Математическое моделирование экономических систем. Малосекторные нелинейные динамические модели макроэкономики. Системное исследование экономики с помощью математических моделей. Неоклассическая модель роста. Неоклассическая модель оптимального экономического роста. Двухсекторная модель роста. Модель Солоу

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии





Математическое моделирование экономических систем

 

Лекция 9

 

Тема лекции 9: «Малосекторные нелинейные динамические модели макроэкономики»

Разделы лекции:

 

1. Системное исследование экономики с помощью математических моделей.

2. Неоклассическая модель роста.

3. Неоклассическая модель оптимального экономического роста. Двухсекторная модель роста.

 

РАЗДЕЛ 1. СИСТЕМНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЭКОНОМИКИ С ПОМОЩЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ.

 

КАКИЕ МОДЕЛИ ВЫДЕЛЯЮТ ПРИ СИСТЕМНОМ ИССЛЕДОВАНИИ ЭКОНОМИКИ?

 

При системном исследовании экономики с помощью   математических моделей выделяют макро- и микромодели: первые отражают функционирование и развитие всей экономической системы или ее достаточно крупных подсистем, вторые — функционирование   хозяйственных единиц и их объединений.

Если речь идет о макромоделях, то хозяйственные ячейки   считаются неделимыми.

 

Если исследуются микромодели, то   хозяйственная единица в свою очередь может рассматриваться как сложная система (например, может иметь отраслевую структуру).

КАКИЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛЕЙ МИКРОЭКОНОМИКИ МОЖНО ПРИВЕСТИ?

 

К моделям микроэкономики относятся, в частности,  модели поведения потребителей, модели поведения производителей, модели взаимодействия потребителей и производителей. Модели взаимодействия потребителей и производителей опираются на гипотезу конкуретного равновесия, высказанную Вальрасом.

 

В ЧЕМ СОСТОИТ ГИПОТЕЗА  КОНКУРЕНТНОГО РАВНОВЕСИЯ ПО ВАЛЬРАСУ?

 

Не чисто плановая экономика строится на взаимодействии достаточно автономных экономических субъектов, она  существенно дезагрегирована. Каждый участник преследует свою цель, и возникает вопрос, как получается общественное  равновесие.

 

Основатель лозаннской школы Леон Вальрас разработал  модель экономики, в которой действуют конечное число  производителей и потребителей (они же — владельцы продуктов,  вовлекаемых в производство, капитала, труда и других факторов производства). Факторы вовлекаются в производство менеджерами или производителями. Совокупные натуральные производственные выпуски продуктов поступают на распределение между потребителями в рамках их бюджета и согласно их предпочтениям. Увязка  спроса и предложения, возникающих в результате деятельности субъектов, преследующих свои индивидуальные цели,  происходит посредством цен через конкурентный рынок.

 

Конкурентность по Вальрасу означает, что участники экономического процесса не  могут управлять ценами. Они могут только действовать в  соответствии с ценами. Вальрас высказал гипотезу о существовании вектора цен,  отвечающих конкурентному равновесию. Строгое доказательство этого факта было дано только в 50-е годы двадцатого века. Это результат исследований Эрроу, Дебре, Маккензи, Гейла и Никайдо.

 

КАКИЕ ПОДСИСТЕМЫ ЭКОНОМИКИ МОЖНО ОТНЕСТИ К КРУПНЫМ ПОДСИСТЕМАМ?

 

К крупным подсистемам можно отнести: первое и второе   подразделения народного хозяйства, отрасли народного хозяйства,   межотраслевые народнохозяйственные комплексы.

Под первым подразделением обычно понимают совокупность   хозяйственных единиц, производящих средства производства, а под вторым — предметы потребления.

Первое подразделение,  в свою  очередь, можно  разделить на два сектора:

 

- нулевой, производящий топливо, энергию, сырье, материалы (т. е. предметы труда), и

 

- первый, который производит средства (орудия) труда.

 

Это разделение   методологически оправдано, поскольку предметы труда участвуют в одном   производственном цикле, а средства труда — во многих.

 

ЧТО ПОНИМАЕТСЯ ПОД СЕКТОРОМ В ЭКОНОМИКЕ?

 

Вообще под   сектором далее будет пониматься производственная подсистема   экономики, производящая один агрегированный продукт.

ЧТО ПОНИМАЕТСЯ ПОД ОТРАСЛЬЮ В ЭКОНОМИКЕ?

 

В отрасль выделяются производственные единицы, однородные по используемому сырью выпускаемой продукции, по применяемой технологии, по профессиям производственного персонала.

 

При моделировании под отраслью обычно подразумевается «чистая» отрасль, производящая только один продукт. Например, отрасль   сельского хозяйства — зерноводство, производит один продукт — зерно (хотя, разумеется, «зерно» понятие собирательное, в него входит   зерно пшеницы, риса, ячменя, овса, кукурузы, сорго, проса, гречихи, зернобобовых), отрасль электроэнергетики производит один продукт — электроэнергию (хотя в случае необходимости следует различать гидро-, тепло- и атомную электроэнергию и т.п.).

КАКИЕ ОТРАСЛИ СЧИТАЮТСЯ КРУПНЫМИ?

 

Кроме обычных отраслей рассматриваются крупные отрасли народного хозяйства:

 

- промышленность;

 

- сельское хозяйство;  

 

- строительство;

 

- транспорт и связь;

 

- торговля,

 

- заготовки и материально-техническое снабжение.

ЧТО ТАКОЕ МЕЖОТРАСЛЕВОЙ НАРОДНОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ КОМПЛЕКС?

