Теория игр . Аналитическая геометрия и линейная алгебра . Bodrenko.com Bodrenko.org

Математические методы исследования экономики

 

Лекция 3

 

Тема лекции 3: «Дифференциальное исчисление в экономическом анализе»

 

Разделы лекции:

 

1. Экономические задачи, решаемые методами  дифференциального исчисления.

2. Приращение величины, аргумента, функции. Скорость изменения функции.

3. Определение производной и ее геометрический  смысл. Дифференциал функции одной переменной.  Первообразная и неопределенный интеграл.

 

РАЗДЕЛ 1. ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ МЕТОДАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ.

 

КАКИЕ ОСНОВНЫЕ ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ РЕШАЮТСЯ МЕТОДАМИ ЛИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ?

 

Дифференциальное исчисление - широко применяемый для экономического анализа математический аппарат. Базовой задачей  экономического анализа является изучение связей экономических величин, записываемых в виде функций. В каком направлении  изменится доход государства при увеличении налогов или при введении импортных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию? В какой пропорции дополнительное оборудование может заменить выбывающих работников? Для решения подобных задач должны быть построены функции связи входящих в них переменных, которые затем изучаются с  помощью методов дифференциального исчисления. В экономике очень часто требуется найти наилучшее, или  оптимальное значение того или иного показателя: наивысшую   производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск,  минимальные издержки и т.д. Каждый показатель представляет   собой функцию одного или нескольких аргументов. Например,   выпуск можно рассматривать как функцию затрат труда и капитала  (как это делается в производственных функциях). Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к   нахождению экстремума (максимума или минимума) функции одной или нескольких переменных. Подобные задачи порождают класс   экстремальных задач в экономике, решение которых требует   использования методов дифференциального исчисления. Если   экономический показатель y нужно максимизировать или минимизировать  как функцию другого показателя x (например, задача на максимум  прибыли как функции объема выпуска), то в оптимальной точке  (т.е. в точке максимума) отношение приращения функции у к приращению  аргумента x должно стремиться к нулю, когда приращение   аргумента стремится к нулю. Иначе, если такое отношение приращений стремится к  некоторой положительной или отрицательной величине,   рассматриваемая точка не является оптимальной, поскольку увеличив  или уменьшив аргумент х, можно изменить величину у  нужным образом.

 

В терминах дифференциального исчисления это   означает, что необходимым условием экстремума функции y = f(x) является равенство нулю ее производной.  В экономике часто приходится решать задачи на экстремум   функций нескольких переменных, поскольку экономические   показатели обычно зависят от многих факторов. Такие задачи хорошо   изучены теорией функций нескольких переменных, использующей методы дифференциального исчисления. Многие задачи включают  не только максимизируемую (минимизируемую) функцию, но и  ограничения (скажем, бюджетное ограничение в задаче потребительского выбора). Это - задачи математического программирования,  для решения которых разработаны специальные методы, также  опирающиеся на дифференциальное исчисление. Все эти виды   задач и их приложения будут рассмотрены в дальнейшем; мы  не будем здесь забегать вперед.  Важный раздел методов дифференциального исчисления, используемых в экономике, называется методами предельного анализа.

Предельный анализ в экономике - совокупность приемов   исследования изменяющихся величин затрат или результатов при   изменениях объемов производства, потребления и т.п. на основе анализа их предельных значений. Предельный показатель (показатели)   функции y = f(x)- это ее производная (в случае функции одной   переменной) или частные производные (в случае функции нескольких  переменных).

В экономике широко используются средние величины: средняя  производительность труда, средние издержки, средний доход,  средняя прибыль и т. д. Но часто требуется узнать, на какую величину  вырастет результат, если будут увеличены затраты, или, наоборот, насколько уменьшится результат, если затраты сократятся. С  помощью средних величин  ответ на этот вопрос  получить   невозможно. В подобных задачах требуется определить предел отношения  приростов результата и затрат, т.е. найти предельный эффект.   Следовательно, для их решения необходимо применение методов   дифференциального исчисления - нахождение производной в случае функции одной переменной и частных производных, если функция  зависит от нескольких аргументов.

ПРИМЕР. Так, например, если задана производственная функция:

y = f(x1, …, xi, …, xn),

где xi - объём затрачиваемого i-го ресурса (i = 1, …, n), y  - максимальный объем выпуска, который можно получить, затрачивая   ресурсы соответственно в объёмах x1, …, xi, …, xn, то предельный эффект pi от использования i-го ресурса определяется следующим образом:

 

pi = (f(x1, …, xi+Δxi, …, xn) - f(x1, …, xi, …, xn))/Δxi .

