Математическое моделирование экономических систем. Линейные динамические модели макроэкономики с дискретным временем. Экономическая система как объект моделирования. Экономическая динамика и ее моделирование. Динамическая модель Кейнса. Модель Самуэльсона-Хикса. Динамическая модель Леонтьева.Модель Неймана

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии





Математическое моделирование экономических систем

 

Лекция 7

 

Тема лекции 7: «Линейные динамические модели макроэкономики с дискретным временем»

Разделы лекции:

 

1.  Экономическая система как объект моделирования.

2.  Экономическая динамика и ее моделирование.

3. Динамическая модель Кейнса. Модель Самуэльсона — Хикса. Динамическая модель Леонтьева. Модель Неймана.

РАЗДЕЛ 1.  ЭКОНОМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА КАК ОБЪЕКТ МОДЕЛИРОВАНИЯ.

 

ЧТО ОЗНАЧАЕТ ТЕРМИН СИСТЕМА?

 

Будем опираться на кибернетическую трактовку понятия системы. Под системой будем понимать множество взаимосвязанных элементов (неделимых частей системы) вместе с отношениями между  элементами и их атрибутами.

 

КАКИЕ ПРИЗНАКИ СИСТЕМЫ МОЖНО ВЫДЕЛИТЬ?

 

Можно выделить четыре признака системы:

 

1) целостность системы — принципиальную несводимость свойств системы к сумме свойств составляющих ее элементов и ее  относительную независимость от других аналогичных систем;

 

2) наличие цели и критерия исследования множества ее элементов;

 

3) наличие внешней среды, вмещающей систему;

 

4) возможность выделения подсистем или взаимосвязанных частей, представляющих собой по отдельности тоже системы.

 

В сложных динамических системах элементы связаны большим  числом причинно-следственных связей. Важной чертой сложных систем является подчинение их поведения закону адаптации (принцип Ле Шателье), согласно которому всякая система стремится измениться таким образом, чтобы свести к минимуму эффект внешнего  воздействия. При этом эколого-экономическим системам присущи конфликты, связанные с  краткосрочными и долгосрочными тенденциями  реакции этих систем. Например, максимизация выпуска продукции при заданных издержках в краткосрочном периоде приводит к ухудшению экологии в долгосрочном периоде.

 

Связи между элементами системы подразделяются па положительные и отрицательные — соответственно, если при прочих равных  условиях увеличение переменной А приводит к увеличению (соответственно, уменьшению) переменной В. Между элементами системы определяются контуры обратной связи с использованием понятий циклов  неориентированных графов и контуров в ориентированных графах.  Затем строятся причинно-следственные диаграммы, на совокупности которых основывается системно-динамическая модель и  определяются элементы модели и их взаимосвязи.

 

Таким образом, система — это совокупность взаимосвязанных элементов,   совместно реализующих определенные цели.

 

Надсистема – это окружающая систему среда, в которой функционирует система. 

Подсистема – это подмножество элементов, реализующих цели,   согласованные с целями системы (например, подсистема может осуществлять часть целей системы).

Основная цель экономики — обеспечение общества предметами потребления, в том числе такими, которые создают условия для безопасности общества. Экономика состоит из элементов –  хозяйственных единиц (предприятий, фирм, банков и т. п.).

 

Надсистема национальной экономки – это природа, мировая экономика и   общество, две ее главные подсистемы – производственная и финансово-кредитная.

 

КАКОВЫ ОСОБЕННОСТИ ЭКОНОМИКИ КАК ОБЪЕКТА МОДЕЛИРОВАНИЯ?

 

Необходимо обратить внимание на следующие две  особенности экономики как объекта моделирования:

1. В экономике невозможны модели подобия, которые широко применяются в технике. Например, в гидротехнике широко   используется следующий прием: строится точная копия гидроузла   (скажем, в масштабе 1:1000) и на этой копии отрабатываются с   необходимой корректировкой проектных решений все режимы работы гидроузла. Однако нельзя построить точную копию экономики в масштабе 1:1000 и на этой копии отрабатывать различные варианты экономической политики.

2. В экономике крайне ограничены возможности локальных экономических экспериментов, поскольку все ее части жестко взаимосвязаны друг с другом и, следовательно, «чистый»   эксперимент невозможен.

Что же остается? — Свой прошлый опыт, опыт других стран, прямые эксперименты со всей экономикой и... математическое  моделирование.

Опыт других стран и отечественный опыт трудно переоценить, но далеко не всегда он напрямую может быть перенесен в условия данной конкретной экономической ситуации.

КАКОВЫ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ СТОРОНЫ ПРЯМЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ С ЭКОНОМИКОЙ?