 

Под межотраслевым народнохозяйственным комплексом   понимается совокупность отраслей, подотраслей и производств, находящихся в тесных производственно-технологических связях и реализующих крупную национальную цель (например, топливно-энергетический комплекс обеспечивает общество и экономику топливом и энергией, а агропромышленный комплекс — продовольствием и   сельскохозяйственным сырьем).

 

ПРИМЕР. МОДЕЛЬ МЕСАРОВИЧА-ПЕСТЕЛЯ.

 

В качестве примера вкратце рассмотрим  модель Месаровича-Пестеля.  В проекте «Стратегия выживания» М. Месарович и Э. Пестель  выдвинули задачу построения «кибернетической» модели мира.  Принципы ее создания были сформулированы в конце 70-х годов XX века и  обобщены в следующих тезисах.

 

1. Модель, отражающая сложные процессы взаимодействия человека с окружающей средой и комплекс экономических, социальных и  политических взаимоотношений в обществе, должна основываться на  теории многоуровневых иерархических систем.

 

Необходимо выделить,  по крайней мере, три уровня:

 

- причинный — процессы в окружающей среде и функционирование экономики;

 

- организационный —  коллективные действия лиц, принимающих решения, изменяющие состояние причинного уровня;

 

- уровень формирования социальных норм —  процессы формирования ценностей и целей общества.

2. Модель должна быть управляемой — т. е. включать в себя процесс принятия решений, что позволит учесть возможность  сознательного воздействия человека на развитие мировой системы.

 

3. Мир следует рассматривать не как единое целое, а как систему взаимодействующих регионов, различающихся уровнем развития, социально-экономической структурой, традициями и т. д.

 

Месарович и Пестель критиковали модель «Мир-3» как  «механическую», и отмечали, что поскольку она представляет собой замкнутую систему дифференциальных уравнений, то задание ее начального  состояния однозначно определяет ее динамику.

 

КАКОВА СТРУКТУРА МОДЕЛИ МЕСАРОВИЧА-ПЕСТЕЛЯ?

 

Следует подчеркнуть, что законченной «мировой модели» у этих  авторов по существу нет. Есть отдельные работы по демографии,  экономике, энергетике, продовольственной проблеме, нефтяному кризису. Поэтому модель Месаровича-Пестеля (М-П-модель) следует  рассматривать скорее как программу построения глобальной модели и ряд набросков отдельных ее частей.

 

В М-П-модели все страны мира в соответствии с их  социально-экономическими структурами и уровнем развития были разбиты на 10  регионов:

 

1) Северная Америка;

 

2) Западная Европа;

 

3) Япония;

 

4) Австралия и Южная Африка;

 

5) СССР и страны Восточной Европы;

 

6) Латинская Америка;

 

7) Ближний Восток и Северная Африка;

 

8) остальная часть Африки;

 

9) Юго-Восточная Азия;

 

10) Китай.

 

Каждый регион описывается системой специальных подмоделей с  одинаковой структурой, но с различными начальными данными и  значениями параметров. Связь регионов осуществляется через импорт,  экспорт и миграцию населения.

 

КАКИЕ ОСНОВНЫЕ ПОДМОДЕЛИ ПРИСУТСТВУЮТ В МОДЕЛИ МЕСАРОВИЧА-ПЕСТЕЛЯ?

 

Основными подмоделями в этой системе являются подмодели экономики, демографии и энергетики.

 

В подмоделях Месаровича-Пестеля ряд параметров систем  уравнений остается неопределенным. Управление определяется выбором того или иного сценария (набором значений этих параметров на всем рассматриваемом промежутке времени). Сценарий же выбирается  лицом, принимающим решения (ЛПР), человеком, проводящим  исследование проблемы. Для каждой проблемы (модели) заранее определяется конечный набор возможных сценариев, которые объединены в дерево решений. ЛПР выбирает приемлемый с его точки зрения  сценарий путем исследования дерева допустимых решений в режиме диалога с компьютером. После выбора сценария система становится замкнутой и, соответственно, становится возможным расчет ее  траектории.

Следует отметить, что обратные связи между отдельными  подмоделями М-П-модели, как правило, отсутствуют. Это приводит к  «жесткому» варианту определения эндогенных переменных для подмоделей, использующих в качестве входной информации расчеты других  подмоделей.

 

ПОДМОДЕЛЬ ЭКОНОМИКИ.

 

Подмодель экономики представлена однопродуктовой  макроэкономической моделью, отражающей динамику капитала, инвестиции,  импорт-экспорт, конечное потребление и правительственные расходы. Подмодель экономики описывает развитие i-го (i=1, 2, …, 10) региона системой  разностных уравнений с шагом по времени в один год. Эта система уравнений дополняется формулами, в которых определяются следующие компоненты экономики: конечный продукт; годовые инвестиции; «возможное» потребление региона; «возможные» государственные расходы региона; экспорт региона. Коэффициенты в формулах определяются путем  статистического анализа временных рядов соответствующих величин. После этого определяется «возможный» импорт региона из  уравнения распределения конечного продукта. Затем вычисляются суммарные (по всем регионам) величины  экспорта и импорта. В случае если они оказываются не равными, производится  перераспределение величин импорта, потребления и государственных  расходов, так что сумма экспорта по всем регионам становится равной сумме импорта (это нужно для того, чтобы модель была  сбалансированной).  В итоге с помощью сбалансированной модели можно прогнозировать развитие экономики всех десяти регионов, что было сделано на период до 2025 года.

 

ПОДМОДЕЛЬ ЭНЕРГЕТИКИ.

 

Подмодель энергетики состоит из трех отдельных секторов —  ресурсов, спроса и предложения.