 

Здесь величина pi равна дополнительному объему выпуска,  который получается в результате затраты дополнительной единицы Δxi i-го ресурса при неизменных объёмах остальных ресурсов.

Показатель предельного эффекта в оптимизационных моделях  применяется для нахождения оптимального объема производства при заданных ресурсах, а также для определения оптимального   распределения ограниченных ресурсов по различным направлениям их  использования. Если максимизируемый показатель (например,   прибыль) есть разность результата и издержек (в данном случае   результат представлен выручкой), то в оптимальной точке предельная   выручка должна равняться предельным издержкам. Такое равенство  должно выполняться по каждому из факторов, определяющих  выручку и издержки, что вытекает из необходимости равенства нулю  частных производных прибыли по всем этим факторам.   Необходимые и достаточные условия оптимума во многих экономических  задачах записываются с помощью частных производных и   дифференциалов. Так, если решается задача на максимум выпуска,   описываемого с помощью приведенной выше производственной   функции, при наличии ограничения по общему расходу денежных средств  на используемые в производстве ресурсы, то в оптимальной точке должны быть равны между собой отношения предельных производительностей ресурсов pi и их цен. Иными словами, для всех   ресурсов должен быть одинаков предельный эффект в расчете на   единицу дополнительно расходуемых на эти ресурсы денежных средств. В  задаче потребительского выбора отношение предельных полезностей благ должно быть равно отношению их цен. Иначе говоря, предельная полезность в расчете на одну денежную единицу должна  быть в оптимальной точке одинакова по всем благам; в противном  случае бюджет потребителя мог бы быть перераспределен с   увеличением его благосостояния.

 

ВЫВОД.

 

Таким образом, методы дифференциального  исчисления позволяют не только решить различные экономические  задачи, но и записать необходимые или достаточные условия   оптимума в этих задачах, которые позволяют дать ответ на те или иные конкретные вопросы.

Широко используется в экономическом анализе понятие   дифференциала, или главной линейной части приращения функции.

Так, если некоторая величина y есть функция двух аргументов x1 и  x2, то с использованием дифференциала легко рассчитать  предельную норму замены между этими аргументами, т.е. величину,   показывающую, сколько нужно фактора 2 для замены одной единицы  фактора 1 с сохранением значения функции у. Предельная норма замены важна в задачах потребительского выбора (взаимозаменяемость  благ), в задачах оптимизации производства (взаимозаменяемость труда  и капитала) и в ряде других задач.

 

Пусть y=f(x1,x2). Если мы хотим  сохранить значение функции у неизменным, то это означает, что  приращение у, а значит и его главная линейная часть должны быть  равны нулю. Иными словами, 0=dy=y'x1∙dx1 + y'x2∙dx2 . Отсюда,  предельная норма замены вычисляется по формуле: (—dx1/dx2) = (y'x2/y'x1),   то есть равняется отношению частных производных функции у по второму и первому факторам.

 

Методы дифференциального исчисления широко применяются  не только для анализа взаимодействия отдельных экономических  факторов, определения их взаимозаменяемости или оптимального  сочетания, но и в сложных моделях экономики, в частности — в  моделях экономической динамики. Дифференциальное исчисление  - это не только аппарат, позволяющий находить решения таких  моделей, но и необходимый составной элемент для их построения. Динамические модели применяются для решения таких задач, как  определение оптимальной или равновесной траектории развития экономической системы, ее состояний в заданные моменты   времени, анализ системы на устойчивость, анализ структурных сдвигов и т.п.

Из рассмотренных направлений применения дифференциального исчисления в экономике важнейшим является вопрос  нахождения и анализа взаимосвязей экономических переменных,  определяющих функционирование экономического объекта или протекание  экономического явления, который мы сейчас рассмотрим более   подробно.

 

АНАЛИЗ ВЗАИМОСВЯЗЕЙ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ.

 

Анализируя взаимосвязи экономических показателей, мы  должны последовательно ответить на четыре вопроса:

 

1. Какие факторы  определяют интересующий нас экономический показатель?

 

2. Каков знак этой зависимости?

 

3. Какова степень этой зависимости?

 

4. Каково числовое  (функциональное) выражение соответствующей зависимости?

