Скалярное произведение. Векторное и смешанное произведение. Линии и поверхности первого порядка. Понятие об уравнениях линии и поверхности. Уравнение прямой на плоскости. Уравнение плоскости в пространстве. Прямая в пространстве. Проекции вектора и координаты.

Решение задач и выполнение научно-исследовательских разработок: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org    
математика, IT, информатика, программирование, статистика, биостатистика, экономика, психология
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии



Аффинная система координат – прямолинейная система координат в аффинном пространстве. Аффинная система координат на плоскости задается упорядоченной парой неколлинеарных векторов (аффинный базис) и точкой О (начало координат). Прямые, проходящие через точку О параллельно векторам базиса, называются осями координат. Векторы задают на осях координат положительное направление. Ось, параллельная вектору, называется осью абсцисс, а параллельная вектору - осью ординат. Аффинными координатами точки М называется упорядоченная пара чисел (x, y), которые являются коэффициентами разложения вектора ОМ по векторам базиса: Первое из этих чисел x называется абсциссой, а второе y – ординатой точки М.

Аффинное пространство над полем  k – множество (элементы которого называются точками аффинного пространства), которому сопоставлены векторное пространство   L над k и отображение множества в пространстве L, обладающее свойствами:  для любой фиксированной точки а отображение,  , является биекцией  А на L, для любых точек a, b, c  выполняется соотношение Шаля: - нулевой вектор.

Базис – совокупность трех (двух) линейно независимых векторов трехмерного пространства (плоскости), взятых в определенном порядке.

Базис ортонормированный – состоящий из единичных взаимно перпендикулярных векторов (ортов).

Вектор геометрический – направленный отрезок прямой евклидова пространства, у которого один конец называется началом вектора, другой – концом вектора.

Вектор свободный – равные векторы, имеющие равные модули и одинаково направленные.

Векторное пространство  - множество всех векторов пространства с введенными в нем операциями сложения и умножения на число.

Векторы коллинеарные – если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Векторы компланарные  - если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Векторов линейная комбинация – называется соотношение вида, где числа, из которых хотя бы одно отлично от нуля.

Векторы линейно зависимые – если существуют числа, из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что справедливо равенство.

Векторы линейно независимы – если из равенства следует, что числа равны нулю.

Векторы ортогональные – единичные взаимно перпендикулярные векторы.

Векторы равные – если имеют равные модули и одинаково направлены.

Гипербола – плоская кривая, получающаяся в пересечении кругового конуса с плоскостью, не проходящей через вершину конуса и пересекающей обе его полости. Гипербола есть множество точек М плоскости, модуль разности расстояний которых до двух данных точек   постоянен и равен 2а.

Гиперболоид – незамкнутая центральная поверхность второго порядка.

Гиперболоид однополостный -.

Гиперболоид двуполостный -.

Движение – преобразование пространства, сохраняющее геометрические свойства фигур (размеры, форму и т. д.)

Декартовы прямоугольные координаты – координаты векторов в базисе, состоящем из единичных взаимно перпендикулярных векторов (ортов).

Диаметр – 1) Диаметр линии второго порядка – прямая, проходящая через середины параллельных хорд.

2) Диаметр множества в метрическом пространстве – точная верхняя грань расстояний между парами точек множества.

Конические сечения – линии, которые получаются сечением прямого кругового конуса плоскостями, не проходящими через его вершину.

Конус действительный – поверхность второго порядка, имеющая вид .

Конус мнимый – поверхность второго порядка, имеющая вид .

Координаты вектора – числа, удовлетворяющие уравнению. Обозначаются.

Косинусы направляющие – косинусы углов вектора с векторами базиса i, j, k:

Линейные операции над векторами – простейшие операции над векторами такие как: операция сложения векторов и умножения вектора на число.

     Суммой a + b векторов a и b называется вектор, проведенный из начала а к концу b, если конец а и начало b совмещены.

     Произведением  вектора а  на числов случае, называется вектор, модуль которого равен и который направлен в ту же сторону, что и вектор а, если, и в противоположную, если. Если или (и) а = 0, то.

Линии второго порядка – плоская линия, декартовы прямоугольные координаты которой удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени.

      Инварианты – выражения, составленные из коэффициентов уравнения, значения которых не меняются при параллельном переносе и повороте системы координат ():.

      Нецентральная линия – линия второго порядка без центра симметрии или с неопределенным центром.

      Центральная линия – линия второго порядка, имеющая единственный центр симметрии.

Модуль вектора – длина отрезка АВ. Обозначается |а|.

Однородные координаты – координаты, обладающие тем свойством, что определяемый ими объект не меняется при умножении всех координат на одно и то же число.

Парабола – плоская кривая, получающаяся в пересечении кругового конуса с плоскостью, не проходящей через вершину конуса и параллельной его образующей.

Параболоид – незамкнутая нецентральная поверхность второго порядка.