 

Сектор ресурсов учитывает сведения об известных энергетических  запасах ресурсов на земле и о совершенствующихся методах разведки и технологии добычи полезных ископаемых. В качестве выхода подмодели выступают прогнозы наличия первичных ресурсов (уголь, нефть, газ, уран и торий) для каждого региона в виде временных рядов.

 

Сектор спроса исходит из прогноза экономического развития,  получаемого из подмодели экономики. Априори предполагается наличие функциональной зависимости между валовым региональным  продуктом и потребностью региона в энергии.  Вид этой зависимости определяется  экспериментальной кривой, определяемой на основе анализа  статистических данных по всем регионам.

 

В основе сектора предложения лежит подробная диаграмма потоков энергии. На входе диаграммы находятся импорт и первичные  источники энергии, потенциальные запасы которых полагаются  известными из сектора ресурсов, а на выходе — конечные пользователи  энергии, чьи потребности предполагаются известными из сектора спроса.

 

Структура диаграммы учитывает все потенциально возможные  способы переработки, транспортировки и распределения энергетических ресурсов. Коэффициенты эффективности процессов переработки,  стоимость технологии переработки и цены на первичные и вторичные  энергетические ресурсы полагаются известными и постоянными.

 

В каждой узловой точке диаграммы выбор коэффициентов  распределения, как определение степени развития различных отраслей  энергетики и импортно-экспортных отношений, является объектом  управления. В рассматриваемом промежутке времени в подмодели  предложения энергии сценарий включает следующие величины: добычу каждого вида первичной энергии, импорт и экспорт энергии,  распределение первичных энергетических ресурсов по различным способам преобразования, процентное распределение по потребителям  вторичных энергетических ресурсов.

 

В подмодели энергетики вычисляются практически все основные  характеристики потребления энергетических ресурсов:

 

- годовая  стоимость потребляемой первичной энергии,

 

- годовая стоимость импорта энергии,

 

- необходимое количество новых электростанций и  капиталовложения для их строительства,

 

- процентное соотношение различных видов энергии в конечном потреблении,

 

- объем и стоимость конечного потребления энергии,

 

- тепло, выделяемое в атмосферу в процессе  переработки и потребления энергии.

 

Обратная связь между подмоделями энергетики и экономики  отсутствует. Макроэкономическая подмодель просчитывается заранее, выход от нее является входной информацией для подмодели энергетики к виде временных рядов потребностей регионов в энергии, так что  любое решение в области энергетики ничего не меняет в экономической подмодели. Безусловно, это обстоятельство может существенно  повлиять на достоверность прогнозной информации (хорошо известно, что масштабные решения в области энергетики могут изменить  динамику экономической подмодели вследствие перераспределения доли валового продукта — например, создание новых технологий  переработки первичных энергетических ресурсов требует значительных  инвестиций).

 

ПОДМОДЕЛЬ ДЕМОГРАФИИ.

 

В системе региональной М-П-модели мира одной из основных  является подмодель демографии.

 

В ЧЕМ ЗАКЛЮЧАЕТСЯ ПРЕДНАЗНАЧЕНИЕ МОДЕЛИ ДЕМОГРАФИИ?

 

Ее предназначение заключается в  достижении двух важных целей:

 

1) в исследовании роста населения в каждом регионе при  определенной демографической политике и взаимодействии этой подмодели с другими подмоделями;

 

2) в исследовании влияния роста населения на результаты других  подмоделей.

 

Свою концепцию мирового развития Месарович и Пестель назвали «органическим ростом». Под этим понимается дифференцированное развитие различных частей общей системы, когда в отдельные периоды наряду с ростом одних  параметров в определенных регионах имеет место ограничение роста в других регионах. Оценивая проект в целом, необходимо отметить, что до сих пор имеет место значительный разрыв между концептуальными основами модели в целом и конкретными разработанными  подмоделями (причем некоторые из них, в свою очередь, являются чрезмерно упрощенными). Подчас анализ объективных причинно-следственных связей подменяется формальной экстраполяцией существующих  отношений на весь прогнозный промежуток времени.

 

Нельзя не отметить, что деление мировой системы на регионы  выполнено формально, без учета их внутренней специфики. Проблема  взаимодействия регионов практически не решена, так как прогнозируемые экспорт и импорт определяются исходя из экстраполирования их  значений на настоящее время. Отдельные подмодели не соединены в  единую иерархию, и обратные связи между ними, как правило,  отсутствуют.

 

В целом, невзирая на незавершенность, работа группы Месаровича-Пестеля представляет собой новый интересный этап в процессе  моделирования мирового развития. В представленном подходе следует  отметить ряд положительных и объективно обусловленных моментов: деление мировой системы на взаимодействующие регионы,  специализация и направленность подмоделей на решение конкретных проблем, включение возможности управления.

 

РАЗДЕЛ 2. НЕОКЛАССИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РОСТА.

 

ИЗ КАКИХ ПРЕДПОСЫЛОК ВОЗНИКАЕТ ЗАДАЧА ОБ ОПТИМАЛЬНОМ ЭКОНОМИЧЕСКОМ РОСТЕ?

 

В любой экономике обязательно производится выбор между обеспечением текущего спроса (потребление) и обеспечением будущего спроса (капитальные вложения). Несмотря на то, что более высокий уровень потребления всегда предпочтительнее более низкого, тем не менее, более высокий уровень потребления означает меньшие капитальные вложения, что влечет за собой соответственно уменьшение объема выпуска в будущем и как следствие, понижение уровня будущего потребления. Поэтому возникает задача выбора той или иной политики в области потребления.

 

Одну из крайностей представляет политика потребления, при которой насколько возможно полно удовлетворяются текущие потребности. Даже если это грозит катастрофой в будущем из-за понижения уровня потребления.