 

Рассмотрим возможные ответы на эти вопросы на примере простейшей  экономической зависимости - функции спроса.

1. От чего зависит (от каких факторов)?

 

В ответ на этот вопрос надо перечислить все факторы,  определяющие исследуемый экономический показатель. В частности,  величина спроса q на какой-либо товар определяется ценой этого   товара p ,  доходом потребителей I, ценами на другие товары  (дополняющие (С) или заменяющие (S) данный товар), ожидаемыми ценами и  ожидаемым доходом.

 

2. Как зависит (положительно или отрицательно)?

В ответ на этот вопрос надо определить характер взаимосвязи.  Исследуемый показатель связан с каким-либо фактором   положительно, если его значение возрастает при увеличении фактора и  отрицательно, если его значение уменьшается при увеличении   фактора. В частности, величина спроса q  на какой-либо товар   уменьшается при увеличении его цены р, увеличивается (для нормальных  товаров) или уменьшается (для некачественных товаров) при  увеличении дохода потребителей I, уменьшается при увеличении цен на  дополняющие товары и увеличивается при увеличении цен на  заменяющие данный товар товары, увеличивается при ожидании  повышения цен или доходов.

 

3. Какова степень зависимости?

Для ответа на этот вопрос надо определить насколько   чувствителен исследуемый экономический показатель к изменению   определяющих его факторов? Другими словами, какова степень его изменения при заданном абсолютном или относительном изменении  факторов.

КАКИЕ ИМЕЮТСЯ ПОДХОДЫ К АНАЛИЗУ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ЗАВИСИМОСТИ?

 

Имеются два подхода к анализу чувствительности зависимости y = f(x).

 

1. Приростной подход (Δx→ Δy).

 

В этом походе «прирост фактора» → «прирост исследуемого показателя» (или «изменение х» «изменение у»).

 

Мера «абсолютной» чувствительности есть скорость изменения функции (средняя: Δy/Δx  (то есть отношение изменений) или предельная: f'(x) (то есть производная)):

2. Темповый подход (%Δx → %Δy).

 

В этом подходе «темп прироста фактора»→ «темп прироста исследуемого показателя», ( или «процентное изменение х» → «процентное изменение у»).

 

Напомним, что процентное изменение какой-либо переменной -  это отношение изменения этой переменной к первоначальному ее значению. А именно, процентное изменение переменной x (то есть %Δx) вычисляется по формуле:

 

%Δx=Δx/x=(x2-x1)/x1.

 

ПРИМЕР. Например, если цена буханки хлеба увеличилась с 20 до 30 рублей, то процентное изменение цены будет таким:  %Δp= Δp/p = (30 — 20)/20 = 1/2. То есть процентное изменение цены равно 50%.

 

Мера «относительной» чувствительности – это эластичность функции (средняя: %Δy/%Δx  (то есть отношение процентных изменений) или предельная: ((dy/dx)∙(x/y) = (f'(x)∙x)/y)) (то есть пропорционально производной)).

 

4. Каково функциональное выражение зависимости?

Для ответа на этот вопрос надо указать конкретное  функциональное выражение исследуемой зависимости (в виде формулы, графика или таблицы). Эту зависимость можно получить либо из  теоретической модели или из эконометрического (эмпирического)   исследования.

 

ПРИМЕР. Например, функция спроса на какой-либо товар может определяться следующей формулой:

q = q0 — a∙p — b∙p1 + c∙p2,

 

где p — цена этого товара,  p1 — цены на товары, дополняющие данный товар (C), p2 — цены на товары, заменяющие данный товар (S); или изображаться прямой линией — графиком функции q = q(p) (рисунок 1).

Рисунок 1. График функции спроса q=q(p).

 

Другим не менее важным направлением дифференциального исчисления является его применение к принятию оптимальных решений, которое мы также рассмотрим более подробно.

 

КАК ПРИМЕНЯЕТСЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ПРИНЯТИИ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ?