 

Параболоид гиперболический – незамкнутая нецентральная поверхность второго порядка. Уравнение гиперболического параболоида имеет вид:

Параболоид эллиптический - незамкнутая нецентральная поверхность второго порядка. Уравнение эллиптического параболоида имеет вид:  .

Плоскость – одно из основных понятий геометрии; косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Плоскость может рассматриваться как совокупность двух непересекающихся множеств.

       Плоскости нормальный вектор – вектор N{A, B, C} для плоскости

AX + By + Cz +D = 0.

Поверхность второго порядка – множество точек 3-мерного действительного пространства, координаты которых в декартовой системе удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени  .

       Нецентральная – поверхность второго порядка без центра симметрии или с неопределенным центром.

       Центральная – поверхность второго порядка, имеющая единственный центр симметрии.

Преобразование аффинное – взаимно однозначное точечное отображение плоскости или пространства на себя, при котором трем точкам, лежащим на одной прямой, ответствуют три точки, также лежащие на одной прямой.

       Линейное – отображение векторного пространства в себя, при котором образом суммы двух векторов является сумма их образов, а образом произведения вектора на число – произведение образа вектора на это число.

       Ортогональное – линейное преобразование А евклидова пространства, сохраняющее длины или скалярное произведение векторов.

Проективная классификация линий второго порядка – невырождающиеся линии:

 действительный овал,

 мнимый овал,

вырождающиеся линии:

 пара действительных прямых,

 пара мнимых прямых,

 пара совпадающих прямых.

Проективное пространство – совокупность всех пространств инцидентностной структуры, где элементы множества P называются точками, а элементы множества L – прямыми, I – отношение инцидентности.

Проективные координаты – взаимно однозначное соответствие между элементами проективного пространства и классами эквивалентных упорядоченных конечных подмножеств элементов тела K.

Произведением векторным ненулевых и неколлинеарных векторов а и b называется вектор, модуль которого равен произведению их модулей на синус угламежду ними, перпендикулярный а и b и направленный так, что тройка векторов a, b, [a, b] – правая:

Произведение двойное векторное – вектор, компланарный векторам b и с. Обозначается .

Произведением скалярным (a, b) ненулевых векторов а и b называется произведение их модулей на косинус угла между ними: 

Произведением смешанным (a, b, c) векторов a, b, c называется скалярное произведение вектора а на векторное произведение векторов b и c: 

Пучок плоскостей – множество всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую.

Пучок прямых – множество всех прямых, проходящих через одну и ту же точку.

Тройка векторов a, b, c правая, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов a, b, c в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. 

Тройка векторов a, b, c левая – обход против часовой стрелки.

Уравнения линий второго порядка – нераспадающиеся линии:

 эллипсы,

 гиперболы,

 параболы,

 мнимые эллипсы,

распадающиеся линии:

 пары мнимых пересекающихся прямых,

 пары действительных пересекающихся прямых,

 пары мнимых параллельных прямых,

 пары совпадающих действительных прямых.

Уравнения поверхностей второго порядка – невырождающиеся нераспадающиеся поверхности:

 эллипсоид,

 мнимый эллипсоид,

 однополостный гиперболоид,

 двуполостный гиперболоид,

 эллиптический параболоид,

 гиперболический параболоид;

вырождающиеся нераспадающиеся поверхности:

цилиндрические поверхности -

 эллиптический цилиндр,

 мнимый эллиптический цилиндр,

 гиперболический цилиндр,

 параболический цилиндр;

конические поверхности –

 коническая поверхность,

 мнимая коническая поверхность;

вырождающиеся распадающиеся поверхности:

пара пересекающихся плоскостей,

 пара мнимых пересекающихся плоскостей,

 пара параллельных плоскостей,

 пара мнимых параллельных плоскостей,

 пара совпадающих плоскостей.

Центр линии – центр симметрии линии второго порядка.

Цилиндр – тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими ее.

Цилиндр гиперболический – цилиндрическая поверхность второго порядка, для которой направляющей служит гипербола. Каноническое уравнение гиперболического цилиндра выглядит следующим образом:

Цилиндр параболический – цилиндрическая поверхность второго порядка, для которой направляющей служит парабола. Каноническое уравнение имеет вид:.

Цилиндр эллиптический - цилиндрическая поверхность второго порядка, для которой направляющей служит эллипс. Каноническое уравнение имеет вид:.

Эллипс – плоская кривая, получающаяся в пересечении кругового конуса с плоскостью, не проходящей через вершину конуса и пересекающей все его образующие в точках одной его полости.

Эллипсоид – замкнутая центральная поверхность второго порядка. Каноническое уравнение эллипсоида имеет вид:.

 

Эллипсоид мнимый - замкнутая центральная поверхность второго порядка. Каноническое уравнение имеет вид:.

© www.Bodrenko.org: Irina I. Bodrenko. All rights reserved. 2018
© www.Bodrenko.org: Бодренко Ирина Ивановна. Все права защищены. 2018