 

Другой крайностью является политика потребления, при которой стремятся ограничить текущее потребление, с тем, чтобы увеличить капитал и уровень потребления в будущем. Множество функций времени (траекторий) для потребления, капиталообразования и выпуска продукции возникает при выборе между потреблением и накоплением капитала. Из этого множества возможных траекторий роста экономики необходимо выбрать одну, но предварительно следует получить оценку соотношения текущего и будущего потребления. Как только такая оценка выполнена, тотчас возникает задача выбора оптимальной траектории роста, то есть задача об оптимальном экономическом росте.

 

ЧТО ОПИСЫВАЕТ НЕОКЛАССИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РОСТА?

 

Неоклассическая модель роста описывает экономический рост в агрегированной замкнутой экономике.

 

ЧТО ПОДРАЗУМЕВАЕТСЯ ПОД АГРЕГИРОВАННОЙ ЭКОНОМИКОЙ?

 

Агрегированная экономика означает, что за время t производится единственный однородный продукт, выпуск которого составляет Y(t). При этом в процессе производства используются два однородных фактора: труд L(t) и капитал K(t) (предполагается, что время  t изменяется непрерывно).

ЧТО ОЗНАЧАЕТ ТЕРМИН ЗАМКНУТОСТЬ ЭКОНОМИКИ?

 

Замкнутость здесь означает, что ни выпуск, ни затраты не импортируются и не экспортируются.   Весь выпуск или потребляется, или инвестируется в экономику.  Если обозначить через С(t) потребление во время t, а через I(t) капиталовложения во время t, то согласно тождественному равенству дохода и расходов,  получим следующее соотношение:

 

Y(t)=C(t)+I(t).   (1)


Это тождество показывает, что выпуск (валовой национальный продукт) может идти только на потребление, и на инвестиции.  Инвестиции идут в свою очередь и на увеличение размера наличного капитала, и на замещение изношенного капитала.

 

Пусть K(t) размер капитала в момент времени  t, тогда капитальные вложения измеряются скоростью изменения наличного капитала, то есть

 

К`(t)=dK(t)/dt.

 

Предположим, что амортизация наличного капитала пропорциональна его величине и равна μ (норма амортизации).

 

То есть в момент времени t необходимо заменить

 

μK(t)

 

амортизированного капитала.

 

Предположим также; что выполняется следующее тождество для валовых инвестиций:

 

I(t)=dK(t)/dt + μ∙K(t) .  (2)

 
Таким образом, чистые капитальные вложения  составляют ту часть инвестиций, которая не идет на замещение изношенного капитала.

Размеры выпуска определяются агрегированной производственной функцией, которая характеризует технически  объективные возможности производства в зависимости от величины капитала и труда:

 

Y=F(K,L).    (3)


Предполагается, что производственная функция  инвариантна во времени и дважды дифференцируема, причем при любых положительных затратах факторов имеют место следующие соотношения.

 

Соотношения (4):


F(K,L)/∂K>0,

 

2F(K,L)/∂K2<0,

 

F(K,L)/∂L>0,

 

2F(K,L)/∂L2<0.

Соотношения (5):

 

lim ∂F(K, L)/∂K= ∞,

K→0

 

lim ∂F(K, L)/∂K= 0,

K→∞

 

lim ∂F(K, L)/∂L= ∞,

L→0

 

lim ∂F(K, L)/∂L= 0.

L→∞

Из соотношений (4) и (5) видно, что оба предельных продукта принимают вначале бесконечно большие значения, а затем постепенно уменьшаются до нуля.


Предполагается  также, что отдача от масштаба производства постоянна, то есть для любого положительного  числа α  выполняется равенство:

 

F(α∙K, α∙L)=α∙F(K,L)=α∙Y.   (6)

 

В частности, выбирая  

 

α=1/L,

 

из (6) получим   равенство:

 

Y/L=F(K/L, 1)=f(K/L).  (6`)


Функция f(.) определяет выпуск продукции на одного рабочего (производительность труда) в зависимости от величины капитала на одного рабочего (капиталовооруженность).

Заметим, что в отечественной литературе показатель капиталовооруженность обычно называется фондовооруженностью.

 

Обозначая все величины в расчете на одного рабочего строчными буквами, можно представить (6`) в виде

 

y=f(k),


где y(t) – выпуск продукции на одного рабочего, а  k(t) –  величина капитала на одного рабочего.

То есть:


y(t)=Y(t)/L(t),

k(t)=K(t)/L(t).

Согласно предположениям (4) и (5),  имеем следующие соотношения (7):


f`(k)=df(k)/dk>0,

 

f``(k)=d2f(k)/dk2<0 для любого k>0, 

 

lim f`(k)= ∞,

k→0

 

lim f`(k) =0.

k→∞

 

Итак, производственная функция на одного рабочего является строго вогнутой монотонно возрастающей функцией с наклоном касательной, равным бесконечности при t= 0 и равным нулю  при  k=+∞.


Переменные и уравнения, введенные ранее, можно переписать, используя величины в расчете на одного рабочего.

 

Пусть с(t) – потребление на одного рабочего,  i(t) – капитальные вложения, приходящиеся на одного рабочего, соответствующие времени  t.

 

То есть имеем равенства:

 

c(t)=C(t)/L(t),

 

i(t)=I(t)/L(t).

Тогда тождество дохода и расходов (1) (т.е. Y(t)=C(t)+I(t))  можно переписать как  

 

y(t)=c(t)+i(t),  (8)

 
а тождество для валовых инвестиций (2) (т.е. I(t)=dK(t)/dt + μK(t)) как


i(t)=(dK(t)/dt )/L(t)+ μ∙k(t),

 

где k(t)=K(t)/L(t).