 

Пусть, например,  монополист, зная (из  маркетинговых  исследований) функцию спроса на свой товар, решает, сколько ему  производить и по какой цене продавать свой товар. Если он установит достаточно высокую цену, то потребители за определенный период купят у него не слишком много товара. Если он будет производить  больше, то ему придется   понизить цену, чтобы  распродать все выпускаемое им количество за  определенный период времени. При этом выручка  увеличится за счет увеличения объема продаж (выигрыш) и одновременно   уменьшится за счет уменьшения  цены (потери). Результат  будет зависеть от того, что окажется большим: выигрыш или   потери. Как же все-таки монополист может определить оптимальный  объем выпуска? Для этого он должен определить зависимость выручки (или прибыли, если учитывать издержки выпуска) от объема  выпуска:

 

Π(q) = R(q)-C(q) = р(q)∙q — C(q),

 

и определить, при каком объеме выпуска прибыль будет максимальна.  

 

Из теории известно, что задача определения максимума функции решается с помощью понятия производной. Для этого надо знать ответы на два вопроса.

1. Как находить производные произвольных функций?

2. Как применять производные к исследованию функций?

Для ответа на первый вопрос мы рассмотрим определение и  геометрический смысл производной, формулы для нахождения производных нескольких простейших (элементарных) функций и  правила дифференцирования, позволяющие находить производные от  любых комбинаций элементарных функций.

Для ответа на второй вопрос надо рассмотреть связь знака и   величины производной с возрастанием, убыванием функций и   определить необходимые и достаточные условия экстремума (максимума  или минимума) функций.

РАЗДЕЛ 2. ПРИРАЩЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ, АРГУМЕНТА, ФУНКЦИИ.  СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ.

 

КАК ОПРЕДЕЛЯЮТСЯ ПРИРАЩЕНИЯ ВЕЛИЧИНЫ, АРГУМЕНТА И ФУНКЦИИ?

 

ЧТО ТАКОЕ ПРИРАЩЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ?

 

Пусть величина z  меняется от значения z1 (начальное значение) до значения z2  (конечное значение). Тогда величина Δz = z2 — z1  называется  приращением величины z. Приращение возрастающей величины z  (z2 > z1) будет положительно, то есть Δz>0,a приращение убывающей  величины (z2 < z1) будет отрицательно, то есть Δz<0. Если величина z не изменилась (z2 = z1), то ее приращение будет равно нулю, то есть Δz=0.

 

ЧТО ТАКОЕ ПРИРАЩЕНИЕ АРГУМЕНТА И ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ?

 

Пусть дана функция у = f(x) и два значения аргумента x1 и x2.  Им соответствуют два значения функции y1=f(x1) и y2=f(x2).

 

Разность  Δx=x2x1 называется приращением аргумента, а  разность  Δy = y2 –y1=f(x2) –f(x1) - приращением функции.

 

Геометрическая интерпретация этих величин показана на рисунке 2.

Рисунок 2. Приращение аргумента Δx и приращение функции Δy.

 

ЧТО ТАКОЕ ПРИРАЩЕНИЕ АРГУМЕНТА И ПРИРАЩЕНИЕ  ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ?

 

Рассмотрим функцию f(x), xÎ(a, b). Возьмем произвольную точку  x0Î(a, b).  Для любого  xÎ(a, b) разность (х — x0) называется приращением  аргумента х в точке x0 и обозначается Δx. Таким образом, Δx=xx0 , x = x0 + Δx.

 

Разность (f(x)f(x0))  называется приращением функции y=f(x) в точке x0 и обозначается Δf(x0) (или, короче,  Δf или  Δy)   (см. рисунок 3).

Рисунок 3. Приращение аргумента x и приращение функции y=f(x) в точке x=x0.

 

Следовательно,

Δf(x0) =f(x) — f(x0) = f(x0 + Δx) — f(x0).

 

В этих терминах можно сказать, что функция f(x)  непрерывна в точке x0 тогда и только тогда, когда приращение функции Δf в точке x0 стремится к нулю, если приращение аргумента  Δx стремится к нулю.

 

ЧТО ТАКОЕ  СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ НА ИНТЕРВАЛЕ (СРЕДНЯЯ СКОРОСТЬ)?

Рассмотрим две функции, показанные на рисунке 4. Значения  каждой из них меняются при изменении аргумента на величину Δx = x — x0 . Из рисунка видно, что вторая функция меняется (возрастает)  сильнее, чем первая на интервале (x0; x0+Δx).

Для сравнения величин изменения различных функций при  одинаковом изменении аргумента вводится понятие скорости   (быстроты) изменения функции на интервале (х0; x0+Δx) (средней скорости),   определяемой, как отношение изменения функции, вызванного изменением ее аргумента, к соответствующему изменению аргумента. То есть «скорость изменения функции на интервале (x0; x0+Δx)» = «изменение функции»/«изменение аргумента».

