Bodrenko.com
Bodrenko.org

Учебные дисциплины на сайте Bodrenko.org
Портабельные Windows-приложения на сайте Bodrenko.com
Теория игр . Аналитическая геометрия и линейная алгебра . Bodrenko.com Bodrenko.org

Математические методы исследования экономики

 

Лекция 1

 

Тема лекции 1: «Основные математические методы в экономическом анализе»

 

Разделы лекции:

 

1. Моделирование в экономике.

2. Математическая модель экономического объекта и ее основные элементы.

3. Основные типы моделей.

 

РАЗДЕЛ 1. МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЭКОНОМИКЕ.

 

ПОЧЕМУ НЕОБХОДИМО ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИКИ В ЭКОНОМИКЕ?

 

Современная экономическая теория, как на микро-, так и на макроуровне, включает как естественный, необходимый элемент математические модели и методы. Использование математики в  экономике позволяет, во-первых, выделить и формально описать  наиболее важные, существенные связи экономических переменных и объектов: изучение столь сложного объекта предполагает высокую степень абстракции. Во-вторых, из четко сформулированных  исходных данных и соотношений методами дедукции можно получать выводы, адекватные изучаемому объекту в той же мере, что и  сделанные предпосылки. В-третьих, методы математики и статистики позволяют индуктивным путем получать новые знания об объекте: оценивать форму и параметры зависимостей его переменных, в  наибольшей степени соответствующие имеющимся наблюдениям.  Наконец, в-четвертых, использование языка математики позволяет точно и компактно излагать положения экономической теории,  формулировать ее понятия и выводы.

 

Математические модели использовались с иллюстративными и исследовательскими целями еще Ф. Кенэ (1758 г., «Экономическая таблица»), А. Смитом (классическая макроэкономическая модель), Д.Рикардо (модель международной торговли). В XIX веке большой вклад в моделирование рыночной экономики внесла  математическая школа (Л. Вальрас, О. Курно, В. Парето, Ф.Эджворт и др.). В XX веке математические методы моделирования применялись очень широко, с их использованием связаны практически все работы,  удостоенные Нобелевской премии по экономике (Д. Хикс, Р. Солоу, В. Леонтьев, П. Самуэльсон и др.). Развитие микроэкономики,  макроэкономики, прикладных дисциплин связано со все более высоким уровнем их формализации. Основу для этого заложил прогресс в области прикладной математики - теории игр, математического программирования, математической статистики. В России в начале XX века большой вклад в математическое моделирование экономики внесли В.К. Дмитриев и Е.Е. Слуцкий. В 1960-е - 80-е годы экономико-математическое направление возродилось (В.С. Немчинов,  В.В. Новожилов, Л.В. Канторович), но было связано в основном с попытками формально описать «систему оптимального функционирования социалистической экономики» (СОФЭ, Н.П. Федоренко,  С.С. Шаталин и др.). Строились многоуровневые системы моделей  народнохозяйственного планирования, оптимизационные модели отраслей и предприятий.

 

Любое экономическое исследование всегда предполагает  объединение теории (экономической модели) и практики (статистических данных). Мы используем теоретические модели для описания и  объяснения наблюдаемых процессов и собираем статистические данные с целью эмпирического построения и обоснования моделей.

 

ЧТО ТАКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ?

 

Под математической моделью принято понимать совокупность соотношений - уравнений, неравенств, логических условий, операторов и т.п., определяющих характеристики состояний объекта моделирования, а через них и выходные значения параметров реакции, в зависимости от значений параметров объекта-оригинала, входных воздействий, начальных и граничных условий, а также времени.

 

Математическая модель, как правило, учитывает лишь те свойства (атрибуты) объекта-оригинала, которые отражают, определяют и представляют интерес с точки зрения целей и задач конкретного исследования. Следовательно, в зависимости от целей моделирования при рассмотрении одного и того же объекта-оригинала с различных точек зрения и в различных аспектах последний может иметь различные математические описания и, как следствие, быть представлен различными математическими моделями.

 

Математическая модель — это формальная система, представляющая собой конечное собрание символов и правил оперирования ими в совокупности с интерпретацией свойств определенного объекта некоторыми отношениями, символами или константами.

 

Как следует из приведенного определения, конечное собрание символов (алфавит) и правил оперирования ими («грамматика» и «синтаксис» математических выражений) приводят к формированию абстрактных объектов. Такая интерпретация делает этот абстрактный объект математической моделью.