Скорость изменения величины капиталовооруженности рабочего можно записать следующим образом:


dk(t)/dt=d(K(t)/L(t))/dt=(dK(t)/dt)/L(t)–(K(t)/L(t))∙((dL(t)/dt)/L(t)).

Отсюда,

 

dk(t)/dt =(dK(t)/dt)/L(t)– k(t)∙((dL(t)/dt)/L(t)).  

Теперь тождество для валовых инвестиций принимает вид (9):

 

i(t)=(dK(t)/dt )/L(t)+ μ∙k(t)=

 

=dk(t)/dt+ k(t)∙((dL(t)/dt)/L(t))+μk(t)= 

 

=dk(t)/dt + k(t)∙(μ + (dL(t)/dt)/L(t)).

Предполагается, что численность рабочей силы возрастает экспоненциально с показателем (темпом роста) n. То есть:

(dL(t)/dt)/L(t)=n.

 

Поэтому из (9) следует уравнение:

i(t)=dk(t)/dt + k(t)∙(μ + n)= dk(t)/dt + k(t)∙λ.


где через  λ обозначена сумму нормы амортизации капитала и темпа роста численности рабочей силы:

λ≡ μ + n.  (10)

В дальнейшем будем предполагать, что λ есть положительная константа (λ>0).

 

Таким образом, мы ввели три основных уравнения:

 

1) УРАВНЕНИЕ ДОХОДОВ И РАСХОДОВ (8)

 

y(t)=c(t)+i(t);

 

2) УРАВНЕНИЕ ВАЛОВЫХ ИНВЕСТИЦИЙ (9)

 

i(t)= dk(t)/dt + k(t)∙(μ + (dL(t)/dt)/L(t));

 

3) УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ (10)

 

λ≡μ+n.

Эти основные уравнения позволяют составить основное  дифференциальное  уравнение неоклассической модели экономического роста:

 

f(k(t))= c(t) + k(t)∙λ+ dk(t)/dt.  (*)


Это уравнение показывает, что выпуск продукции, приходящейся на одного рабочего, раскладывается на три слагаемых:

 

1) потребление на одного рабочего  c(t);

 

2) поддержание капиталовооруженности рабочего на прежнем уровне  k(t)∙λ;

 

3) чистый прирост капиталовооруженности рабочего dk(t)/dt.

 

ЗАМЕЧАНИЕ. Если рассматривается случай с дискретным временем, где  t = t0, t1, t2, … ,

то основное дифференциальное уравнение (*) принимает вид:

 

f(kt)= ct + kt∙λ+ (kt+1 - kt) 

 

Это уравнение является аналогом основного дифференциального уравнения в случае с непрерывным временем.

 

Это основное соотношение (*) проиллюстрировано на рисунке 1.

 

 

Рисунок 1. Основное дифференциальное уравнение неоклассической модели
экономического роста.

 

На рисунке 1 изображены: график функции y=f(k) и прямой y=λk.

 

Теперь можем изобразить график функции y=f(k) – λk.  (рисунок 2).

 

 

Рисунок 2.

 

На рисунке 2 изображен график функции  y=f(k) – λk = c(t) + dk(t)/dt.    

 

В двух критических точках  ƙ1 и ǩ2 функция

 

y=c(t) + dk(t)/dt    

 

достигает максимума и обращается в нуль соответственно:

f(ƙ1) – λ∙ƙ1≥f(k) – λ∙k  для всех k>0;

 

f2) – λ∙ǩ2=0.

 

При сделанных выше предположениях точки ƙ1 и ǩ2 существуют и единственны.

Свойства устойчивости основного дифференциального уравнения экономического роста зависят от уровня потребления на  одного рабочего. Это показано на рисунке 3.

 

Рисунок 3(а). Характеристика устойчивости основного дифференциального уравнения неоклассической модели экономического роста: (а) нулевой  уровень потребления на одного рабочего (c=0).

 

В случае (а) потребление на одного рабочего равно нулю, по вертикальной оси откладывается dk(t)/dt, так что получаем график на фазовой плоскости.  В точке ǩ2 производная dk(t)/dt, равна нулю. Так что точка ǩ2 является точкой равновесия. Слева от точки ǩ2 производная dk(t)/dt  положительна. Значит, k движется вправо; справа от точки ǩ2  производная dk(t)/dt  отрицательна. Следовательно, k движется влево. Эти направления изображены стрелками. Очевидно, что точка ǩ2 есть точка локально устойчивого равновесия. При рассмотрении поведения системы в динамике,  очевидно, что любое малое отклонение от ǩ2 со временем исчезнет и система вернется в точку ǩ2.

 

ЗАМЕЧАНИЕ. Функция Ляпунова  

 

V(t)=[ f(k) – λk ]2

 

показывает локальную устойчивость в точке ǩ2.

 

Как видно из рисунка 3(б), в случае (б) потребление на одного рабочего может принимать максимальное значение ĉ, равное ординате кривой в точке ƙ1, где ƙ1 определяется  из уравнения


f`(k)=λ=μ+n при k=ƙ1.  (11)

Уровень капиталовооруженности, равный ƙ1, называется уровнем капиталовооруженности золотого правила накопления.  Этому уровню соответствует равновесие, при котором достигается максимум такого уровня потребления на одного рабочего, который может выдерживаться сколь угодно долго.

 

 

Рисунок 3 (б). Характеристика устойчивости основного дифференциального уравнения неоклассической модели экономического роста: (б) максимальный уровень  потребления на одного рабочего (c=ĉ) (уровень потребления, соответствующий золотому правилу).