 

Прямые эксперименты с экономикой имеют как положительную, так и отрицательную стороны. Положительная сторона состоит в том, что сразу видны краткосрочные результаты проводимой   экономической политики. Отрицательная же сторона заключается в том, что невозможно напрямую предвидеть средне- и долгосрочные последствия принимаемых решений. Предвидеть их возможно лишь на основе концептуальных   моделей развития экономики, опирающихся на прошлый опыт. В свою очередь концептуальные модели и составляют фундамент   математических моделей.

КАКИЕ ФУНКЦИИ ВЫПОЛНЯЕТ ЭКОНОМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА КАК ПОДСИСТЕМА ПРИРОДЫ И ОБЩЕСТВА?

 

При выполнении своей главной функции экономическая   система осуществляет следующие действия: размещает ресурсы,   производит продукцию, распределяет предметы потребления и   осуществляет накопление (рисунок 1).

Рисунок 1. Экономика как подсистема природы и общества.

Будучи подсистемой человеческого общества, экономика в свою очередь — сложная система, состоящая из производственных   (товаропроизводящих) и непроизводственных (товаропроводящих,   финансовых и т. п.) ячеек или хозяйственных единиц, находящихся в производственно-технологических и (или) организационно-хозяйственных связях друг с другом.

 

По отношению к экономической системе каждый член   общества выступает в двоякой роли: с одной стороны, как потребитель, а с другой — как работник. Кроме рабочей силы, материальными   ресурсами являются природные ресурсы и средства производства.

Средства производства разделяются на   средства (орудия) труда, которые участвуют в нескольких   производственных циклах вплоть до их замены вследствие морального или   физического износа, и предметы труда, которые участвуют в одном производственном цикле.

Особое место среди средств производства занимает земля. Следует сразу обратить внимание на то, что речь идет об освоенных землях, в то время как земли, не вовлеченные в хозяйственный оборот,   являются природным ресурсом. Основная функция земли — участвовать в производстве сельскохозяйственной продукции. Поскольку земля   многократно участвует в производственных циклах, то в этом смысле   является средством труда, но вследствие того, что ее обрабатывают с  помощью орудий труда, то ее можно было бы отнести к предметам труда.

ЧТО ТАКОЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФОНДЫ?

 

Накопленные средства производства производственной сферы составляют производственные фонды, которые состоят из основных производственных фондов (т. е. накопленных средств труда) и основных оборотных фондов (т. е. накопленных предметов труда).

Основные производственные фонды (ОПФ) в течение длительного времени обслуживают процесс производства, сохраняют при этом свою натуральную форму и частично (в меру изнашивания)   участвуют в образовании стоимости производимого в данном году   продукта. Простое воспроизводство (восстановление) основных   производственных фондов осуществляется за счет амортизационных   отчислений, расширенное воспроизводство — за счет капитальных вложений (и частично за счет амортизационного фонда).

Оборотные фонды – это предметы труда, находящиеся в процессе производства, они состоят из производственных запасов и   предметов труда, которые входят в незавершенную продукцию. В результате функционирования экономики за год все отрасли материального производства (промышленность, сельское хозяйство, строительство, транспорт и т.п.) создают валовой внутренний   продукт (ВВП). В натурально-вещественной форме ВВП распадается на средства труда и предметы потребления, в стоимостной форме — на фонд возмещения выбытия основных фондов (амортизационный фонд) и вновь созданную стоимость (национальный доход).

В процессе создания ВВП производственная подсистема   экономики производит и вновь потребляет промежуточный продукт. По материально-вещественному составу промежуточный продукт — это предметы труда, использованные для текущего производственного потребления, их стоимость целиком переходит в стоимость средств труда или предметов потребления, входящих в ВВП.

Общая картина процессов производства, распределения,   накопления и потребления показана на рисунке 2.

 

Рисунок 2. Потоки продуктов и ресурсов в экономике.

 

В условиях специализации каждый первичный природный ресурс или вторичный ресурс претерпевают несколько преобразований   (переделов) в промежуточную продукцию, перед тем как стать составной частью предмета потребления или средства труда. Каждый такой   передел осуществляется в рамках специфических производственных ячеек.

Промежуточная продукция — это топливо, энергия, сырье,  материалы, комплектующие и  т.п.

 

 Например, рассмотрим следующую   цепочку переделов:

 

рудное тело — добытая руда — чугун — сталь —   металлопрокат — металлопродукция — продукция и комплектующие машиностроения.

 

В этой цепочке «рудное тело» — это природный   ресурс, «руда» — сырье, чугун, сталь, «металлопрокат» — материалы.

Следует обратить внимание на отсутствие абсолютно четкой   грани между промежуточным продуктом и предметом потребления. 