 

Интерпретация (от лат. Interpretation – разъяснение, толкование, истолкование) определяется как совокупность значений (смыслов), придаваемых каким-либо образом элементам некоторой системы (теории), например формулам и отдельным символам. Таким образом, можно утверждать, что интерпретация — это установление соответствия между формальной и содержательной системами.

 

Наши знания об объектах реальной действительности всегда относительны, так как они являются отражением тех или иных черт реальной действительности с определенной погрешностью, поэтому возникает необходимость заменить сам исследуемый объект-оригинал его изображением, называемым моделью. Это понятие связано с такими терминами, как копия, подобие, имитатор, тождество, аналог. Создание аналогов, выполняющих роль заместителей, в той или иной степени копирующих или воспроизводящих оригинал, необходимо для исследования оригинала, поскольку проведение непосредственного эксперимента часто очень дорого или просто невозможно. Создание модели позволяет удешевить проведение исследования, а затем по полученным результатам уже судить об оригинале. Таким образом, моделью называется материальный или идеальный объект, который создается для изучения исходного объекта (оригинала) и который отражает наиболее важные качества и параметры оригинала. Модели в нашей жизни имеют огромное значение, оказывая сильное познавательное действие, и являются средством отражения свойств окружающего мира.

 

Так, например, образец какого-либо изделия для серийного производства или макет будущего здания, садового участка, скульптурные изображения (модель бюста, статуи) ускоряют и помогают выбрать лучшие решения по их физическому воплощению в жизнь.

 

Модели широко применялись и применяются в различных сферах деятельности человека: в науке, технике, искусстве, экономике и т. д. К идеальным (абстрактным) моделям относятся графики (рисунок, гравюра, плакат, карикатура, литография), фотография, схема, карта, план дома, математические модели, построенные с помощью чисел, функций, уравнений, графиков и т.д.

 

ЭКОНОМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ. ПОНЯТИЕ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ.

 

Для изучения различных экономических явлений экономисты используют их упрощенные формальные описания, называемые экономическими моделями. Примерами экономических моделей являются модели потребительского выбора, модели фирмы, модели экономического роста, модели равновесия на товарных, факторных и финансовых рынках и многие другие. Строя модели, экономисты выявляют существенные факторы, определяющие исследуемое  явление и отбрасывают детали, несущественные для решения  поставленной проблемы. Формализация основных особенностей функционирования экономических объектов позволяет оценить возможные последствия воздействия на них и использовать такие оценки в управлении.

 

КАК ОБЫЧНО СТРОИТСЯ ЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ?

 

1. Формулируются предмет и цели исследования.

 

2. В рассматриваемой экономической системе выделяются  структурные или функциональные элементы, соответствующие  данной цели, выявляются наиболее важные качественные  характеристики этих элементов.

 

3. Словесно, качественно описываются взаимосвязи между  элементами модели.

 

4. Вводятся символические обозначения для учитываемых характеристик экономического объекта и формализуются, насколько возможно, взаимосвязи между ними. Тем самым, формулируется математическая модель.

 

5. Проводятся расчеты по математической модели и анализ  полученного решения.

 

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА МОДЕЛИ И ЕЕ СОДЕРЖАТЕЛЬНАЯ  ИНТЕРПРЕТАЦИЯ.

 

КАКОВА СВЯЗЬ МЕЖДУ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ МОДЕЛИ И ЕЕ СОДЕРЖАТЕЛЬНОЙ ИНТЕРПРЕТАЦИЕЙ?

 

Следует различать математическую структуру модели и ее  содержательную интерпретацию. Рассмотрим следующие два простых примера.

 

ПРИМЕР 1.

 

Пусть требуется определить, какую сумму следует  положить в банк при заданной ставке процента (20% годовых), чтобы через год получить $12000?

 

Вводя формальные обозначения для величин, фигурирующих в задаче:

 

начальная сумма денег - М0,

 

конечная сумма денег - М1,

 

ставка процента — R,

 

и записывая соотношение между ними:

 

М1 = М0(1+ R/100),

 

найдем требуемую величину из решения основного уравнения модели:

 

М0 = М1/(1+ R/100) = $12000/1,2 = $10000.

 

ПРИМЕР 2.

 

 Пусть требуется определить, каков был объем  выпуска продукции завода, если в результате технического  перевооружения средняя производительность труда увеличилась на 20%, и завод стал выпускать 12000 единиц продукции.