 

 

Рисунок 4. Скорость изменения функции на интервале (x0, x0+Δx).

 

Обозначая скорость буквой v, запишем это соотношение в следующем виде.

v = Δf(x0)/Δx= (f(x) — f(x0))/(x — x0).

 

Из этого соотношения вытекает, что если при равных   изменениях аргумента одна из функций меняется сильнее, то и скорость изменения второй функции на   рассматриваемом интервале будет больше, чем первой.

Геометрический смысл скорости изменения функции на  интервале (x0; x) (средней скорости) в том, что она численно равна  тангенсу угла наклона отрезка, соединяющего две точки графика функции, соответствующих значениям аргумента х0 и х= x0+Δx, т.е. тангенсу угла при вершине M0  в треугольнике M0MN (см. рисунок 3).

Недостаток такого определения скорости состоит в том, что эта  скорость зависит не только от точки х0, относительно которой   рассматривается изменение аргумента, но и от самой величины   изменения аргумента, т.е. от величины интервала (x0; x), на котором   определяется скорость. Для устранения этого недостатка вводится   понятие скорости изменения функции в точке (мгновенной скорости).

ЧТО ТАКОЕ СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ (МГНОВЕННАЯ СКОРОСТЬ)?

Для определения скорости изменения функции в точке x0 сближают точки x и x0, устремляя интервал  Δx к нулю. Изменение  непрерывной функции при этом будет также стремиться к нулю. При  этом отношение, стремящегося к нулю изменения функции к   стремящемуся к нулю изменению аргумента дает скорость изменения  функции в точке x0 (мгновенной скорости), точнее на бесконечно  малом интервале, относительно точки x0.

v(x0) = lim{Δx→0}Δf(x0)/Δx= lim{x→x0} (f(x) — f(x0))/(x — x0).

 

Именно эту скорость изменения функции f(x) в точке x0 и  называют производной функции f(x) в точке x0.  Геометрический смысл скорости изменения функции в точке x0  (мгновенной скорости) в том, что она численно равна тангенсу угла  наклона касательной к графику функции в точке x0. Это  непосредственно следует из ее определения, поскольку при сближении точек  x0 и x,  точки пересечения графика функции прямой линией М0 и M также сближаются и сливаются в одной точке М0, в которой линия  и касается графика функции.

 

РАЗДЕЛ 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ  СМЫСЛ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

 

ЧТО ТАКОЕ ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ?

 

Пусть функция f(x) определена в  некоторой окрестности точки x0.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.  Производной функции f(x)  в точке x0 называется конечный предел отношения приращения функции Δf(x0) к приращению  аргумента  Δx при  Δx → 0, при условии, что этот предел существует. Производная функции в точке x0 обозначается так: f′(x0).

 

Итак,

 

f'(x0) =  lim{Δx→0}Δf(x0) Δx= lim{x→x0} (f(x) — f(x0))/(x — x0).

 

Производную функции y = f(x) ,  xÎ(a; b) , в точке х обозначают  f'(x) («эф штрих от икс»), y'(x) («игрек штрих по икс»),  df(x)/dx («де эф  от x по дэ икс»), dy/dx  («де игрек по де икс»), причем все эти обозначения  равноправны.

 

Экономисты используют также символ Mf(x) (т.е. Mf(x)=f'(x)) и  термин «маржинальное значение функции f в точке х».

 

ЧТО ТАКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ?

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Операция нахождения производной функции называется  дифференцированием функции.

КАКАЯ ФУНКЦИЯ НАЗЫВАЕТСЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ?

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция, имеющая производную в точке x0,  называется дифференцируемой в этой точке. Функция, имеющая производную в каждой точке интервала (a; b),  называется дифференцируемой на этом интервале; при этом   производную f'(x) можно рассматривать как функцию на (а; b).

КАК ФОРМУЛИРУЕТСЯ НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ?

 

Необходимое условие существования производной вытекает из  следующего утверждения.

Если функция f(x) дифференцируема в точке x0, то она  непрерывна в этой точке.

 

В ЧЕМ ЗАКЛЮЧАЕТСЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ?

 

Пусть у=f(x) - дифференцируемая в точке x0 функция, график которой изображен на рисунке 5.

Рисунок 5. График функции y=f(x), дифференцируемой в точке x0.