 

ЧТО ТАКОЕ ЗОЛОТОЕ ПРАВИЛО НАКОПЛЕНИЯ?

 

Максимальное значение уровня потребления ĉ, которое может сохраняться неопределенно долго, равно

ĉ =f(k1) - λk1.  (12)

 

Величина ĉ называется уровнем потребления на одного рабочего, соответствующим золотому правилу.  Условия (12) называют золотым правилом накопления.

 

Как показывает рисунок 3 (б), в точке равновесия k1 (уровень капиталовооруженности золотого правила) устойчивости нет. Отклонения вправо от k1 исключены, но влево возможны, что показано стрелками. Если капиталовооруженность снижается ниже k1 , то она будет продолжать падать. Предположим, что c=0 при k=0, тогда единственной устойчивой точкой равновесия в случае (б) будет только начало координат.

 

Наконец, в случае (в) зафиксировано потребление на одного рабочего c= č,  меньшее, чем максимально возможное потребление на одного рабочего, 0< č<ĉ. В этом случае линия потребления на одного рабочего c= č пересекает кривую в двух точках, соответствующих уровням капиталовооруженности kL и kU.  Эти точки являются точками равновесия в том смысле, что, достигнув одной из них, система более не перемещается из этого положения. Однако по характеру устойчивости эти точки различны.

 

Точка kU  является точкой устойчивого равновесия: стрелки показывают, что слабые отклонения со временем устраняются. В точке kL  наблюдается неустойчивое равновесие. Как показывают стрелки, если k меньше, чем kL, то происходит уменьшение капиталовооруженности рабочего до нуля, а если k больше, чем kL, тогда капиталовооруженность рабочего возрастает до kU .

 

Рисунок 3 (в). Характеристика устойчивости основного дифференциального уравнения неоклассической модели экономического роста: (в) фиксированный уровень потребления на одного рабочего = č, 0< č<ĉ).

Таким образом, если потребление на одного рабочего установлено на некотором промежуточном уровне, соответствующем, например, прожиточному минимуму, то для того, чтобы система могла достичь точки устойчивого равновесия (kU), необходим достаточно высокий первоначальный уровень капиталовооруженности рабочего. Это замечание показывает необходимость «большого толчка» для достижения критического уровня капиталовооруженности рабочего, после чего экономика будет благодаря собственной динамике переходить ко все более высоким уровням капиталовооруженности рабочего, а следовательно, и к большему выпуску продукции на одного рабочего.

 

РАЗДЕЛ 3. НЕОКЛАССИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПТИМАЛЬНОГО ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА. ДВУХСЕКТОРНАЯ МОДЕЛЬ РОСТА.

 

Задачу об оптимальном экономическом росте можно рассматривать как динамическую задачу рационального ведения хозяйства (задачу управления). Ее можно описать и проанализировать с помощью понятий теории управления: фазовых координат, управляющих параметров, уравнений движения, начального состояния и целевого функционала.

В неоклассической задаче об оптимальном экономическом росте имеется одна фазовая координата — капиталовооруженность рабочего k(t), а уравнение движения - это основное дифференциальное уравнение неоклассического экономического роста:

 

dk(t)/dt =f(k(t)) – c(t) – λ∙k(t)  

Начальное состояние задается значением капиталовооруженности рабочего при t = t0:

 

k(t0)=k0. (13)

 

С точки зрения центрального планирующего органа, обладающего властью над развитием всей экономики, управляющим параметром является потребление на одного рабочего, и задача  состоит в выборе траектории потребления на одного рабочего в заданном интервале времени

 

{с(t)} ={с(t)| t0tt1}.

 

Здесь t0  и t1 — начальное и конечное время — считаются заданными, причем может принимать любые значения, как конечные, так и бесконечные.

ЧТО ТАКОЕ ДОПУСТИМАЯ ТРАЕКТОРИЯ?

 

Допустимой траекторией называется любая кусочно-непрерывная траектория {с(t)}, удовлетворяющая уравнению движения и граничному условию, для которой выполняется условие:

 

0≤c(t)≤f(k(t)), для всех t, t0tt1. (14)

 

Задача центрального планирующего органа состоит в выборе допустимой траектории потребления на одного рабочего, оптимальной для достижения некоторой экономической цели.  Предполагается, что экономическая цель такого центрального планирующего органа должна основываться на стандартах  уровня жизни, оцениваемых величиной потребления на одного рабочего. В частности, предполагается, что в распоряжении центрального планирующего органа имеется функция полезности, определяющая полезность U в любой момент времени как функцию от потребления на одного рабочего:

U=U(c(t)).

 

ЗАМЕЧАНИЕ. В экономике при отсутствии центрального планирующего органа задача об оптимальном экономическом росте заключается в выборе подходящих комбинаций, из имеющихся инструментов экономической политики, например таких, как валютная или торговая политика, с тем, чтобы достичь поставленной цели.

 

Будем считать, что функция полезности дважды дифференцируема,  и что предельная полезность – это положительная, но убывающая функция, определенная при всех положительных значениях потребления на одного рабочего. Тогда имеем следующие  условия (15):

 

dU(c)/dc=U`(c)>0,

 

d2U(c)/dc2=U``(c)<0, для всех c, 0<c<∞.

 

Следовательно, функция полезности U(c) – это строго вогнутая монотонно возрастающая функция. Предположим также, что функция полезности удовлетворяет следующим предельным условиям:


lim  U`(c)=∞,

c→0

 

lim U`(c)=0.

c→∞

ЧТО ТАКОЕ ЭЛАСТИЧНОСТЬ ПРЕДЕЛЬНОЙ ПОЛЕЗНОСТИ?