 

Вводя формальные обозначения для величин, фигурирующих в задаче:

 

начальный выпуск - Q0,

 

конечный выпуск - Q1,

 

процент прироста производительности - R,

 

и записывая соотношение между ними (следующее из определения средней производительности труда Q/L):

 

Q1=Q0 L1/L0 = Q0(1+ (L1-L0)/L0)=Q0(1+R/100),

 

найдем искомую величину из решения основного уравнения  модели

 

Q0 = 12000/1,2=10000.

 

Сравнивая полученные модели и результаты, мы можем  заметить, что математическая форма модели:

 

X1=X0(1+R/100)

 

и даже числовые значения входящих в нее величин в обоих случаях одинаковы, однако экономическая ситуация, описываемая моделью, экономическая интерпретация модели и результатов  расчета совершенно различны. Таким образом, одни и те же  математические модели и методы могут быть использованы для решения совершенно различных экономических задач.

 

КАКОВА РОЛЬ МОДЕЛЕЙ В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ И ПРИНЯТИИ РЕШЕНИЙ?

 

Экономические модели позволяют выявить особенности  функционирования экономического объекта и на основе этого  предсказывать будущее поведение объекта при изменении каких-либо  параметров. Предсказание будущих изменений, например, повышение обменного курса, ухудшение экономической конъюнктуры,  падение прибыли может опираться лишь на интуицию. Однако при этом могут быть упущены, неправильно определены или неверно оценены важные взаимосвязи экономических показателей,  влияющие на рассматриваемую ситуацию. В модели все взаимосвязи  переменных могут быть оценены количественно, что позволяет  получить более качественный и надежный прогноз. Для любого экономического субъекта возможность  прогнозирования ситуации означает, прежде всего, получение лучших  результатов или избежание потерь, в том числе и в государственной  политике.

 

Математические модели в экономике разрабатываются для двух целей: лучшего понимания объективной реальности и выработки рационального варианта действий и выбора оптимальных решений в практической деятельности.

 

Различные экономико-математические методы создаются и изучаются еще и потому, что проводить непосредственные эксперименты с экономикой очень сложно, дорого и часто просто невозможно, поскольку это может быть связано с большими ущербами. В современных условиях даже опытный руководитель не всегда оказывается в состоянии обнаружить и объективно сопоставить преимущества и недостатки различных вариантов решений, поэтому управление с использованием моделей может снизить уровень вредных последствий. Решение задач на моделях дешевле. Небольшие затраты на моделирование позволяют имитировать «экономические бури», экономить при этом миллионы и миллиарды рублей. Абстрактные модели нашли широкое распространение в количественных методах анализа, что послужило поводом для применения разнообразных математических методов и появления экономико-математических моделей, отображающих экономические отношения в коммерческой сфере средствами математического описания в виде уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств, матриц, графиков, сетей, структур, схем и др.

 

В ЧЕМ ПРОЯВЛЯЕТСЯ НЕПОЛНОТА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ?

 

По своему определению любая экономическая модель  абстрактна и, следовательно, неполна, поскольку выделяя наиболее  существенные факторы, определяющие закономерности функционирования рассматриваемого экономического объекта, она абстрагируется от других факторов, которые, несмотря на свою относительную  малость, все же в совокупности могут определять не только  отклонения в поведении объекта, но и само его поведение. Так, в  простейшей модели спроса считается, что величина спроса на какой-либо товар определяется его ценой и доходом потребителя. На самом же деле на величину спроса оказывает также влияние ряд других  факторов: вкусы и ожидания потребителей, цены на другие товары, воздействие рекламы, моды и так далее. Обычно предполагают, что все факторы, не учтенные явно в экономической модели,  оказывают на объект относительно малое результирующее воздействие в интересующем нас аспекте. Состав учтенных в модели факторов и ее структура могут быть уточнены в ходе совершенствования модели.

 

РАЗДЕЛ 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА И ЕЕ ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ.

 

Экзогенные и эндогенные переменные, параметры. Виды зависимостей экономических переменных и их  описание. Уравнения, тождества, неравенства и их системы.

 

Математическая модель экономического объекта - это его  гомоморфное отображение в виде совокупности уравнений, неравенств, логических отношений, графиков. Гомоморфное отображение  объединяет группы отношений элементов изучаемого объекта в  аналогичные отношения элементов модели. Иными словами, модель - это условный образ объекта, построенный для упрощения его  исследования. Предполагается, что изучение модели дает новые  знания об объекте, либо позволяет определить наилучшие решения в той или иной ситуации.