 

Пусть (М0Т) - касательная к графику функции у=f(x)  в точке M0, с абсциссой x0 и ординатой y0. Являясь по сути скоростью изменения функции в точке x0 (точнее в бесконечно малом интервале вблизи точки x0), производная функции у =f(x) в точке x0 численно равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику этой функции в точке (x0; f(x0)). Можно показать, что этот вывод не  зависит от расположения графика функции и касательной на  координатной плоскости (см. рисунок 6). Этот вывод следует  непосредственно из определения производной функции.

Рисунок 6. Геометрический смысл производной функции y=f(x).

 

КАКОВЫ ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ФУНКЦИЙ?

 

Определение производной редко используется для практического вычисления производных функций. Если функция, производную которой нужно найти,  представляет из себя комбинацию элементарных функций, то для  вычисления производных применяются таблицы производных  элементарных функций и правила дифференцирования, важнейшие из  которых приведены ниже.

1. Производная суммы (разности) функций равна сумме  (разности) производных этих функций:

 

(u(х) ± v(x))′= u(х) ± v(х).

2. Постоянный множитель выносится за знак производной:

 

u(х))′ = c u′(x).

3. Правило дифференцирования произведения функций:

 

(u(x)∙v(x))′ = u(х)∙v(x) + u(x)∙v′(x).

4. Правило дифференцирования частного функций:

 

(u(x)/v(x))′ = (u(х)∙v(x) – u(x)∙v′(x))/(v(x)∙v(x)), где v(x) ≠0.

5. Правило дифференцирования сложной функции f(u(x)):

(f(u(x)))′ = fu(u)∙ux(x).

6. Правило  дифференцирования обратной функции (х(у)):

 

xy(y) = 1/(yx(x))

7. Правило дифференцирования неявной функции F(x,y) = 0:

yx(x) = – Fx(x,y)/Fy(x,y).

     

 

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ: ЛИНЕЙНОЙ, СТЕПЕННОЙ, ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ И ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЙ.

1. c= 0 (производная константы равна нулю).

2. (a+bх)′= b (производная линейной функции равна константе).

3. (хα)'= αxα-1 (х > 0) (дифференцирование степенной функции уменьшает показатель степени α  на единицу).

4. Дифференцирование показательной функции:  

 

(ax)′ = ax ln a.

 

В частности,  (exp(x))′ = exp(x).

5. Дифференцирование логарифмической функции:

 

(loga (x))′= loga(e)/x. 

 

В частности, (ln х)′= 1/x.

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ.

ЧТО ТАКОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ?

 

Пусть функция у=f(x), xÎ(a,b), дифференцируема в некоторой точке х0Î(a,b),  т.е. в точке х0 существует конечный предел lim{x→x0} (f(x) — f(x0))/(x — x0)=f′(x0).

 

Отсюда следует, что Δf(x0)/Δx =α, где α - величина бесконечно малая при Δx0. То есть lim{Δx0} α = 0. Из этого равенства находим:

 

Δf(x0)=f′(x0)∙Δx + α∙Δx .

 

Если f′(x0)≠0,  то слагаемое f′(x0)∙Δx , линейное относительно Δx, является бесконечно малым при Δx0, так как lim{Δx0}f′(x0)∙Δx = 0.

 

Второе слагаемое αΔx в выражении для приращения функции  также является бесконечно малым при Δx0, потому что lim{Δx0} αΔx = 0.

Однако, lim{Δx0} (αΔx)/( f′(x0)∙Δx) = lim{Δx0} (α)/( f′(x0))= 0.

Следовательно, слагаемое αΔx есть бесконечно малое более высокого порядка, чем слагаемое f′(x0)∙Δx.

Поэтому говорят, что величина f′(x0)∙Δx составляет главную часть приращения функции f(x) в точке x0.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференциалом функции у=f(x) в точке х0  называется линейная относительно Δx  величина f′(x0)∙Δx, составляющая главную часть приращения функции у=f(x) в точке х0.

Дифференциал функции обозначается   df(x0) («де эф от икс нулевое») или dy («де игрек»).

 

Таким образом,  df(x0)=f′(x0)∙Δx.

Заметим, что если f′(x0)=0, то f′(x0)∙Δx=0, и слагаемое  f′(x0)∙Δx не является главной частью приращения Δf(x0), так как αΔx, вообще говоря, отлично от нуля. Однако в этом случае по определению полагаем df(x0)= f′(x0)∙Δx=0.