Например, цемент, проданный населению, является предметом   потребления, в то время как цемент, закупленный строительным   предприятием, — промежуточным продуктом. Следствием разделения труда является превращение продуктов труда в товары. В современном обществе роль специфического товара, всеобщего товарного эквивалента выполняют деньги. Финансово-кредитные учреждения (государственные и коммерческие банки, их   филиалы, страховые общества, различные фонды и т. п.) вместе с   бухгалтерскими службами хозяйственных единиц образуют финансово-кредитную подсистему экономической системы.

Основная функция финансово-кредитной подсистемы — так   регулировать финансовые потоки (идущие в противоположную   сторону по отношению к материальным потокам), чтобы обеспечить стабильный и справедливый обмен товарами и услугами как между хозяйственными единицами и их объединениями, так и между   отдельными членами общества, а также создать финансовые условия для развития производства. В этих условиях деньги и другие   ценные бумаги становятся важным финансовым ресурсом.

Нематериальным ресурсом наряду с финансами является профессионально-интеллектуальный потенциал общества.

ОСНОВУ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ СОСТАВЛЯЮТ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ЯЧЕЙКИ. Это заводы, фабрики, рудники, шахты, электростанции,   сельскохозяйственные и другие производственные предприятия и фирмы, обладающие хозяйственной самостоятельностью. Каждая   производственная ячейка обладает средствами труда, которые позволяют вести один или несколько производственных процессов. Поступающие на вход производственного процесса предметы труда перерабатываются в продукты труда, которые в свою очередь могут быть либо   предметами труда для другого производственного процесса или другой производственной ячейки, либо средствами труда, либо предметами потребления.

 

ЧТО ТАКОЕ ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ЯЧЕЙКА?

 

С организационно-хозяйственной точки зрения производственная ячейка — это самостоятельная хозяйственная единица, которая   обладает правом юридического лица, функционирует за счет своих средств, относительно самостоятельно распоряжается своими ресурсами   (средствами производства, рабочей силой и финансовыми средствами) и произведенной продукцией. Как самоуправляемая система   производственная ячейка состоит из управляемого объекта (рабочая сила и   производственный аппарат) и управляющей системы (например,   дирекция и заводоуправление, содержащее необходимые функциональные службы).

ЧТО ТАКОЕ ПРОИЗВОДСТВЕННО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ?

 

История развития общественного производства — это история   совершенствования техники и технологии и углубления разделения труда, т. е. все большей дифференциации функций хозяйственных   единиц. Специализированное производство более производительно,   поскольку при этом применяются более приспособленные к данному производству орудия труда и технологии, а работники, имея дело с ограниченным набором операций, выполняют их быстрее.

 

Как только отдельные производители в рамках замкнутого   человеческого общества стали производить разные предметы потребления и начали обмениваться ими между собой, возник рынок. Таким   образом, рынок — следствие, результат разделения труда. Следовательно, рыночная экономика присуща как феодальному строю и развитому   капитализму, так и централизованной системе. Различия заключаются в степени свободы и развитости рыночных отношений. В современных условиях не существует ни одной страны, в которой государство не регулировало бы (мягким или жестким образом, прямо или косвенно) деятельность хозяйственных единиц. Важно, чтобы соотношение между их свободой и государственным регулированием обеспечивало   наилучшие условия для развития производительных сил и повышения   благосостояния общества. Когда говорят, что данная страна имеет рыночную экономику, то под этим подразумевают мягкое, косвенное  регулирование экономики с помощью экономических рычагов.

Производственные ячейки и производственно-технологические связи между ними образуют производственно-технологическую структуру экономической системы. Эта структура является отражением процесса совершенствования технологии и углубления специализации, поэтому эволюционно меняется под воздействием научно-технического   прогресса. Особенно серьезные изменения в ней происходят в период структурной перестройки экономики.

 

В КАКОМ ВИДЕ МОЖНО ПРЕДСТАВИТЬ ПРОИЗВОДСТВЕННО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКУКЮ СТУРУКТУРУ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ?

 

Производственно-технологическую структуру можно представить в виде многослойного ориентированного графа, в узлах которого находятся производственные единицы. Входящие в узел дуги — это направления поставок средств производства   (предметов и средств труда) из других производственных ячеек, выходящие дуги — направления поставок продуктов труда, произведенных в   данной производственной ячейке. Товаропроводящие единицы могут выполнять свои функции при продвижении товаров от одного   производителя к другому или от производителей к потребителям.

В производственно-технологической структуре   производственные ячейки могут быть соединены как последовательно, так и   параллельно. Последовательное соединение двух производственных единиц состоит в том, что выход одной из них служит входом для другой. При таком соединении ячейки функционально дополняют друг друга, хотя могут и конкурировать за общие ресурсы. При параллельном соединении производственные ячейки производят одну и ту же продукцию, поэтому находятся в состоянии конкурентной борьбы за рынки сбыта и общие ресурсы. По отношению к одному продукту ячейки могут быть соединены параллельно, а по отношению к   другому — последовательно.