 

КАКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ МОДЕЛИ НАЗЫВАЮТСЯ ЭКЗОГЕННЫМИ, А КАКИЕ — ЭНДОГЕННЫМИ?

 

Для описания основных видов элементов экономической  модели рассмотрим конкретную ситуацию и построим соответствующую ей модель.

 

Пусть имеется фирма, выпускающая несколько видов  продукции. В процессе производства используются три вида ресурсов:  оборудование, рабочая сила и сырье; эти ресурсы однородны,  количества их известны и в данном производственном цикле увеличены быть не могут. Задан расход каждого из ресурсов на производство единицы продукции каждого вида. Заданы цены продуктов. Нужно определить объемы производства с целью максимизации стоимости произведенной продукции (или, в предположении, что вся она найдет сбыт на рынке - общей выручки от реализации).

 

Для решения поставленной задачи нужно построить  математическую модель, наполнить ее информацией, а затем провести по ней необходимые расчеты. Вначале при построении модели нужно определить индексы, экзогенные и эндогенные переменные и  параметры. В нашей задаче свой индекс должен иметь каждый вид  продукции (пусть это индекс i, меняющийся от 1 до n), а также вид ресурсов (если мы обозначаем их одной переменной; пусть в нашей задаче ресурсы обозначены разными переменными). Далее опишем экзогенные переменные - те, которые задаются вне модели, то есть известны заранее, и параметры - это коэффициенты уравнений  модели. Часто экзогенные переменные и параметры в моделях не  разделяют.

 

В рассматриваемой задаче заданы экзогенные переменные следующие:

 

имеющиеся количества оборудования К, рабочей силы L и сырья R;

 

заданы параметры - коэффициенты их расхода на единицу i-й  продукции: ki, li и ri, соответственно. Цены продуктов pi также известны.

 

Далее вводятся обозначения для эндогенных переменных — тех, которые определяются в ходе расчетов по модели и не задаются в ней извне. В нашем случае - это неизвестные объемы производства продукции каждого i-го вида; обозначим их xi.

 

Закончив описание переменных и параметров, переходят к  формализации условий задачи, к описанию ее допустимого множества и целевой функции (если таковая имеется). В нашей задаче  допустимое множество - это совокупность всех вариантов производства, обеспеченных имеющимися ресурсами. Оно описывается с помощью системы неравенств:

 

k1x1 + k2x2 + … + knxn ≤ K,

l1x1 + l2x2 + … + lnxn ≤ L,

r1x1 + r2x2 + … + rnxn ≤ R.

 

К этим ограничениям по ресурсам добавляются требования  неотрицательности переменных xi ≥ 0. Если бы какой-то ресурс нужно было израсходовать полностью (например, полностью занять всю рабочую силу), соответствующее неравенство превратилось бы в  уравнение. Это сузило бы допустимое множество и, возможно,  исключило бы из него первоначально наилучшее решение.

 

Если модель является оптимизационной (а данная модель  такова), то наряду с ограничениями должна быть выписана целевая  функция, т.е. максимизируемая или минимизируемая величина,  отражающая интересы принимающего решение субъекта. Для данной задачи максимизируется величина

 

p1x1 + p2x2 + … + pnxn → max.

 

Поставленная задача далеко не всегда хорошо описывает  ситуацию и соответствует задачам лица, принимающего решение (ЛПР).

 

В действительности, по крайней мере:

 

1) ресурсы до некоторой степени взаимозаменяемы;

 

2) затраты ресурсов не строго пропорциональны выпуску (есть постоянные затраты, не связанные с объемом выпуска; предельные затраты меняются);

 

3) объемы ресурсов не строго фиксированы, они могут  покупаться и продаваться, браться или сдаваться в аренду;

 

4) внутри каждого вида ресурсов можно выделить  составляющие, функционально или качественно различные, в той или иной мере заменяющие или дополняющие друг друга и по-разному  влияющие на объем выпуска;

 

5) цена продукта может зависеть от объема его реализации, то же касается цены ресурса;

 

6) фирма может использовать одну из конечного набора  технологий (или сочетание нескольких таких технологий), характеризующихся определенными сочетаниями используемых ресурсов;

 

7) различные единицы получаемой прибыли могут иметь разную ценность для лица, принимающего решение (что обусловлено, например, особенностями налоговой системы);

8) интересы и предпочтения субъекта не ограничиваются  максимизацией объема прибыли, поэтому целевая функция должна  учитывать и другие количественные и качественные показатели;

 

9) для субъекта реально решаемая задача не ограничивается  одним моментом или периодом времени, важны динамические  взаимосвязи;

 

10) на ситуацию могут воздействовать случайные факторы,  которые необходимо принять во внимание.

