Пересекающиеся плоскости. Параллельные плоскости. Пара совпадающих плоскостей. Линейные преобразования. Линейные преобразования плоскости. Аффинные преобразования плоскости. Основное свойство аффинных преобразований плоскости. Основной инвариант аффинного преобразования плоскости.
Решение задач и выполнение научно-исследовательских разработок:
Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
математика, IT, информатика, программирование, статистика, биостатистика, экономика, психология
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии
Аналитическая геометрияBodrenko.com Bodrenko.org
9.4 Основной инвариант аффинного преобразования плоскости.
Простым отношением трех точек А, В и С на прямой L называется число
(9.4.1)
которое, очевидно, равно отношению,
в котором точка В делит направленный отрезок АС. Теорема 9.3. Простое отношение трех точек на прямой является
инвариантом аффинного преобразования. Доказательство. Рассмотрим три точки А(x1,y1),
В(x2,y2) и С(x3,y3) нра прямой L. Из формул
для координат точки, делящей отрезок АС в
отношении λ = АВ / ВС, получаем для рассматриваемого случая следующее выражение для λ:
(9.4.2)
Пусть А'(x'1, y'1), В'(x'2,
y'2), С'(x'3, y'3) - образы точек А, В и С соответственно при аффинном преобразовании
(9.1.1). Точка В' делит отрезок А'С' в отношении λ', причем
Из соотношения (9.4.2) получим, что x2 - x1 = λ(x3 - x2) и y2 - y1 = λ(y3 - y2).
Подставляя найденные значения x2 - x1 и y2 - y1 в первую из формул (9.4.4), получим
x'2 - x'1 = λ[a11(x3 - x2) + a12(y3 - y2)].
Подставим теперь
в числитель правой части (9.4.3) найденное выражение для x'2 - x'1, а в знаменатель - выражение для
x'3 - x'2. После сокращения на a11(x3 - x2) + a12(y3 - y2) получим
λ = λ'. Так как λ = АВ / ВС = (АВС) и λ' = A'B' / B'C' = (A'B'C'
), то (АВС) = (A'B'C'), т.е. при аффинном преобразовании простое отношение трех точек не меняется. Теорема доказана. Замечание. Простое отношение трех точек называется основным инвариантом аффинного преобразования,
так как через него могут быть выражены все другие инварианты аффинного преобразования.
(9.4.1)
(9.4.2)
(9.4.3)