КАКИЕ ПРОЦЕССЫ ОСУЩЕСТВЛЯЮТСЯ ДЛЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ЯЧЕЕК?

 

Научно-технический прогресс и развитие общественных   потребностей приводили, и неизбежно будут приводить, к дальнейшему углублению специализации, все большей дифференциации функций хозяйственных единиц. Вместе с углублением специализации   происходит расчленение единых по своему конечному назначению   процессов производства конкретных продуктов потребления на все большее число отдельных относительно самостоятельных   процессов, реализуемых в разных хозяйственных единицах. При этом   усиливается зависимость отдельных хозяйственных звеньев друг от   друга, увеличивается зависимость достижения конечной цели от   надежности функционирования и взаимодействия звеньев между собой. Для обеспечения взаимодействия хозяйственных звеньев всегда осуществлялась, и будет осуществляться, их кооперация и интеграция.

ЧТО ТАКОЕ КООПЕРАЦИЯ, ИНТЕГРАЦИЯ ХОЗЙСТВЕННЫХ ЕДИНИЦ?

 

Кооперация заключается в установлении длительных связей по   поставкам продукции или оказанию услуг при сохранении   хозяйственной самостоятельности участниками кооперации. Высшая   форма кооперации — интеграция, которая заключается в объединении в той или иной форме самостоятельных хозяйственных единиц для достижения единого конечного результата.

ЧТО ЯВЛЯЕТСЯ ОСНОВОЙ ДЛЯ ОБРАЗОВАНИЯ ОБЪЕДИНЕНИЙ ХОЗЯЙСТВЕННЫХ ЕДИНИЦ?

 

Итак, ненадежность в производственно-технологическом   взаимодействии производственных единиц, конкуренция на рынках   товаров, денег и рабочей силы — объективная основа для образования объединений хозяйственных единиц (ассоциаций, концернов,   корпораций и т. п.).

В объединения могут входить, как последовательно, так и   параллельно, соединенные производственные единицы, а также   непроизводственные единицы. Объединение последовательно соединенных производственных ячеек позволяет установить контроль над   наиболее ненадежными элементами технологической цепочки. 

Объединение параллельно соединенных звеньев позволяет контролировать   рынок сбыта продукции. Как видим, при образовании объединений   настоятельно необходима регулирующая роль государства, которое в интересах потребителей не должно допускать чрезмерного монополизма на рынках товаров и услуг, а также на рынках рабочей силы и денег.

ЧТО ТАКОЕ ОРГАНИЗАЦИОННО-ХОЗЙСТВЕННАЯ СТРУКТУРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ?

 

Организационно-хозяйственная структура экономической   системы — это совокупность хозяйственных единиц и организационно-хозяйственных связей между ними. Если   производственно-технологические связи горизонтальны, то организационно-хозяйственные — вертикальны.

КАК МОЖНО ПРЕДСТАВИТЬ ОРГАНИЗАЦИОННО-ХОЗЯЙСТВЕННУЮ СТРУКТУРУ?

 

Организационно-хозяйственную структуру можно представить как многоэтажную надстройку над производственно-технологической   структурой:

 

- первый этаж — органы управления хозяйственных единиц и прямые вертикальные связи каждого органа управления со своей   единицей;

 

- второй этаж — органы управления объединений и вертикальные связи с органами управления соответствующих единиц;

 

- третий этаж — центральные органы управления экономической системой и их   вертикальные связи с органами управления первого и второго этажей.

В случае централизованного управления экономикой   вертикальные связи имели жесткий, директивный характер, при   децентрализованном управлении экономикой с возрастанием уровня   жесткость связи ослабевает.

РАЗДЕЛ 2.  ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА И ЕЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ.

 

Математическая экономика изучает свойства экономической динамики и равновесия с помощью математических моделей этих феноменов и точного исследования моделей. При этом получены условия положительного экономического роста и условия  равновесия экономики при различных предположениях о природе производства и распределения продуктов, о механизме рынка и установления цен, ренты и других экономических величин.

 

КАКОВЫ КЛАССИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ?

 

Классические модели математической экономики таковы:

 

1. Модель оптимального использования ограниченных  ресурсов в технологических способах. Это модель оптимального выбора.

 

2. Модель Леонтьева — модель межотраслевого баланса — как в статической, так и в динамической формах. Это модель прямых, косвенных и полных взаимосвязей подразделений экономики.

 

3. Теоретико-игровые модели.

 

4. Модель фон Неймана о росте капитала и натурального  производства, об образовании ценностей товаров и о  вычислении объективно обоснованной ренты.

 

5.Модели технологических множеств и теоремы о  магистралях как образцовых траекториях экономического  развития.

 

6. Модели равновесия: Вальраса, Эрроу, Дебре и других.

 

7. Модели обмена, в том числе международного.

 

8. Модели согласования предпочтений экономических  субъектов.