 

Многие разделы экономической теории посвящены изучению, описанию и моделированию перечисленных аспектов на различных уровнях хозяйственной деятельности, с той или иной степенью детализации и в различных сочетаниях.

 

ПРИМЕР 3. (ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА).

 

Рассмотрим пример экономико-математической модели  задачи (о диете или рациональных смесях) формирования  экономного суточного набора продуктов питания.

 

Введем следующие обозначения:

 

m — количество питательных веществ;

 

n — количество продуктов питания;

 

cj  - цена 1 кг j-го продукта, руб.;

 

zj — запас j-го продукта, кг;

 

qi  -  i-е питательное вещество;

 

bi - норма суточной потребности в i-м питательном веществе, г;

 

qij - вес i-го питательного вещества в 1 кг j-продукта, г;

 

xj — вес j-го продукта в общем наборе питания, кг;

 

С - общие затраты на питание, руб.

 

Взаимосвязи между перечисленными показателями задачи формально можно записать в обобщенном виде таким образом:

 

С = f(cj, zj, qi, bi, qij, xj, m, n) → min,

 

или в виде математических уравнений, неравенств и систем уравнений, что в сочетании с содержательной частью задачи имеют следующий вариант постановки:

 

Найти оптимальные величины веса каждого продукта питания в общем наборе

 

x1=?, x2 =?, …, xn = ?

 

при следующих ограничениях:

 

вес каждого питательного вещества в наборе должен быть более или равен суточной норме потребления человека:

 

qi1x1 + qi2x2 + … + qinxn ≥ bi, i = 1, … , m;

 

причем каждый продукт должен входить в диету и, кроме того, его вес не должен превышать величины имеющегося запаса:

 

0 < xj ≤ zj, j = 1, …, n;

 

а стоимость набора продуктов при этом должна быть наименьшей:

 

С= c1x1 + c2x2 + … + cnxn → min.

 

Записанные уравнения и неравенства — совокупность, которая представляет собой экономико-математическую модель задачи. Решение этой задачи можно получить с помощью, например, методов линейного программирования.

 

Экономико-математическую модель этой же задачи можно представить еще и в матричном виде. Например, для поддержания нормальной жизнедеятельности человеку ежедневно необходимо потреблять белки, жиры, углеводы, минеральные соли. Количество питательных веществ, содержащихся в 1 кг имеющихся продуктов питания, а также их стоимость и нормы суточной потребности питательных веществ изображены в виде матрицы (таблица 1).

 

Таблица 1.

 

Питательные вещества

Содержание питательных веществ в 1 кг продукта

Мясо

Рыба

Молоко

Масло

Сыр

Крупа

Картофель

Норма в сутки, bi,  г

Белки, г

180

190

30

70

260

130

21

118

Жиры, г

20

3

30

865

310

30

2

56

Углеводы, г

0

0

50

6

20

650

200

500

Минеральные соли, г

9

10

7

12

60

20

70

8

Цена 1 кг продукта, cj,  руб.

370

240

51

508

573

68

15

 

Вес продукта в диете, xj,  кг

X1=?

X2 = ?

X3 = ?

X4 = ?

X5 = ?

X6 = ?

X7 = ?

 

 

Требуется составить дневной рацион продуктов питания, содержащий не менее суточной нормы потребности человека в необходимых питательных веществах и обеспечивающий минимальную общую стоимость продуктов.

 

Экономико-математическая формулировка и модель этой задачи имеют следующий вид:

 

Найти оптимальный вес имеющихся продуктов питания при ограничениях, связанных с суточной нормой потребления, записанных в виде системы неравенств:

 

180x1 +190x2 +30x3 +70x4+260x5 +130x6 +21x7 ≥ 118,

 

20x1 +3x2 +40хз +865x4 +310x5 +30х6 +2x7 ≥ 56,

 

0x1 + 0x2 +50хз +6x4 +20x5 +650x6 +200x7 ≥ 500,

 

9x1 +10x2 +7x3 +12x4 +60x5 +20х6 +70x7 ≥ 8,

 

x1 > 0, x2 > 0, x3 > 0, x4 > 0, x5 > 0, x6 > 0, x7 > 0;

 

решение которой позволяет определить минимум затрат на продукты питания:

 

С= (370x1 + 240x2 + 51x3 + 508x4 + 573x5 + 68х6 + 15x7) → min.

