Аналитическая геометрия. Основные понятия

Скалярное произведение. Векторное и смешанное произведение. Линии и поверхности первого порядка. Понятие об уравнениях линии и поверхности. Уравнение прямой на плоскости. Уравнение плоскости в пространстве. Прямая в пространстве. Проекции вектора и координаты.

Решение задач и выполнение научно-исследовательских разработок: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
математика, IT, информатика, программирование, статистика, биостатистика, экономика, психология
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия - раздел геометрии. Основными понятиями аналитической геометрии являются простейшие геометрические образы (точки, прямые, плоскости, кривые и поверхности 2 - го порядка). Основными средствами исследования в аналитической геометрии служат метод координат и методы элементарной алгебры. Возникновение метода координат тесно связано с бурным развитием астрономии, механики и техники в 17 веке. Отчетливое и исчерпывающее изложение этого метода и основ аналитической геометрии было сделано Р. Декартом в его "Геометрии" (1637). Основные идеи метода были известны также его современнику П. Ферма. Дальнейшая разработка аналитической геометрии связана с трудами Г. Лейбница, И. Ньютона и особенно Л. Эйлера. Средствами аналитической геометрии пользовался Ж. Лагранж при построении аналитической механики, Г. Монж в дифференциальной геометрии. Ныне аналитическая геометрия не имеет самостоятельного значения как наука, однако ее методы широко применяются в различных разделах математики, механики, физики и т.д..

Сущность метода координат заключается в следующем. Рассмотрим, например, на плоскости π две взаимно перпендикулярные прямые Ox и Oy. Эти прямые с указанным на них направлением, началом координат O и выбранной масштабной единицей e образуют так называемую декартову прямоугольную систему координат Oxy на плоскости. Прямые Ox и Oy называются соответственно осью абсцисс и осью ординат. Положение любой точки М на плоскости по отношению к этой системе Oxy можно определить следующим образом. Пусть M_x и M_y - проекции М на Ox и Oy, а числа x и y - величины отрезков OM_x и OM_y (величина x отрезка OM_x, например, равна длине этого отрезка, взятой со знаком плюс, если направление от О к M_x совпадает с направлением на прямой Ox, и со знаком минус - в противоположном случае). Числа x (абсцисса) и y (ордината) называются декартовыми прямоугольными координатами точки М в системе Oxy. Для обозначения точки М с абсциссой x и ординатой y пользуются символом М(x, y). Ясно, что координаты точки М определяют ее положение относительно системы Oxy.

Пусть на плоскости π с данной декартовой прямоугольной системой коодинат Oxy задана некоторая линия L. Использую понятие координат точек, можно ввести понятие уравнения данной линии L относительно системы Oxy как отношения вида F(x, y) = 0, которому удовлетворяют координаты x и y любой точки М, расположенной на L, и не удовлетворяют координаты каждой точки, не лежащей на L.

Основная идея метода координат на плоскости состоит в том, что геометрические свойства линии L выясняются путем изучения аналитическими и алгебраическими средствами свойств уравнения F(x, y) = 0 этой линии. Например, геометрический вопрос о числе точек пересечения прямой и окружности сводится к аналитическому вопросу о числе решений алгебраической системы уравнений прямой и окружности.

В аналитической геометрии на плоскостиподробно изучаются геометрические свойства эллипса, гиперболы и параболы, представляющих собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину.

В аналитической геометрии на плоскости систематически исследуются так называемые алгебраические линии 1 - го и 2 - го порядков; эти линии вдекартовых прямоугольных координатах определяются соответственно алгебраическими уравнениями 1 - й и 2 - й степеней. Линии 1 - го порядка суть прямые и обратно, каждая прямая определяется алгебраическим уравнением 1 - й степени Ax + By + C = 0. Линии 2 - го порядка определяются уравнениями вида Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0. Основной метод исследования и классификации этих линий заключается в подборе такой декартовой прямоугольной системы координат, в которой уравнение линии имеет наиболее простой вид, и последующем исследовании этого простого уравнения.

В аналитической геометрнии в пространстве декартовы прямоугольные координаты x, y, z (абсцисса, ордината и аппликата) точки М вводятся в полнной аналогии с плоским случаем. Каждой поверхности S в пространстве можно сопоставить ее уравнение F(x, y, z) = 0относительно системы координат Oxyz. При этом геометрические свойства поверхности S выясняются путем изучения аналитическими и алгебраическими средствами свойств уравнения этой поверхности. Линию L в пространстве задают как линию пересечения двух поверхностей S₁ и S₂. Если F₁(x, y, z) = 0 и F₂(x, y, z) = 0 - уравнения S₁ и S₂, то пара этих уравнений, рассматриваемая совместно, представляет собой уравнение линии L. Например, прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей. В аналитической геометрии в пространстве систематически исследуются так называемые алгебраические поверхности 1 - го и 2 - г порядков. Выясняется, что алгебраическими поверхностями 1 - го порядка являются лишь плоскости. Поверхности 2 - го порядка определяются уравнениями вида: Ax² + By² + Cz² + Dxy + Eyz + Fzx + Gx + Hy + Mz + N = 0.

Основной метод исследования и классификации этих поверхностей заключается в подборе такой декартовой прямоугольной системы координат, в которой уравнение поверхности имеет наиболее простой вид, и последующемисследовании этого простого уравнения.