Аналитическая геометрия. Основное свойство аффинных преобразований плоскости

Пересекающиеся плоскости. Параллельные плоскости. Пара совпадающих плоскостей. Линейные преобразования. Линейные преобразования плоскости. Аффинные преобразования плоскости. Основное свойство аффинных преобразований плоскости. Основной инвариант аффинного преобразования плоскости.

Решение задач и выполнение научно-исследовательских разработок: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
математика, IT, информатика, программирование, статистика, биостатистика, экономика, психология
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии

Аналитическая геометрия Bodrenko.com
Bodrenko.org
9.3 Основное свойство аффинных преобразований плоскости.

    Теорема 9.1. При аффинном преобразовании плоскости каждая прямая переходит в прямую и параллельные прямые переходят в параллельные прямые.
    Доказательство. Рассмотрим на плоскости π прямую L, определяемую уравнением

Ax + By + C = 0. (9.3.1)

Чтобы выяснить что представляет собой совокупность точек M^'(x^', y^') - образов точек М(x, y), расположенных на прямой L, - подставим в уравнение (9.3.1) вместо x и y их выражения через x^', y^' по формулам (9.2.2). В результате получим соотношение вида

A^'x^' + B^'y^' + C^' = 0. (9.3.2)

Видно, что x^' и y^' удовлетворяют линейному уравнению (9.3.2), т.е. точки M^'(x^', y^') расположены на прямой L^', определяемой уравнением (9.3.2).
       Итак, доказано, что все точки прямой L при аффинном (9.1.1) переходят в точки прямой L^'. Так как при обратном аффинном преобразовании (9.2.2) все точки прямой L^' перейдут в точки прямой L, то в силу взаимной однозначности аффинного преобразования (свойство 4), прямая L переходит в прямую L^'. Итак, при аффинном преобразовании прямая переходит в прямую.
        Докажем вторую часть теоремы. Пусть L₁ и L₂ - параллельные прямые, а L^'₁ и L^'₂ - их образы при аффинном преобразовании (9.1.1) плоскости π. Пусть прямые L^'₁ и L^'₂ имеют общую точку M^'. Так как аффинное преобразование взаимно однозначно, M^' - образ только одной точки M, причем М должна принадлежать и L₁ и L₂, что невозможно, поскольку L₁ и L₂ параллельны. Следовательно, L^'₁ и L^'₂ не имеют общих точек, т. е. параллельны. Теорема доказана.
    Теорема 9.2. Аффинное преобразование плоскости определено однозначно, если заданы образы трех точек, не лежащих на одной прямой и эти образы также не располагаются на одной прямой.
    Доказательство. Пусть точки M₁(x₁, y₁), M₂(x₂, y₂), M₃(x₃, y₃) плоскости π не лежат на одной прямой и точки M^'₁ (x^'₁, y^'₁), M^'₂(x^'₂, y^'₂), M^'₃(x^' ₃, y^'₃) этой плоскости также не лежат на одной прямой. Докажем, что существует единственное аффинное преобразование плоскости π, переводящее точки M₁, M₂, M₃ в точки M^'₁, M^'₂, M^'₃ соответственно.
         Пусть искомое аффинное преобразование задается соотношениями (9.1.1) с неизвестными коэффициентами а₁₁, а₁₂, а₁₃, а₂₁, а₂₂, а₂₃. Докажем, что эти коэффициенты определяются однозначно и, кроме того, определитель δ, вычисленный по формуле (9.1.2), отличен от нуля.
        С помощью первой из формул (9.1.1) получим соотношения

(9.3.3)

которые можно рассматривать как систему трех линейных уравнений относительно неизвестных а₁₁, а₁₂, а₁₃. Определитель этой истемы

(9.3.4)

отличен от нуля, так как по абсолютной величине равен площади параллелограмма, построенного на неколлинеарных векторах

. Поэтому система (9.3.3) однозначно разрешима относительно а₁₁, а₁₂ и а₁₃. Пользуясь второй формулой (9.1.1), получаем, что и величины а₂₁, а₂₂, а₂₃ определяются однозначно. Таким образом однозначно определяется линейное преобразование (9.1.1), переводящее точки M₁, M₂, M₃ соответственно в точки M^'₁, M^'₂, M^'₃. Теперь надо доказать, что определитель полученного преобразования отличен от нуля. Рассмотрим определитель

(9.3.5)

Этот определитель отличен от нуля, так как по абсолютной величине равен площади параллелограмма, построенного на неколлинеарных векторах

. С помощью первой из формул (9.1.1) получим для элемента x^'₂ - x^'₁ определителя (9.3.5) следующее выражение:

x^'₂ - x^'₁ = a₁₁(x₂ - x₁) + a₁₂(y₂ - y₁).

Аналогичные выражения получим с помощью формул (9.1.1) и для остальных элементов определителя (9.3.5). Подставыляя найденные выражения для x^'₂ - x^'₁, y^'₂ - y^'₁, x^'₃ - x^'₁, y^'₃ - y^'₁ в (9.3.5), получим

(9.3.6)

Так как определители

отличны от нуля, то из (9.3.6) следует, что и

Теорема доказана.
Замечание.Аффинное преобразование, для которого

называется эквиаффинным т.е. сохраняющим площади.