Аналитическая геометрия. Ортогональные преобразования

Аффинные преобразования пространства. Ортогональные преобразования. Проективные координаты. Координаты прямой. Пучки прямых. Однородные аффинные координаты. Пучки плоскостей. Линейные преобразования. Линейные преобразования плоскости. Аффинные преобразования плоскости.

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии

Аналитическая геометрия Bodrenko.com
Bodrenko.org
9.6 Ортогональные преобразования.

Линейное преобразование на плоскости

(9.6.1)

называется ортогональным, если выполняются соотношения

a²₁₁ + a²₂₁ = 1, a²₁₂ + a²₂₂ = 1, a₁₁a₁₂ + a₂₁a₂₂ = 0. (9.6.2)

Из соотношения (9.6.2) следует, что

Поэтому ортогональное преобразование всегда является аффинным.
Теорема 9.4. При ортогональных преобразованиях сохраняются расстояния между точками.
Доказательство. Пусть точки M₁(x₁, y₁) и M₂(x₂, y₂) посредством ортогонального преобразования (9.6.1) переводятся соответствено в точки M^'₁ (x^'₁, y^'₁) и M^'₂(x^'₂, y^'₂). Требуется доказать, что отрезки M₁M₂ и M^'₁M^'₂ имеют равные длины. С помощью формул (9.6.1) и (9.6.2) получаем

Итак, |M₁M₂| = |M^'₁M^'₂|. Теорема доказана.
    Замечание.Так как при ортогональных преобразованиях расстояния сохраняются, то любая фигура на плоскости преобразуется в равную ей фигуру.
        Свойства ортогонального преобразования.
        1. Последовательное выполнение двух ортогональных преобразований есть ортогональное преобразование.
        2. Тождественное преобразование x^' = x, y^' = y является ортогональным преобразованием.
        3. Преобразование, обратное ортогональному, также является ортогональным.
       Линейное преобразование в пространстве

(9.6.3)

называется ортогональным, если выполняются соотношения

(9.6.4)

       Ортогональные преобразования являются аффинными. Справедливо следующее основное свойство ортогональных преобразований: при таких преобразованиях сохраняются расстояния между точками.
        Свойства ортогональных преобразований в пространстве.
        1. Последовательное выполнение ортогональных преобразований является ортогональным преобразованием.
        2. Тождественное преобразование x^' = x, y^' = y, z^' = z - ортогональное преобразование.
        3. Преобразование, обратное ортогональному, также является ортогональным.