Аналитическая геометрия. Ортогональные преобразования

Аффинные преобразования пространства. Ортогональные преобразования. Проективные координаты. Координаты прямой. Пучки прямых. Однородные аффинные координаты. Пучки плоскостей. Линейные преобразования. Линейные преобразования плоскости. Аффинные преобразования плоскости.

Решение задач и выполнение научно-исследовательских разработок: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
математика, IT, информатика, программирование, статистика, биостатистика, экономика, психология
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии

Аналитическая геометрия Bodrenko.com
Bodrenko.org
9.6 Ортогональные преобразования.

Линейное преобразование на плоскости

(9.6.1)

называется ортогональным, если выполняются соотношения

a²₁₁ + a²₂₁ = 1, a²₁₂ + a²₂₂ = 1, a₁₁a₁₂ + a₂₁a₂₂ = 0. (9.6.2)

Из соотношения (9.6.2) следует, что

Поэтому ортогональное преобразование всегда является аффинным.
Теорема 9.4. При ортогональных преобразованиях сохраняются расстояния между точками.
Доказательство. Пусть точки M₁(x₁, y₁) и M₂(x₂, y₂) посредством ортогонального преобразования (9.6.1) переводятся соответствено в точки M^'₁ (x^'₁, y^'₁) и M^'₂(x^'₂, y^'₂). Требуется доказать, что отрезки M₁M₂ и M^'₁M^'₂ имеют равные длины. С помощью формул (9.6.1) и (9.6.2) получаем

Итак, |M₁M₂| = |M^'₁M^'₂|. Теорема доказана.
    Замечание.Так как при ортогональных преобразованиях расстояния сохраняются, то любая фигура на плоскости преобразуется в равную ей фигуру.
        Свойства ортогонального преобразования.
        1. Последовательное выполнение двух ортогональных преобразований есть ортогональное преобразование.
        2. Тождественное преобразование x^' = x, y^' = y является ортогональным преобразованием.
        3. Преобразование, обратное ортогональному, также является ортогональным.
       Линейное преобразование в пространстве

(9.6.3)

называется ортогональным, если выполняются соотношения

(9.6.4)

       Ортогональные преобразования являются аффинными. Справедливо следующее основное свойство ортогональных преобразований: при таких преобразованиях сохраняются расстояния между точками.
        Свойства ортогональных преобразований в пространстве.
        1. Последовательное выполнение ортогональных преобразований является ортогональным преобразованием.
        2. Тождественное преобразование x^' = x, y^' = y, z^' = z - ортогональное преобразование.
        3. Преобразование, обратное ортогональному, также является ортогональным.