 

9. Модели прямого и расширенного воспроизводства  национальной экономики.

 

10. В настоящее время интенсивно развиваются модели  финансовой и актуарной математики, которые включают в себя в  качестве блоков математическую статистику и распознавание  образов.

 

11. Модели исследования операций являются граничащими с  математической экономикой моделями, они дополняют  теоретические исследования и позволяют строить и исследовать более практические модели — такие, например, как модели  управления запасами, модели календарного планирования и другие.

 

КАК В ЗАВИСИМОСТИ ОТ УЧЕТА ФАКТОРА ВРЕМЕНИ  МОЖНО КЛАССИФИЦИРОВАТЬ ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ НАУКОЙ И ПРАКТИКОЙ?

 

Задачи, решаемые экономической наукой и практикой, делятся, в зависимости от учета фактора времени, на

 

- статические задачи и 

 

- динамические задачи.

 

ЧТО ИЗУЧАЕТСЯ В СТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ ЭКОНОМИКИ?

 

Статика изучает состояния экономических объектов, относящиеся к определенному моменту или периоду времени, без учета изменения их параметров во времени.

 

ЧТО ИЗУЧАЕТСЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ ЭКОНОМИКИ?

 

В динамических задачах  отражается не только зависимость переменных от времени, но и их взаимосвязи во времени. Например, динамика инвестиций  определяет динамику величин основного капитала, что в свою очередь является важнейшим фактором изменения объема выпуска.

 

НА КАКИЕ ВИДЫ МОЖНО РАЗДЕЛИТЬ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ЭКОНОМИКИ?

 

Время в экономической динамике может рассматриваться как непрерывное или дискретное.

 

КАКОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ИСПОЛЬЗУЕТСЯ В МОДЕЛЯХ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ?

 

Непрерывное время удобно для  моделирования, так как позволяет использовать аппарат  дифференциального исчисления и дифференциальных уравнений.

 

КАКОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ИСПОЛЬЗУЕТСЯ В МОДЕЛЯХ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ?

 

Дискретное время удобно для приложений, поскольку статистические данные всегда дискретны и относятся к конкретным единицам времени. Для дискретного времени может использоваться аппарат  разностных уравнений.

 

Заметим, что большинство известных моделей  экономической динамики существуют, как в непрерывном, так и в дискретном вариантах. В обоих вариантах для них могут быть  получены, как правило, аналогичные результаты, и уровень сложности самих моделей примерно одинаков.

 

КАКОВЫ ПОКАЗАТЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ?

 

Показатели, характеризующие динамику экономического  объекта,  – это: 

 

- абсолютные приросты,

 

- темпы роста и

 

- темпы прироста.

ПРИМЕРЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В ЭКОНОМИКЕ, ОПИСЫВАЕМЫХ РАЗНОСТНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ.

 

Разностные уравнения имеют многочисленные приложения в моделях экономической динамики с дискретным временем. Напомним определение линейного разностного уравнения m-го порядка.

Разностное уравнение вида

a0(k)y(k +m) + a1(k) y(k+m–1) + ... + am(k) y(k) = f (k),                   (1)

где aj (k) и f(k) – известные функции, а y(k+j) – неизвестная функция от k ( j = 0, 1, 2, ..., m), причем

am(k) ≠ 0  и a0(k)≠0  не равны нулю ни при каком k,

 

называется линейным разностным уравнением m-го порядка.

В случае, когда коэффициенты a0, a1, ..., am являются константами, методы решения таких уравнений аналогичны методам решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Вместе с неоднородным уравнением

 

a0y(k +m) + a1 y(k+m–1) + ... + am y(k) = f (k),              (2)

рассматривается соответствующее однородное уравнение

a0y(k +m) + a1 y(k+m–1) + ... + am y(k) = 0.                   (3)

 

Для разностных уравнений (в частности, для линейных разностных уравнений), так же как и для их дифференциальных аналогов, определяются понятия общего и частного решений.

Общее решение уравнения (2) имеет вид

y(k) = φ(k, c1 , ..., cm),

где c1 , ..., cm – произвольные постоянные; их число равно порядку уравнения.

Частное решение уравнения (2) выделяется заданием значений функции y(k) в m произвольных, но расположенных подряд точках.

Так же как и для линейных дифференциальных уравнений, определяется понятие линейно независимой системы решений, доказывается, что общее решение уравнения (2) имеет вид:

y(k) = y0(k)  + ŷ(k),           (4)

где y0(k) – общее решение соответствующего однородного уравнения (3), а ŷ(k)  – некоторое частное решение исходного уравнения (2).

ПРИМЕР. ПАУТИННАЯ МОДЕЛЬ РЫНКА.