 

Эластичность предельной полезности

 

σ(c)=(- c)∙(U``(c)/U`(c))  (16)

 

характеризует кривизну функции полезности U(c).  

В силу (15) функция σ(c) положительна при всех положительных значениях потребления на одного рабочего.

Функция полезности определяет полезность в некоторый момент времени, но задача центрального планирующего органа состоит в выборе всей траектории потребления в расчете па одного рабочего, а для этого надо сопоставлять показатели полезности, соответствующие разным моментам времени.

Условимся, что полезности в различные моменты времени не зависят друг от друга: полезность в какой-либо момент времени непосредственно не зависит от потребления или полезности в любой другой момент времени. Условимся далее, что можно складывать полезности, соответствующие различным моментам времени, только после соответствующего дисконтирования для учета того факта, что ближайшее потребление более важно, чем отдаленное.

 

Предположим, что норма дисконтирования δ постоянна  и положительна, причем большая норма дисконтирования свидетельствует о большем предпочтении близких по времени полезностей.

 

Положив, что дисконтирующий множитель имеет вид экспоненты, получим значение полезности в момент времени t, приведенное к моменту времени t0, равное:

 

exp{-δ∙(tt0)}∙U(c(t)).

 

В указанный интервал времени от t0 до t1 благосостояние W, соответствующее траектории потребления на одного рабочего {с(t)}, определяется интегрированием (суммированием) всех мгновенных полезностей  по всему интервалу:

 

       t1
W=   exp{-δ∙(t – t0)}∙U(c(t))∙dt.

       t0

Горизонт времени планирования может быть конечным или бесконечным. В случае, если это время конечно, нужно задавать в конечный момент времени минимально допустимое значение капиталовооруженности для того, чтобы обеспечить возможность потребления и за пределами данного горизонта времени:

 

k(t1)=k1. (17)

 

Это граничное условие дано в форме неравенства, так как можно получить неправильные результаты, если величину капиталовооруженности рабочего в конечный момент времени принять строго равной k1. Минимальный уровень капиталовооруженности в конечный момент времени связан с периодом, который следует за рассматриваемым интервалом времени. Можно было бы избежать многих трудностей, связанных с определение минимальной величины капиталовооруженности в конечный момент времени, если считать, что t1 бесконечно, т. е. рассматривать тот случай, когда траектория {с(t)} выбирается на все время в будущем. В этом случае, однако, интеграл благосостояния может расходиться. Сходимость интеграла гарантирована, если начальное значение капиталовооруженности рабочего меньше максимально достижимого уровня ḱ и норма дисконтирования положительна, так как в этом случае c(t)≤f(ḱ). Тогда имеем неравенство:

 

                                                  
W=  exp{-δ∙(t – t0)}∙U(c(t))∙dt ≤ exp{-δ∙(t – t0)}∙U(f(k(t)))∙dt= U(f(k'))/δ

       t0                                     t0

 

так что интеграл благосостояния W ограничен сверху.

Таким образом, задача о неоклассическом оптимальном росте для агрегированной замкнутой экономики с бесконечным горизонтом планирования и положительной нормой дисконтирования представляет собой задачу о выборе траектории потребления на одного рабочего {с(t)} такой, что выполняются соотношения (18):

 

              

max W = ∫ exp{-δ∙(t – t0)}∙U(c(t))∙dt,

{c(t)}     t0

 

dk(t)/dt =f(k(t)) – c(t) – λ∙k(t),

 

k(t0)=k0,  

 

0≤cf(k),

 

с(t) есть кусочно-непрерывная функция.

 

Очевидно, что (18) – это динамическая задача рационального ведения хозяйства. Это задача управления, в которой единственной фазовой координатой является капиталовооруженность  рабочего k, единственным управляющим параметром является потребление на одного рабочего с, а в качестве целевого функционала берется интеграл благосостояния W; основное дифференциальное уравнение неоклассического роста служит уравнением движения, а начальное значение капиталовооруженности рабочего — граничным условием.

Множеством управлений здесь будут все кусочно-непрерывные функции потребления на одного рабочего, причем значения потребления не могут опускаться ниже нуля и в замкнутой экономике не могут подниматься выше выпуска продукции на одного рабочего.

 

Решением этой задачи будет оптимальная траектория потребления на одного рабочего {с*(t)} и оптимальная траектория для капиталовооруженности рабочего {k*(t)}. Эти траектории определяются для всех tt0.   

 

Решение зависит от двух строго вогнутых функций:

 

функции полезности U(.) и  

 

производственной функции f(.),

 

и от трех неотрицательных параметров:

 

нормы дисконтирования δ,

 

нормы амортизации плюс темп роста рабочей силы, μ+n=λ, и

 

начального значения капиталовооруженности рабочего k0.

 

Так как (18) является задачей управления, то ее можно решить, используя принцип максимума. Подробное решение данной задачи приводится в монографии [1] (см.: Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория.).

 

ДВУХСЕКТОРНАЯ МОДЕЛЬ РОСТА.

 

Обобщением неоклассической модели роста является двухсекторная модель роста. В этой модели рассматриваются два сектора с различными технологиями производства продукции. Обычно в одном из секторов производятся однородные капитальные блага (средства производства), а в другом однородные потребительские блага (предметы потребления).

Если YC(t) – выпуск потребительских благ во время t, а YI(t) – выпуск благ, идущих на капиталовложения, то валовой национальный продукт, соответствующий времени t, равен:

 

Y(t)=YC(t)+pYI(t),

 

где р — цена средств производства в единицах предметов потребления.


Каждый сектор в процессе производства использует для выпуска продукции два фактора — капитал и рабочую силу.