 

Дальнейшим развитием задачи о рациональном питании являются постановки и решения задач, связанных с товароснабжением и управлением товарными запасами на коммерческих предприятиях. Задача управления товарными запасами связана с поиском ответов на следующие вопросы: кому, когда и в каком объеме заказывать товары; какой лучший маршрут перевозки товаров; каким транспортом перевозить: автомобильным, железнодорожным или воздушным; какая частота и величина поставок товара?

 

Интересной моделью является многоугольник конкурентоспособности (рисунок 1), показывающий соотношение различных показателей на плоскости, иногда его называют радаром или полигоном по аналогии с экраном радиолокатора. По каждой оси для отображения уровня значений каждого из исследуемых факторов используется определенный масштаб измерений, часто в виде балльных оценок. Изображая на одном рисунке многоугольники конкурентоспособности для разных предприятий, можно провести анализ уровня их конкурентоспособности по разным факторам.

 

Рисунок 1. Многоугольник конкурентоспособности.

 

Для выявления наиболее вероятных или проблемных задач, на которых следует сосредоточить усилия фирмы, необходимо сравнить несколько факторов, влияющих на интересующий показатель коммерческой деятельности. Для этого можно использовать диаграммы относительной важности, получаемые, например, методами экспертных оценок. Графики такого вида (рисунок 2) называют диаграммами Парето, по имени итальянского экономиста.

Рисунок 2. Диаграмма Парето.

 

РАЗДЕЛ 3. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ МОДЕЛЕЙ.

 

КАКИЕ ОСНОВНЫЕ ТИПЫ МОДЕЛЕЙ МОЖНО ВЫДЕЛИТЬ?

 

Математические модели, используемые в экономике, можно  подразделять на классы по ряду признаков, относящихся к  особенностям моделируемого объекта, цели моделирования и используемого инструментария:

 

-модели макро- и микроэкономические,

 

- теоретические и прикладные,

 

- оптимизационные и равновесные,

 

- статические и динамические,

 

- детерминированные и стохастические.

 

ЧТО ОПИСЫВАЮТ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ?

 

Макроэкономические модели описывают экономику как единое целое, связывая между собой укрупненные материальные и  финансовые показатели: ВНП, потребление, инвестиции, занятость,  процентную ставку, количество денег и другие.

 

ЧТО ОПИСЫВАЮТ МИКРОЭКОНОМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ?

 

Микроэкономические модели описывают взаимодействие структурных и  функциональных составляющих экономики, либо поведение отдельной такой составляющей в рыночной среде. Вследствие разнообразия типов экономических элементов и форм их взаимодействия на рынке, микроэкономическое моделирование занимает основную часть  экономико-математической теории. Наиболее серьезные теоретические результаты в микроэкономическом моделировании в последние годы получены в исследовании стратегического поведения фирм в  условиях олигополии с использованием аппарата теории игр.

 

ЧТО ИЗУЧАЮТ В ЭКОНОМИКЕ С ПОМОЩЬЮ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ?

 

Теоретические модели позволяют изучать общие свойства  экономики и ее характерных элементов дедукцией выводов из формальных предпосылок.

 

ЧТО ИЗУЧАЮТ В ЭКОНОМИКЕ С ПОМОЩЬЮ ПРИКЛАДНЫХ МОДЕЛЕЙ?

 

Прикладные модели дают возможность  оценить параметры функционирования конкретного экономического объекта и сформулировать рекомендации для принятия  практических решений. К прикладным относятся прежде всего эконометрические модели, оперирующие числовыми значениями  экономических переменных и позволяющие статистически значимо оценивать их на основе имеющихся наблюдений.

 

КАКИЕ СОСТОЯНИЯ ЭКОНОМИКИ ОПИСЫВАЮТ РАВНОВЕСНЫЕ МОДЕЛИ?

 

В моделировании рыночной экономики особое место занимают равновесные модели. Они описывают такие состояния экономики, когда результирующая всех сил, стремящихся вывести ее из  данного состояния, равна нулю. В нерыночной экономике неравновесие по одним параметрам (например, дефицит) компенсируется  другими факторами (черный рынок, очереди и т.п.). Равновесные модели дескриптивны, описательны.