При помощи разностных уравнений можно дать трактовку процессов сходимости и расходимости в паутинных моделях рынка. Для упрощения выкладок предположим, что спрос и предложение задаются линейными функциями, но при этом спрос зависит от цены в данный момент времени, а предложение зависит от цены на предыдущем этапе, то есть:

dt = a – bpt ,           st = m + npt−1 ,        (5)           

где a,  b,  m,  n − положительные действительные числа.

Таким образом, если st = dt , то из (5) получим соотношение

 

a − m = bpt + npt−1 .                 (6) 

 

Уравнение (6) представляет собой линейное разностное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами.

 

В качестве частного решения можно использовать равновесное решение:

 

pt = P' = const .       (7)     

Действительно, подставив выражение для pt   из формулы (7) в (6), легко получить, что частное решение имеет вид:

P' = (a – m)/ (b + n)    .      (8)      

Решая характеристическое уравнение

bλ + n = 0 ,

находим   

λ = (– n)/b .

 

Следовательно:

pt = C 1 ((– n)/b)t  + (a – m)/ (b + n) .        (9)      

Таким образом, из (9)  вытекает, что динамика цен носит колебательный характер.

При этом,

 

если n < b , то последовательность цен {pt} будет сходиться к равновесному состоянию;

 

если n > b , то с течением времени последовательность {pt} будет удаляться от равновесного состояния;

 

если же n = b, то будут иметь место циклические колебания цены относительно равновесного состояния.

 

ЗАДАЧА ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ТЕКУЩЕЙ СТОИМОСТИ КУПОННОЙ ОБЛИГАЦИИ.

Введем следующие обозначения. 

 

F – номинальная стоимость купонной облигации (т.е. денежная сумма, выплачиваемая эмитентом в момент погашения, совпадающего с концом последнего купонного периода);

 

K – величина купона (т.е. денежная сумма, выплачиваемая в конце каждого купонного периода);

 

P(n) – текущая стоимость облигации в конце n -го купонного периода;

 

k – число купонных периодов;

r – процентная ставка за один купонный период, выраженная в частях (предполагается, что она неизменна в течение всего срока обращения облигации).

Вышеперечисленные величины связаны между собой следующими соотношениями:

P(k) = F  ;              (10)     

P (n+1) + K = (1+ r)P(n)  .        (11)       

 

Таким образом, задача об определении текущей стоимости купонной облигации сводится к решению задачи Коши (10), (11) для неоднородного линейного разностного уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами. В качестве частного решения выберем равновесное решение:

P (n+1) = P(n) = P* .           (12)      

Подставив выражение для P(n) из формулы (12) в (11), получаем:

P* = K/r   .      (13)        

Заметим, что величина K/r есть не что иное, как текущая стоимость бесконечной ренты, т.е. сумма, которую необходимо уплатить в настоящий момент, чтобы в течение бесконечно длительного времени получать сумму K через каждый промежуток времени t при процентной ставке r. Действительно:

K/r = K/(1+r)  +   K/(1+r)2  +  K/(1+r)3  + …

В справедливости этого равенства легко убедиться, посчитав сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, находящейся в правой части формулы.

Решив характеристическое уравнение

λ − (1+r) = 0 ,

находим:

P(n) = C (1+r)n + (K/r) .  (14)     

Полагая в соотношениях (14)  n = k и учитывая (11), имеем:

C = (F – K/r ) (1+r) –k .  (15)    

Из (14) в силу (15) следует, что последовательность P(n) будет возрастающей, если номинальная стоимость облигации выше, чем стоимость бесконечной ренты, убывающей, если она меньше, и постоянной, если они равны.

 

РАЗДЕЛ 3. ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КЕЙНСА. МОДЕЛЬ САМУЭЛЬСОНА — ХИКСА. ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА. МОДЕЛЬ НЕЙМАНА.

 

Разработка математических моделей чрезвычайно трудоемка, и гораздо труднее достаточно адекватной реальности модели. Следует напомнить, что модель Кейнса, отражающая возможности   рыночной экономики адаптироваться к возмущающим воздействиям,   была построена лишь под впечатлением жестоких ударов тяжелейшего кризиса 1929—1933 гг. Однако применение этой модели для выхода из послевоенного кризиса в Германии и Японии было весьма   успешным и получило название «экономического чуда».

 

Таким образом, для выработки правильных экономических  решений необходим скрупулезный учет, как всего прошлого опыта, так и результатов, полученных по концептуальным и математическим моделям, наиболее адекватным данной экономической ситуации.

Как мы уже отметили выше, при системном исследовании экономики с помощью   математических моделей выделяют макро- и микромодели: первые отражают функционирование и развитие всей экономической системы или ее достаточно крупных подсистем, вторые — функционирование   хозяйственных единиц и их объединений. Если речь идет о макромоделях, то хозяйственные ячейки   считаются неделимыми. К крупным подсистемам можно отнести: первое и второе подразделения народного хозяйства, отрасли народного хозяйства,   межотраслевые народнохозяйственные комплексы.