 

Выпуск определяется производственными функциями:

 

Yj=Fj(Kj, Lj), j=C,I.

 

где Кj(t) – это величина капитала в секторе j, а Lj(t) – труд, используемый в этом секторе j.

Каждая производственная функция Fj (.,.) удовлетворяет неоклассическим условиям, аналогичным (3) и (4).

 

В производственную функцию не входят внешние параметры, т.е. выпуск одного сектора непосредственно не зависит от выпуска или затрат в другом секторе.

 

Факторы производства однородны и могут свободно перемещаться из сектора в сектор.

 

Предположим, что оба фактора используются полностью, т. е.

 

KC(t)+KI(t)=K(t),

 

LC(t)+LI(t)=L(t).

 

Здесь K(t) и L(t) – значения имеющихся в наличии в момент t общих объемов капитала и рабочей силы.

Общий объем капитала расширяется за счет капитальных вложений и подвергается изнашиванию с постоянной нормой амортизации μ:

 

dK(t)/dt=YI  – μ∙K(t).  (19)  

 

В то же время численность рабочей силы возрастает с постоянным темпом n.

Модель можно сформулировать, рассматривая значения капитала и выпуска, приходящиеся на одного рабочего, так как предполагается, что в производственной функции отдача на масштаб производства постоянна. Тогда имеем:

 

YC/LC=FC(KC/LC,1)=fC(kC),

YI/LI=FI(KI/LI,1)=fI(kI),

 

Здесь kC и kI – значения капиталовооруженностей по секторам,  т.е.

kj =Kj/Lj≥0,  j=C,I.

 

Производственные функции fC(kC), fI(kI), удовлетворяют условиям, аналогичным (7).

Через lj обозначим долю всей рабочей силы, которая относится к сектору:

lj=Lj/L, ,  j=C,I.

 

lC+lI=1.

Тогда потребление на одного рабочего выражается как

 

yC=YC/L=lC∙fC(kC), (20)

а капиталовооруженность рабочего равна

 

yI=YI/L=lI∙fI(kI). (21)

Валовой национальный продукт, приходящийся на одного рабочего, равен:

 

y =yC+pyI.

Общая капиталовооруженность рабочего во всей экономике равна:

k=K/L=kC∙lC+ kI∙lI.

 

Следовательно, согласно (19),

 

dk(t)/dt=yIλk(t), 

 

где λ=μ+n, как и ранее.

Задача об оптимальном экономическом росте для двухсекторной модели в случае, когда рассматривается бесконечный промежуток времени и постоянная предельная полезность, состоит в выборе таких траекторий

{lI(t)}, {lC(t)}, {kI(t)} и {kC(t)},

что
              

max W = ∫ exp{-δ∙(tt0)}∙yCdt,

              t0

 

dk(t)/dt =yIλ∙k(t),

 

k(t0)=k0,  

 

yC=lC∙fC(kC),

 

yI=lI∙fI(kI),

lC+lI=1,

 

k=kC∙lC+ kI∙lI,

 

lC≥0,

 

lI≥0,

 

kC≥0,

 

kI≥0.

 

(22)

где lC(t), lI(t), kC(t), kI(t) есть кусочно-непрерывные функции.

 

Здесь k – это фазовая переменная,

lC, lI, kC, kI  – это управляющие параметры,

fC(.) и fI(.) — строго вогнутые функции,

 

а t0, δ и k0 – это заданные параметры.

Можно получить решение этой задачи,  предположив, что в экономике существует свободная конкуренция. Подробное решение данной задачи приводится в монографии [1] (см.: Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория.).

 

ЗАМЕЧАНИЕ.

 

В заключение отметим, что модель экономического роста, предложенная  лауреатом Нобелевской премии Солоу,  позволяет более точно описать некоторые особенности макроэкономических процессов.

 

Во-первых, производственная функция в этой модели нелинейна и обладает свойством убывания предельной  производительности.

 

Во-вторых, модель учитывает выбытие основного  капитала.

 

В-третьих, в модель Солоу включается описание динамики трудовых ресурсов и технического прогресса и их влияние на  экономический рост.

 

В-четвертых, здесь ставится и решается задача максимизации уровня потребления на некотором множестве  устойчивых траекторий. Все это, конечно, усложняет структуру модели, и получение точных формул для траекторий изменения основных ее показателей становится существенно более сложной задачей.

 

Поэтому некоторые другие аспекты описываются в базовой модели Солоу упрощенно: например, считаются постоянными норма  сбережений и норма выбытия капитала, инвестиционные лаги  отсутствуют, а производственная функция имеет постоянную отдачу от  масштаба. Кроме того, на начальном уровне анализа модели ищутся не траектории изменения всех ее показателей (как в модели Харрода-Домара), а характеристики состояний устойчивого равновесия, к которым система выходит в долгосрочном периоде. С формальной точки зрения это представляет собой существенно более простую задачу.

 

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.

 

[1] Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. Пер. с англ. Г.И.Жуковой, Ф.Я. Кельмана– М.: Айрис-пресс, 2002. - 576 с.: ил. (Высшее образование).

 

[2] Колемаев В.А. Математическая экономика: Учебник для вузов. — 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. - 399 с.

[3] Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учебник. 4-е изд., испр. – М.: Дело, 2003. – 688 с.

 

[4] Фомин Г. П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности: Учебник. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Финансы и статистика, 2005. — 616 с: ил.

 

[5] Шикин Е. В., Чхартишвили А. Г. Математические методы и модели в управлении: Учеб. пособие. — 3-е изд. — М.: Дело, 2004. — 440 с. — (Серия «Классический университетский учебник»).