 

ЧЕМ ОТЛИЧАЮТСЯ РАВНОВЕСНЫЕ МОДЕЛИ ОТ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ?

 

В нашей стране долгое время  преобладал нормативный подход в моделировании, основанный на  оптимизации. Оптимизация в теории рыночной экономики  присутствует в основном на микроуровне (максимизация полезности  потребителем или прибыли фирмой); на макроуровне результатом  рационального выбора поведения экономическими субъектами  оказывается некоторое состояние равновесия.

 

КАКИЕ СОСТОЯНИЯ ЭКОНОМИКИ ОПИСЫВАЮТ СТАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ?

 

В моделях статических описывается состояние экономического объекта в конкретный момент или период времени; динамические модели включают взаимосвязи переменных во времени. В   статических моделях обычно зафиксированы значения ряда величин,  являющихся переменными в динамике, - например, капитальных  ресурсов, цен и т.п.

 

КАКИЕ СОСТОЯНИЯ ЭКОНОМИКИ ОПИСЫВАЮТ ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ?

 

Динамическая модель не сводится к простой сумме ряда статических, а описывает силы и взаимодействия в экономике, определяющие ход процессов в ней. Динамические модели обычно используют аппарат дифференциальных и разностных уравнений, вариационного исчисления.

 

В ЧЕМ СОСТОИТ РАЗЛИЧИЕ МЕЖДУ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫМИ И СТОХАСТИЧЕСКИМИ МОДЕЛЯМИ?

 

Детерминированные  модели предполагают жесткие функциональные связи между переменными модели. Стохастические модели допускают наличие случайных воздействий на исследуемые  показатели и используют инструментарий теории вероятностей и  математической статистики для их описания.

 

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИКА И ЭКОНОМЕТРИКА.

 

ЧТО ИЗУЧАЕТ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИКА?

 

Математическая экономика - раздел экономической науки,  занимающийся анализом свойств и решений математических моделей экономических процессов. В некоторых случаях эти модели могут рассматриваться как часть математической теории на стыке с  экономической наукой.

 

Математическая экономика отделяется обычно от эконометрики, занимающейся статистической оценкой и анализом экономических зависимостей и моделей на основе изучения эмпирических данных. В математической экономике исследуются теоретические модели, основанные на определенных формальных предпосылках (линейность, выпуклость, монотонность и т.п.  зависимости, конкретные формулы взаимосвязи величин).

 

Математическая экономика, вообще говоря, не занимается изучением  степени обоснованности того, что данная зависимость имеет тот или иной вид (например, что величина потребления является линейной  возрастающей функцией дохода), - это оставляется для эконометрики.

 

Задачей математической экономики является изучение вопроса о существовании решения модели, условиях его неотрицательности, стационарности, наличия других свойств. Это обычно осуществляется, как и в математике, путем дедуктивного получения следствий (теорем) из априорно сделанных предпосылок (аксиом).

 

Разумеется, предметная область, методология и инструментарий экономической науки не исчерпываются подходами математической экономики и эконометрики - обычно в экономических  исследованиях используются также методы качественного анализа,  индуктивные, эвристические подходы, перемежающиеся с элементами математической экономики и эконометрики. Таким образом,  математическая экономика выступает и как самостоятельный раздел экономической науки, и как один из ее инструментов. При этом разделы математической экономики, исследовавшиеся ранее в  чисто теоретическом плане, все больше становятся теоретической базой и элементами прикладных исследований.

 

КАКИЕ КЛАССЫ МОДЕЛЕЙ ВЫДЕЛЯЮТ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКЕ?

 

Среди моделей математической экономики можно выделить два крупных класса - модели равновесия в экономических системах и модели экономического роста.

 

Модели равновесия (например,  модель Эрроу-Дебре, модель «затраты-выпуск» B.Лeoнтьева) помогают исследовать состояния экономических систем, в которых  равнодействующая всех внешних равна нулю. Это, вообще говоря, статические модели, в то время как экономическая динамика  описывается с помощью моделей роста (модель Харрода-Домара, модель Солоу, модели магистрального типа и др.). Ключевым  моментом исследования моделей роста является анализ и отыскание  траекторий стационарного роста (роста с постоянными, в том или ином смысле, структурными характеристиками), к выходу на которые обычно стремится описываемая моделью экономическая система. Исследование траекторий стационарного роста является  одновременно базой для анализа более сложных типов роста и связующим звеном с моделями экономического равновесия (поскольку  отыскание такой траектории равнозначно отысканию меняющегося  вполне определенным образом равновесного состояния). Значительный вклад в теорию роста внесли работы фон Неймана, Солоу, Гейла, Моришимы и др.