Поскольку исторически длительное время ведущей отраслью   экономики было сельское хозяйство, а его производственный цикл равен году, то традиционно итоги хозяйственной деятельности как на макро-, так и на микроуровнях подводят за год. При переходе к более   дробным единицам времени (кварталу, месяцу) все показатели типа потока (валовой выпуск, валовой внутренний продукт, национальный доход, инвестиции и т. п.) пересчитываются в годовые.

 

При описании моделей мы будем рассматривать в этом разделе лекции время как дискретное,  с шагом в один год, хотя шаг может быть и меньшим.

 

ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КЕЙНСА.

Согласно постулату Кейнса, выведенному из уроков кризиса 1929—1934 гг., «предприниматели производят не столько, сколько захотят, но столько, каков спрос». Если предположить, что спрос будущего года формируется в текущем году, то предприниматели спланируют производство будущего года в соответствии с  прогнозируемым спросом. В рассматриваемой модели роль единственной эндогенной   переменной Y, изменяющейся во времени, выполняет валовой   внутренний продукт (ВВП), т. е. объем производства товаров конечного пользования. ВВП состоит из четырех частей:

 

- фонд   непроизводственного потребления С;

 

- валовые частные внутренние инвестиции I;

 

- государственные расходы на закупку товаров и услуг G;

 

- чистый  экспорт Е.

 

В модели экономика считается закрытой, поэтому чистый экспорт равен нулю E=0, а государственные расходы распределяются на потребление и накопление, поэтому принимается:

Y=C+I.

В этой модели предполагается, что ВВП  Yt+1  в следующем году равен совокупному спросу предыдущего (текущего) года, а совокупный спрос, состоящий из спроса на потребительские (С) и инвестиционные (I) товары, зависит только от ВВП текущего года. В модели предполагается, что спрос на инвестиционные товары постоянен, а спрос на потребительские товары в будущем году есть линейная функция ВВП текущего года.

Динамическая модель Кейнса возникает, если приравнять   планируемый выпуск товаров конечного пользования прогнозируемому спросу на них:

Yt+1= Ĉ +cYt+I,   (3.1)

 

где Ĉ – нижняя граница фонда непроизводственного потребления; 0<с<1 — предельная склонность к потреблению.

 

Эта модель может применяться только для анализа и   краткосрочного прогнозирования поведения экономики. Она непригодна для долгосрочного прогнозирования, поскольку не отражает   воспроизводственный процесс, в частности, в ней не учтено выбытие фондов в связи с их физическим и моральным износом.

С математической точки зрения модель (3.1) является   линейным конечно-разностным уравнением первого порядка.

 

МОДЕЛЬ САМУЭЛЬСОНА — ХИКСА.

Отличие модели Самуэльсона—Хикса от динамической модели Кейнса состоит в отказе от постоянства инвестиций и введении их переменной части, которая пропорциональна приросту ВВП  текущего года по сравнению с прошлым годом:

Yt+1= Ĉ +c∙Yt+ r∙(Yt – Yt-1) +I,   (3.2)

 

где r – коэффициент акселерации (ускорения), 0<r<1.

С математической точки зрения модель Самуэльсона—Хикса (3.2) – линейное конечно-разностное уравнение второго порядка. Его решение можно найти с помощью преобразования Лорана.

 

И динамическая модель Кейнса,  и модель Самуэльсона—Хикса, являются моделями  «Кейнсианского» типа, так как основаны на равенстве планируемого   предложения прогнозируемому спросу. Эти модели не отражают   воспроизводственный процесс, поэтому могут быть использованы только для оперативного прогнозирования.

 

В заключение рассмотрим следующие  модели   макроэкономики как линейной многосвязной динамической системы с   дискретным временем. Это динамическая модель Леонтьева и модель Неймана как обобщение первой. В динамической модели   межотраслевого баланса Леонтьева отражен воспроизводственный   процесс, поэтому она применима для исследования поведения   экономической системы на достаточно длительных интервалах времени при сохранении технологического уклада. Для отражения научно-технического прогресса эти модели непригодны.

 

ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА.

Рассмотрим экономику, имеющую в своем составе n отраслей и производящую и потребляющую n типов   продуктов (товаров). Каждая отрасль производит один продукт, разные отрасли производят разные продукты. Коэффициенты aij матрицы прямых затрат

 

A=||aij||

 

по-прежнему не зависят от времени и   масштаба производства.

 

Время в модели дискретно и изменяется через промежутки, равные году, t = , ..., Т.  Поскольку модель будет представлена в матричной форме, то нижний индекс будем использовать как номер года.

В модели применяются следующие переменные,   характеризующие состояние экономики в динамике (всего (3n+1) переменная):

xt — вектор-столбец валовых выпусков отраслей;

`xt — вектор-столбец отраслевых мощностей (максимально   возможных выпусков);

vt — вектор ввода мощностей;

Lt — трудовые ресурсы.