Если данная функция дифференцируема в каждой точке  интервала (а;b), то пишут df(x)=f′(x)∙Δx или dy=y′∙Δx.

ПРИМЕР. Найти дифференциал функции y=х. По определению дифференциала имеем:

 

dy = dx=x′∙Δx=Δx.

 

Итак, дифференциал dx независимой переменной совпадает с её приращением Δx. То есть dx=Δx.

 

Поэтому определение дифференциала функции y=f(x) можно записать в виде df(x)=f′(x)∙dx или dy=y′∙dx. То есть дифференциал функции у=f(x) равен произведению производной этой функции на дифференциал ее  аргумента.

КАК ВЫЧИСЛЯЕТСЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ?

 

Найдем дифференциал сложной функции у=f(u), где u=g(x).

По определению дифференциала находим:

 

dy = y′x∙dx = y′u∙ux∙dx. Но uxdx=du, поэтому dy=y′u∙du.

 

Таким образом, форма  дифференциала не зависит от того, является аргумент данной функции независимой переменной или функцией другого аргумента. Это свойство дифференциала сложной функции называется инвариантностью формы дифференциала. Следует, однако, заметить, что в последней формуле нельзя заменить du на Δu, так как du≠Δu, для любой  функции u, кроме линейной.

В ЧЕМ ЗАКЛЮЧАЕТСЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ФУНКЦИИ?

 

Пусть у =f(x) -  дифференцируемая в точке x0 функция, график которой изображен на рисунке 7. Пусть (M0T)- касательная к графику функции у=f(x) в точке М0 с абсциссой x0. Рассмотрим ординату этой касательной,  соответствующую абсциссе x0+Δx.

 

Рисунок 7. Геометрический смысл дифференциала функции y=f(x): dy<Δy.

 

Из прямоугольного треугольника M0NT находим: длина катета  |NT|=|M0N|∙tgα, но длина катета |M0N|x и tgα=f′(x0). Поэтому |NT|= f′(x0)∙Δx.  По определению дифференциала функции у=f(x) в точке х0  получим, что |NT|=dy.

 

Таким образом, дифференциал функции у=f(x) в точке x0 равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику этой функции в точке (x0; f(x0)), соответствующему  приращению ее абсциссы х0 на величину Δx. Можно показать, что этот вывод не зависит от расположения графика функции и касательной на  координатной плоскости (см. рисунок 8).

Рисунок 8. Геометрический смысл дифференциала функции y=f(x): dy>Δy.

.

 

Дифференциал может быть как меньше приращения функции (см. рисунок 7), так и больше (см. рисунок 8). Однако, при достаточно малых приращениях Δx можно принять приближенно: Δf(x0)≈df(x0). Этот вывод следует непосредственно из определения дифференциала функции.

ПРИЛОЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ.

Рассмотрим функцию y=f(x), ее приращение Δf(x0)=f(x0+Δx) f(x0), и дифференциал df(x0)=f′(x0)∙Δx в точке x0. Выше было установлено, что при достаточно малых Δx имеем:

Δf(x0)≈df(x0).

 

Как правило, вычислять дифференциал df(x0) значительно проще, чем приращение df(x0) и поэтому на практике последнюю формулу применяют в  приближенных вычислениях. К сожалению при этом мы не имеем оценки погрешности.

ПРИМЕР. Найти приближенное значение приращения функции

f(x) = 3xx – 7 при x0=2 и Δx=0,001.

РЕШЕНИЕ.

 

 Δf(x0)≈df(x0)=f′(x0)∙Δx =6x0∙Δx=12∙0,001=0,012. 

 

 Тогда

 

f(x0+Δx) = f(x0) + Δf(x0)= (12 – 7) + 0,012= 5,012.

 

ЧТО ТАКОЕ ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ?

Напомним, что основная задача дифференциального исчисления заключается в следующем: дана функция G(x), требуется найти ее производную (например, найти предельные издержки, зная  суммарные издержки). При этом, если производная существует в каждой точке x некоторого промежутка (a,b), то это также некоторая  функция g(x) на (a,b), такая, что g(x)=G′(x). Однако часто приходится решать и обратную задачу: дана функция g(x), требуется найти  функцию G(x) такую, что G(x) = g(x) (например, найти суммарные  издержки, зная предельные издержки). Для решения обратной задачи служит операция интегрирования, обратная операции  дифференцирования.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференцируемая функция F(x), определенная на некотором промежутке X, называется первообразной для функции f(x), определенной на том же промежутке X, если для всех х из этого промежутка имеет место равенство: F′(x) = f(x), или, что то же самое,  dF(x)=f(x)dx.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Совокупность всех первообразных для функции f(x), определенных на некотором промежутке Х, называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и  обозначается символом ∫ f(x)dx (читается: «интеграл от эф от икс де икс»).