 

ЧТО ИЗУЧАЕТ ЭКОНОМЕТРИКА?

 

Эконометрика - наука, исследующая количественные  закономерности и взаимозависимости в экономике при помощи методов  математической статистики. Основа этих методов — корреляционно- регрессионный анализ. Использование современных методов  математической статистики началось в биологии. В последней четверти XIX века английский биолог К. Пирсон положил начало  современной математической статистике изучением кривых распределения числовых характеристик человеческого организма. Затем он и его школа перешли к изучению корреляций в биологии и построению линейных функций регрессии. Первые работы по эконометрике появились в конце XIX - начале XX века. В 1897 г. появилась работа одного из основателей  математической школы в экономической теории В. Парето,  посвященная статистическому изучению доходов населения в разных  странах. Была предложена кривая Парето: y =A (x - a), где  x -величина дохода;  у - численность лиц, имеющих доход, больший x, а- минимальный доход;  A и α - параметры зависимости, получаемые статистическими методами.

 

В самом начале XX века вышло несколько работ английского статистика Гукера, в которых он применил корреляционно-регрессионные методы, разработанные Пирсоном и его школой, для  изучения взаимосвязей экономических показателей, в частности -  влияния числа банкротств на товарной бирже на цену зерна. В работах Гукера содержалась идея временного лага между экономическими переменными, а также идея корреляционного анализа не самих  величин, а их приращений. В дальнейшем появилось огромное число работ как по развитию теории математической статистики и ее  прикладных элементов, так и по практическому приложению этих  методов в экономическом анализе. К первой группе могут быть,  например, отнесены работы Р. Фишера по дисперсионному анализу, ко второй - работы по оценке и исследованию производственных функций, в частности - классическая работа Кобба и Дугласа 1928 года.

 

Производственной функцией является математическая модель вида

 

y = f (x1, x2, …, xi, …, xn),

 

описывающая зависимость, например, объема продажи продукции от величины ресурсов разного вида, в качестве которых выступают трудовые ресурсы, торговые площади, товарные запасы, рабочее время и др.

 

Наиболее типичными производственными функциями являются степенные модели вида:

 

y = a0 П{i=1,..., n} xi ai,

 

одним из вариантов которой является производственная функция Кобба-Дугласа:

 

у= a0 x1 a1 x2 a2

 

Функцией производственных затрат является модель вида

 

x1 = h (y1, y2, …, ym),

 

которая описывает зависимость затрат какого-либо ресурса X1, например, от объема продажи товаров y1, y2, …, ym всего ассортимента.

 

В общем виде функции потребления представляют собой многофакторную модель связи уровня потребления материального блага S и факторов влияния u1, u2, …, un,  определяющих спрос и потребление, что можно записать так:

 

S = f (u1, u2, …, ui, …, un).

 

Шведский экономист Л. Торнквист предложил три вида однофакторных моделей связи объема потребления S (спроса) от уровня u - дохода:

 

для предметов первой необходимости —

 

S1 = a0 u/(a1 + u);

 

для менее необходимых предметов -

 

S2 = a0(u — a1)/(u + a2);

 

для предметов роскоши —

 

S3 = a0 u (u — a1)/(u + a2).

 

Эконометрические модели и методы сейчас - это не только  мощный инструментарий для получения новых знаний в экономике, но и широко применяемый аппарат для принятия практических  решений в прогнозировании, банковском деле, бизнесе.

 

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.

 

[1] Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.М. Математические методы в экономике: Учебник. 2-е изд. - М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, Издательство «Дело и Сервис», 1999. — 368 с.

 

[2] Фомин Г. П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности: Учебник. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Финансы и статистика, 2005. — 616 с: ил.

 

[3] Шелобаев С. И. Математические методы и модели в экономике,  финансах, бизнесе: Учеб. пособие для вузов. — М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2001. - 367 с.

[4] Шикин Е. В., Чхартишвили А. Г. Математические методы и модели в управлении: Учеб. пособие. — 3-е изд. — М.: Дело, 2004. — 440 с. — (Серия «Классический университетский учебник»).

 

[5] Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для вузов/ В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш,  Д.М. Дайитбегов и др.; Под ред. В.В. Федосеева. — М.:  ЮНИТИ, 1999. - 391 с.