Кроме того, заданы следующие матрицы с постоянными   коэффициентами:

 

 

B=||bij|| - матрица фондоемкости (размера (n x n));

с=(с1, с2, …, сn)T — вектор-столбец потребления в  расчете на одного занятого (размера (n x 1));

l=(l1, l2, …, ln) – вектор-строка трудоемкости (размера (1 x n)).

В указанных обозначениях модель записывается следующим образом:

xtAxt+Bvt+Ltc;   (3.3)

xt≤`xt-1;                     (3.4)

`xt ≤`xt-1 +vt;            (3.5)

lxtLt;                     (3.6)

xt≥0, `xt≥0, vt≥0, Lt≥0;

t=1, 2, …, T.

Неравенства (3.3) показывают, что общий валовой выпуск продуктов xt должен покрывать текущие производственные затраты (Axt), затраты продукции на расширение производственных   мощностей (Bvt) и на непроизводственное потребление (Ltc).

Неравенства  (3.4) ограничивают валовые выпуски отраслей наличными мощностями. Неравенства  (3.5) представляют собой отраслевые балансы мощностей с учетом их выбытия и ввода.   Неравенства (3.6) ограничивают выпуски отраслей имеющимися   трудовыми ресурсами.

В представленной модели лаг капиталовложений равен одному году: инвестиции, сделанные в год t, начинают работать в год (t+1) [см. неравенства (3.4), (3.5)].

 

МОДЕЛЬ НЕЙМАНА.

 

Модель Неймана является в определенной мере обобщенной   моделью Леонтьева, поскольку допускает производство одного продукта   разными способами (в модели Леонтьева каждая отрасль производит один продукт и никакая другая отрасль не может производить этот продукт).

 

В модели представлено n продуктов и m способов их производства. Каждый j-й способ представлен вектором-столбцом затрат aj, и вектором-столбцом выпусков bj в расчете на единицу интенсивности процесса.

Из векторов затрат и выпуска образуются матрицы затрат и выпуска:

 

A=(a1, a2, …, am),

 

B=(b1, b2, …, bm).

Коэффициенты затрат аij и выпуска bij, разумеется,  неотрицательны. Естественно предположить, что для реализации любого процесса необходимы затраты хотя бы одного продукта, т. е. для каждого j найдется хотя бы одно i такое, что

aij>0,  (3.7)

и каждый продукт может быть произведен хотя бы одним способом, т. е. для каждого i существует некоторое j, такое, что

bij>0.     (3.8)

Из (3.7), (3.8) следует, что каждый столбец матрицы А и   каждая строка матрицы В должны иметь по крайней мере один положительный элемент.

Обозначим, как и ранее, через xt неотрицательный вектор-столбец интенсивности производственных процессов:

xt=(x1(t), x2(t), …, xm(t))T,

 

а через pt – вектор-строку неотрицательных цен:

pt=(p1(t), p2(t), …, pn(t)).

 

Вектор

 

уt=Axt

 

 – это вектор затрат при заданном векторе интенсивности процессов хt;

 

вектор

 

zt=B∙xt

 

– это вектор выпусков.

Модель Неймана описывает замкнутую экономику в том   смысле, что для производства продукции в следующем   производственном цикле (в год t) расходуется продукция, произведенная в  предыдущем производственном цикле, т. е. в год (t – 1):

A∙xt≤ B∙xt-1,  xt≥0;  t=1, 2, ...,T,    (3.9)

при этом предполагается, что задан первоначальный вектор запасов

B∙x0≥0, B∙x0≠0.

Система (3.9) – это модель Неймана в натуральной форме.

Такова и унифицированная форма (3.9) модели динамического межотраслевого баланса.

Модель Неймана в форме (3.9) имеет скорее теоретический, чем практический характер: в ней в явном виде не отражены  накопление и непроизводственное потребление. Но в общем случае вектор переменных модели xt может быть, вообще говоря, расщеплен на части, отражающие накопление и непроизводственное потребление, а вслед за этим и вся модель претерпит такое же расщепление.

 

 

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.

 

[1] Занг В.-Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. Пер. с англ. – М.: Мир, 1999. - 335 с.: ил.

 

[2] Колемаев В.А. Математическая экономика: Учебник для вузов. — 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. - 399 с.

[3] Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учебник. 4-е изд., испр. – М.: Дело, 2003. – 688 с.

 

[4] Фомин Г. П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности: Учебник. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Финансы и статистика, 2005. — 616 с: ил.

 

[5] Шикин Е. В., Чхартишвили А. Г. Математические методы и модели в управлении: Учеб. пособие. — 3-е изд. — М.: Дело, 2004. — 440 с. — (Серия «Классический университетский учебник»).