 

Если F(x) является первообразной для функции f(х) на  промежутке X, то согласно этому определению имеем равенство:

 

f(x)dx = F(x) + С.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx подынтегральным выражением, х - переменной интегрирования, символ ∫ - знаком неопределенного интеграла, С - постоянной интегрирования.

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.

 

Пусть функция F(x) является первообразной для функции f(x) на некотором  промежутке X, то есть выполняется равенство:  

 

F′(x)=f(x). (1)

 

Тогда по определению имеем:

 

  f(x)dx = F(x) + С.  (2)

 

Непосредственно из равенств (1) и (2) следуют свойства:

(1) Производная неопределенного интеграла равна  подынтегральной функции. Имеем:

 

( f(x)dx)′ = (F(x) + С)′ = F′(x) = f(x).

 

(2) Дифференциал неопределенного интеграла  равен  подынтегральному выражению. Имеем:

 

d( f(x)dx) = ( f(x)dx)′∙dx= f(x)dx.

 

(3) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой  функции равен этой функции плюс произвольная постоянная. Имеем:

dF(x) = F′(x)∙dx = ∫f(x)dx =F(x) + C.

 

Свойства (1) и (2) используют обычно для проверки результатов интегрирования.

(4) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.,  если а=const≠0,  то

 

af(x)dx  = a f(x)dx.

(5) Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух  непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности, т.е.

 

(f(x) ± g(x))dx  = f(x)dx ± g(x)dx .

 

ПРИМЕР ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ В ЭКОНОМИКЕ.  (НАХОЖДЕНИЕ МАКСИМУМА ПРИБЫЛИ).

В качестве примера рассмотрим задачу выбора оптимального  объема производства фирмой, функция прибыли Π(q) которой может быть смоделирована зависимостью:

Π(q) = R(q) – C(q) = qq – 8q + 10.

1. Находим производную этой функции:

Π′(q) = 2q – 8.

2. Приравниваем производную нулю:

Π′(q) = 0 → 2q – 8=0, q0=4.

Является ли объем выпуска, равный четырем,  оптимальным для фирмы? Чтобы ответить на этот вопрос, надо проанализировать характер изменения знака производной при переходе через точку экстремума.

3. Анализируем характер изменения знака производной.

При q < q0=4  получим Π′(q) < 0, и прибыль убывает.

При q > q0=4 получим Π′(q) > 0, и прибыль возрастает.

Следовательно, в точке экстремума q0 = 4 прибыль принимает минимальное значение, и таким образом этот объем производства не является оптимальным для фирмы.

4. Принятие решения.

Каким же будет оптимальный объем выпуска для фирмы? Ответ на этот вопрос зависит от дополнительного исследования  производственных мощностей фирмы. Если фирма не может производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции (Π(8) = Π(0)=10), то оптимальным решением для фирмы будет вообще ничего не производить, а получать доход от сдачи в аренду  помещений и/или оборудования. Если же фирма способна производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции, то  оптимальным решением для фирмы будет выпуск на пределе своих  производственных мощностей.

Из этого простого примера видно, насколько важно  исследование функций для принятия оптимальных решений, а также для других экономических задач.

 

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.

 

[1] Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.М. Математические методы в экономике: Учебник. 2-е изд. - М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, Издательство «Дело и Сервис», 1999. — 368 с.

 

[2] Фомин Г. П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности: Учебник. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Финансы и статистика, 2005. — 616 с: ил.

 

[3] Шелобаев С. И. Математические методы и модели в экономике,  финансах, бизнесе: Учеб. пособие для вузов. — М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2001. - 367 с.

[4] Шикин Е. В., Чхартишвили А. Г. Математические методы и модели в управлении: Учеб. пособие. — 3-е изд. — М.: Дело, 2004. — 440 с. — (Серия «Классический университетский учебник»).

 

[5] Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для вузов/ В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш,  Д.М. Дайитбегов и др.; Под ред. В.В. Федосеева. — М.:  ЮНИТИ, 1999. - 391 с.